一元二次方程面积问题
列一元二次方程解有关面积问题
２ １．上 述 方 法 为 矩 形 面 积 的直 ４８ 接 表 示 方 法 ． 外 ， 图 还 可 将 三 另 此 条 小 路 进 行平 移 。将 阴影 部 分 的 矩 形 进 行平 移 得 如 下 几 何 图 形 ：
解
设道 路修 建 ｍ宽 ．
依题 意 ， （０ ）６ — ｘ ＝ ４ ８ 得 ４ （４ ２ ） ２ １ ．
・ ．
．
ｘ２
－
７ｘ ２ ＋７１ ＝Ｏ，
・
． ．
１ｌｘ＝ １ 舍 ） ＝ ，２７ （ ．
显然 空 白部 分 的长 和宽 分 别 为 （４ ） ６ 一 以及 （０ ）这 样 空 白 ４咄 ，
部 分 的 面 积 为 （４ ） （ ０ ｘ ， ６ 一 ・４ － ）
答 ： 路应 修建 １ 道 ｍ宽 ．
故 得方 程 （４ ２ ）４ － ）２ １． ６ —ｘ （０ ｘ＝ ４ ８
点缀 所 建 的 仓 库 只 有 三
如图所 示 ， 建一 个 面积为 １０ｍ 的仓 库 ， 库 的一边 要 ３ 仓
所 以 ６块
６ ２ ４－ ｘ
×
—
—
条边长为 二 ｍ 丝
．
３
三条 道路 ， 两条 纵 向 ，一条 横 向，并 且互相 垂直 ，把广 场 分成 大
－
—
面 积 总 和 为 ６×— ｘ ４ ０
２
：
３
小相等 的６ ，用来 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ草坪 ，如 图所 示． 草坪 的面积 ￣２ １ ｍ ， 块 要使 ４８
Ｕ 册
一
元二 次方 程
有 面积 问题
。
露
利用面积求线段的长度是一元二次方程的常见题型， 这
九年级数学一元二次方程面积问题
九年级数学一元二次方程面积问题哎，大家好！今天咱们来聊聊九年级数学里的一个有趣的题目——一元二次方程在面积问题中的应用。
听起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢讲，弄清楚了，你会发现这不比做家务复杂，绝对能搞定！1. 什么是一元二次方程？首先，我们得搞明白什么是一元二次方程。
别被这个名字吓着，其实它就是一种特殊的方程。
公式长这样：[ ax^2 + bx + c = 0 ]。
其中，( x ) 是未知数，( a )、( b )、( c ) 是常数。
简单来说，这就是一个二次方程，它的最高次数是二。
2. 面积问题的背景好了，咱们知道了什么是一元二次方程，接下来就是面积问题了。
要是你有点头绪，那就太棒了，因为很多数学问题都和实际生活中的问题有关呢！2.1 一道经典题目设想一下，你家有一个小花园，长方形的，长度是 ( x ) 米，宽度是 ( x + 2 ) 米。
现在你发现这个花园的面积是 60 平方米。
你需要找出这个花园的长度和宽度。
听着是不是有点儿挑战？别急，咱们一起来解决它！2.2 设立方程首先，根据面积公式，长方形的面积是长乘宽。
所以我们可以得到一个方程：[ x times (x + 2) = 60 ]。
把这个方程展开来，咱们就得到了：[ x^2 + 2x = 60 ]然后，把方程整理成标准的一元二次方程形式：[ x^2 + 2x 60 = 0 ]。
这下，咱们就有了一个典型的二次方程，可以用不同的方法来解它。
3. 解方程的技巧3.1 因式分解法最简单的方法就是因式分解。
我们要找两个数，它们的乘积是 60，和是 2。
这两个数是 10 和 6。
所以，我们可以把方程分解成：[ (x + 10)(x 6) = 0 ]。
这样，解这个方程就非常简单了。
我们得到两个解：[ x + 10 = 0 quad text{或者} quad x 6 = 0 ]。
也就是：[ x = 10 quad text{或} quad x = 6 ]。
一元二次方程解决面积问题
一元二次方程解决面积问题面积问题在数学中广泛存在，而解决这类问题时，一元二次方程是一个重要的工具。
一元二次方程是一个带有一个未知数的二次方程，通常写作ax² + bx + c = 0，其中a、b和c是已知常数，且a不等于0。
当涉及到面积问题时，我们可以利用一元二次方程来求解。
例如，考虑一个长方形的问题：给定长方形的宽度x，其长度为（3x + 4）。
我们希望求解这个长方形的面积。
首先，我们需要确定长方形的面积公式。
长方形的面积等于长度乘以宽度，即A = x(3x + 4)。
然后，我们将这个面积公式转化为一个一元二次方程。
展开表达式，我们得到A = 3x² + 4x。
现在，我们要解决的问题是找到一个x的值，使得面积A达到最大或最小。
我们可以利用一元二次方程的特性来求解这个问题。
一元二次方程的图像是一个抛物线，对于正系数a，抛物线开口向上。
因此，当a大于0时，抛物线的最小值出现在顶点处。
通过求解一元二次方程的顶点，我们可以找到长方形的最大或最小面积。
一元二次方程的顶点的x坐标由公式x = -b/2a给出。
对于我们的长方形问题，a = 3，b= 4，所以x = -4/(2*3)。
计算得出x = -2/3。
将这个值代入原方程，我们可以计算出面积A的最小值或最大值。
这样，我们就可以通过求解一元二次方程来解决长方形的面积问题。
一元二次方程在解决面积问题以及其他数学问题中具有广泛的应用。
通过灵活运用一元二次方程的特性，我们能够解决各种各样的面积问题。
一元二次方程面积问题
例2: 如图：在△ABCs的速度移动，点Q 从点B开始沿BC边向点Q以3cm/s的速度移动， 若P,Q同时出发，经过多长时间，使 △PBQ得 面积等于6cm2? C
Q
B （2）P，Q两点从出发开始几 秒时，点P与点Q间的距离是10cm2?
C
课本面积习题
30页问题1； 31页问题2； 40页练习2； 43页8,11； 47页探究3, 48页3,5，8； 49页9，10（一般不做）； 53页3,5，6，8； 54页10，
Q
A
P
B
例3: 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的
四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起, 就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面 积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正 方形?
例4: 如图宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同 样宽的三条道路,其余部分当做试验田，要使试验 地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
20-x 32-2x
32-2x
20-x
例4: 如图宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑 同样宽的三条道路,其余部分当做试验田，要使试 验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
例5： 利用一面长18米的墙，用长为35,米 的篱笆，怎样围一个面积为150的养鸡场？
18米
18米
2米
如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点， AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同 时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动向点B 移动，一直到点B时，停止运动，当P点停止 运动时，Q点也停止运动，点Q以2cm/s的速度 D A 向点D移动。 （1）P,Q两点从出发开始几 P 秒时，四边形PBCQ的面积 是33cm2?
12.解一元二次方程的实际应用——面积问题
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试
x
35－2x 当x=7.5时，35-2x=20＞18，因此不合题意，舍去；
当x=10时，35-2x=15. 答：鸡场的长、宽分别为15米、10米.
例2 某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地四周修
筑等宽的道路,中间的矩形部分作草坪, 若草坪的面积为540米2，求图中道路 的宽是多少? x x 32－2x 20－2x x x 解：设草坪四周道路的宽为x米， 则草坪的长为(32－2x)米，宽为(20－2x)米.
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分
英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出
一元二次方程——面积问题
面积问题：1、如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,求甬路的宽度?2、如图所示，要建一个面积为150m2的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为a m,另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m.(1)求鸡场的长与宽各为多少米?(2)题中的墙长度a m对题目的解起着怎样的作用?3、如图、AD是⊿ABC的高，点G,H在BC边上,点E在AB边上,点F在AC边上,BC=10cm,AD=8cm四边形EFHG是面积为15CM的矩形求矩形的长和宽。
4、在一个长为５０米，宽为３０米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的７５％，等宽且互相垂直的两条路的面积占２５％，求路的宽度。
5、等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多４cm，下底比高多20cm，求这个等腰梯形的高。
6、有一张长为80cm，宽为60cm的薄钢片，在4个角上截去相同的4个边长为的小正方形，然后做成底面积为1500cm3 无盖的长方体盒子。
求截去小正方形的边长。
7.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m²的三级污水处理池(平面图如图)。
由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过60米。
如果外圈周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元（池壁的厚度忽略不计）。
（1）当三级污水处理的总造价为472000元时，求池长x；（2）如果规定总造价越低越合适，那么根据题目提供的信息，以47200元为总造价来修建三级污水处理池是否合算？请说明理由。
中考试题：1、如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？2.现有一块矩形场地，如图12所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：．兰花；．菊花；．月季；．牵牛花．求出这块场地中种植菊花的面积与场地的长之间的函数关系式；并写出自为量的取值范围．。
一元二次方程应用题面积问题
一元二次方程应用题面积问题1. 引言：面积问题的迷人世界大家好！今天咱们聊聊一元二次方程中的面积问题。
别急着皱眉头，这个话题其实特别贴近咱们的生活，学会了，能让你在解答一些日常问题时得心应手。
比如说，买草坪、规划花园、甚至是设计墙面装饰，这些都能用到哦！2. 面积问题的基础：概念简述2.1 什么是面积问题？说白了，面积问题就是要求你计算一个区域的大小。
在几何中，咱们经常需要找出矩形、三角形或者其他形状的面积。
那一元二次方程为什么会出现在这个问题里呢？好问题！因为有些面积计算需要用到二次方程来解决。
2.2 为什么用一元二次方程？一元二次方程，看起来有点复杂，但其实就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程。
它能帮我们解决一些涉及面积的实际问题，比如说，计算一个长方形的面积，特别是当这个长方形的边长变化时，就需要用到这样的方程了。
3. 实际例子：如何应用一元二次方程解决面积问题。
3.1 示例一：草坪面积假设你想在家里的花园里铺草坪，花园的长度是 ( x ) 米，宽度比长度少 5 米。
那么，花园的宽度就是 ( x 5 ) 米。
你知道草坪的面积是 84 平方米。
我们可以用一元二次方程来找出长度和宽度。
首先，面积 ( A ) = 长度 ( times ) 宽度。
根据题意，有：[ A = x times (x 5) = 84 ]。
简化一下，得到方程：[ x^2 5x = 84 ]接着，把 84 移到方程的另一边：[ x^2 5x 84 = 0 ]现在咱们可以用因式分解法或者求根公式来解这个方程。
因式分解的话，我们可以得到：[ (x 9)(x + 4) = 0 ]。
从中可以得到 ( x = 9 ) 或 ( x = 4 )。
因为长度不能是负数，所以我们取 ( x = 9 ) 米。
这样，花园的宽度就是 ( 9 5 = 4 ) 米。
3.2 示例二：墙面装饰再来一个例子，假如你要装饰一面墙，墙的高度比宽度多 2 米，装饰的总面积是60 平方米。
利用一元二次方程解决面积问题
如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点
P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点
Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，如果
P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形
APQCD的面积为64cm？
P
B
A
Q
D
C
课堂小结
审题
设未知数
利用一元二次方程解 决实际问题的步骤
宽都相等. 问题：你能帮小颖计算一下图中x吗？
16m 解：设小路的宽为 xm, 根据题意得：
xm
12m
即 x2 - 28x + 96 = 0.
解方程得 x1 = 4 , x2 = 24,
xm
将x =24 代入方程中不符合题意舍去
答：小路的宽为4m.
例2：如图所示,某幼儿园有一道长为16m的墙,计划 用32m长的围栏靠墙围成一个面积为120m2的矩形草 坪ABCD,求该矩形草坪BC边的长.
12m
小明设计：
如右图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通
过解方程, 得到小路的宽为2m或12m.
你觉得他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？
解：设小路的宽为 xm, 根据题意得：
16m x
x
12m
即 x2 - 14x + 24 = 0. 解方程得 x1 = 2 , x2 = 12. 将x =12 代入方程中不符合题意舍去. 答：小路的宽为2m.
16m
A
D
草坪
B
C
快乐学习
几何与方程
如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三 条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面 积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽？
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一元二次方程面积问题
例1：将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）
（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.
（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.
以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.
分析：（1）设出小路的宽度为x米，表示出两条小路的面积，而小路的面积为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可；
（2）设出扇形的半径为y米，则四个扇形的面积和恰好等于一个圆的面积，而四个扇形的面积和为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可．:
解答：解：（1）设小路的宽度为x米，根据题意列方程得，
18x+15x-x2=18×15×13，
解得x
1=3，x
2
=30（不合题意，舍去）；
答：图①中小路的宽为3米．
（2）设扇形的半径为y米，根据题意列方程得，
πy2=18×15×13，
解得y1≈5.4，y2≈-5.4（不合题意，舍去）；
答：扇形的半径约为5.4米．
点评：此题主要考查长方形和扇形面积的计算方法，解答时注意题目中蕴含的数量关系
例2：如图1—1所示，某小区规划在一个长为40m，宽为26m的矩矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都是144㎡，则道路的宽是多少米?
分析：（1）设路的宽为x m，那么道路所在的面积（40x＋26x×2－2x2）㎡，于是六块草坪的面积为[40×26－（40x＋26x×2－2x2）]㎡，根据题意，得40×26－（40x＋26x×2－2x2）=144×6
（2）将图1—1所示中的三条道路分别向上和向左、向右平移图1—2的位置，若设宽为x m，则草坪的总面积为（40－2x）（26－x）㎡所列方程为（40－2x）（26－x）=144×6
解法1：设道路的宽为x m，则根据题意，得40×26－（40x＋26x×2－2x2）=144×6整理，得x2－46x＋88=0，解得x1=44（舍去），x2=2
解法2：设道路的宽为x m，则根据题意，得（40－2x）（26－x）=144×6 解得，x
1
=44（舍去），x
2
=2 答：略
练习
1、如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使
得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，所截去的小正方形的边长是多少。
2、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购买这张铁皮共花了是多少元钱
3、如图，在宽为20m ，长为30m ，的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余分作为耕地为551㎡。
则道路的宽为是。
4、如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为．
5、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m）另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m2吗？
（2）鸡场的面积能达到250m2吗？
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
6、在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题：
（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．
7、如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为米．
8、在一块长16cm、宽12cm的长方形荒地上，要建造一个花园并使所占面积为荒地面积的一半，小明的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度都相等，请帮小明计算一下小路的宽是多少米？
9、如图，在长为32m，宽为20m的矩形地面上修建同样宽度的道路（图中阴影部分），余下的部分种植草坪，要使草坪的面积为540m2,求道路的宽？。