专题六---几何探究题的解题思路

专题六几何探究题的解题思路

一、方法简述

随着中考的改革,几何的综合题不再是定格在”条件----演绎----结论”这样封闭的模式中,而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理,或由条件去探索不明确的结论,或由结论去探索未给予的条件,或讨论存在的各种可能性;探索图形的运动、变换规律更是中考的热点题型.解决此类问题,数学思想的合理应用起着关键性的作用,一个题目往往需要几个思想方法交织应用.

二、思想方法

1.分类讨论思想

分类讨论思想是数学中的重要思想方法之一，数学中的许多问题由于题设交代笼统，需要进行讨论，另外由于题意复杂，包含情况多也需要讨论。分类是按照数学对象的相同点或差异点，将数学对象分为不同种类的方法，其目的是复杂问题简单化。正确的分类必须周全，不重不漏；分类的原则是：（1）分类中的每一部分必须是独立的；（2）一次分类必须是一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。

2.数形结合思想

数型结合就是将数和有关的图形结合起来，通过对图形的研究探索数量之间的关系，从而达到解决问题的方法。利用数型结合思想，可以将复杂的形化为具体的数，由形索数，由数导形，将数形有机地结合起来，加强数形思想的训练，对巩固数学知识，提高问题的解决能力，至关重要。

3.函数与方程思想

函数关系是指某个变化过程中两个变量之间的对应关系，方程是由已知量和未知量构成的矛盾的统一体，它是由已知探知未知的桥梁，从分析问题的数量关系入手，抓住问题的函数关系或等量关系，用数学语言将函数或等量关系转化为函数关系式或方程式，在通过函数的性质或方程的理论使问题获得解决的思想方法，就称为函数与方程思想。

4.转化与化归思想

转化与化归思想，也是初中数学常用的思想方法之一，是将不熟悉的问题转化、归结成熟悉问题的思想方法，就是将待解决的问题，通过分析、联想、类比等过程，选择恰当的方法进行变换，转化到已解决或比较容易解决的问题上，最终达到解决问题的目的，解决问题的过程

图 2

P

D

C

B

A

图 1

P D

C

B

A 实际上就是转化的过程。转化与化归原则主要有：熟悉化原则、简单化原则、直观性原则、正难则反原则。

三、典例分析

例1: 阅读理解：如图1，在直角 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠O

90B =, 点P 在BC 边上，当∠O

90APD =时，

易证A B P ?∽PCD ?，从而得到CD AB PC BP ?=?. 解答下列问题：

（1） 模型探究：如图2，在四边形ABCD 中， 点P 在BC 边上，当∠B =∠C =∠APD 时，

求证：CD AB PC BP ?=?； （2） 拓展应用：如图3，在四边形ABCD 中，

4,AB =6,CD 10,BC ==∠B =∠O

60C =,

AO ⊥BC 于点O ，以O 为原点，以BC 所在的直线

为x 轴，建立平面直角坐标系，点P 为线段OC 上一动点（不与端点O 、C 重合）．

① 当∠O

APD 60=时，求点P 的坐标；

② 过点P 作PE ⊥PD ，交y 轴于点E ，设x OP =，y OE =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．

(1)证明：如图2，∵∠1=1800-∠B -∠2 ∠3=1800-∠APD -∠2 ∠B=∠APD ∴∠1=∠3 又∵∠B=∠C ∴ △ABP ∽△PCD

∴

CD

BP

PC AB =

∴CD AB PC BP ?=?

(2) ①如图3，当∠APD=600

时

图 2

3

2

1

P D

C

B

A

设P 点坐标为（x ，0），（0< x <8）则BP=2+x ，PC=8-x ∵∠B=∠C=∠APD=600

∴CD AB PC BP ?=? 即（2+x ）(8-x)=64? 解得：x 1=2, 2x =4 ∴点P 的坐标为P （2，0）或P （4，0）

②解法一：如图3，过点D 作DM ⊥x 轴于点M 则CM=

32

1

=CD ，DM=33 ∴OM=5 (Ⅰ)当点P 在线段OM 上设为P 1，P 1M=x-5 (0

∴OP 1?P 1M=OE ?1?DM 即x x -5()=33?y ∴x x y 9

35932+-= (0

∵∠1+∠3=900 ∠2+∠3=900 ∴∠1=∠2 ∴Rt △E 2OP 2∽Rt △P 2MD ∴DM OP M P OE 222= ∴DM OE M P OP ?=?222 即x(x-5)= 33?y ∴x x y 9

3

5932-=

(5

则CM=32

1

=CD ，DM=33 ∴OM=5 ∴D(5，33) (Ⅰ)当点P 在线段OM 上设为P 1，P 1M=5-x (0

∵2121211D E D P P E =+ 即 x 5(22++y -x)2+ (33)2=(33-y)2+52

∴x x y 9

3

5932+-

= (0

∵2222222D E D P P E =+ 即x x y (2

2++-5)2+ (33)2=(33+y)2+52

∴x x y 9

35932-=

(5

图 3

图 2

图 1

F

E

O D

C B

A

评析:本题通过“阅读理解—模型探究—拓展应用”三环节问题设置，实际上向学生展示了一个研究具有一般性问题的较完整的过程：先从这个一般性问题的“特殊”（图1为直角情形）入手，到“一般”（图2为非直角情形）；再从“一般”（问题（2）①）上升到新背景中的“特殊”（问题（2）②），使学生经历了“特殊—一般—特殊”由浅入深、归纳与演绎交替变化的思维过程.试题在第一环节中提供了 “易证, A B P ?∽PCD ?”的启示，学生在解破“易证”中的具有广泛意义的思考或研究方法（即所谓“一般性方法”）后，就能类比解决后续的各个问题.考查学生利用类比方法进行自主探究学习的能力.本题的价值不仅在于环环相扣、层层推进的精彩设置，更在于其本身突出地展示着“一般性方法”的深刻含义和普遍适用性，能掌握并善于运用一般性方法，就显示出较高的数学学习能力.

例2. 已知菱形ABCD 的边长为1，0

60ADC ∠=，等边AEF ?两边分别交边DC 、CB 于点E 、F .

（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，

求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 的交点O 即为等边AEF ?的外心；

（2）若点E 、F 始终在分别在边DC 、CB 上移动，记等边AEF ?的外心为点P .

①猜想验证：如图2，猜想AEF ?的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；

②拓展运用：如图3，当AEF ?面积最小时，过点P 任作一直线分别交边DA 于点N ，

交边DC 的延长线于点M ，试判断11

DM DN

+

是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由

解：（1）证明：如图1，分别连接OE 、OF ∵四边形ABCD 是菱形

∴AC ⊥BD ,BD 平分ADC ∠，BC DC AD == ∴O

AOD COB COD 90=∠=∠=∠

O O ADC ADO 30602

1

21=?=∠=

∠ 又∵E 、F 分别为DC 、CB 中点

图1

∴CD OE 21=

、BC OF 21=、AD AO 2

1

= ∴OA OF OE == ∴点O 即为AEF ?的外心

（2）①猜想：外心P 一定落在直线DB 上

证明：如图2，分别连接PE 、PA ，过点P 分别作PI CD ⊥于I ，PJ AD ⊥于J . 则O

PJD PIE 90=∠=∠ ∵O

ADC 60=∠ ∴JDI PJD PIE IPJ O

∠-∠-∠-=∠360 ∴O

O

O

O

O

IPJ 120609090360=---=∠ ∵点P 是等边AEF ?的外心， ∴O EPA 120=∠，PA PE = ∴EPA IPJ ∠=∠ ∴JPA IPJ ∠=∠ ∴PIE ?≌PJA ? ∴PJ PI =∠

∴点P 在ADC ∠的平分线上，即点P 落在直线DB 上

分析：证点P 落在ADC ∠的平分线上，也就证明点P 到直线AD 、AC 的距离相等，如此便可构造两个直角三角形证明全等。若考虑对角互补，便可联想到四点共圆， 从而利用圆的性质便有下面两种解法。

另解法一：分别连接PA 、PC 、PD ∵四边形ABCD 是菱形,O

ADC 60=∠ ∴O

BCD 120=∠,CD AD = ∵点P 是等边AEF ?的外心，

∴O

EAF 60=∠, ∴O

BCE EAF 180=∠+∠ ∴A 、F 、C 、E 四点共圆，∴PC PA = ∵DC DA = ∴CDP ?≌ADP ?

∴ADP CDP ∠=∠

∴P 落在ADC ∠的平分线上.即点P 落在直线DB 上.

另解法二：:分别连接PA 、PE 、PD ∵点P 是等边AEF ?的外心 ∴O EPA 120=∠，PA PE = ∴O PEA 30=∠

∵O

EPA ADC 180=∠+∠ ∴A 、P 、E 、 D 四点共圆.

图2 J

图

3

图4

∵O

PEA PDA 30=∠=∠

∴P 落在ADC ∠的平分线上.即点P 落在直线DB

②

11

DM DN

+

为定值2 当AE DC ⊥时，AEF ?面积最小， 此时点E 、F 分别为DC 、CB 中点 连接BD 、AC

交于点P ，由（1） 可得点P 即为AEF ?的外心

解法一：如图，设MN 交BC 于点G

设,(0,0)DM x DN y x y ==≠≠，则1CN y =-

∵BC ∥DA ，且DA BC =，P 是BD 的中点 ∴GBP ?≌MDP ? ∴x DM BG == ∴x CG -=1 ∵BC ∥DA ∴NCG ?∽NDM ? ∴

DM CG DN CN = ∴x x y y -=-11 ∴xy y x 2=+ ∴211=+y x 即21

1=+DN

DM 分析：观察图形，得到结论CG AM =，把1用AD 或CD 代替，把要计算的线段或相关

线段集中到两个相似的三角形NCG ?，NDM ?中，并把长度用字母表示，化简含字母的代数式从而得到结论。依据此策略，可得到解法二、三、四。

解法二：如图，连接PE ∵点P 、E 分别为AC 、DC ∴2

1

21==

DA PE ，PE ∥DA ∴NEP ?∽NDM ∴DM

EP

ND NE =

设,DM x DN y ==，则2

1-

=y NE ∴x

y y 2121=-

∴y x xy 2

1

21=-

∴211211=+=+DN DM y x ，则

解法三：过点G 作直线GH ∥CD 交AD 于点H ，

∵GH ∥CD ∴HMG ?∽DMN ?

∴DM HM DN HG = ∴DM DM DM DM AM DM DN )1(1--=

-= ∴211=+DN

DM 图5

M

图6

M

H

图7

D

解法四：过点C 作直线CK ∥MN 交BD 于点K ，过点A 作AH ∥MN 交BD 于H . ∵CK ∥MN ，AH ∥MN ∴DCK ?∽DNP ?，DMP ?∽DAH ?

∴

DP DK DN DC =，DP DH DM DA = ∴DP DK DN =1，

DM =

1∴DP

DH DK DN DM +=+11 由CKP ?≌AHP ?得：HP KP =

∴DP DH DK 2=+ ∴

21

1=+DN DM

解法五：如图，过点P 作PI DC ⊥

于I ，PJ DA ⊥于J ，则PI PJ == ∵DMN DMP DNP S S S ???=+

∴o DN DM PJ DM PI DN 60sin 212121??=?+? ∴2

3

2143214321??=?+?DN DM DM DN

∴DN DM DN DM ?=+2 ∴

21

1=+DN

DM 分析：因为11DM DN

DM DN DM DN

++=

?，而DM DN ?正与DMN ?的面积有关，其中DM ，DN 也可以看成是将DMN ?分为DNP ?和DMP ?后，计算面积过程中涉及的底边。这种对

所求的结论作等份变形，找寻解题思路的方法是我们分析问题时常采用的一种重要方法。

解法六：如图4，以点D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系 设直线MN 的解析式为y kx b =+

可求得点P 的坐标为3(4 ∴344k b +=

∴k b 4

3

43-=

∴直线MN 的解析式为k kx y 4

343-+

= 图8

M D

图9

求得直线DN

的解析式为y =

令34kx k +-=

，∴3k x -

= ∴3

232360cos --==k k x DN o

令304kx k +

-=

，∴344k x k

= ∴k k DM 4343-= ∴

2)33(21332

3233434311=--=-

-+-=+k k k k k k DN DM

评析：本题是一道集阅读理解、实验操作、猜想证明、应用探究于一体的综合题型。试题

以菱形中的一个等边三角形旋转作为载体，综合考查了等边三角形、菱形两个基本图形的性质，同时考查了等边三角形的外心（中心）、三角形的中位线、相似、全等等初中数学几何主干知识；试题源于教材，立足数学通性、通法，具有公平性、原创性，既紧扣双基，又突出能力要求。本题就改变了传统几何证明题的模式（已知，求证，证明），将合情推理与演绎推理有机融合在一起，试题引导学生学会一种解决问题的策略——试验、发现、联想、推广。其新意主要体现在让学生在操作、实验等尝试性活动中表现出对基础知识的理解水平，对图形的分解与组合的能力，考查了学生的分析、观察、猜测、验证、计算与推理能力。本题结论开放、方法开放、思路开放，能有效地反映高层次思维，融会了特殊与一般、转化思想、数学建模思想、函数思想、数形结合思想。

其中第一道小题在静态图形中考查了特殊点下等边三角形外心（中心）的的判定，属于基础题；第二问为先猜想，因有第一步作铺垫不难猜测点P 落在直线DB 上，证点P 落在∠ADC 的平分线上，也就证明点P 到直线AD 、AC 的距离相等（结论转换），如此便可构造两个直角三角形证明相等，思路自然，知识基本，方法核心，属于能力考查范围；第﹙2﹚小题第②以探究性问题让学生先判断、后推理，重思维，轻计算，对学生的思维能力要求较高。

四、强化训练

1. 如图，在矩形ABCD 中，9AB =

，AD =，点P 是边BC 上的动点（点P 不与点B 、点C 重合），过点P 作直线PQ BD ∥，交CD 边于Q 点，再把PQC △沿着动直线PQ 对折，点C 的对应点是R 点，设CP 的长度为x ，PQR △与矩形ABCD 重叠部分的面积为y ． （1）求CQP ∠的度数；

（2）当x 取何值时，点R 落在矩形ABCD 的AB 边上？

（3）求y 与x 之间的函数关系式；

2.如图1，在ABC Rt ?中，0

90=∠C ，6==BC AC ，D 是AB 边上一点，E 是在AC 边上的一个动点（与点A 、C 不重合），DE DF ⊥，DF 与射线CB 相交于点F 。 （1）如图1，如果点D 是边AB 的中点，求证：DF DE =； （2）如图2，如果m DB AD =，求DF

DE

的值； （3）如果

2

1

=DB AD ，设x AE =，y BF =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；

D

Q

C B

P

R

A 第1题图

B

A

D C （备用图1）

B

A

D C

（备用图2）

备用图

图 2

图 1

F

E

D

C

B

A F

E

D C B

A

3.四边形ABCD 是矩形，2=AB ，3=AD ，点M 是射线DC 上的一个动点（点M 不与点D 重合），N 是点M 关于AD 的对称点，射线AM 交射线BC 于E ，设m DM =，

n CE =，ANE ?的面积为S .

(1)如图1，当点M 在DC 边上．．运动时，试用m 的代数式表示n ，并写出m 的取值范围； （2）当点M 在射线．．DC 上运动时，判断ANE ?的面积S 是否为定值，若是定值，请求出该定值；若不是，请用m 的代数式表示S ，并写出m 的取值范围.

H

H

D

A D

A

图

2 （备用图）

D

C

B

A

图 1

A

4. 已知：在矩形ABCD 中，10=AB ，12=BC ，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，2=AE .

（1）如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求GFC ?的面积；

（2）如图2，当四边形EFGH 为菱形，且a BF =时，求GFC ?的面积（用含a 的代数式表示）；

（3）在（2）的条件下，GFC ?的面积能否等于2？请说明理由.

5.已知，ABC ?是等腰直角三角形，0

90=∠BAC ，2=BC ，D 是线段BC 上一点，以

AD 为边，在AD 的右侧作正方形ADEF ．直线AE 与直线BC 交于点G ，连接CF ． （1）如图1，当1

（2）如图2，当1>BD 时，请在图中作出相应的图形，猜测线段CF 与线段BD 的关系，并

说明理由；

（3）连接GF ，判断线段BD 为何值时，GFC ?是等腰三角形．

A

B B

6．有公共顶点大小不等的正方形ABCD 与正方形AEFG ，两个正方形分别绕着点A 旋转至下列图形的位置，其中θ=∠BAE ()1800(0

<<θ.

(1) 如图1，连接BG 、DE ，判断线段BG 与DE 的数量及位置之间的关系，并说明理由； （2）连接BE 、DG ，过点A 的直线垂直DG 于H 交BE 于P .

①如图2，求证ABE ?与ADG ?的面积相等；

②如图3，试判断DG

AP

是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.

C

C

7. （1）如图1，在ABC ?中，22==BC AC ，O

ACB 90=∠，点E 在AC 边上（不

与点C A 、重合），过E 作AB DE ⊥于D ，连接BE CD 、，M 为BE 的中点，连接

DM CM 、.

①求证：CDM ?是等腰直角三角形；

②若x AD =，CDM ?的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（2）如果把图1中的ADE ?绕着点A 逆时针旋转至图2的位置，其它的条件不变，那么

CDM ?是否还是等腰直角三角形？请说明理由.

8.如图1，在菱形ABCD 中，AB =4，∠O

BAD 120=，M 是BC 边上的点， ∠α=BAM （O

0<α

60），点N 在CD 边上，∠O

MAN 60=，AM 、AN 分别与BD 相交于P 、Q 两点，当∠MAN 绕着点A 旋转时，点M 、N 、P 、Q 也随之运动.请解答下列问题；

（1）求证：AMN ?是等边三角形；

（2）在∠MAN 旋转的过程中，当α为何值时，四边形AMCN 的周长最小？求四边形AMCN 周长的最小值；

（3）如图2，当DQ BP 2=时，判断PQ 与DQ 之间的数量关系，并说明理由.

O P

Q

E D B A

9.如图，在ABC ?中，5==BC AB ，6=AC ，过点A 作AD ∥CB ，点P 、Q 分别 是射线AD 、线段AB 上的动点，且BQ AP =，过点P 作PE ∥AC 交线段AQ 于O ，交BC 于E ，设POQ ?的面积为y ，x AP =. （1）用x 的代数式表示PO ；

（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）连接QE ，若PQE ?与POQ ?相似，求AP 的长.

10.如图，ABC Rt ?，0

90=∠C ，6=BC ，8=AC ．点P 、Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，AQ BP =．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点，AB HQ ⊥ 于Q 交AC 于点H ．

当点E 到达顶点A 时，P 、Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，HDE ?的面积为y ．

（1）求证：DHQ ?∽ABC ?；

（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值； （3）当x 为何值时，HDE ?为等腰三角形？

E

C B E C B C B

11.（1）在正方形ABCD 中，点F 在AD 延长线上，且DC DF =，M 为AB 边上一点，N 为MD 的中点，点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.

①如图1，点M 、A 重合，E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BM

CE

的值， 并证明你的结论；

② 如图2，点M 、A 不重合，NE BN =，你在①中得到的两个结论是否成立， 若成立，请加以证明； 若不成立， 请说明理由；

（2）如图3，如果把（1）② 中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，其他条件不变，那么你在②中得到的两个结论是否成立，请直接写出你的结论.

（备用图）C C

12. 如图，在ABC ?中，0

90=∠ACB ，点P 到ACB ∠两边的距离相等，且PB PA =． （1）先用尺规作出符合要求的点P （保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP 的形状，并说明理由；

（2）设m PA =，n PC =，试用m 、n 的代数式表示ABC ?的周长和面积；

（3）设CP 与AB 交于点D ，试探索当边AC 、BC 的长度变化时，BC

CD

AC CD +

的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．

备用图 1

R Q P

D

C B

A

备用图 2

N

M R Q

P

D C

B

A

图 1

F

E

D

C B

A

G

F

E

C

专题六 几何探究题

1.解：(1)∵PQ ∥BD ∴∠CQP=∠BDC 在Rt △BDC 种，∵∠C=90o ∴tan ∠BDC=33

=DC BC ∴∠CQP=∠BDC=30o (2)如备用图1，点R 落在AB 上。 ∵∠CPQ=90o -∠CQP=60o ∴∠RPQ=∠CPQ=60o ∴∠RPB=60o

∴BP=

21PR=21CP=x 21

则332

1

=+x x ∴32=x

（3）有两种情况：①当320≤

3x y = ②当3332<

∵PB=x -33 ∴PN=2PB=x 236- ∴RN=363-=-x PN x

633

3

-==

x RN RM ∴3181832

1

2322-+-=?-=

x x RM RN x y 2.（1）证明：连接CD 如图1.

∵△ABC 是直角三角形，∠C=90o

，AC=BC 点D 是AB 的中点

∴CD ⊥AB,CD=DB ∠FCD=∠B=45o ∠BDF=90o

-∠FDC ∵∠EDF=90o

∴∠CDE=90o -∠FDC ∴∠BDF=∠CDE ∴△CDE ≌△BDF ∴DE=DF （2）过D 作DG ⊥AB 交AC 于G 如图2. 则AD=DG ，∠EGD=∠B=45o

又∵∠EDG=∠FDB