一元二次方程—面积问题
九年级数学一元二次方程面积问题
九年级数学一元二次方程面积问题哎，大家好！今天咱们来聊聊九年级数学里的一个有趣的题目——一元二次方程在面积问题中的应用。
听起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢讲，弄清楚了，你会发现这不比做家务复杂，绝对能搞定！1. 什么是一元二次方程？首先，我们得搞明白什么是一元二次方程。
别被这个名字吓着，其实它就是一种特殊的方程。
公式长这样：[ ax^2 + bx + c = 0 ]。
其中，( x ) 是未知数，( a )、( b )、( c ) 是常数。
简单来说，这就是一个二次方程，它的最高次数是二。
2. 面积问题的背景好了，咱们知道了什么是一元二次方程，接下来就是面积问题了。
要是你有点头绪，那就太棒了，因为很多数学问题都和实际生活中的问题有关呢！2.1 一道经典题目设想一下，你家有一个小花园，长方形的，长度是 ( x ) 米，宽度是 ( x + 2 ) 米。
现在你发现这个花园的面积是 60 平方米。
你需要找出这个花园的长度和宽度。
听着是不是有点儿挑战？别急，咱们一起来解决它！2.2 设立方程首先，根据面积公式，长方形的面积是长乘宽。
所以我们可以得到一个方程：[ x times (x + 2) = 60 ]。
把这个方程展开来，咱们就得到了：[ x^2 + 2x = 60 ]然后，把方程整理成标准的一元二次方程形式：[ x^2 + 2x 60 = 0 ]。
这下，咱们就有了一个典型的二次方程，可以用不同的方法来解它。
3. 解方程的技巧3.1 因式分解法最简单的方法就是因式分解。
我们要找两个数，它们的乘积是 60，和是 2。
这两个数是 10 和 6。
所以，我们可以把方程分解成：[ (x + 10)(x 6) = 0 ]。
这样，解这个方程就非常简单了。
我们得到两个解：[ x + 10 = 0 quad text{或者} quad x 6 = 0 ]。
也就是：[ x = 10 quad text{或} quad x = 6 ]。
一元二次方程面积问题
一元二次方程面积问题例1：将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.分析：（1）设出小路的宽度为x米，表示出两条小路的面积，而小路的面积为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可；（2）设出扇形的半径为y米，则四个扇形的面积和恰好等于一个圆的面积，而四个扇形的面积和为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可．:解答：解：（1）设小路的宽度为x米，根据题意列方程得，18x+15x-x2=18×15×13，解得x1=3，x2=30（不合题意，舍去）；答：图①中小路的宽为3米．（2）设扇形的半径为y米，根据题意列方程得，πy2=18×15×13，解得y1≈5.4，y2≈-5.4（不合题意，舍去）；答：扇形的半径约为5.4米．点评：此题主要考查长方形和扇形面积的计算方法，解答时注意题目中蕴含的数量关系例2：如图1—1所示，某小区规划在一个长为40m，宽为26m的矩矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都是144㎡，则道路的宽是多少米?分析：（1）设路的宽为x m，那么道路所在的面积（40x＋26x×2－2x2）㎡，于是六块草坪的面积为[40×26－（40x＋26x×2－2x2）]㎡，根据题意，得40×26－（40x＋26x×2－2x2）=144×6（2）将图1—1所示中的三条道路分别向上和向左、向右平移图1—2的位置，若设宽为x m，则草坪的总面积为（40－2x）（26－x）㎡所列方程为（40－2x）（26－x）=144×6解法1：设道路的宽为x m，则根据题意，得40×26－（40x＋26x×2－2x2）=144×6整理，得x2－46x＋88=0，解得x1=44（舍去），x2=2解法2：设道路的宽为x m，则根据题意，得（40－2x）（26－x）=144×6 解得，x1=44（舍去），x2=2 答：略练习1、如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，所截去的小正方形的边长是多少。
一元二次方程解决面积问题
一元二次方程解决面积问题面积问题在数学中广泛存在，而解决这类问题时，一元二次方程是一个重要的工具。
一元二次方程是一个带有一个未知数的二次方程，通常写作ax² + bx + c = 0，其中a、b和c是已知常数，且a不等于0。
当涉及到面积问题时，我们可以利用一元二次方程来求解。
例如，考虑一个长方形的问题：给定长方形的宽度x，其长度为（3x + 4）。
我们希望求解这个长方形的面积。
首先，我们需要确定长方形的面积公式。
长方形的面积等于长度乘以宽度，即A = x(3x + 4)。
然后，我们将这个面积公式转化为一个一元二次方程。
展开表达式，我们得到A = 3x² + 4x。
现在，我们要解决的问题是找到一个x的值，使得面积A达到最大或最小。
我们可以利用一元二次方程的特性来求解这个问题。
一元二次方程的图像是一个抛物线，对于正系数a，抛物线开口向上。
因此，当a大于0时，抛物线的最小值出现在顶点处。
通过求解一元二次方程的顶点，我们可以找到长方形的最大或最小面积。
一元二次方程的顶点的x坐标由公式x = -b/2a给出。
对于我们的长方形问题，a = 3，b= 4，所以x = -4/(2*3)。
计算得出x = -2/3。
将这个值代入原方程，我们可以计算出面积A的最小值或最大值。
这样，我们就可以通过求解一元二次方程来解决长方形的面积问题。
一元二次方程在解决面积问题以及其他数学问题中具有广泛的应用。
通过灵活运用一元二次方程的特性，我们能够解决各种各样的面积问题。
12.解一元二次方程的实际应用——面积问题
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试
x
35－2x 当x=7.5时，35-2x=20＞18，因此不合题意，舍去；
当x=10时，35-2x=15. 答：鸡场的长、宽分别为15米、10米.
例2 某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地四周修
筑等宽的道路,中间的矩形部分作草坪, 若草坪的面积为540米2，求图中道路 的宽是多少? x x 32－2x 20－2x x x 解：设草坪四周道路的宽为x米， 则草坪的长为(32－2x)米，宽为(20－2x)米.
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分
英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出
一元二次方程——面积问题
面积问题：1、如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,求甬路的宽度?2、如图所示，要建一个面积为150m2的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为a m,另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m.(1)求鸡场的长与宽各为多少米?(2)题中的墙长度a m对题目的解起着怎样的作用?3、如图、AD是⊿ABC的高，点G,H在BC边上,点E在AB边上,点F在AC边上,BC=10cm,AD=8cm四边形EFHG是面积为15CM的矩形求矩形的长和宽。
4、在一个长为５０米，宽为３０米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的７５％，等宽且互相垂直的两条路的面积占２５％，求路的宽度。
5、等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多４cm，下底比高多20cm，求这个等腰梯形的高。
6、有一张长为80cm，宽为60cm的薄钢片，在4个角上截去相同的4个边长为的小正方形，然后做成底面积为1500cm3 无盖的长方体盒子。
求截去小正方形的边长。
7.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m²的三级污水处理池(平面图如图)。
由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过60米。
如果外圈周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元（池壁的厚度忽略不计）。
（1）当三级污水处理的总造价为472000元时，求池长x；（2）如果规定总造价越低越合适，那么根据题目提供的信息，以47200元为总造价来修建三级污水处理池是否合算？请说明理由。
中考试题：1、如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？2.现有一块矩形场地，如图12所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：．兰花；．菊花；．月季；．牵牛花．求出这块场地中种植菊花的面积与场地的长之间的函数关系式；并写出自为量的取值范围．。
一元二次方程应用题面积问题
一元二次方程应用题面积问题1. 引言：面积问题的迷人世界大家好！今天咱们聊聊一元二次方程中的面积问题。
别急着皱眉头，这个话题其实特别贴近咱们的生活，学会了，能让你在解答一些日常问题时得心应手。
比如说，买草坪、规划花园、甚至是设计墙面装饰，这些都能用到哦！2. 面积问题的基础：概念简述2.1 什么是面积问题？说白了，面积问题就是要求你计算一个区域的大小。
在几何中，咱们经常需要找出矩形、三角形或者其他形状的面积。
那一元二次方程为什么会出现在这个问题里呢？好问题！因为有些面积计算需要用到二次方程来解决。
2.2 为什么用一元二次方程？一元二次方程，看起来有点复杂，但其实就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程。
它能帮我们解决一些涉及面积的实际问题，比如说，计算一个长方形的面积，特别是当这个长方形的边长变化时，就需要用到这样的方程了。
3. 实际例子：如何应用一元二次方程解决面积问题。
3.1 示例一：草坪面积假设你想在家里的花园里铺草坪，花园的长度是 ( x ) 米，宽度比长度少 5 米。
那么，花园的宽度就是 ( x 5 ) 米。
你知道草坪的面积是 84 平方米。
我们可以用一元二次方程来找出长度和宽度。
首先，面积 ( A ) = 长度 ( times ) 宽度。
根据题意，有：[ A = x times (x 5) = 84 ]。
简化一下，得到方程：[ x^2 5x = 84 ]接着，把 84 移到方程的另一边：[ x^2 5x 84 = 0 ]现在咱们可以用因式分解法或者求根公式来解这个方程。
因式分解的话，我们可以得到：[ (x 9)(x + 4) = 0 ]。
从中可以得到 ( x = 9 ) 或 ( x = 4 )。
因为长度不能是负数，所以我们取 ( x = 9 ) 米。
这样，花园的宽度就是 ( 9 5 = 4 ) 米。
3.2 示例二：墙面装饰再来一个例子，假如你要装饰一面墙，墙的高度比宽度多 2 米，装饰的总面积是60 平方米。
一元二次方程面积问题
使用图形解释一元二次方程与 面积的关系
通过绘制图形并演示一元二次方程与图形的面积之间的关系，我们将帮助您 更好地理解这一概念。
总结与展望
在本次演讲中，我们概述了一元二次方程与面积问题的关联，并展望了进一 步学习和应用这一概念的可能性。
求解一元二次方程的方法
我们将详细讨论解决一元二次方程的不同方法，并解释每种方法的优缺点。
如何利用一元二次方程解决面积问题
我们将展示如何将一元二次方程应用于不同类型的面积问题，并提供实用的技巧和策略。
实际应用案例分析
通过分析真实世界中的面积问题，我们将展示一元二次方程在解决实际应用 中的重要性和价值。
一元二次方程面积问题
欢迎来到本次演讲，我们将探讨一元二次方程与面积之间的关系，并解决一 些有趣的面积问题。
问题引入
通过引入一个刺激和实际的面积问题，我们将向您展示一元二次方程的重要 性，以及如何将其应用于现实生活中的计算。
一元二次方程的Biblioteka 义和一般形 式我们将介绍一元二次方程的基本定义和形式，使您能够理解解决问题所需的 基本方程。
一元二次方程的应用(面积问题)
一元二次方程的运用------面积问题【小常识大感化】1.直角三角形面积公式：一般三角形面积公式：2.正方形周长公式：正方形面积公式：3.矩形周长公式：矩形面积公式：4.梯形面积公式：5.平行四边形面积公式：菱形面积公式：6.圆的周长公式：圆的面积公式：小贴士：这些简略的公式,在我们解决生涯中的现实问题时施展着很大的感化.【进修交换】类型一:1、2的长方形？2、如图,是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙,别的三面用篱笆笆围成,若篱笆笆总长为35m,所围的面积为150m2,则此长方形鸡场的长.宽分离为若干？3、如图,用长为18m的篱笆（虚线部分）,两面靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,矩形的长.宽分离为若干？类型二:1.某校为了美化校园,预备在一块长32米,宽20米的长方形场地上构筑若干条一样宽的道路,余下部分作草坪,并请全校同窗介入设计,如今有四位学生各设计了一种计划(如图),依据两种设计计划各列出方程,求图中道路的宽分离是若干?使图中的草坪面积为540米2.【元调真题】世博会中国国度馆模子的平面图如图所示,其外框是一个大正方形,中心四个全等的小正方形(暗影部分)是支持展馆的焦点筒,标识表记标帜了字母的五个全等的正方形是展厅.已知焦点筒的边长比展厅的边长的一半多1米,外框的面积刚好是四个焦点筒面积和的9倍.求焦点筒的边长.【才能晋升】如图,一个矩形正好分成六个正方形,个中最小的正方形的边长是1cm,求这个矩形的面积.【检测】1．如图,在宽为20米.长为30米的矩形地面上建筑两条同样宽的道路,余下部分作为耕地．若耕地面积须要551米2,则建筑的路宽应为（）2．在一幅长为80cm,宽为50cm的矩形景致画的四周镶一条雷同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,假如要便全部挂图的面积为5400cm2,设金色纸边的宽为x cm,那么知足的方程是（）A．2653500x x+-= B．213014000x x+-=C．2653500x x--= D．213014000x x--=3．从一块长30cm,宽20cm的长方形合金板中心截去一个小长方形,做成一个四周宽度雷同的镜框,使镜框的面积占合金板面积的38,求镜框的宽度．4．如图①,要设计一幅宽20cm,长30cm的矩形图案,个中有两横两竖的彩条,横.竖彩条的宽度比为2︰3,假如要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一,应若何设计每个彩条的宽度？剖析：由横.竖彩条的宽度比为2︰3,可设每个横彩条的宽为2x,则每个竖彩条的宽为3x．为更好地查找标题中的等量关系,将横.竖彩条分离分散,原问题转化为如图②的情形,得到矩形ABCD．联合以上剖析完成填空：如图②,用含x的代数式暗示：AB = cm;AD = cm;矩形ABCD的面积为cm2;列出方程并完成本题解答．5.用一块长28cm.宽 20cm的长方形纸片,要在它的四角截去四个相等的小正方形,折成一个无盖的长方体盒子,使它的底面积为180cm２,求截去的小正方形的边长.6.某校九年级6个班的学生在黉舍矩形操场上举办庆新年的联谊运动,黉舍划分6个全等的矩形场地分给各班级之间留4米宽的过道（如图所示）,已知操场的长是宽的2倍,6个班级所占场地面积的总和是操局势积的916,肄业校操场的宽为若干米.7.要对一块长60米.宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．（1）设计计划如图①所示,矩形P.Q为两块绿地,其余为硬化路面,P.Q 两块绿地四周的硬化路面宽都相等,并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的14,求P.Q两块绿地四周的硬化路面的宽．（2）某同窗有如下假想：设计绿化区域为相外切的两等圆,圆心分离为O1和O2,且O1到AB.BC.AD的距离与O2到CD.BC.AD的距离都相等,其余为硬化地面,如图②所示,这个假想是否成立？若成立,求出圆的半径;若不成立,解释来由．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第3课时几何图形与一元二次方程
教学目标：
1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
2．继续探究YI实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题．
3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力．
教学过程：
一、情境导入
如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？
二、合作探究
探究点：用一元二次方程解决图形面积问题
【类型一】利用面积构造一元二次方程模型
(2014·甘肃陇南)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( ) A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6
C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6
解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x(5－x)＝6，故选择B.
方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程．
(2014·黑龙江农垦)现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长．
解析：设小正方形的边长为x cm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程．
解：设小正方形的边长为x cm ，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－
2x )cm ，宽是(60－2x )cm ，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80－2x )(60－2x )＝1500，整理得x 2－70x ＋825＝0，解得x 1＝55，x 2＝15.又60－2x >0，∴x ＝55(舍)．∴小正方形的边长为15cm.
方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可． 【类型二】整体法构造一元二次方程模型
(2014·甘肃兰州)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x 米，根据题意可列出的方程为______________．
解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x 的代数式表示草坪的长为(22－x )米，宽为(17－x )米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22－x )(17－x )＝300.
解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x －17x ＋x 2＝300.
方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解． 【类型三】利用一元二次方程解决动点问题
如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A 出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s 的速度移动．
(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC 的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积
公式建立方程求解．
解：(1)设x s后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝x cm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2x cm.则根据题意，得
1
2
·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x＋8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
(2)设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半．则根据题意，得
1
2
(6－x)·2x＝
1
2
×
1
2
×6×8.整理，得x2－6x＋12＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻．
板书设计
教学反思
与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好.。