2020届江苏高考数学(理)总复习讲义： 等差数列

第二节等差数列 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．

(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋nn－12d＝na1＋an2. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． [小题体验]

1．已知等差数列{}an的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6＝________. 解析：设等差数列{}an的公差为d，由题意知，3×2＋3d＝12，解得d＝2， 故a6＝2＋(6－1)×2＝12. 答案：12 2．已知等差数列{an}，a5＝－20，a20＝－35，则an＝________. 答案：－15－n 3．(2018·南京、盐城一模)设{an}是等差数列，若a4＋a5＋a6＝21，则S9＝________. 解析：因为{an}是等差数列，且a4＋a5＋a6＝21，所以3a5＝21，即a5＝7，

故S9＝9a1＋a92＝9a5＝63. 答案：63 1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 2．求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含 条件． [小题纠偏]

1．首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d的取值范围是________． 答案：－3，－83 2．已知数列{}an为等差数列，若a1＝－3,11a5＝5a8，则使其前n项和Sn取最小值的n＝________. 解析：∵a1＝－3,11a5＝5a8，∴d＝2， ∴Sn＝n2－4n＝(n－2)2－4，∴当n＝2时，Sn最小． 答案：2

考点一 等差数列的基本运算 基础送分型考点——自主练透 [题组练透]

1．在等差数列{}an中，已知d＝12，an＝32，Sn＝－152，则a1＝________.

解析：由题意，得 a1＋322×n＝－152， ①a1＋n－1×12＝32， ② 由②得a1＝－12n＋2，代入①得n2－7n－30＝0， ∴n＝10或n＝－3(舍去)， ∴a1＝－3. 答案：－3 2．公差不为零的等差数列{an}中，a7＝2a5，则数列{an}中第________项的值与4a5的值相等． 解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a7＝2a5，所以a1＋6d＝2(a1＋4d)，则a1＝ －2d，所以an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)d，而4a5＝4(a1＋4d)＝4(－2d＋4d)＝8d＝a11，故数列{an}中第11项的值与4a5的值相等． 答案：11 3．(2018·苏北四市一模)设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2＝3，S4＝16，则S9＝________. 解析：设等差数列{an}的公差为d，

则由a2＝3，S4＝16，得 a1＋d＝3，4a1＋4×32d＝16，解得 a1＝1，d＝2， 因此S9＝9＋9×82×2＝81. 答案：81 4．(2019·南京调研)记等差数列{an}前n项和为Sn.若am＝10，S2m－1＝110, 则m＝_______.

解析：因为S2m－1＝2m－1a1＋a2m－12＝(2m－1)am＝110，所以2m－1＝11，即m＝6. 答案：6 [谨记通法]

等差数列基本运算的方法策略 (1)等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．解决这些问题一般设基本量a1，d，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想． (2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差

数列求和公式Sn＝na1＋an2结合使用，体现整体代入的思想． 考点二 等差数列的判断与证明 重点保分型考点——师生共研 [典例引领]

(2019·启东联考)已知函数f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7(n∈N*)． (1)设函数y＝f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列； (2)设函数y＝f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，求{bn}的前n项和Sn. 解：(1)证明：因为f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7＝[x－(n＋1)]2＋3n－8， 所以an＝3n－8， 因为an＋1－an＝3(n＋1)－8－(3n－8)＝3， 所以数列{an}为等差数列． (2)由题意知，bn＝|an|＝|3n－8|， 所以当1≤n≤2时，bn＝8－3n，

Sn＝b1＋…＋bn＝nb1＋bn2 ＝n[5＋8－3n]2＝13n－3n22； 当n≥3时，bn＝3n－8， Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝5＋2＋1＋…＋(3n－8)

＝7＋n－2[1＋3n－8]2

＝3n2－13n＋282.

所以Sn＝ 13n－3n22，1≤n≤2，3n2－13n＋282，n≥3. [由题悟法] 等差数列的判定与证明方法 方 法 解 读 适合题型

定义法 对于任意自然数n(n≥2)，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列 解答题中证

明问题 等差中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列

通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 填空题中的

判定问题 前n项和公式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔

{an}是等差数列

[即时应用] 已知数列{}an满足：a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n.设bn＝an－2n3n. (1)证明：数列{}bn为等差数列； (2)求数列{}an的通项公式．

解：(1)证明：∵bn＋1－bn＝an＋1－2n＋13n＋1－an－2n3n＝3an＋3n＋1－2n－2n＋13n＋1－3an－3·2n3n＋1＝1， ∴数列{}bn为等差数列． (2)∵b1＝a1－23＝0，∴bn＝n－1，∴an＝(n－1)·3n＋2n. 考点三 等差数列的性质及最值 重点保分型考点——师生共研 [典例引领]

1．已知{an}为等差数列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，则a19＋a20＋a21＝________. 解析：由等差数列的性质，可知S3，S6－S3，S9－S6，…，S21－S18成等差数列， 设此数列公差为D.所以5＋2D＝10，所以D＝52. 所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6D＝5＋15＝20. 答案：20 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8＝1，S16＝0，当Sn取最大值时n的值为________．

解析：法一：由 a8＝a1＋7d＝1，S16＝16a1＋16×152d＝0，解得 a1＝15，d＝－2，则Sn＝－n2＋16n＝－(n－8)2＋64，则当n＝8时，Sn取得最大值． 法二：因为{an}是等差数列，所以S16＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)＝0，则a9＝－a8＝－1，即数列{an}的前8项是正数，从第9项开始是负数，所以(Sn)max＝S8，故Sn取最大值时，n＝8. 答案：8 [由题悟法]

1．等差数列的性质

(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔am－anm－n＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差． (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an. 2．求等差数列前n项和Sn最值的2种方法 (1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法：

①当a1＞0，d＜0时，满足 am≥0，am＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值为Sm；

②当a1＜0，d＞0时，满足 am≤0，am＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值为Sm. [即时应用] 1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，则数列{an}的项数为________． 解析：由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，① an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180， ②