数学物理方法在物理中的应用

《数学物理方法在物理专业中的应用》

实践报告

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开课时间：2014-2015学年第 2 学期

数学物理方法在物理中的应用

数学不但能反映出已知事物的本质联系，而且能做出科学预见取得重大突破。现代物理的一切重大发现都与数学有着密不可分的联系。运用数学物理方法可以通过认识事物的量来认识事物的本质规律，所以数学物理方法对物理学的研究的重要性是不言而喻的。下面就通过举几个经典的例子来说明数学物理方法在物理学中的重要性。

例1电磁场中的数学物理方法

半径为a的无限长空心圆柱体，分成两半，互相绝缘，一半电势为，另一半为-，求柱体中的电势分布。

解：首先要把这个物理问题表达为定解问题。取空心圆柱的中心轴为z轴，对于“无限长”空心圆柱体，电场强度，电势与z轴无关，只需要研究空心圆柱体的横截面上的电势分布就可以了（如图所示）。

r

取二维极坐标，由于空间无电荷分布，故电势满足△u=0.于是定解问题为

设u(r,

)=R(r)(

)，代入方程得

经过化简可得，

其中为常数，可得两个常微分方程

②式与周期性边界条件

构成本征值问题

其本征值与本证函数分别为

把本征值代入方程③得 ,0'"r 22=-+R m rR R

这是欧拉方程，其解为

⎩⎨

⎧=+≠+=-.

0,ln D ,

0,)(R 0m r C m r D Cr r m m 这样分离变量形式的解为

,ln ),(u 000r D C r +=ϕ

.

,2,1),sin cos ()sin cos (),(u =+++=-m m D m C r m B m A r r m m m m m m m ϕϕϕϕϕ所有特解叠加得到通解

)

sin cos C （)sin cos A （ln ),(1

100ϕϕϕϕϕm D m r m B m r r D C r u m m m

m

m m m

m

++++

+=∑∑∞

=-∞

=又由自然边界条件可得，0

C ==m m

D ，再考虑到对称性

),(),(u ϕπϕ-=r u r 及)

--u(r,2)u(r,ϕπϕ=，可知0

00

==D C 且

0A 0=，因此有

∑∞

==

1

sin ）,（u m

m m m r B r ϕ

ϕ

代入边界条件 ⎩⎨

⎧≤≤-≤≤==,

2,,

0,)(),(u 00πϕππϕϕϕV V f a

可得 ⎰

⎪⎩⎪

⎨⎧+===--=

=π

π

π

ϕϕϕπ

20

0,12,4,

2,0]

)1(1[2sin )(1

k m m a V k m m a V d m f a B m

m

m m

m

故有

∑∞

=+++=

01

20

)12sin()()12(14),(u k k k a

r k V r ϕπϕ 例2 核物理中的数学物理方法

在轴块中，除了中子的扩散运动外，还进行着中子的增殖过程，单位时间内在单位体积的轴块中产生的中子数正比于该处的中子浓度u ，因而中子增殖可表示为u β（β是表示增殖快慢的常数），研究厚度为l 的层状轴块的临界厚度（所谓临界厚度，是指当层状轴块厚度超过临界厚度是，中子浓度将随时间按指数快速递增，导致轴块爆炸，释放大量能量，这也是原子弹爆炸的原理）。 解：假设轴块形状为扁平的长方形，如图所示，并假设在轴块表面中子浓度为零，于是边值问题为

⎪⎪

⎪⎩⎪⎪⎪⎨

⎧======≤≤≤≤≤≤=∆-======,0,

0,0,

0,0,0,0,0,0,000

l z z b y y a x x t u u u u u u l z b y a x u u D u β

其中D 为扩散系数，方程右边u β表示轴块中有中子源，因此是个有源的定解问题。

令)()()()(),,,(u t T z Z y Y x X t z y x =，代入方程并分离变量得

0]T -)[D(T'

=+++βνμλ ； ⎩⎨

⎧===+⎩⎨

⎧===+⎩⎨

⎧===+;

0)()0(,0"Z ;0)()0(,

0"Y ;0)()0(,

0"X l Z Z Z b Y Y Y a X X X νμλ

解得本征值为

.

,2,1,)(,,2,1,)(,,2,1,)(

2k 2m 2

n ======k l

k m b m n a

n π

νπμπλ

要使T(t)不随时间t 而增加，必须有 0])()()[(

222≥-++βπ

ππl

k b m a n D 考虑到a,b>>l(层状轴特点)，可近似认为a,b →∞,于是必须有 .,2,1,0)（2 =≥-k D

l

k β

π 取k=1，必须有

0)l

（2≥-

D

β

π

以c l 表示临界厚度，即有

β

π

β

π

D l D c c

==-

,0)l （

2

总结

数学物理方法在物理学中的应用十分的广泛，我们要熟练掌握数学物理方法的解题方法和严谨的思考方法，这对我们今后的学习发展有很大的帮助。