用一元二次方程解决图形的面积问题
一元二次方程解决面积问题
一元二次方程解决面积问题面积问题在数学中广泛存在，而解决这类问题时，一元二次方程是一个重要的工具。
一元二次方程是一个带有一个未知数的二次方程，通常写作ax² + bx + c = 0，其中a、b和c是已知常数，且a不等于0。
当涉及到面积问题时，我们可以利用一元二次方程来求解。
例如，考虑一个长方形的问题：给定长方形的宽度x，其长度为（3x + 4）。
我们希望求解这个长方形的面积。
首先，我们需要确定长方形的面积公式。
长方形的面积等于长度乘以宽度，即A = x(3x + 4)。
然后，我们将这个面积公式转化为一个一元二次方程。
展开表达式，我们得到A = 3x² + 4x。
现在，我们要解决的问题是找到一个x的值，使得面积A达到最大或最小。
我们可以利用一元二次方程的特性来求解这个问题。
一元二次方程的图像是一个抛物线，对于正系数a，抛物线开口向上。
因此，当a大于0时，抛物线的最小值出现在顶点处。
通过求解一元二次方程的顶点，我们可以找到长方形的最大或最小面积。
一元二次方程的顶点的x坐标由公式x = -b/2a给出。
对于我们的长方形问题，a = 3，b= 4，所以x = -4/(2*3)。
计算得出x = -2/3。
将这个值代入原方程，我们可以计算出面积A的最小值或最大值。
这样，我们就可以通过求解一元二次方程来解决长方形的面积问题。
一元二次方程在解决面积问题以及其他数学问题中具有广泛的应用。
通过灵活运用一元二次方程的特性，我们能够解决各种各样的面积问题。
构造一元二次方程解决图形面积问题
构造一元二次方程解决图形面积问题天津 张琪列一元二方程解决面积问题是一元二次方程的实际应用中一个重点，也是中考的一个热点. 解题的关键是结合图形列出一元二次方程，从而解决问题.【课本原题】如图1，在一块长92 m 、宽60 m 的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为855的6个矩形小块，水渠应挖多宽？（北师大九年级上册教材P57复习题第15题）思路分析：设水渠的宽度为x m ，借助平移将水平的水渠移到矩形的上面，竖直的两条水渠平移到矩形的右边（如图2），可得空白部分为一个矩形，面积为6个原矩形小块的面积和，据此列方程求解.解答展示：设水渠的宽度为x m.根据题意，得（92-2x ）（60-x ）=885×6.解得x 1=105（不合题意，舍去），x 2=1.答：水渠的宽度为1 m.方法领悟：有些图形中涉及的基本图形比较分散，我们可以通过适当地平移将图形进行转化，可以方便我们求解． 变式1（2017•凉州区）如图3，某小区计划在一块长为32 m ，宽为20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m 2．若设道路的宽为x m ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．（32-2x ）（20-x ）=570B ．32x+2×20x=32×20-570C ．（32-x ）（20-x ）=32×20-570D ．32x+2×20x-2x 2=570 解析：仿照上面的课本原题，通过平移后可知草坪的长为（32-2x ），宽为（20-x ），进而可知答案为A..变式2 如图4，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的41，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的61，求道路的宽． 解析：如图5，利用平移把不规则的图形转化为规则图形.设道路的宽为x 米，则AE =CH =x 米，EF =（20-4x ）米，HG =（12-4x ）米.根据题意，得x （12-4x ）+x （20-4x ）+16x2=16×20×12. 整理，得x 2+4x -5=0.解得x 1=l ，x 2=-5（舍去）．答：道路的宽为1米． 图5 FG H M E 图4。
一元二次方程解决几何问题
一元二次方程解决几何问题
一元二次方程是一种形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是实数，而x是未知数。
它可以用于解决许多几何问题，如以下几个例子：
1. 高度和时间问题：假设一颗物体从一个高度h开始自由下落，利用物体的自由落体运动公式可以得到一个关于时间t的二次方程，通过解方程可以确定物体落地的时间点。
2. 路程和时间问题：假设一个物体以某个速度v在直线上运动，利用物体的匀速运动公式可以得到一个关于时间t的一次方程，通过解方程可以确定物体达到某个距离的时间点。
3. 面积问题：对于某些几何图形，如矩形、正方形和圆等，可以通过设定面积为某个值的条件，建立相应的二次方程来求解图形的尺寸。
这只是一些常见的例子，实际上，一元二次方程在几何问题中具有广泛的应用。
24.4.1运用一元二次方程解决图形面积问题
利用一元二次方程解决图形问题
【例1】如图，某学校要在校园内墙边
的空地上建一个矩形的存车处，存车 处的一面靠墙（墙长22米），另外三 面用90米长的铁栅栏围起来．如果这 个存车处的面积为700平方米．求这 个矩形存车处的长和宽．
举一反三训练
1.〈2015，保定模拟〉在Rt△ABC中，∠B为直角，AB ＝6 cm，BC＝12 cm，动点P以每秒1 cm的速度匀速 自A点沿AB方向移动，同时点Q以每秒2 cm匀速自B 点沿BC方向移动，则( C )秒后△PQB的面积等于
员？
(1)设增长率为x， 根据题意，得10×(1＋x)2＝12.1，
解这个方程，得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(舍去)．
答：月平均增长率为10%. (2)6月份的投递任务为：12.1×(1＋0.1)＝13.31 (万件)． ∵13.31÷0.6≈22.18(名)，
∴现有的21名快递投递业务员不能完成任务，至少需
利润 ×100% 进价（或成本）
折扣数 ＝折扣后价格，如原价1 000元，打5.5折，现价550元． 10
谢谢
本题(2)属于典型的增长率问题，这类问题的等量关系 均为：原量×(1＋增长率)增长次数＝增加后的量，或原量
×(1－减少率)减少次数＝减少后的量．
举一反三训练
2．〈2015，湖南长沙〉现代互联网技术的广泛应用，催 生了快递行业的高速发展．据调查，长沙市某家小型 “大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月 份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件． 现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； (2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公 司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快 递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
解题思路
假设长方形的长为l，宽为w， 通过列方程建立方程组，然后 求解得出面积。
解答与解析
通过解方程组，得出长方形的 长、宽和面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
实例3 ：三角形面积问题
问题提出
已知直角三角形的斜边长度为c， 某一直角边的长度为a，求三角形 的面积。
解题思路
根据已知条件，利用勾股定理和三 角形面积公式建立方程，然后求解 得出面积。
一元二次方程应用题(几 何图形面积问题)
本演示将介绍一元二次方程的应用，特别是在解决几何图形面积问题时的应 用。通过精彩的实例和深入的讲解，帮助你全面理解和掌握这一知识点。
一元二次方程介绍
简要介绍一元二次方程的概念、形式和解法方法，以及元二次方程解决几何图形的面积问题，通过代入、求解方程， 计算各种图形的面积。
解答与解析
通过解方程和应用三角形面积公式， 得出三角形的面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
总结与实践建议
总结一元二次方程在解决几何图形面积问题中的应用要点，并提供一些建议和实践步骤，以帮助你更好地掌握这一 知识。
实例1：正方形面积问题
1
问题提出
给定正方形的对角线长度为d，求正方形的面积。
2
解题思路
假设正方形的边长为x，利用勾股定理建立方程，然后求解得出面积。
3
解答与解析
通过解方程，得出正方形的边长和面积的具体数值，详细解析计算过程和答案。
实例2 ：长方形面积问题
问题提出
已知长方形的周长为P，求长方 形的面积。
12.解一元二次方程的实际应用——面积问题
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试
x
35－2x 当x=7.5时，35-2x=20＞18，因此不合题意，舍去；
当x=10时，35-2x=15. 答：鸡场的长、宽分别为15米、10米.
例2 某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地四周修
筑等宽的道路,中间的矩形部分作草坪, 若草坪的面积为540米2，求图中道路 的宽是多少? x x 32－2x 20－2x x x 解：设草坪四周道路的宽为x米， 则草坪的长为(32－2x)米，宽为(20－2x)米.
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分
英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出
一元二次方程应用题面积问题
一元二次方程应用题面积问题1. 引言：面积问题的迷人世界大家好！今天咱们聊聊一元二次方程中的面积问题。
别急着皱眉头，这个话题其实特别贴近咱们的生活，学会了，能让你在解答一些日常问题时得心应手。
比如说，买草坪、规划花园、甚至是设计墙面装饰，这些都能用到哦！2. 面积问题的基础：概念简述2.1 什么是面积问题？说白了，面积问题就是要求你计算一个区域的大小。
在几何中，咱们经常需要找出矩形、三角形或者其他形状的面积。
那一元二次方程为什么会出现在这个问题里呢？好问题！因为有些面积计算需要用到二次方程来解决。
2.2 为什么用一元二次方程？一元二次方程，看起来有点复杂，但其实就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程。
它能帮我们解决一些涉及面积的实际问题，比如说，计算一个长方形的面积，特别是当这个长方形的边长变化时，就需要用到这样的方程了。
3. 实际例子：如何应用一元二次方程解决面积问题。
3.1 示例一：草坪面积假设你想在家里的花园里铺草坪，花园的长度是 ( x ) 米，宽度比长度少 5 米。
那么，花园的宽度就是 ( x 5 ) 米。
你知道草坪的面积是 84 平方米。
我们可以用一元二次方程来找出长度和宽度。
首先，面积 ( A ) = 长度 ( times ) 宽度。
根据题意，有：[ A = x times (x 5) = 84 ]。
简化一下，得到方程：[ x^2 5x = 84 ]接着，把 84 移到方程的另一边：[ x^2 5x 84 = 0 ]现在咱们可以用因式分解法或者求根公式来解这个方程。
因式分解的话，我们可以得到：[ (x 9)(x + 4) = 0 ]。
从中可以得到 ( x = 9 ) 或 ( x = 4 )。
因为长度不能是负数，所以我们取 ( x = 9 ) 米。
这样，花园的宽度就是 ( 9 5 = 4 ) 米。
3.2 示例二：墙面装饰再来一个例子，假如你要装饰一面墙，墙的高度比宽度多 2 米，装饰的总面积是60 平方米。
利用一元二次方程解决面积问题教案
利用一元二次方程解决面积问题教案1．能够建立一元二次方程模型解决有关面积的问题；(重点、难点)2．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．(难点)一、情景导入如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m 2，道路的宽为多少？二、合作探究探究点：利用一元二次方程解决面积问题如图所示，某幼儿园有一道长为16m 的墙，计划用32m 长的围栏靠墙围成一个面积为120m 2的矩形草坪ABCD ，求该矩形草坪BC 边的长．解析：若设BC 长为x m ，则宽AB 可表示为32－x 2m ，由矩形的面积公式“面积＝长×宽”可列方程求解．解：设矩形草坪BC 边的长为x m ，则宽AB 为32－x 2m. 根据题意，得x ·32－x 2＝120. 解得x 1＝12，x 2＝20.又由题意知BC ≤16，∴x ＝20不符合题意，应该舍去．∴该矩形草坪BC 边的长为12m.方法总结：(1)结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题时的关键；(2)注意检验一元二次方程的根是否符合题意．将一条长20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．解析：做成的是两个正方形，且已知两个正方形的面积之和，只需设出正方形的边长或用未知数表示出边长，列方程解答即可．解：设一个正方形的周长为x cm ，则另一个正方形的周长为(20－x )cm.(1)由题意可列方程(x 4)2＋(20－x 4)2＝17.解此方程，得x 1＝16，x 2＝4. 所以两段铁丝的长度分别为16cm 和4cm ；(2)由题意可列方程(x 4)2＋(20－x 4)2＝12， 此方程化为一般形式为x 2－20x ＋104＝0.∵b 2－4ac ＝(－20)2－4×1×104＝－16<0，∴此方程无解．∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm 2.方法总结：对于生活中的应用题，首先要全面理解题意，然后根据实际问题的要求，确定用哪些数学知识和方法解决，如本题用方程思想和一元二次方程的根的判定方法来解决．三、板书设计列一元二次方程解应用题的一般步骤可以归结为“审，设，列，解，检，答”六个步骤：(1)审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系；(2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；(3)列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即可得到方程；(4)解：求出所列方程的解；(5)检：检验方程的解是否正确，是否保证实际问题有意义；(6)答：根据题意，选择合理的答案．经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．通过学生创设解决问题的方案，增强学生的数学应用意识和能力.利用一元二次方程解决面积问题教案教学目标1、体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法2、会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力知识准备无盖的长方体是如何制作的？教学内容：一、情境创设一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5㎝，容积是500㎝3的无盖长方体容器。
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24.4一元二次方程的应用
教材：冀教版
年级：九年级
单位：遵化市新店子镇中学
姓名：果秋红
24.4一元二次方程的应用
——面积问题
教材分析：
列一元二次方程解应用题是历年来考查的热点，经常与经济有关，有时与函数相结合，综合性较强，题型以解答题为主。
一元二次方程的应用主要有三大类型：面积问题、增长率问题和利润问题，其中面积问题相对简单些，本节课讲解一元二次方程的应用之面积问题。
学情分析：
学生已经学习过一元一次方程的应用，也会表示图形的面积、解一元二次方程，所以学生对列方程解应用题并不陌生。
但是学生对于如何找出等量关系列方程还是弱点，所以引导学生找出题中的等量关系是本节课的主线。
教法：
本节课采用以导学案为主线，小组合作交流、赋分评比的模式讲授，在内容展开上，让学生根据自己已有的经验，先自主探究，在独立思考的基础上再小组交流，让学生充分体会一元二次方程的建模过程。
学法：
小组合作探究，其中既有小组成员之间的合作，又有小组之间的竞争。
最大限度的调动学生学习的积极性，培养学生学习数学的兴趣。
教学目标：
1、知识与技能：
会根据实际面积问题中的数量关系列一元二次方程解应用题,能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
2、过程与方法：
经历探索列一元二次方程解面积应用题的过程,体验通过移动变化分析面积问题的方法。
3、情感态度与价值观：
让学生体会一元二次方程是刻画现实世界一个有效的数学模型，感悟数学来源于生活，服务于生活；同时培养学生自我探索的兴趣和能力。
教学重点:运用一元二次方程探索和解决面积问题。
教学难点：面积问题中的等量分析。
教学过程
教学环节教师活动学生活动设计意图（一）基础回顾
1、一根20m长的铁丝围成一个矩形，若一边长为2m，则另一边长为______m ,所围成的矩形的面积为______平方米，若设一边长是x m，，则另一边长为______m ,若围成的矩形的面积为24 平方米，则所得的方程是_______________ ，x 的值是______。
课前两分钟
教师巡视检
查导学案第
一部分复习
回顾，并给予
适当的指导。
正副小组长检查组
员完成情况，并帮
助做错的同学解
答。
全对的小组加
5分。
复习回顾上
节课的知
识，检查学
生的掌握情
况，通过小
组长解决学
困生的问
题。
（二）引入新知
导学案问题
1、一个三角形的一边长为 x-4 ,这条边上的高为2x+1 ,面积为11,求x的值。
2、已知一个直角三角形两直角边的和为12，斜边长是10，求这个直角三角形两直角边的长。
引导学生回
忆解答一元
一次方程的
步骤，进而总
结出解答一
元二次的步
骤。
强调指
出:在列一元
二次方程解
应用题时，由
于所得的根
一般有两个，
所以要检验
这两个根是
否符合实际
问题的要求．
小组认真读题，并
派出代表讲解，组
长讲解加2分，组
员讲解加3分。
小
组交流总结解答一
元二次方程的步
骤：1审2设3找
等量关系4列5解
6检验（不合题意
的根舍去）7答。
学生自己上
台讲解，使
学生更深刻
的理解问
题，培养学
生团结合作
的精神，不
同的奖励制
度激发中等
生的学习热
情。
（三）自主探究 例1：如图，某学校内墙边的空地上修建一个长方形的存车库，存车处的一面靠墙（墙长22m ），另外三面用90m 长的铁栅栏围起来。
如果这个存车处的面积为700㎡，求这个长方形存车处的长和宽。
提示：按照解一元一次方程的应用的解题步骤？关键是什么？
回忆解决一元一次方程的应用的步骤，关键是找出等量关系，本道题的等量关系是存车处的面积为700㎡，即长×宽=700。
若设宽为x,则长为___________ ,列方程___________.
通过学生亲
自探索列一元二次方程面积问题分析并找出其中的等量关系，列方程、解方程、检验作答。
既能得出列一元二次方程解应用题的一般步骤又为接下来的教学埋下了伏笔，又能激发学生自我探究的兴趣。
（四）巩固提升 1、学校生物小组有一块长32m ，宽20m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向横、纵各开辟一条等宽的小道。
要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？
2、一题多变
变式1：当两条道路不垂直时，横向的道路不变，纵向的道路变成了平行四边形，且平行四边形的较短边长与原 教师巡视指导并在幻灯片中演示将小路平移左边和底端，并引导学生分析哪种方法更简单。
教师引导学生回忆平行四边形的面积，宽度一样的平行四边形与原长方小组交流讨论得出两种方法，设小路的宽为x,找出等量关系：种植面积=540方法一：长方形的面积-小路的面积=540，列方程32*20-20x -30x +2x =540
方法二：找出总种植区的长与宽，即长为（32-2x ）,宽为（20-x ）,进而列方程, （32-2x ）（20-x ）=540
学生举手回答平行四边形的面积=底×高，并分析得出平行四边形的面积=原长方形的面积。
引导学生积
极分析题中的已知与未知，探究得出“图形存在等量关系”，矩形试验田的面积-道路面积=
种植面积,
既培养了学生发现问题的能力，又为学生列方程提供了解决的途径。
一题多变，
使学生学会解决这一类的问题，形成系统的思维。
来的路宽相等。
求小路的宽是多少米？
变式2：拓展思维
要使种植面积不变，并且是一条横向道路，一条纵向道路，你可以设计出哪些美丽的道路呢？
形有哪些关系？
教师挑选优秀的图案展示给同学看，并展示自己准备的图案
小组交流讨论，并绘制优美的图案。
并受到启发，此题还可以做以上变形。
通过学生自
己动手操作，体会数学与现实生活的密切关系，感受数学美，一题多变，最大限度的调动学生学习的积极性，拓展学生思维，增加学生探索的广度和深度。