一元二次方程(面积问题)
九年级数学一元二次方程面积问题
九年级数学一元二次方程面积问题哎，大家好！今天咱们来聊聊九年级数学里的一个有趣的题目——一元二次方程在面积问题中的应用。
听起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢讲，弄清楚了，你会发现这不比做家务复杂，绝对能搞定！1. 什么是一元二次方程？首先，我们得搞明白什么是一元二次方程。
别被这个名字吓着，其实它就是一种特殊的方程。
公式长这样：[ ax^2 + bx + c = 0 ]。
其中，( x ) 是未知数，( a )、( b )、( c ) 是常数。
简单来说，这就是一个二次方程，它的最高次数是二。
2. 面积问题的背景好了，咱们知道了什么是一元二次方程，接下来就是面积问题了。
要是你有点头绪，那就太棒了，因为很多数学问题都和实际生活中的问题有关呢！2.1 一道经典题目设想一下，你家有一个小花园，长方形的，长度是 ( x ) 米，宽度是 ( x + 2 ) 米。
现在你发现这个花园的面积是 60 平方米。
你需要找出这个花园的长度和宽度。
听着是不是有点儿挑战？别急，咱们一起来解决它！2.2 设立方程首先，根据面积公式，长方形的面积是长乘宽。
所以我们可以得到一个方程：[ x times (x + 2) = 60 ]。
把这个方程展开来，咱们就得到了：[ x^2 + 2x = 60 ]然后，把方程整理成标准的一元二次方程形式：[ x^2 + 2x 60 = 0 ]。
这下，咱们就有了一个典型的二次方程，可以用不同的方法来解它。
3. 解方程的技巧3.1 因式分解法最简单的方法就是因式分解。
我们要找两个数，它们的乘积是 60，和是 2。
这两个数是 10 和 6。
所以，我们可以把方程分解成：[ (x + 10)(x 6) = 0 ]。
这样，解这个方程就非常简单了。
我们得到两个解：[ x + 10 = 0 quad text{或者} quad x 6 = 0 ]。
也就是：[ x = 10 quad text{或} quad x = 6 ]。
一元二次方程面积问题
一元二次方程面积问题例1：将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.分析：（1）设出小路的宽度为x米，表示出两条小路的面积，而小路的面积为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可；（2）设出扇形的半径为y米，则四个扇形的面积和恰好等于一个圆的面积，而四个扇形的面积和为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可．:解答：解：（1）设小路的宽度为x米，根据题意列方程得，18x+15x-x2=18×15×13，解得x1=3，x2=30（不合题意，舍去）；答：图①中小路的宽为3米．（2）设扇形的半径为y米，根据题意列方程得，πy2=18×15×13，解得y1≈5.4，y2≈-5.4（不合题意，舍去）；答：扇形的半径约为5.4米．点评：此题主要考查长方形和扇形面积的计算方法，解答时注意题目中蕴含的数量关系例2：如图1—1所示，某小区规划在一个长为40m，宽为26m的矩矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都是144㎡，则道路的宽是多少米?分析：（1）设路的宽为x m，那么道路所在的面积（40x＋26x×2－2x2）㎡，于是六块草坪的面积为[40×26－（40x＋26x×2－2x2）]㎡，根据题意，得40×26－（40x＋26x×2－2x2）=144×6（2）将图1—1所示中的三条道路分别向上和向左、向右平移图1—2的位置，若设宽为x m，则草坪的总面积为（40－2x）（26－x）㎡所列方程为（40－2x）（26－x）=144×6解法1：设道路的宽为x m，则根据题意，得40×26－（40x＋26x×2－2x2）=144×6整理，得x2－46x＋88=0，解得x1=44（舍去），x2=2解法2：设道路的宽为x m，则根据题意，得（40－2x）（26－x）=144×6 解得，x1=44（舍去），x2=2 答：略练习1、如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，所截去的小正方形的边长是多少。
一元二次方程解决面积问题
一元二次方程解决面积问题面积问题在数学中广泛存在，而解决这类问题时，一元二次方程是一个重要的工具。
一元二次方程是一个带有一个未知数的二次方程，通常写作ax² + bx + c = 0，其中a、b和c是已知常数，且a不等于0。
当涉及到面积问题时，我们可以利用一元二次方程来求解。
例如，考虑一个长方形的问题：给定长方形的宽度x，其长度为（3x + 4）。
我们希望求解这个长方形的面积。
首先，我们需要确定长方形的面积公式。
长方形的面积等于长度乘以宽度，即A = x(3x + 4)。
然后，我们将这个面积公式转化为一个一元二次方程。
展开表达式，我们得到A = 3x² + 4x。
现在，我们要解决的问题是找到一个x的值，使得面积A达到最大或最小。
我们可以利用一元二次方程的特性来求解这个问题。
一元二次方程的图像是一个抛物线，对于正系数a，抛物线开口向上。
因此，当a大于0时，抛物线的最小值出现在顶点处。
通过求解一元二次方程的顶点，我们可以找到长方形的最大或最小面积。
一元二次方程的顶点的x坐标由公式x = -b/2a给出。
对于我们的长方形问题，a = 3，b= 4，所以x = -4/(2*3)。
计算得出x = -2/3。
将这个值代入原方程，我们可以计算出面积A的最小值或最大值。
这样，我们就可以通过求解一元二次方程来解决长方形的面积问题。
一元二次方程在解决面积问题以及其他数学问题中具有广泛的应用。
通过灵活运用一元二次方程的特性，我们能够解决各种各样的面积问题。
12.解一元二次方程的实际应用——面积问题
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试
x
35－2x 当x=7.5时，35-2x=20＞18，因此不合题意，舍去；
当x=10时，35-2x=15. 答：鸡场的长、宽分别为15米、10米.
例2 某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地四周修
筑等宽的道路,中间的矩形部分作草坪, 若草坪的面积为540米2，求图中道路 的宽是多少? x x 32－2x 20－2x x x 解：设草坪四周道路的宽为x米， 则草坪的长为(32－2x)米，宽为(20－2x)米.
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分
英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出
一元二次方程——面积问题
面积问题：1、如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,求甬路的宽度?2、如图所示，要建一个面积为150m2的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为a m,另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m.(1)求鸡场的长与宽各为多少米?(2)题中的墙长度a m对题目的解起着怎样的作用?3、如图、AD是⊿ABC的高，点G,H在BC边上,点E在AB边上,点F在AC边上,BC=10cm,AD=8cm四边形EFHG是面积为15CM的矩形求矩形的长和宽。
4、在一个长为５０米，宽为３０米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的７５％，等宽且互相垂直的两条路的面积占２５％，求路的宽度。
5、等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多４cm，下底比高多20cm，求这个等腰梯形的高。
6、有一张长为80cm，宽为60cm的薄钢片，在4个角上截去相同的4个边长为的小正方形，然后做成底面积为1500cm3 无盖的长方体盒子。
求截去小正方形的边长。
7.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m²的三级污水处理池(平面图如图)。
由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过60米。
如果外圈周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元（池壁的厚度忽略不计）。
（1）当三级污水处理的总造价为472000元时，求池长x；（2）如果规定总造价越低越合适，那么根据题目提供的信息，以47200元为总造价来修建三级污水处理池是否合算？请说明理由。
中考试题：1、如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？2.现有一块矩形场地，如图12所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：．兰花；．菊花；．月季；．牵牛花．求出这块场地中种植菊花的面积与场地的长之间的函数关系式；并写出自为量的取值范围．。
一元二次方程应用题面积问题
一元二次方程应用题面积问题1. 引言：面积问题的迷人世界大家好！今天咱们聊聊一元二次方程中的面积问题。
别急着皱眉头，这个话题其实特别贴近咱们的生活，学会了，能让你在解答一些日常问题时得心应手。
比如说，买草坪、规划花园、甚至是设计墙面装饰，这些都能用到哦！2. 面积问题的基础：概念简述2.1 什么是面积问题？说白了，面积问题就是要求你计算一个区域的大小。
在几何中，咱们经常需要找出矩形、三角形或者其他形状的面积。
那一元二次方程为什么会出现在这个问题里呢？好问题！因为有些面积计算需要用到二次方程来解决。
2.2 为什么用一元二次方程？一元二次方程，看起来有点复杂，但其实就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程。
它能帮我们解决一些涉及面积的实际问题，比如说，计算一个长方形的面积，特别是当这个长方形的边长变化时，就需要用到这样的方程了。
3. 实际例子：如何应用一元二次方程解决面积问题。
3.1 示例一：草坪面积假设你想在家里的花园里铺草坪，花园的长度是 ( x ) 米，宽度比长度少 5 米。
那么，花园的宽度就是 ( x 5 ) 米。
你知道草坪的面积是 84 平方米。
我们可以用一元二次方程来找出长度和宽度。
首先，面积 ( A ) = 长度 ( times ) 宽度。
根据题意，有：[ A = x times (x 5) = 84 ]。
简化一下，得到方程：[ x^2 5x = 84 ]接着，把 84 移到方程的另一边：[ x^2 5x 84 = 0 ]现在咱们可以用因式分解法或者求根公式来解这个方程。
因式分解的话，我们可以得到：[ (x 9)(x + 4) = 0 ]。
从中可以得到 ( x = 9 ) 或 ( x = 4 )。
因为长度不能是负数，所以我们取 ( x = 9 ) 米。
这样，花园的宽度就是 ( 9 5 = 4 ) 米。
3.2 示例二：墙面装饰再来一个例子，假如你要装饰一面墙，墙的高度比宽度多 2 米，装饰的总面积是60 平方米。
一元二次方程面积问题
使用图形解释一元二次方程与 面积的关系
通过绘制图形并演示一元二次方程与图形的面积之间的关系，我们将帮助您 更好地理解这一概念。
总结与展望
在本次演讲中，我们概述了一元二次方程与面积问题的关联，并展望了进一 步学习和应用这一概念的可能性。
求解一元二次方程的方法
我们将详细讨论解决一元二次方程的不同方法，并解释每种方法的优缺点。
如何利用一元二次方程解决面积问题
我们将展示如何将一元二次方程应用于不同类型的面积问题，并提供实用的技巧和策略。
实际应用案例分析
通过分析真实世界中的面积问题，我们将展示一元二次方程在解决实际应用 中的重要性和价值。
一元二次方程面积问题
欢迎来到本次演讲，我们将探讨一元二次方程与面积之间的关系，并解决一 些有趣的面积问题。
问题引入
通过引入一个刺激和实际的面积问题，我们将向您展示一元二次方程的重要 性，以及如何将其应用于现实生活中的计算。
一元二次方程的Biblioteka 义和一般形 式我们将介绍一元二次方程的基本定义和形式，使您能够理解解决问题所需的 基本方程。
一元二次方程应用题(面积问题)课件
了解一元二次方程及其应用的基本概念。
二次方程及其应用
面积与周长
探讨形状的面积和周长的基本概 念。
实际问题中的面积
通过实际例子了解如何使用一元 二次方程来解决面积问题。
二次方程的图形表示
通过图形表示来直观地理解二次 方程。
解一元二次方程
1
使用二次公式
掌握使用二次公式来解一元二次方程的方法。
抛物线的实际应用
1 顶点的解释
通过顶点的解释来理解抛 物线在实际中的含义。
2 影响抛物线形状的因
素
研究影响抛物线形状的因 素，如系数和平移。
3 点与抛物线程的关
系
通过三个点的坐标导出抛 物线的方程。
最大和最小值
微积分的应用
使用微积分来找到抛物线的最大 和最小值。
解决实际问题
通过抛物线的最大和最小值解决 实际问题，如优化生产成本。
业务中的应用
探讨一元二次方程在业务决策中 的实际应用。
总结与复习
回顾重要概念，总结一元二次方程应用的关键知识。
2
使用因式分解
了解如何使用因式分解来解决一元二次方程。
3
将问题转化为方程
学会将文字问题转化为一元二次方程，从而解决实际问题。
优化问题的解
找到最佳尺寸
了解如何通过一元二次方程找 到最优解，例如最大或最小的 面积。
应用于建筑与工程
探讨一元二次方程在建筑与工 程中的实际应用。
应用于业务领域
了解一元二次方程在业务问题 中的应用，如成本最小化或利 润最大化。
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用适当的方法解下列方程
(16 2x)(12 2x) 96
北师大版九年级上册第二章
2.2 一元二次方 程应用（面积）
1、利用解方程的方法解决实际问题， 2、能根据具体问题的实际意义检验结果的
合理性．
分组分享一：合作探究
请同学们先独立思考，然后小组讨论，看哪 个小组设计的方案最多？ 在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一 个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半. (注：只需画出你的设计意图即可）
∵x为扇形的半径不能为负数，
∴x=-5.5不符合题意故舍去
方案如图所示.其中花园是两条互相垂 直的且宽度相等小路. 你能通过解方程,帮她得到小路的宽x吗?
16m
xm
12m xm
分组分享二：新知理解
请同学们先独立思考完成，然后小组交流展示， 看哪个小组理解最好。
14(1 a) a2 1(14 a)
D
18
2
2
2
解得：a1=3，a2=12
本节课我们主要学习了什么知识和方法? 作业:P57第9题;第11题
答 :小路的宽为2m.
12m
新知归纳：方案二
12m xm
小亮的设计方案如图所示.其中花园每个
角上的扇形都相同.你能通过解方程,帮他
得到扇形的半径xm吗?
解 : 设扇形的半径为xm, 根据题意得
16m
x2 16 12 .
2
整理，得 x2 96.
解这个方程, 得
x1
96 5.5
x2
96 5.5
1.课本P44习题2.6第1题、第2题、第3题（在课 本上直接完成）
能力提升
如图，由点P（14,1）,A（a,o）,B（0,a）(a>0) 确定的三角形PAB的面积为18，求a的值。
解：过点P作PD⊥x轴于点D， ∵P（14，1），A（a，0），
B（0，a）， ∴PD=1，OD=14，OA=a，OB=a， ∴S△PAB=S梯形OBPD－S△OAB－ S△ADP
16m
你能给出设计方 案吗?
12m
新知归纳：方案一
小明的设计方案如图所示.其中花园四周小 路的宽都相等.你能通过列方程,帮他得到小 路的宽吗?
解: 设小路的宽为xm,根据题意得 16m 16 2x12 2x 1612 . 2 即x2 14x 24 0. 解这个方程, 得 x1 2, x2 12