2014年河北省唐山市高考理科数学二模试题及答案解析

试卷类型：A 2014年河北省唐山市高考理科数学二模试题及答案解析 理科数学 说明： 一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分． 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案． 四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．

第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

（1）已知a∈R，若1＋ai2－i为实数，则a＝ （A）2 （B）－2 （C）－ 1 2 （D） 1 2

（2）已知命题p：函数y＝e|x－1|的图象关于直线x＝1对称，q：函数y＝cos(2x＋  6)的图象关于点(  6，0)对称，则下列命题中的真命题为 （A）p∧q （B）p∧q （C）p∧q （D）p∨q

（3）设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则2x＋y的最大值和最小值分别为 （A）1，－1 （B）2，－2 （C）1，－2 （D）2，－1

（4）执行右边的程序框图，若输出的S是2047，则判断框内应填写 （A）n≤9？ （B）n≤10？ （C）n≥10？ （D）n≥11?

（5）已知sinα＋2cosα＝3，则tanα＝ （A）22 （B）2 （C）－22 （D）－2

（6）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(  2)＝

开始 否 结束 输出S

是

n＝0，S＝0 S＝S＋2n n＝n＋1

3π45π

12

yxO（A）－32 （B）－22 （C）32 （D）22

（7）将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有 （A）240种 （B）120种 （C）60种 （D）180种

（8）直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在半径为2的球面上，AB＝AC＝3，AA1＝2，则二面角B-AA1-C的余弦值为

（A）－ 1 3 （B）－ 1 2 （C） 1 3 （D） 1 2

（9）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A）1136 （B）3

（C）533 （D）433 （10）若正数a，b，c满足c2＋4bc＋2ac＋8ab＝8，则 a＋2b＋c的最小值为 （A）3 （B）23 （C）2 （D）22

（11）已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是 （A）[ 1 2，1) （B）[22，32] （C）[22，1) （D）[32，1)

（12）若不等式lg1x＋2x＋„＋(n－1)x＋(1－a)nxn≥(x－1)lgn对任意不大于1的实数x和大于1的正整数n都成立，则a的取值范围是 （A）[0，＋∞) （B）(－∞，0]

（C）[ 1 2，＋∞) （D）(－∞， 1 2] 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． （13）商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg）服从正态分布N(10，0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为__________．（精确到0.0001） 注：P(μ－σ＜x≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜x≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜x≤μ＋3σ)＝0.9974． （14）已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，2)，若a，b在向量c上的投影相等，且(c－a)·(c－b)

＝－ 5 2，则向量c的坐标为________．

（15）已知F1，F2为双曲线C：x2－y23＝1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝_________．

侧视图 俯视图 正视图

1 1

2 3 （16）在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A－C＝90，则cosB＝________． 三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 在公差不为0的等差数列{an}中，a3＋a10＝15，且a2，a5，a11成等比数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn＝1an＋1an＋1＋„＋1a2n－1，证明： 1 2≤bn＜1． （18）（本小题满分12分） 甲向靶子A射击两次，乙向靶子B射击一次．甲每次射击命中靶子的概率为0.8，命中得5分；乙命中靶子的概率为0.5，命中得10分． （Ⅰ）求甲、乙二人共命中一次目标的概率； （Ⅱ）设X为二人得分之和，求X的分布列和期望．

（19）（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，BD⊥PC，E是PA的中点． （Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面EBD；

（Ⅱ）若PA＝AB＝2，直线PB与平面EBD所成角的正弦值为 1 4，求四棱锥P-ABCD的体积．

EP

CBAD （20）（本小题满分12分） 已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：(x－2)2＋y2

＝1的两条切线，切点为A，B，|AB|＝423． （Ⅰ）求抛物线E的方程； （Ⅱ）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标．

（21）（本小题满分12分） 已知函数f(x)＝x2－lnx－ax，a∈R． （Ⅰ）若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)＜0，求a的取值范围；

（Ⅱ）若f(x)＝x有两个不同的实数解u，v（0＜u＜v），证明：f(u＋v2)＞1．

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，E是圆O内两弦AB和CD的交点，过AD延长线上一点F作圆O的切线FG，G为切点，已知EF＝FG．求证： （Ⅰ）△DEF∽△EAF； （Ⅱ）EF∥CB．

BC

EGO

ADF

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，BP→＝2PA→，点P的轨迹为曲线C． （Ⅰ）以直线AB的倾斜角α为参数，求曲线C的参数方程； （Ⅱ）求点P到点D(0，－2)距离的最大值．

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x－a|－|x＋3|，a∈R． （Ⅰ）当a＝－1时，解不等式f(x)≤1； （Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f(x)≤4，求a的取值范围．

唐山市2013—2014学年度高三年级第二次模拟考试 理科数学参考答案

一、选择题： A卷：CABAA BBDCD CD B卷：DBBAA BADCD DC 二、填空题：

（13）0.0228 （14）( 1 2， 3 2) （15） 1 4 （16） 3 4 三、解答题： （17）解： （Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d．由已知得

a1＋2d＋a1＋9d＝15，(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋10d)． 注意到d≠0，解得a1＝2，d＝1． 所以an＝n＋1． „4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知

bn＝1n＋1＋1n＋2＋„＋12n，bn＋1＝1n＋2＋1n＋3＋„＋12n＋2，

因为bn＋1－bn＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝12n＋1－12n＋2＞0， 所以数列{bn}单调递增． „8分 bn≥b1＝ 1 2． „9分

又bn＝1n＋1＋1n＋2＋„＋12n≤1n＋1＋1n＋1＋„＋1n＋1＝nn＋1＜1， 因此 1 2≤bn＜1． „12分 （18）解： （Ⅰ）记事件“甲、乙二人共命中一次”为A，则 P(A)＝C120.8×0.2×0.5＋0.22×0.5＝0.18． „4分 （Ⅱ）X的可能取值为0，5，10，15，20． P(X＝0)＝0.22×0.5＝0.02，P(X＝5)＝C120.8×0.2×0.5＝0.16， P(X＝10)＝0.82×0.5＋0.22×0.5＝0.34，P(X＝15)＝C120.8×0.2×0.5＝0.16， P(X＝20)＝0.82×0.5＝0.32． X的分布列为 X 0 5 10 15 20 P 0.02 0.16 0.34 0.16 0.32 „10分 X的期望为 E(X)＝0×0.02＋5×0.16＋10×0.34＋15×0.16＋20×0.32＝13． „12分