一元二次方程的应用—面积 问题
人教版九年级数学上册《一元二次方程的应用——面积问题》教学设计
一元二次方程的应用—面积问题知识与技能1.以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法.2.能根据实际问题正确列出一元二次方程解应用题.3.能够发现，归纳出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决问题.4.提高分析问题，解决问题的能力。
过程与方法通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习热情。
情感态度与价值观，培养学生数形结合的思想。
重点：二次函数的模型的刻画难点：二次函数的性质的应用教学过程创设情境引入新课.。
[创设情境引入新课]1. 请学生回顾举行的面积公式，并进行两个小题的列方程来巩固矩形的面积公式。
2问:若纸板长为80cm,宽60cm，做成的长方体盒子底面积1500cm2。
同学们想一想怎样求剪去的小正方形的边长。
3 把无盖长方体盒重新展开，又会得到原来的长方形纸板，帮助学生从实际问题1.学生们动手制作，在长方形纸板的四个角上截去四个大小相同的正方形，然后把四边折起做成一个无盖的长方体包装盒..2.小组讨论学生们不难发现截去的正方形的边长就是盒子的高.从学生熟悉的矩形的面积入手，能迅速激发学生参与学习的兴趣；让学生发现生活中有些实际问题可以通过列一元二次方程来解决，从而顺利地引入新课。
启发探究建立模型启发探究，建立模型如图，在一个长为20m,宽为15m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条互相垂直且宽度相同的小路，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为266m2，那么小道的宽度应为多少米？。
1. 学生观察、相互讨论得出等量关系：（1）大矩形的面积—两条小路的面积=四个小矩形的面积之和；（2）大矩形的面积—四个小矩形的面积之和=两条小路的面积。
2、学生讨论，合作交流，请学生板演讲解.让学生经历从具体情境中抽象出一元二次方程的模型的过程，探索具体问题中的数量关系和变化规律，既起到了深化例题的作用，又复习了根的判别式的知识.一元二次方程应用教学反思这节课是“列一元二次方程解应用题”，讲授在几何问题中以学生熟悉的现实生活为问题的背景，让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终解决实际问题。
一元二次方程解决面积问题
一元二次方程解决面积问题面积问题在数学中广泛存在，而解决这类问题时，一元二次方程是一个重要的工具。
一元二次方程是一个带有一个未知数的二次方程，通常写作ax² + bx + c = 0，其中a、b和c是已知常数，且a不等于0。
当涉及到面积问题时，我们可以利用一元二次方程来求解。
例如，考虑一个长方形的问题：给定长方形的宽度x，其长度为（3x + 4）。
我们希望求解这个长方形的面积。
首先，我们需要确定长方形的面积公式。
长方形的面积等于长度乘以宽度，即A = x(3x + 4)。
然后，我们将这个面积公式转化为一个一元二次方程。
展开表达式，我们得到A = 3x² + 4x。
现在，我们要解决的问题是找到一个x的值，使得面积A达到最大或最小。
我们可以利用一元二次方程的特性来求解这个问题。
一元二次方程的图像是一个抛物线，对于正系数a，抛物线开口向上。
因此，当a大于0时，抛物线的最小值出现在顶点处。
通过求解一元二次方程的顶点，我们可以找到长方形的最大或最小面积。
一元二次方程的顶点的x坐标由公式x = -b/2a给出。
对于我们的长方形问题，a = 3，b= 4，所以x = -4/(2*3)。
计算得出x = -2/3。
将这个值代入原方程，我们可以计算出面积A的最小值或最大值。
这样，我们就可以通过求解一元二次方程来解决长方形的面积问题。
一元二次方程在解决面积问题以及其他数学问题中具有广泛的应用。
通过灵活运用一元二次方程的特性，我们能够解决各种各样的面积问题。
列一元二次方程解面积类应用题教案
成共识6、（CAI动态演示）各图形中路的平行移动过程，师概括点明做此类题目的方法并板书过程。
7、观察图形⑸，能否用上述方法，又如何理解呢？同学们讨论得出将图⑹的路平行向四周移动可得图⑸（CAI动态演示）。
8、学生独立完成此题。
（CAI课件展示）例2、要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）.1、讨论：此题与上题的图⑸有什么不同？又如何解答？2、师讲解：如何由封面及正中的长宽比例相同为9:7，得出上、下边衬宽与左、右边衬宽的比也是9：7.。
3、学生讨论得出直接设中央的长与宽的比9X:7X，从而列方程求解。
4、一人演板。
5、集体订正，强调结果验证。
1、如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？论形成的结果，易记熟且能灵活运用。
设疑，激发学生积极思考用题目之间的联系培养学生灵活处理问题的能力。
此方法不易理解，但可以借助图⑸，拓宽了学生的知识面。
设元的灵活性。
触类旁通，你有哪些心得体会。
拓展延伸总结反思2、有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？归纳小结：系统地总结此类应用题的解法。
布置作业：（略）板书设计：12.6 一元二次方程的应用（二）例1．略例2．略解：设………解：………………………………课后反思，本节课的收获，还有没有需要老师帮助解决的问题。
18米2米。
一元二次方程应用--面积------教案
一元二次方程的应用复习教学目标【知识技能】能根据几何图形找出问题中的等量关系，列出一元二次方程解决实际问题，并检验解的合理性。
【过程与方法】经历读题、审题和解题，让学生进一步体会“问题情境--建立模型--求解--解释与应用”的过程。
【情感、态度与价值观】获得运用数学知识分析和解决实际问题的方法和经验，更好的体会数学的价值观。
教学重点、难点重点：将实际问题转化为一元二次方程的数学模型，并根据实际问题检验解的合理性。
难点：建立数学模型解决实际问题，借助方程验证方案的可行性。
突破方法：引导学生用不同图形的面积公式列出方程。
教法与学法教学方法：启发引导，创设情境，利用多媒体课件激发学生学习兴趣；引导学生分析设计方案，借助方程验证方案的可行性。
学习方法：小组合作探究，组内讨论交流教学准备教师准备:多媒体课件学生准备：完成导学案教学过程一、前置诊断1.在长a米，宽b米的一块草坪上修了一条1米宽的笔直小路，则余下的草坪面积可表示为米2，为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1米的弯曲小路，则剩余草坪的面积可表示为米2。
2.幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周的宽度是多少。
3.如图，学校准备在校园里利用围墙的一段，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25米），现有50米的栅栏，请设计一种围法，使矩形花园的面积为300米2。
【设计说明】：本环节的目的是发挥教材的引领作用。
把教材、学生和教师三个方面有机地结合起来，帮助学生回顾应用一元二次方程解决应用题的一般步骤，解决图形公式型应用题的基本方法，纠正学生解答过程中出现的问题。
【学生活动】：独立思考和交流合作相结合，完成学案中的问题。
【题后反思】列方程解应用题的基本步骤：【拓展应用】幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设两块地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，若地毯面积是教室矩形地面面积的32，求四周的宽度是多少。
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
解题思路
假设长方形的长为l，宽为w， 通过列方程建立方程组，然后 求解得出面积。
解答与解析
通过解方程组，得出长方形的 长、宽和面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
实例3 ：三角形面积问题
问题提出
已知直角三角形的斜边长度为c， 某一直角边的长度为a，求三角形 的面积。
解题思路
根据已知条件，利用勾股定理和三 角形面积公式建立方程，然后求解 得出面积。
一元二次方程应用题(几 何图形面积问题)
本演示将介绍一元二次方程的应用，特别是在解决几何图形面积问题时的应 用。通过精彩的实例和深入的讲解，帮助你全面理解和掌握这一知识点。
一元二次方程介绍
简要介绍一元二次方程的概念、形式和解法方法，以及元二次方程解决几何图形的面积问题，通过代入、求解方程， 计算各种图形的面积。
解答与解析
通过解方程和应用三角形面积公式， 得出三角形的面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
总结与实践建议
总结一元二次方程在解决几何图形面积问题中的应用要点，并提供一些建议和实践步骤，以帮助你更好地掌握这一 知识。
实例1：正方形面积问题
1
问题提出
给定正方形的对角线长度为d，求正方形的面积。
2
解题思路
假设正方形的边长为x，利用勾股定理建立方程，然后求解得出面积。
3
解答与解析
通过解方程，得出正方形的边长和面积的具体数值，详细解析计算过程和答案。
实例2 ：长方形面积问题
问题提出
已知长方形的周长为P，求长方 形的面积。
12.解一元二次方程的实际应用——面积问题
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试
x
35－2x 当x=7.5时，35-2x=20＞18，因此不合题意，舍去；
当x=10时，35-2x=15. 答：鸡场的长、宽分别为15米、10米.
例2 某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地四周修
筑等宽的道路,中间的矩形部分作草坪, 若草坪的面积为540米2，求图中道路 的宽是多少? x x 32－2x 20－2x x x 解：设草坪四周道路的宽为x米， 则草坪的长为(32－2x)米，宽为(20－2x)米.
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分
英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出
一元二次方程应用题面积问题
一元二次方程应用题面积问题1. 引言：面积问题的迷人世界大家好！今天咱们聊聊一元二次方程中的面积问题。
别急着皱眉头，这个话题其实特别贴近咱们的生活，学会了，能让你在解答一些日常问题时得心应手。
比如说，买草坪、规划花园、甚至是设计墙面装饰，这些都能用到哦！2. 面积问题的基础：概念简述2.1 什么是面积问题？说白了，面积问题就是要求你计算一个区域的大小。
在几何中，咱们经常需要找出矩形、三角形或者其他形状的面积。
那一元二次方程为什么会出现在这个问题里呢？好问题！因为有些面积计算需要用到二次方程来解决。
2.2 为什么用一元二次方程？一元二次方程，看起来有点复杂，但其实就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程。
它能帮我们解决一些涉及面积的实际问题，比如说，计算一个长方形的面积，特别是当这个长方形的边长变化时，就需要用到这样的方程了。
3. 实际例子：如何应用一元二次方程解决面积问题。
3.1 示例一：草坪面积假设你想在家里的花园里铺草坪，花园的长度是 ( x ) 米，宽度比长度少 5 米。
那么，花园的宽度就是 ( x 5 ) 米。
你知道草坪的面积是 84 平方米。
我们可以用一元二次方程来找出长度和宽度。
首先，面积 ( A ) = 长度 ( times ) 宽度。
根据题意，有：[ A = x times (x 5) = 84 ]。
简化一下，得到方程：[ x^2 5x = 84 ]接着，把 84 移到方程的另一边：[ x^2 5x 84 = 0 ]现在咱们可以用因式分解法或者求根公式来解这个方程。
因式分解的话，我们可以得到：[ (x 9)(x + 4) = 0 ]。
从中可以得到 ( x = 9 ) 或 ( x = 4 )。
因为长度不能是负数，所以我们取 ( x = 9 ) 米。
这样，花园的宽度就是 ( 9 5 = 4 ) 米。
3.2 示例二：墙面装饰再来一个例子，假如你要装饰一面墙，墙的高度比宽度多 2 米，装饰的总面积是60 平方米。
人教版初中数学九上 微专题5 一元二次方程的应用(二)——面积问题
解：由题意，得x（180－2x）＝4 000， 解得x1＝40，x2＝50． 当x＝40时，180－2x＝100＞90，不符合题意，舍去； 当x＝50时，180－2x＝80＜90，符合题意． 答：若矩形场地的面积为4 000 m2，则BC的长为50 m．
2．某精准扶贫小组帮助一农户建立如图所示的矩形养鸡场．已知矩形养鸡场 的面积为 45 m2（分为两部分），一边靠着一面长为 14 m 的墙，另外几边用 总长为 22 m 的竹篱笆围成，每部分养鸡场的前面各开一个宽为 1 m 的门，求 这个养鸡场的长与宽．
微专题5 一元二次方程的应用（二） ——面积问题
1．如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙 AE，AF，用铁栅栏围成一 个矩形场地 ABCD，中间再用铁栅栏将矩形场地分割成两个小矩形，铁栅栏 总长为 180 m．已知墙 AE 的长为 90 m，墙 AF 的长为 60 m． （1）设 BC＝x m，则 CD 的长为 （180－2x） m，四边形 ABCD 的面积 为 x（180－2x） m2； （2）若矩形场地 ABCD 的面积为 4 000 m2，问 BC 的长为多少米？
解：（1）设篱笆BC的长为x m，则AB的长为（37＋15，x2＝5． 答：篱笆BC的长为15 m或5 m． （2）不可能．理由如下： 假设矩形鸡舍ABCD的面积是210 m2， 由题意，得（37＋3－2x）x＝210， 整理，得x2－20x＋105＝0． ∵此方程中Δ＝（－20）2－4×105＝－20＜0， ∴方程无实数解， ∴矩形鸡舍ABCD的面积不可能达到210 m2．
解得x1＝15，x2＝9． ∵14＜15，不合题意，舍去，
答：这个养鸡场的长为9 m，宽为5 m．
3．如图，利用两面靠墙（图中虚线部分），且墙足够长，用总长度 37 m 的 篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍 ABCD，且中间共留三个 1 m 的小 门． （1）若矩形鸡舍 ABCD 的面积为 150 m2，求篱笆 BC 的长； （2）矩形鸡舍 ABCD 的面积是否有可能达到 210 m2？若有可能，求出相应 x 的值；若不可能，请说明理由．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
通过以上的设计，我们又学到了什么处理图形面积类的好方 法？转化成规则图形的方法是什么？平移图形 应用1、邻居张老汉养了一群鸡，现在要建一面积是150平方米的长方 新巩知固形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的 能力门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．请同学计 算一下鸡场的长和宽各多少米？ 2、如图,在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周镶上一条宽度相同的 金色纸边,制成一幅挂画.如果要求挂画的面积是整个面积的72%, 那么金边的宽应是多少?
已知矩形(记为A)长为4，宽为1，是否存在另一个矩形(记为B), 使得这个矩形的周长和面积都为原来矩形周长和面积的一半?如果 存在,求出这个矩形的长和宽；如果不存在,试说明理由。
知 如何解决实际问题？
识 1、 解决实际问题时要本着什么样的思路？
小 结
2、 如何根据题目的条件选择正确的模型。
形 3、 在对问题的再反思，再改变的过程中要不断探索，
请计算： 若要求折成的无盖纸盒的底面积是450平方厘米，那么那么应
剪去边长为多少的正方形？ 找一名学生读题，并通过审题得出：
分析： （1）观察图形，底面积是由什么决定的？ （2）题目中的已知量和未知量都有哪些？它们之间有什么关系？
找一名学生板书过程： 解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则盒底面长方形的长为 （40-2x）cm，宽为（25-2x）cm，
教师总结：要注意检验两个根是否符合实际意义。画出图形 时，看是否能直观准确的找到已知量和未知量之间的关系。 发散 现有一项美化校园的设计任务,准备在长32m，宽20m的长方形 思提维高场地上，修筑宽度相同的若两条道路（不一定是直的），可以有 能力重合部分，余下的设计成草坪，要求草坪总面积为540m2，请你 计算一下设计方案中道路的宽. （注意设计的合理性和美观性）。 找一名学生读题后，审清题目要求； 让学生在学案上画出自己的设计图； 结合学生画出的图形，利用实物投影进行讲解： 第一类：直线类； 第二类：折线类； 第三类：曲线类； 小结方法：通过图形的拼接，只要道路每一处的宽度相同，就可以 通过平移，把图形变成规则图形来解决。 若将题目改成：若干条呢？我们看这个设计方案，你又有了什么发 现？结果是否相同？
难点： 把复杂的图形转化成简单的基本图形，从而找到简洁的相等关系。
教学手段：电脑
教学方式：探究,合作。
教学
教学过程
环节
（1）我们都学习过哪些方程工具？ 温故 知 （2）利用不同的方程解应用题的步骤有什么区别？ 新： （3）分析问题的方法都有哪些？
今天我们会学到更多的分析问题，转化未知的方法
学习 在生活中，包装盒是很常见，如果有一张长方形纸片，长 新形知成40cm，宽25cm，你会把它做成一个无盖的纸盒吗？说说你的方 能力法。
17.3 一元二次方程的应用——面积问题
教学目标：1.使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用 问题．
2. 进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问 题的能力，培养用数学的意识．
3. 进一步使学生深刻体会转化以及方程的思想方法、渗透数形结合的思 想．
重点： 一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题．
据题意：（40-2x）（25-2x）=450． 得2x2－65x＋275＝0， 解得x1=2，x2=27.5． ∴ 当x=27.5时，25-2x=-30（不合题意，舍去．） 答：截取的小正方形边长应为2cm，可制成符合要求的无盖盒 子．
小结： （1） 在解决这个问题中，都使用了哪种分析问题的方法？ (2)在解题过程中要注意什么？
成
提高创新能力。
系
统
布 练习册
置 作 业
2米 18米
A
B
一． ----------------------------------------------
板书设计：
二． -------------------------------------------------
三． -----------------------------------------------