跃迁几率和费米黄金规则
2023-2024高中物理竞赛：量子力学
Planck 辐射定律：
式中： d是黑体内频率在到 d之间的辐 射能量密度，C 是真空 中光速，k 是波尔兹 曼常数,T 是黑体的绝对温度。该式称为 Planck 辐射定律
Planck 常数：h 是普朗克常数，数值为 h=6.62559(16)×10-34 焦耳·秒
de Broglie 波：描写自由粒子的平面波Ψ
上，提出了他的原子的量子论。
波尔假定：电子在原子中不可能沿着经典理论所允许的每一个轨道运动，而只能沿着
其中一组特殊的轨道运动。波尔假设沿这一组特殊轨道运动的电子处于稳定状态（简称定态）。 当电子保持在这种状态时，他们不吸收也不发出辐射。只有当电子由一个定态跃迁到另一个 定态时，才能产生辐射的吸收或发射现象。电子由能量为 Em 的定态跃迁到能量为 En 的定 态时所吸收或发射的辐射频率ν，满足下列关系： 为了确定电子运动的可能轨道，波尔提出量子化条件：在量子理论中，角动量必须是 h 的整 数倍。
平方可积：由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间
找到粒子的几率应为一，即：C∫∞|Ψ (r,t)|2 dτ= 1，从而得常数 C 之值为：C = 1/∫∞| Ψ(r,t)|2dτ
粒子产生和湮灭： 归一化：由于粒子在全空间出现的几率等于 1，所以粒子在空间各点出现的几率只取决
Compton 散射：X--射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。
电子的 Compton 波长：
Planck 假定：1900 年，普朗克提出黑体以 为能量单位不连续地发射和吸收频率为
的辐射,而不是像经典物理所要求的那样可以连续地发射和吸收辐射能量。 能量单位称为能量子，h 是普朗克常数，数值为 h=6.62559(16)×10-34 焦耳·秒
Si亚微米MOSFET蒙特卡罗模拟中散射机制的研究
维普资讯
总撼 ３ ６期
篮立睾
Ｓ 亚擞米 ＭＯ Ｆ Ｔ曩精卡事｛撒中散射讥制宕研究 Ｉ ＳＥ 羹 ｇ
射两种 ； ③其他因素引起的散射 ， 主要 有谷间散射 ，
强电场下输运性质各向异性并不显著 ， 因此将这六 个 △型谷看成是相 同的， 具有球形等能 面的抛物性 能谷 ， 电子在各谷 中的运动遵 守相 同的规 律 ， 这样 就可以将它们看成一个能谷 ， 散射 主要体现在等价 谷间的散射 ， ｇ 即 型散射和 ｆ 型散射 。 综上 所述 ，ｉ 件 中的散 射模 型 可 以这 样建 Ｓ器
立 ：①在 △能谷 中记入光学形变 势散射 和声学散
射； ②在 （０ ）（ｏ ） （ ｌ ） （ｉ ） （０ ） （０ ） １０ ，ｉｏ ，Ｏ Ｏ ，ｏ ｏ ， ０ １，０ ｉ 方 向上 ， 有六个等效 的能谷 ， 因此 还必需考虑六个 等效能谷 中两两之间的散射 ，对于 Ｓ 的△型谷 ， ｉ 有
董 立亭
（ 贵州大学电子科学系２０ 级研究生班 。 ０４ 贵州贵 阳 ５ ０２ ） ５ ０５
［ 摘要 ］讨论 了用蒙特卡 罗法模拟半导 Ｓ 内电子输运现象的散射机制 ，探讨并确定 自由飞行 时间的 自 ｉ 散射 方法， 模拟电子在不同高场下的输运过程 ， 并分析 了速度过冲效应产生的原因。 ［ 关键词 ］Ｍ ｎｅ ａ ｏ ｏｔ Ｃｒ 方法； ｌ 自由飞行 时间； 散射机制 ； 亚微米半导体器件
中性杂质散射（ 包括 ） 碰撞电离和位借散射等。
由于各种散射的散射势 Ｖｒ各不相 同， （ ） 则散射 矩阵元的表达式也会不 同，因此散射率也会 不同。
在实际模拟 中， 根据不 同的结构与物理条件 ， 可以
选择各种散射 中的某一些 ， 但必须 至少含有一种非
第3章 费米能级
.
以后就表示从状态(1)跃迁到状态(2)的几率。
上式表示电子从E1态跃迁到E2态的微扰矩阵元，又叫跃迁动量矩阵元。 它是电子的终态(2)波函数的共扼复数ψ 2*与对始态(1)波函数ψ 1进行 H’运算得到结果的标量积。
要计算跃迁几率(即求a2(t))必须知道微扰算符H’的具体形式。如果假定微扰是 简谐函数，则按照费米黄金准则，跃迁几率可以表示为：
.Hale Waihona Puke 半导体异质结激光器中粒子数反转
.
光子与载流子的相互作用
光子与半导体内部载流子相互作用表现为 以下几个物理过程：
.
半导体内量子跃迁的特点
由于半导体能带中电子(空穴)的态密度很高，因此在光子作用下产生的 跃迁不是在分立的、固定的两个能级之间，而是发生在非局部能级的导带与 价带之间。在分析半导体中的跃迁过程时不仅要考虑电子的跃迁几率，还必 须考虑参与跃迁的电子态密度分布，而这又与掺杂浓度和激励水平有关。因 此，半导体中的跃迁过程具有明显不同于双能级系统的特点： (a)半导体能带中电子的态密度很高，用来产生粒子数反转分布的电子数很大， 因而可能具有很高的量子跃迁速率，获得很大的光增益系数。 (b)半导体中同一能带内的载流子相互作用很强。这种互作用过程的碰撞时间比 辐射过程的时间常数要小，所以发生电子跃迁后留下来的空态能够很快被带 内电子所补充，使能带内仍保持激励态的准平衡分布，可以用准费米能级描 述载流子的分布特性。 (c)半导体中被激发的电子态可以通过扩散或传导在晶体中传播，因此有可能用 比较简单的办法(如p—n结注入)使半导体内很快达到并维持其粒子数分布反 转状态，可以实现很高的能量转换效率。这是半导体激光器的突出优点。 (d)半导体中跃迁发生在占据一定能量范围的大量的导带电子和价带空穴之间， 因此辐射谱线较宽，单色性较差。
能级跃迁方程
能级跃迁方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：能级跃迁方程是描述原子和分子内部电子能级跃迁的数学表达式。
在原子或分子中，电子会处于不同的能级上，并且当电子跃迁到不同的能级时会放出或吸收特定频率的电磁辐射。
这种能级跃迁是原子和分子光谱学研究的基础，通过研究能级跃迁方程可以揭示物质的内部结构和性质。
能级跃迁方程一般是通过量子力学的理论推导得出的。
在原子或分子中，电子的能级是量子化的，即只能取离散的数值。
当电子从一个能级跃迁到另一个能级时，它会吸收或放出能量，这种能量通常以光子的形式呈现。
根据量子力学的原理，能级跃迁的频率和能量与电子能级之间的差异相关。
对于原子或分子内的电子能级跃迁，一般可以使用以下的能级跃迁方程来描述：\[\Delta E = E_f - E_i = hf\]ΔE表示能级之间的能量差，Ei和Ef分别代表初态和终态的能级，h为普朗克常数，f为电磁辐射的频率。
这个方程也被称为普朗克-爱因斯坦关系，它描述了电子能级跃迁和辐射频率之间的关系。
在原子光谱学中，我们常常会遇到不同类型的能级跃迁，比如跃迁类型包括单色允许跃迁、多色允许跃迁、单色禁止跃迁和多色禁止跃迁等。
这些不同类型的跃迁对应着不同的能级跃迁方程，并且在实际的光谱分析中需要根据具体情况来选择适当的能级跃迁方程。
除了能级跃迁方程，我们还可以通过描述原子或分子内部能级之间的转变概率来衡量电子跃迁的可能性。
这个概率通常可以通过费米黄金法则或黄金选择定则等理论来计算，它们描述了不同类型的跃迁在光谱中的出现规律。
能级跃迁方程是描述原子和分子内部电子跃迁的重要数学工具，通过研究这些方程我们可以深入了解物质的结构和性质。
在光谱分析和量子力学研究中，能级跃迁方程起着至关重要的作用，对于推动科学的进步和技术的发展都具有重要意义。
希望未来能级跃迁方程的研究能够为我们解开更多物质的奥秘，为人类的科学探索和发展提供更多的启示。
第二篇示例：能级跃迁是原子或分子中的电子在受到外部激发后从一个能级跃迁到另一个能级的过程。
第五章 微扰理论
第五章微扰理论经常遇到许多问题，体系哈密顿算符比较复杂，不能精确解，只能近似解，微扰论就是其中一个近似方法，其基本思想是逐级近似。
微扰论方法也就是抓主要矛盾。
如何分？假设本征值及本征函数较容易解出或已有现成解，是小量能看成微扰，在已知解的基础上，把微代入方程同次幂相等（（1）(2)(3)①求能量的一级修正(2)式左乘并对整个空间积分能量的一级修正等于在态中的平均值。
②求对波函数一级修正将仍是方程 (2) 的解，选取 a 使展开式不含将上时代入式 (2)以左乘上式，对整个空间积分令上式化简为：③求能量二级修正把代入(3)式，左乘方程（3）式，对整个空间积分左边为零讨论：（1）微扰论成立的条件：(a)可分成，是问题主要部分，精确解已知或易求(b) <<1（2）可以证明例：一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿x正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。
【解】是的偶函数利用递推公式波函数的一级修正利用能级移动可以直接准确求出令：§5.2 简并情况下的微扰理论假设是简并的k 度简并已正交归一化代入上式以左乘上式两边，对整个空间积分左边右边不全为零解的条件是由久期方程可得到能量一级修正的k个根由于具有某种对称性，因此不考虑时，能级是k度简并的,考虑后,哈密顿量的对称性破坏，使能级的简并度降低或完全消除。
要确定，需求出，将代入上式，可求出。
§5.3 氢原子的一级斯塔克效应斯塔克（stark）效应：氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象。
( 是均匀的，沿z轴)下面研究n=2时的能级分裂现象：n=2,有4个简并度求只有两个态角量子数差 , 时, 矩阵元才不为零和不为零为实的厄密算符带入久期方程没有外电场时，原来简并的能及在一级修正中分裂为三个，兼并部分消除①当时②当时③当时，和为不同时为零的常数。
§5.4 变分法应用微扰论应很小，否则微扰论不能应用，本节所介绍的变分法不受上述条件限制。
7 Electron Energy Loss Spectroscopy
§7.1.1 能谱仪：后置型(Post-column)能量过滤器
Gatan imaging filter (GIF)
§7.1.2 能谱仪：内置型(Built-in)能量过滤器
Built-in Omega (Ω) 能量过滤器
能谱仪置于TEM的镜筒中间 视场较大，即记录的能量 过滤像的范围比较大 因而 过滤像的范围比较大，因而 适合于能量过滤电子衍射和 成像。 成像 能谱仪稳定性的变化会影 响电子衍射和图像质量。 响电子衍射和图像质量 也可以用于能谱分析，但 背底较大。 底
求出相应的实部 Re( (
1.8
Inte 2
×50
0.6
×200
0.0 0 50 400 600 800 1000
Energy Loss (eV)
电子能量损失谱信息
电子能量损失谱—研究对象
d orbital
电子行为：态密度、化学键、氧化态、电子轨道
主要内容
7.1，能谱仪：后置型和内置型能量过滤器 7 2，实验方法： 7.2 实验方法 像模式与衍射模式 像模式 射模式 7.3，实验数据处理：连续背底和多重散射的扣除 7.4，基本原理
Power Law
f ( E ) AE r
其中E为能量损失， A和r为拟合参数
§7.3 实验数据处理：多重散射扣除
平均自由程(λ)：
电子在样品中连续 发生两次散射过程之 间所经过的平均距离。 样品密度越大， λ越小 加速电压越高 λ越大 加速电压越高， 对于金属Cu，加速电 压为100kV是，平均 自由程λ约为100 nm。
衍射模式 像模式
V. J. Keast, et al., J. Microsc. 203 (2001) 135
二苯多烯分子的光物理性质与共轭长度的关系
Ｉ １ △ ％ ２
Ｉｉ ｏ Ｏ
（） ２
假如 不考 虑 振 动 波 函数 的 分 布 ，则 ｋ＝ ，
（ｍ ） ｃ ．
２ １４ ９ ／ ． ９ ，其 中 ｆ为 无 量 纲 振 子 强 度 ， 的单 位 为 波 数
１２ 无辐射跃 迁过程 ． 在 简谐近 似下 ， 态和末 态的哈 密顿量 为 初
Ｃｈｅ ｉａｌｓｒ ｃ ｕｒ ｓ ｏ ｐｈｅ ｙｌｏｌ ｎ ｓ ｍ ｃ ｔ ｕ ｔ ｅ ｆｄｉ ｎ ｐ ｙｅ ｅ
采用无 辐射跃迁 理论 ， 结合密 度泛 函理论 以共 轭多烯 分子 ｎ＝２ Ｄ ２） ３ Ｄ ３ ， （ Ｐ ） ５ Ｄ ５ ， （ Ｐ ） （ Ｐ ， （ Ｐ） ４ Ｄ ４ ， （ Ｐ ） ６ Ｄ ６ ，
时 ， 子 强度 增 加 ， 迁 能 减 小 ， 而 对 辐射 跃 迁 速 率 相抵 消 ，而在 无 辐 射 跃 迁 过 程 中 ，能 隙 规 则 起 到 主 导 振 跃 从
作用．
关键词
二 苯 多 烯 烃 ； 子 结 构计 算 ； 轭 长 度 ； 物 理 性 质 ；无 辐射 跃 迁 速 率 电 共 光 ０ ４ ６１ 文献 标 识 码 Ａ 文章 编号 ０ ５ ７０ ２０ ）２２３ －５ ２ １３９ （０ ８ １－４ ５０ ４
根据 费米黄 金规则 ， 无辐 射跃迁速 率可 以表达为 以
（） ∑ ∑Ｐ （） ＝ ７ Ｉ １
２ ３ ４６
高 等 学 校 化 学 学 报
：
（／ ） ｐ ＋ ２ ， １２ （ ２ ∞ ２ ） ｖ
．
：（ ２ （ ＋ ｐ） １） ／
（） ３
Ｐ和 ０分别是核动量和正则模坐标 ： ＝一 ｌ ３３ ， Ｐ ｉ（／ Ｑ ） ｉ
量子力学黄金法则
量子力学黄金法则
量子力学黄金法则是指在量子力学中普遍适用的一个原则，也被称为“Born规则”。
该规则指出，一个粒子在空间中的出现概率与其波函数的平方成正比。
换句话说，一个粒子出现在空间某一特定区域的概率与该区域内波函数的平方成比例关系。
这个规则几乎贯穿了整个量子力学，不仅在解释微观粒子的行为和性质方面起着重要作用，也在实际应用中有着广泛的应用。
例如，它可以用来计算一个电子在任意位置上的概率密度，从而帮助科学家们更好地理解和探索物质的微观结构。
总之，量子力学黄金法则是量子力学中一条基本的规则，它为我们解释微观粒子的行为和性质提供了重要的理论依据，并帮助我们更好地理解和探索物质的本质。
- 1 -。
能量转移理论入门
复习：电子转移和能量转移Marcus理论的两个重要参数过渡态能级劈裂＝２倍耦合强度K（仅在能级简并时成立）处在平衡位置和过渡态的能量差—与重整能相关Marcus 抛物线II：速率曲线ελ∆=电子转移的微观模型位移谐振子模型、自旋-玻色模型两个势能面，振动频率、简正模式都相同，只有平衡位置不同黄昆因子：谱密度：量化计算MD模拟eExample 1. Bacterial PhotosynthesisSource: Holten, Washington University in St. LouisSource: M. Brederode, TU DelftElectron and proton transfer processes in the bacterial reaction center.LHI: light-harvesting complex I LHII: light-harvesting complex IIExcitonic energy transfer inBacteria photosynthesisThe excitation energy is transfered between the LH2 rings, to the LH1 antenna, and finally to the reaction center. Below are estimates of the times involved.Mostly the Förster transfer mechanism is invoked, although sometimes it is argued that coherent energy transfer is the mechanism.Kinesin :Two-headed motor protein.Motility is driven by confor-mational changes induced by ATP hydrolysis.The conformational dynamics are being studied using Förster Excitation Transfer.L.C. Kapitein, E.J.G. Peterman, C.F. Schmidt1020304050donor acceptorI n t e n s i t ytimeEmission of single FRET pair:1. Excitation Transfer2. Acceptor bleached3. Donor bleached123donor image acceptor imagedonoracceptorexcitation transfer电子运动电子态的变化伴随着核构型的变化激发态能量转移和电子转移的区别•电子终态结构不同（前一页PPT）•重整能，特别是外部重振能远小于电子转移（能量转移对溶剂极化影响较小）分子内振动自由度更重要•耦合项不同，电子转移一般是短距离的（通常是几个Å），能量转移可以是长程的（10-100Å）。
第十一章 量子跃迁
§2 量子跃迁几率
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（一）跃迁几率 （二）一阶常微扰 （三）简谐微扰 （四）实例 （五）能量和时间测不准关系
（一）跃迁几率
t 时刻发现体系处于 Ψm 态 的几率等于 | a m (t) | 2
m
体系的某一状态
Ψ = ∑ am(t )Ψ m
am(0) (t) = δmk
1 t ′ + ∫ Hmk eiωmk t dt +L 0 ih
比较等式两边得
( (1 δnk = an0) (0) + λan ) (0) +L
(0 an ) (0) = δnk (1 (2 an ) (0) = an ) (0) = L= 0
幂次项得： 比较等号两边同 λ 幂次项得：
不随时间变化，所以a 因 an(0)不随时间变化，所以an(0)(t) = an(0)(0) = δnk。 后加入微扰，则第一级近似： t ≥ 0 后加入微扰，则第一级近似：
2
2ieiωmk t / 2 sin( 1 ωmk t ) = 2
′ 4 | Hmk |2 sin2( 1 ωmk t ) 2 h2ωmk 2
极限公式： 极限公式：
sin2(αx) lim παx2 = δ ( x) α→∞
则当t 上式右第二个分式有如下极限值： 则当t →∞ 时 上式右第二个分式有如下极限值：
=<φm | F[eiωt + eiωt ] | φk >
=<φm | F | φk > [eiωt + eiωt ] = F k [eiωt + eiωt ] m
(1 am) (t ) =
F k m ih
∫0
t
t