球的体积和表面积公式具体推导过程

1..3.2球的体积和表面积（1）
设球的半径为R，将半径OAn等分，过这
些分点作平面把半球切割成n 层，每一层都
是近似于圆柱形状的“小圆片”，这些“小圆
片”的体积之和就是半球的体积。

由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就
是“小圆片”的厚度nR，底面就是“小圆片”的下底面。

由勾股定理可得第i层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径：
22
)]1([inRRr

i
，（i＝1,2,3，···，n）

第i层“小圆片”的体积为：
V≈π2ir·nR＝2311ninR，（i＝1,2,3，···，n）
半球的体积：V半径＝V1＋V2＋···＋Vn
≈nR3{1＋（1－221n）＋（1－222n）＋···＋［1－22)1(nn］}
＝nR3［n－2222)1(21nn•••］（注：)12)(1(6121222•••nnnn）

＝nR3［n－6)12()1(12•nnnn＝236)12)(1(1(nnnR）＝6)12)(11(13nnR
①
当所分的层数不断增加，也就是说，当n不断变大时，①式越来越接近于半球的
体积，如果n无限变大，就能由①式推出半径的体积。
事实上，n增大，n1就越来越小，当n无限大时，n1趋向于0，这时，有
V半径＝332R，所以，半径为R的球的体积为： V＝
3
3

4
R


1..3.2球的体积和表面积（2）
球的表面积推导方法（设球的半径为R，利用球的体积公式推导类似方法）
（1）分割。把球O的表面分成n个“小球面片”，设它们的表面积分别是S1，S2，……
Sn，那么球的表面积为：S＝S1＋S2＋……＋Sn
把球心O和每一个“小球面片”的顶点连接起来，整个球体被分成n个以“小球
面片”为底，球心为顶点的“小锥体”。例如，球心与第i个“小球面片”顶点相连后
就得到一个以点O为顶点，以第i个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体”
的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么
“小锥体”的底面几乎是“平”的，（好象地球一样），这时，每一个“小锥体”就近
似于棱锥，它们的高近似于球的半径R。
（2）求近似和。设n个“小锥体”的体积分别为V1，V2，…，Vn
那么球的体积为：V＝V1＋V2＋…＋Vn
由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的
近似值。第i个“小锥体”对应的棱锥以点O为顶点，以点O与第i个“小球面片”
顶点的连线为棱。设它的高为hi，底面面积为S’i，于是，它的体积为：
V’i＝31hi S’i，（i＝1,2,…，n）
这样就有：Vi≈31hi S’i，（i＝1,2,…，n）
V≈31（h1 S’1＋h2 S’2 ＋…＋hn S’n） ①
（3）转化为球的表面积。分割得越细密，也就是每一个“小球面片”越小，“小锥体”
就越接近于棱锥，如果分割无限加细，每一个“小球面片”都无限变小，那么hi （i
＝1,2,…，n）就趋向于R，S’i就趋向于 Si，于是，由①可得：V＝31RS

又V＝334R，所以，有334R＝31RS 即： S＝4πR
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