用一元二次方程解决图形的面积问题

24.4一元二次方程的应用

教材：冀教版

年级：九年级

单位：遵化市新店子镇中学

姓名：果秋红

24.4一元二次方程的应用

——面积问题

教材分析：

列一元二次方程解应用题是历年来考查的热点，经常与经济有关，有时与函数相结合，综合性较强，题型以解答题为主。一元二次方程的应用主要有三大类型：面积问题、增长率问题和利润问题，其中面积问题相对简单些，本节课讲解一元二次方程的应用之面积问题。

学情分析：

学生已经学习过一元一次方程的应用，也会表示图形的面积、解一元二次方程，所以学生对列方程解应用题并不陌生。但是学生对于如何找出等量关系列方程还是弱点，所以引导学生找出题中的等量关系是本节课的主线。教法：

本节课采用以导学案为主线，小组合作交流、赋分评比的模式讲授，在内容展开上，让学生根据自己已有的经验，先自主探究，在独立思考的基础上再小组交流，让学生充分体会一元二次方程的建模过程。

学法：

小组合作探究，其中既有小组成员之间的合作，又有小组之间的竞争。最大限度的调动学生学习的积极性，培养学生学习数学的兴趣。

教学目标：

1、知识与技能：

会根据实际面积问题中的数量关系列一元二次方程解应用题,能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

2、过程与方法：

经历探索列一元二次方程解面积应用题的过程,体验通过移动变化分析面积问题的方法。

3、情感态度与价值观：

让学生体会一元二次方程是刻画现实世界一个有效的数学模型，感悟数学来源于生活，服务于生活；同时培养学生自我探索的兴趣和能力。

教学重点:运用一元二次方程探索和解决面积问题。

教学难点：面积问题中的等量分析。

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图（一）基础回顾

1、一根20m长的铁丝围成一个矩形，若一边长为2m，则另一边长为______m ,所围成的矩形的面积为______平方米，若设一边长是x m，，则另一边长为______m ,若围成的矩形的面积为24 平方米，则所得的方程是_______________ ，x 的值是______。课前两分钟

教师巡视检

查导学案第

一部分复习

回顾，并给予

适当的指导。

正副小组长检查组

员完成情况，并帮

助做错的同学解

答。全对的小组加

5分。

复习回顾上

节课的知

识，检查学

生的掌握情

况，通过小

组长解决学

困生的问

题。

（二）引入新知

导学案问题

1、一个三角形的一边长为 x-4 ,这条边上的高为2x+1 ,面积为11,求x的值。

2、已知一个直角三角形两直角边的和为12，斜边长是10，求这个直角三角形两直角边的长。引导学生回

忆解答一元

一次方程的

步骤，进而总

结出解答一

元二次的步

骤。强调指

出:在列一元

二次方程解

应用题时，由

于所得的根

一般有两个，

所以要检验

这两个根是

否符合实际

问题的要求．

小组认真读题，并

派出代表讲解，组

长讲解加2分，组

员讲解加3分。小

组交流总结解答一

元二次方程的步

骤：1审2设3找

等量关系4列5解

6检验（不合题意

的根舍去）7答。

学生自己上

台讲解，使

学生更深刻

的理解问

题，培养学

生团结合作

的精神，不

同的奖励制

度激发中等

生的学习热

情。

（三）自主探究 例1：如图，某学校内墙边的空地上修建一个长方形的存车库，存车处的一面靠墙（墙长22m ），另外三面用90m 长的铁栅栏围起来。如果这个存车处的面积为700㎡，求这个长方形存车处的长和宽。

提示：按照解一元一次方程的应用的解题步骤？关键是什么？

回忆解决一元一次方程的应用的步骤，关键是找出等量关系，本道题的等量关系是存车处的面积为700㎡，即长×宽=700。若设宽为x,则长为___________ ,列方程___________.

通过学生亲

自探索列一元二次方程面积问题分析并找出其中的等量关系，列方程、解方程、检验作答。既能得出列一元二次方程解应用题的一般步骤又为接下来的教学埋下了伏笔，又能激发学生自我探究的兴趣。

（四）巩固提升 1、学校生物小组有一块长32m ，宽20m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向横、纵各开辟一条等宽的小道。要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？

2、一题多变

变式1：当两条道路不垂直时，横向的道路不变，纵向的道路变成了平行四边形，且平行四边形的较短边长与原 教师巡视指导并在幻灯片中演示将小路平移左边和底端，并引导学生分析哪种方法更简单。

教师引导学生回忆平行四边形的面积，宽度一样的平行四边形与原长方小组交流讨论得出两种方法，设小路的宽为x,找出等量关系：种植面积=540方法一：长方形的面积-小路的面积=540，列方程32*20-20x -30x +2x =540

方法二：找出总种植区的长与宽，即长为（32-2x ）,宽为（20-x ）,进而列方程, （32-2x ）（20-x ）=540

学生举手回答平行四边形的面积=底×高，并分析得出平行四边形的面积=原长方形的面积。 引导学生积

极分析题中的已知与未知，探究得出“图形存在等量关系”，矩形试验田的面积-道路面积=

种植面积,

既培养了学生发现问题的能力，又为学生列方程提供了解决的途径。

一题多变，

使学生学会解决这一类的问题，形成系统的思维。