名师专用【部编人教版】高中数学选修2-2知识点、考点
高中数学选修2-2基础精品讲义
ex ' ex
ln x ' 1
x
tan
x
'=
sin cos
x x
'=
1 cos2
x
cot
x
'=
cos sin
x x
'=
1 sin2 x
六、和、差、积、商的导数
七、复合函数的求导法则：复合函数 y f (g(x)) 的导数和函数 y f (u) ， u g(x) 的导数间的关系为 yx ' yu ' ux ' 。
（1）
y
1 5 x2
+2 log3
x；
（3） f (x) (x2 1)(2x 3) ；
（2） y 5 x3 1 ； x
（4） y= 1 ln x ． 1 ln x
4
考点四：求曲线的切线方程
例
1、求曲线
y
sin(
x) 在点
A(
, 1)
处的切线方程．
2
32
例
2、曲线
y
1
e2
x
在点
(4,
1 A． m / s
44 3
1 B． m / s
43 3
1 C． m / s
23 3
1
D．
2 ，则 lim k 0
f (x0
k) 2k
f (x0 )
________。
考点三：利用公式求导函数
例 1、求下列函数的导数：
（1） y x13 ；
（2）
y
1 x3
；
（4） y log3 x ； （5） y sin x ；
（3） y 4 x ； （6） y 1 ．
高中数学选修2系列知识点
选修2-1、2-2、2-3知识点选修2-1第一章 常用逻辑用语 1. 命题及其关系① 四种命题相互间关系： ② 逆否命题同真同假 2. 充分条件与必要条件p 是q 的充要条件：p q ⇔p 是q 的充分不必要条件：,p q q p ⇒¿ p 是q 的必要不充分条件：,q p p q ⇒¿ p 是q 的既充分不必要条件：,p q qp 靠3. 逻辑联结词 “或”“且”“非”4. 全称量词与存在量词 注意命题的否定形式（联系反证法的反设），主要是量词的变化. 例：“a=1”是“0,21ax x x∀>+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 第二章 圆锥曲线与方程 1.2.“回归定义” 是一种重要的解题策略。
如：（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时，常用定义结合解三角形（一般是余弦定理）的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决。
3. 直线与圆锥曲线的位置关系（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程（注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0∆>、0∆=、0∆<.应注意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关系)常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等；②点差法（主要适用中点问题，设而不求，注意需检验，化简依据：12122100212,2,22x x y y y y x y k x x ++-===-）（2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（注意斜率是否存在）① 直线具有斜率k ，两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y1212AB x y =-=- ② 直线斜率不存在,则12AB y y =-.（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。
【26份】高中数学人教A版选修2-2教学课件 共838张PPT
第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1 数系的扩充和复数的概念 第20课时 数系的扩充和复数的概念 第21课时 复数的几何意义 3．2 复数代数形式的四则运算 第22课时 复数代数形式的加减运算及其几何意义 第23课时 复数代数形式的乘除运算 第三章 章末专题整合
目标导航 1．了解函数的平均变化率的概念，会根据具体函数求出函数的平均 变化率． 2．理解瞬时速度的含义，了解并感受当Δt→0，用平均速度来逼近t0 时刻的瞬时速度的思想． 3．理解导数的概念，能利用导数的定义求某些函数的导数．
2 新视点· 名师博客 1.要准确了解平均变化率的概念 (1)Δx，Δy是一个整体符号，而不是Δ与x，y相乘． (2)x1，x2是定义域内不同的两点，因此Δx≠0，但Δx可正也可 负；Δy＝f(x2)－f(x1)是相应Δx＝x2－x1的改变量，Δy的值可正可负，也 可为零，因此，平均变化率可正可负，也可为零． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy ＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)． (4)在平均变化率中，当x1取定值后，Δx取不同的数值时，函数的 平均变化率不一定相同；当Δx取定值后，x1取不同的数值时，函数的 平均变化率也不一定相同．
知识点二 平均速度 1.设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，在t0到t0＋Δt这段时间 ft0＋Δt－ft0 Δs 内，物体运动的平均速度是 v ＝ ＝ Δt . Δt Δs 2．在匀速直线运动中，比值 Δt 是恒定的．在非匀速直线运动 Δs 中，比值 Δt 不是恒定的．要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物 Δs 体在每一时刻运动的快慢程度．注意结合物理学中的 Δt .
【练习1】 若函数f(x)＝x2－1，图象上点P(2,3)及其邻近一点 Δy Q(2＋Δx,3＋Δy)，则 ＝( ) Δx A．4 B．4Δx C．4＋Δx D．Δx
高中数学人教A版选修2-2课件 1-7 定积分的简单应用 第13课时《定积分的简单应用》
解析：(1)由v(t)＝8t－2t2≥0，得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，
当t＞4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，点P离开原点的路程为
s1＝4(8t－2t2)dt－6(8t－2t2)dt
0
4
＝4t2－23t3|40－4t2－23t3|64＝1328.
a
成的曲边梯形的面积．
【练习1】 曲线y＝cosx0≤x≤32π与坐标轴所围成的图形面积是
() A．2
B．3
5 C.2
D．4
3
3
解析：S＝ 2 a
cosxdx＋|
2
cosxdx|＝
2
0
cosxdx－
2
cosxdx＝sinx|
2 0
－
(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度 在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间， 然后分别计算，否则会出现计算失误．
变式探究2 (1)一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)
的速度运动，则该物体在3 s～6 s间的运动路程为( )
A．46 m
3
(3t2－2t＋4)dt＝()－(8
2
－4＋8)＝18.
答案：(1)B (2)D
考点三 利用定积分计算变力做功 例3 设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，由弹簧伸长到
30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使 弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．
∴W＝∫00.1250xdx＝25x2|00.12＝0.36(J)． 答案：0.36 J
部编版高中数学选修二综合测试题考点大全笔记
(名师选题)部编版高中数学选修二综合测试题考点大全笔记单选题1、已知数列{a n}，{b n}都是等差数列，a1=1，b1=5，且a21−b21=34，则a11−b11的值为（）A．-17B．-15C．17D．15答案：D分析：结合等差数列的通项公式可求得d1−d2=1910，进而可求出结果.因为数列{a n}，{b n}都是等差数列，设数列{a n}，{b n}的公差分别为d1,d2，又a1=1，b1=5，且a21−b21=34，则(a1+20d1)−(b1+20d2)=34，即d1−d2=1910，所以a11−b11=(a1+10d1)−(b1+10d2)=−4+10(d1−d2)=15，故选：D.2、已知等比数列{a n}中，a3=4，a2a7=8a4，则a1=（）A．1B．2C．±1D．±2答案：B分析：根据等比数列通项公式列方程计算即可.等比数列{a n}中，a3=4，a2a7=8a4，则{a1q2=4a12q7=8a1q3，解得q2=2,a1=2，故选：B．3、已知函数f(x)=(x2−a)e x，则“a≥−1”是“f(x)有极值”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：求导函数，判断导函数的符号，确定有极值时a的范围即可. f′(x)=(x2+2x−a)e x=0，x2+2x−a=0，Δ=4+4a．若Δ=4+4a≤0，a≤−1则f′(x)=(x2+2x−a)e x≥0恒成立，f(x)为增函数，无极值；若Δ=4+4a>0，即a>−1，则f(x)有两个极值．所以“a≥−1”是“f(x)有极值”的必要不充分条件．故选:B4、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则“Sn+1>Sn”是“{an}单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：D分析：由S n+1>S n⇒a n+1>0，举反例a n=12n >0和a n=−12n即可得出结果S n+1>S n⇒a n+1>0，例如a n=12n>0，但是数列{a n}不单调递增，故不充分；数列{a n}单调递增，例如a n=−12n，但是S n+1<S n，故不必要；故选：D5、标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的√1010倍，若视力4.0的视标边长为a，则视力4.9的视标边长为（）A．1045a B．10910a C．10−45a D．10−910a答案：D分析：由等比数列的通项公式计算．设第n 行视标边长为a n ，第n −1行视标边长为a n−1(n ≥2)， 由题意可得a n−1=√1010a n (n ≥2)，则a na n−1=10−110(n ≥2)，则数列{a n }为首项为a ，公比为10−110的等比数列，所以a 10=a (10−110)10−1=10−910a ，则视力4.9的视标边长为10−910a ，故选：D.6、在等差数列{a n }中，a 1=−9，a 5=−1．记T n =a 1a 2…a n (n =1,2,…)，则数列{T n }（ ）． A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项 答案：B分析：首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.由题意可知，等差数列的公差d =a 5−a 15−1=−1+95−1=2，则其通项公式为：a n =a 1+(n −1)d =−9+(n −1)×2=2n −11， 注意到a 1<a 2<a 3<a 4<a 5<0<a 6=1<a 7<⋯， 且由T 5<0可知T i <0(i ≥6,i ∈N )， 由T i T i−1=a i >1(i ≥7,i ∈N )可知数列{T n }不存在最小项，由于a 1=−9,a 2=−7,a 3=−5,a 4=−3,a 5=−1,a 6=1， 故数列{T n }中的正项只有有限项：T 2=63，T 4=63×15=945. 故数列{T n }中存在最大项，且最大项为T 4. 故选：B.小提示：本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.7、在等差数列{a n }中，a 1=−2022，其前n 项和为S n ，若S1010−S 88=2，则S 2022=（ ）A ．2021B ．-2021C ．-2022D ．2022 答案：C分析：由等差数列前n 项和公式可得数列{Sn n}为等差数列，根据S 1010−S 88=2可得公差为1，即可求解S 20222022的值，即可得出结论.解：因为数列{a n }为等差数列，故S n =n(a 1+a n )2，则Snn =a 1+a n2，当n ≥2时，Sn−1n−1=a 1+a n−12，则S n n −Sn−1n−1=a 1+a n2−a 1+a n−12=a n −a n−12，所以数列{Sn n }为等差数列，设其公差为d ．又S1010−S 88=2d =2，即d =1，又S11=a 1=−2022，所以Snn =−2022+(n −1)=−2023+n ，所以S 20222022=−2023+2022=−1，即S 2022=−2022．故选：C.8、已知{a n }是公差为d 的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 3=3a 1+3，则d =（ ） A ．−2B ．−1C ．1D ．2 答案：C解析：根据{a n }是公差为d 的等差数列，且S 3=3a 1+3，利用等差数列的前n 项和公式求解. 因为{a n }是公差为d 的等差数列，且S 3=3a 1+3， 所以3a 1+3d =3a 1+3， 解得d =1， 故选：C 多选题9、等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 3+a 8+a 13是一个定值，则下列各数也为定值的有A ．a 7B ．a 8C ．S 15D ．S 16 答案：BC解析：根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果. 由等差中项的性质可得a 3+a 8+a 13=3a 8为定值，则a 8为定值，S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8为定值，但S 16=16(a 1+a 16)2=8(a 8+a 9)不是定值.故选：BC.小提示：本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 10、下列结论中正确的有（ ）A ．若y =sin π3，则y ′=0B ．若f(x)=3x 2−f ′(1)x ，则f ′(1)=3 C ．若y =−√x +x ，则y ′=2√x+1D ．若y =sinx +cosx ，则y ′=cosx +sinx答案：ABC解析：根据常见的基本初等函数的导数公式和常用的导数运算法则求解即可. 选项A 中，若y =sin π3=√32，则y ′=0，故A 正确；选项B 中，若f(x)=3x 2−f ′(1)⋅x ，则f ′(x)=6x −f ′(1)， 令x =1，则f ′(1)=6−f ′(1)，解得f ′(1)=3，故B 正确； 选项C 中，若y =−√x +x ，则y ′=2√x1，故C 正确；选项D 中，若y =sinx +cosx ，则y ′=cosx −sinx x ，故D 错误． 故选:ABC小提示：1 .常见的基本初等函数的导数公式 (1)(C )′＝0 (C 为常数); (2)(x n )′＝nx n－1(n∈N ＋)；(3)(sinx )′＝cosx ; (cosx )′＝−sinx ； (4)(e x )′＝e x ;(a x )′＝a x lna(a >0，且a ≠1)； (5)(ln x )'=1x ；(log a x )'=1x log a e(a>0 ，且a ≠1)． 2 .常用的导数运算法则法则1：[u (x )±v (x )]′＝u′(x )±v′(x ) ． 法则2：[u (x )v (x )]′＝u′(x )v (x )＋u (x )v′(x )． 法则3：[u (x )v (x )]′＝u′(x )v (x )−u (x )v′(x )v 2(x)(v 2(x )≠0)11、下列导数运算正确的有（ ） A ．(1x )′=1x 2B ．(xe x )′=(x +1)e xC．(e2x)′=2e2x D．(ln2x)′=2x答案：BC分析：根据导数的运算法则逐项运算排除可得答案.对于A，(1x )′=(x−1)′=−x−2=−1x2，故错误；对于B，(xe x)′=x′e x+x(e x)′=(x+1)e x，故正确；对于C，(e2x)′=(2x)′e2x=2e2x，故正确；对于D，(ln2x)′=(2x)′12x =1x，故错误.故选：BC.填空题12、已知a n=n2−tn+2022(n∈N+,t∈R)，若数列{a n}中最小项为第3项，则t∈______．答案：(5,7)分析：结合二次函数的图像和性质即可知52<t2<72，从而可求出t的取值范围.因为f(x)=x2−tx+2020开口向上，对称轴为x=t2，则由题意知52<t2<72，所以t∈(5,7)．所以答案是：(5,7).。
高中数学人教B版选修2-2精品课件 1.4.2微积分基本定理
1 1 2 2 2 2 (3) x－x ＋ xdx＝ xdx－ x dx＋ dx x
2 1
2
1
1
1
3 x2 x 3 7 5 2 2 2 ＝ 1 － 1 ＋lnx1 ＝ － ＋ln2＝ln2－ . 2 3 2 3 6
2 2 2 2 2 2 (x ＋2x＋1)dx＝ x dx＋ 2xdx＋ 1dx [解析] (1)
1 1 1 1
x3 19 2 2 2 2 ＝ 1 ＋x 1 ＋x1 ＝ . 3 3
π π π (sinx－cosx)dx＝ sinxdx－ cosxdx (2)
(4)
0 －π
(cosx＋ex)dx＝
0 － π
0 －π
cosxdx＋
0 －π
exdx
＝sinx
＋e － π
0 x
1 ＝1－ π. e
归纳总结
求解 f(x)在区间[a，b]上的定积分，要正确利用定积分的性 质，把被积函数分解成简单基本初等函数的导函数的形式，再 利用微积分基本定理求解．在比较熟练的情况下，也可根据求 导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，直接找出原函数．
2 1
问题探究
探究点二 用定积分求平面图形的面积
例2、求y＝－x2与y＝x－2围成图形的面积S.
[解析]
y＝x－2 如图，由 2 y ＝－ x
得交点 A(－2，－4)，B(1，－1)． ∴围成图形的面积
1 2 S＝ [－x －(x－2)]dx
-2
4.定积分的几何意义 (1)当 f(x )≥0 时, 定积分 f(x)dx 表示由直线 y=f (x)所围成的曲边梯形的面积(图 1). 和曲线
高中数学选修-2课后习题答案[人教版]
高中数学选修2-2课后习题答案第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升.练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想.练习（P9）函数33()4Vr V π=(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数.习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆.所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=.因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一.1.2 导数的计算练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin 33xy '=-； （6）21y x '=-.习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r rπ∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、3213()34r V Vπ'=. 4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）2323sin cos cos sin x x x x xy x-+'=； （4）9899(1)y x '=+； （5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++. 5、()822f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+，解得032x =6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-.7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.习题1.2 B 组（P19）1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1.3 导数在研究函数中的应用练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减. 4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数.练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为注：图象形状不唯一.211149()6()212121224f =⨯--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54；当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-.（3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-.习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈.因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值； （2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值； （3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+.令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-.（3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-.（4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-.习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略 （2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减1.4 生活中的优化问题举例习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+， 所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2Vh R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+，0R >. 令2()40VS R R Rπ'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>.（第2题）（第3题）因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点.此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2xm ，半圆的面积为28x π2m ，矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x al x x x x xπππ=++-=++，0x <<令22()104al x xπ'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大, 习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<.令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b -=-+⨯=--，54ba x <<.令845()0c ac bc L x x b b +'=-+=，解得458a bx +=. 当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<.当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.1.5 定积分的概念练习（P42）83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n '∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =.于是 111()nnni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]n i i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n nn n n n-=-⋅--⋅-⋅+2231[12]2n n=-++++ 31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+111(1)(1)232n n=-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤.练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50）1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）； 距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式 11()nni i i b af x b a nξ==-∆==-∑∑， 从而 11lim nban i b adx b a n→∞=-==-∑⎰，说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义，0⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此04π=⎰.5、（1）03114x dx -=-⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得10133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得22333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为02331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x dx -⎰，23x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）；不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）（3）409.81tdt ⎰； 49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n -， 记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =），其长度为 (1)il i l l x n n n-∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作：12,,,n m m m ∆∆∆，则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l iln nξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l il n n -上质量 2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =）. （3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑. （4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm nξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..1.6 微积分基本定理练习（P55）（1）50； （2）503； （3）533-； （4）24； （5）3ln 22-； （6）12； （7）0； （8）2-. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.习题1.6 A 组（P55）1、（1）403； （2）13ln 22--； （3）9ln 3ln 22+-；（4）176-； （5）2318π+； （6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰.它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和.习题1.6 B 组（P55）1、（1）原式＝221011[]222x e e =-； （2）原式＝4611[sin 2]224x ππ=-； （3）原式＝3126[]ln 2ln 2x =. 2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=-=---=⎰；（2）sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=|=--=⎰；（3）21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx m πππππππ----==-=⎰⎰；（4）21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰.3、（1）0.202220()(1)[]49245245t kt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k ----=-=+=+-=+-⎰.（2）由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围. 根据指数函数的性质，当0t >时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<， 因此，500052454949t <<. 因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯，52450.2749245 1.2410e-⨯-≈⨯，所以，70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而，在解方程0.2492452455000t t e -+-=时，0.2245t e -可以忽略不计.因此，.492455000t -≈，解之得 524549t ≈（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握.1.7 定积分的简单应用练习（P58）（1）323； （2）1. 说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59）1、52533(23)[3]22s t dt t t =+=+=⎰（m ）.2、424003(34)[4]402W x dx x x =+=+=⎰（J ）.习题1.7 A 组（P60）1、（1）2； （2）92. 2、2[]b b a a q q q qW k dr k k k r r a b ==-=-⎰. 3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度.最大高度为 4240(4010)[405]80h t dt t t =-=-=⎰（m ）. 4、设t s 后两物体相遇，则 20(31)105t tt dt tdt +=+⎰⎰，解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇.此时，物体A 离出发地的距离为 523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）.5、由F kl =，得100.01k =. 解之得1000k =. 所做的功为 0.120.10010005005W ldl l ==|=⎰（J ）.6、（1）令55()501v t t t=-+=+，解之得10t =. 因此，火车经过10s 后完全停止. （2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112s t dt t t t t =-+=-++=+⎰（m ）. 习题1.7 B 组（P60）1、（1）a-⎰表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，因此22aa π-=⎰（2）1]x dx ⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x=所围成的图形（如图所示）的面积，因此，210111]114242x dx ππ⨯=-⨯⨯=-⎰. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为2y ax =，则2()2b h a =⨯，所以24ha b=.（第1（2）题）从而抛物线的方程为 224h y x b =. 于是，抛物线拱的面积232202204422()2[]33b b h h S h x dx hx x bh b b =-=-=⎰.3、如图所示.解方程组223y x y x⎧=+⎨=⎩得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =. 于是，所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明：2[]()R hR h R RMm Mm MmhW Gdr G G r r R R h ++==-=+⎰. 第一章 复习参考题A 组（P65）1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x xy x+'=； （2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-； （3）22ln ln 2xxy x x '=+； （4）2422(21)x x y x -'=+.3、32GMmF r'=-. 4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略. 5、因为32()f x x =，所以32()3f x x'=.当32()03f x x '=>，即0x >时，()f x 单调递增；当32()03f x x'=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =.7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+， 所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=，即3cx =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >. 由于 当3cx =时，所以，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =.8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x a x a --=--，即1()1y x a a =--.当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -.因此，AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--.令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去. 由于所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2. 9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m. 所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++，0 1.6x <<.令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=. 所以，415x =-（舍去），或1x =. 当(0,1)x ∈时，()0V x '>；当(1,1.6)x ∈时，()0V x '<. 因此，1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时，旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤. 令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =. 所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x，打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯23168.396655.9072 6.34x x =--，5.0898.38x <<.令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点. 所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.14、（1）2； （2）22e -； （3）1；（4）原式＝22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x xdx x x dx x x x xπππ-=-=+=+⎰⎰； （5）原式＝22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰. 15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =，得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰（J ）第一章 复习参考题B 组（P66）1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-. （2）当05t ≤<时，()0b t '>，所以细菌在增加；当55t <<+时，()0b t '<，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S .因为212S r α=，2l r r α-=，所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r -=，4lr =，此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=.因此，222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得3h R =.容易知道，3h R =是函数()V h 的极大值点，也是最大值点.所以，当3h R =时，容积最大.把h =代入222r h R +=，得r =.由2R r απ=，得3α=.所以，圆心角为3α=时，容积最大. 4、由于28010k =⨯，所以45k =. 设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+，0x >令0y '=，即29600160x -=，24x ≈.容易知道，24x =是函数y 的极小值点，也是最小值点.当24x =时，960020(1624)()9412424⨯+÷≈（元／时） 所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元. 5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360x y x x =++⨯，50100x ≤≤ 令0y '=，解得53x ≈（km ／h ）. 此时，114y ≈（元） 容易得到，53x ≈是函数y 的极小值点，也是最小值点.因此，当53x ≈时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.6、原式＝4404422022[]2xx x x x e dx e dx e dx e e e e -----=+=-+|=+-⎰⎰⎰. 7、解方程组 2y kxy x x =⎧⎨=-⎩得，直线y kx =与抛物线2y x x =-交点的横坐标为0x =，1k -.抛物线与x 轴所围图形的面积2312100111()[]23236x x S x x dx =-=-=-=⎰.由题设得 1120()2k k S x x dx kxdx --=--⎰⎰3122101()[]23kkk x x x kx dx x ---=--=-⎰3(1)6k -=.又因为16S =，所以31(1)2k -=. 于是12k =-.说明：本题也可以由面积相等直接得到111220()()kkkx x kx dx kxdx x x dx -----=+-⎰⎰⎰，由此求出k 的值. 但计算较为烦琐.第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理练习（P77）1、由12341a a a a ====，猜想1n a =.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积， 则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅. 练习（P81）1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，其中p 是非零常数，则{}n a 是等比数列； ……………………大前提 又因为0cq ≠，则0q ≠，则11n n nn a cq q a cq++==； ……………………………小前提 所以，通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论 3、由AD BD >，得到ACD BCD ∠>∠的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中.习题2.1 A 组（P83）1、21n a n =+()n N *∈. 2、2F V E +=+. 3、当6n ≤时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *∈.4、212111(2)n n A A A n π++≥-（2n >，且n N *∈）. 5、121217n n b b b b b b -=（17n <，且n N *∈）.6、如图，作DE ∥AB 交BC 于E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形ABED 是平行四边形.（第6题）因为平行四边形的对边相等.又因为四边形ABED 是平行四边形. 所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的.又因为△DEC 是等腰三角形, 所以DEC C ∠=∠ 因为平行线的同位角相等又因为DEC ∠与B ∠是平行线AB 和DE 的同位角, 所以DEC B ∠=∠ 因为等于同角的两个角是相等的，又因为DEC C ∠=∠，DEC B ∠=∠, 所以B C ∠=∠习题2.1 B 组（P84）1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+. 2、略. 3、略. 2.2 直接证明与间接证明练习（P89）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2θθθθθθθ-=+-=，所以，命题得证.2>，只需证22>，即证1313+>+>，只需要22>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，命题得证. 3、因为 222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b αααα-=-+==， 又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab αααααααααα+-=+-=⋅22222222sin (1cos )sin sin 161616sin tan cos cos αααααααα-===， 从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P91）1、假设B ∠不是锐角，则90B ∠≥︒. 因此9090180C B ∠+∠≥︒+︒=︒.这与三角形的内角和等于180°矛盾.所以，假设不成立. 从而，B ∠一定是锐角.2=所以22=，化简得5=225=，即2540=， 这是不可能的. 所以，假设不成立..说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点.习题2.2 A 组（P91）1、由于0a ≠，因此方程至少有一个跟b x a=. 假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设12,x x 是它的两个不同的根，则 1ax b = ①2ax b = ②①－②得12()0a x x -=因为12x x ≠，所以120x x -≠，从而0a =，这与已知条件矛盾，故假设不成立. 2、因为 (1tan )(1tan )2A B ++=展开得 1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ①假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A B A B -=，即cos()0cos cos A B A B +=所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B π<+<，从而2A B π+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -≠.①式变形得 tan tan 11tan tan A BA B +=-， 即tan()1A B +=.又因为0A B π<+<，所以4A B π+=. 说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.3、因为 1tan 12tan αα-=+，所以12tan 0α+=，从而2sin cos 0αα+=.另一方面，要证 3sin 24cos2αα=-，只要证226sin cos 4(cos sin )αααα=-- 即证 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=， 即证 (2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=由2sin cos 0αα+=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=，于是命题得证.说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.4、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b a c=+. 假设2B π<不成立，即2B π≥，则B 是ABC ∆的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边）， 从而11112a c b b b +>+=. 这与211b a c=+矛盾. 所以，假设不成立，因此，2B π<.习题2.2 B 组（P91）1、要证2s a <，由于22s ab <，所以只需要2s s b<，即证b s <.因为1()2s a b c =++，所以只需要2b a b c <++，即证b a c <+. 由于,,a b c 为一个三角形的三条边，所以上式成立. 于是原命题成立. 2、由已知条件得 2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ② 要证2a cx y+=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy += 由①②，得 22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2xy a b b c ab b ac bc ab ac bc =++=+++=++， 所以，224ay cx xy +=，于是命题得证. 3、由 tan()2tan αβα+= 得sin()2sin cos()cos αβααβα+=+，即sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+. ……①要证 3sin sin(2)βαβ=+即证 3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++即证 3[sin()cos cos()sin ]sin()cos cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++ 化简得sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+，这就是①式. 所以，命题成立.说明：用综合法和分析法证明命题时，经常需要把两者结合起来使用.。
部编版高中数学选修二综合测试题考点总结
(名师选题)部编版高中数学选修二综合测试题考点总结单选题1、等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3，S n为{a n}的前n项和．若S m=63，则m的值是（）A．6B．7C．8D．不存在答案：A分析：利用基本量代换，求出公比q，再根据前n项和公式，即可求出m.等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3，则q2=a5a3=4，则q=±2．当q=2时，若S m=63，则有1×(1−2m)1−2=63，解得m=6；当q=−2时，若S m=63，则有1×[1−(−2)m]1−(−2)=63，整理可得(−2)m=−188，无整数解．故m=6．故选：A．2、已知S n为数列{a n}的前n项和，若S2=6,a n+1=2a n，则S100=（）A．252−4B．252−2C．2100−2D．2101−2答案：D分析：利用a n+1=2a n得到公比q=2，利用S2=6求出首项，利用求和公式求出答案.因为a n+1=2a n，所以数列{a n}为等比数列，公比q=2，所以S2=a1+2a1=6，解得：a1=2，所以S100=2(1−2100)1−2=2101−2故选：D3、下列求导运算不正确．．．的是（）A．(cosx)′=−sinx B．(log2x)′=1xln2C．(e−x)′=e−x D．(√x )′=2x√x答案：C分析：根据基本初等函数的导数以及求导运算法则判断即可.由基本初等函数导数可知：(cosx)′=−sinx，(log2x)′=1xln2，故AB正确；由复合函数求导法则可知：(e−x)′=e−x×(−x)′=−e−x，故C错误；又幂函数的导数可知：(√x )′=(x−12)′=−12x−32=2x√x，故D正确；故选：C.4、若曲线y=x−12在点(a,a−12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=（）A．24B．32C．64D．86答案：C分析：根据导数的几何意义可求切线斜率即可求出切线方程，由直线求出截距可得三角形面积. ∵y=x−12，∴y′=−12x−32，∴曲线在点(a,a−12)处的切线斜率k=−12a−32，∴切线方程为y−a−12=−12a−32(x−a).令x=0，得y=32a−12；令y=0，得x=3a.∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=12⋅3a⋅32a−12=94a12=18，∴a=64.故选：C5、已知函数f(x)的定义域为(a,b)，导函数f′(x)在区间(a,b)上的图象如图所示，则函数f(x)在区间(a,b)上的极大值点的个数为（）A．4B．3C．2D．1答案：B分析：通过导函数的图象得到导函数的符号，进而得到原函数的单调性，进而判断出极大值个数.极大值点在导函数f ′(x )的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负，由导函数的图象可知极大值点共有3个. 故选:B.6、已知数列{a n }满足a n =1+2+4+⋯+2n−1，则数列{2n a n a n+1}的前5项和为（ ）A ．131B ．163C ．3031D ．6263答案：D分析：先求出a n =2n+1−1，得到2nan a n+1=12n −1−12n+1−1，利用裂项相消法求和.因为a n =1+2+4+⋯+2n−1=2n −1,a n+1=2n+1−1， 所以2na n a n+1=2n(2n −1)(2n+1−1)=(2n+1−1)−(2n −1)(2n −1)(2n+1−1)=12n −1−12n+1−1.所以{2na n a n+1}前5项和为(121−1−122−1)+(122−1−123−1)+⋯+(125−1−126−1)=121−1−126−1=1−163=6263故选：D7、函数f(x)=13x 3−x 2+ax −5在区间[-1，2]上不单调，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-∞，-3]B ．(-3，1)C ．[1，+∞)D ．(-∞，-3]∪[1，+∞) 答案：B分析：利用导数求出函数f(x)=13x 3−x 2+ax −5在区间[-1，2]上单调时a 的范围，再根据补集思想可得答案.f ′(x)=x 2−2x +a =(x −1)2+a −1，如果函数f(x)=13x 3−x 2+ax −5在区间[-1，2]上单调， 那么a -1≥0或{f ′(−1)≤0f ′(2)≤0 ，即{1+2+a ≤04−4+a ≤0，解得a ≥1或a ≤-3，所以当函数f(x)=13x 3−x 2+ax −5在区间[-1，2]上不单调时，−3<a <1. 故选：B8、设a ≠0，若x =a 为函数f (x )=a (x −a )2(x −b )的极大值点，则（ ）A．a<b B．a>b C．ab<a2D．ab>a2答案：D分析：先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到a,b所满足的关系，由此确定正确选项.若a=b，则f(x)=a(x−a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a≠b.∴f(x)有x=a和x=b两个不同零点，且在x=a左右附近是不变号，在x=b左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x=a左右附近都是小于零的.当a<0时，由x>b，f(x)≤0，画出f(x)的图象如下图所示：由图可知b<a，a<0，故ab>a2.当a>0时，由x>b时，f(x)>0，画出f(x)的图象如下图所示：由图可知b>a，a>0，故ab>a2.综上所述，ab>a2成立.故选：D小提示：本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.多选题9、记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1+3a5=S7，则以下结论一定正确的是（）A．a4=0B．S n的最大值为S3C．S6=S1D．|a3|<|a5|答案：AC分析：根据等差数列的定义及前n项和公式可求得公差d与a1的关系，再对各项进行逐一判断即可.设等差数列的公差为d，因为a1+3a5=S7，可得a1+3(a1+4d)=7a1+21d，解得a1=−3d，又由a n=a1+(n−1)d=(n−4)d，所以a4=0，所以A正确；因为公差d的正负不能确定，所以S3可能为最大值最小值，故B不正确；由S6−S1=a2+a3+a4+a5+a6=5a4=0，所以S6=S1，所以C正确；因为a3+a5=2a4=0，所以a3=−a5，即|a3|=|a5|，所以D错误.故选:AC.10、（多选）设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)+xf(x)=lnx，f(1)=12，则下列结论不正确的是（）A．xf(x)在(0,+∞)单调递增B．xf(x)在(1,+∞)单调递增C．xf(x)在(0,+∞)上有极大值D．xf(x)在(0,+∞)上有极小值答案：AC分析：由题意构造函数g(x)=xf(x)，利用导数判断g(x)的单调性和极值情况.由x2f′(x)+xf(x)=lnx可得：x>0，xf′(x)+f(x)=lnxx ，即[xf(x)]′=lnxx.令g(x)=xf(x)，则令g′(x)=lnxx>0，解得：x>1；令g′(x)<0，解得：0<x<1；所以函数g(x)=xf(x)在(0,1)单减，在(1,+∞)单增.在x=1处取得极小值，也是最小值g(1)=1×f(1)=12，无极大值.故选：AC11、已知函数f(x)=xln(1+x)，则（ ） A ．f(x)在(0,+∞)单调递增 B ．f(x)有两个零点C ．曲线y =f(x)在点(−12,f (−12))处切线的斜率为−1−ln2D ．f(x)是偶函数 答案：AC解析：根据函数的定义域可判断D ，利用函数的导数的正负可判断A ，利用导数的几何意义可判断C ，根据函数值的情况及零点定义可判断B.由f(x)=xln(1+x)知函数的定义域为(−1,+∞)， f ′(x)=ln(1+x)+x 1+x，当x ∈(0,+∞)时，ln(1+x)>0,x 1+x>0，∴f ′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)单调递增，A 正确；由f(0)=0，当−1<x <0时，ln(1+x)<0,f(x)=xln(1+x)>0， 当ln(1+x)>0,f(x)>0，所以f(x)只有0一个零点，B 错误；令x =−12，f ′(−12)=ln 12−1=−ln2−1，故曲线y =f(x)在点(−12,f (−12))处切线的斜率为−1−ln2，C 正确；由函数的定义域为(−1,+∞)，不关于原点对称知，f(x)不是偶函数，D 错误. 故选：AC小提示：关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜率，属于中档题. 填空题12、若直线y =2x +a 是函数f (x )=x +lnx 的图象在某点处的切线，则实数a =____________. 答案：−1分析：利用f ′(x )=2求得切点坐标，代入切线方程，从而求得a .令f′(x)=1+1=2，解得x=1，所以切点为(1,1)，x将(1,1)代入切线y=2x+a得1=2+a,a=−1.所以答案是：−1。
高中数学选修2
•绪论•概率论基础•数理逻辑初步•数列与数学归纳法•复数与三角函数•导数与微分•总结与展望目录01绪论数学的意义和作用数学是自然科学的基础01数学是工程技术的支撑02数学是社会科学的重要工具03高中数学选修2的目的和内容目的内容学习方法和要求学习方法学生应该注重课堂听讲，积极参与课堂讨论，及时完成课后作业和练习。
同时，学生还应该学会自主学习，通过阅读教材、参考书和网上资源等途径加深对知识点的理解和掌握。
要求学生应该掌握每个模块的基本概念、原理和方法，能够运用所学知识解决实际问题。
此外，学生还应该具备一定的数学思维和创新能力，能够独立思考和解决问题。
同时，学生还应该注重数学在实际生活中的应用，将数学知识与实际生活相结合。
02概率论基础随机事件与概率随机事件在一定条件下并不总是发生，而且我们不能预知其结果的事件。
例如，抛掷一枚硬币出现正面或反面是一个随机事件。
概率用来量化随机事件发生的可能性的数值。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
概率的基本性质包括非负性、规范性（所有可能事件的概率之和为1）和可加性（互斥事件的概率之和等于它们各自概率的和）。
古典概型与几何概型古典概型01几何概型02古典概型与几何概型的区别03条件概率与独立性条件概率事件的独立性条件概率与独立性的关系两个事件的相互独立性多个事件的相互独立性相互独立性的应用事件的相互独立性03数理逻辑初步命题与逻辑联结词命题陈述句，可以判断真假。
逻辑联结词包括“且”、“或”、“非”等，用于连接命题构成复合命题。
真值表用于判断复合命题真假的表格，列出所有可能的命题组合及其对应的真假值。
充分条件、必要条件和充要条件必要条件充分条件如果A是B的必要条件，那么必然需要A发生，但导致B发生。
充要条件推理规则反证法归纳法030201简单的逻辑推断04数列与数学归纳法数列的概念和通项公式数列的定义按照一定顺序排列的一列数。
部编版高中数学选修二综合测试题带答案基础知识点归纳总结
(名师选题)部编版高中数学选修二综合测试题带答案基础知识点归纳总结单选题1、已知f(x)=x 2−xf ′(1)，则f ′(6)等于（ ） A ．11B ．10C ．8D ．12、函数f(x)=x(lnx)2的减区间是（ ） A ．(0,1e 2)B ．(0,1e )C ．(1e 2,1)D ．(1e ,1)3、已知函数f (x )=13x 3+a2x 2+x +1在(−∞,0)，(3,+∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[−103,−52]B ．(−∞,−2] C ．(−103,−2]D ．(−103,−52)4、下列求导计算正确的是（ ） A ．(lnx 2x )′=lnx+12x 2B ．[ln(2x +1)]′=22x+1C ．(2x+1)′=2x+11ln2D ．(2xsin x2cos x 2)′=cosx5、已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，则“Sn +1>Sn ”是“{an }单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E ”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”的边长的√1010倍，若视力4.0的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A ．1045a B ．10910a C ．10−45a D ．10−910a7、已知函数f (x )={x 2+1,x ≥0−x 3+3x +a,x <0 的值域为[1,+∞)，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,+∞)B ．(1,+∞)C ．(3,+∞)D ．[3,+∞) 8、函数f(x)=2x 2−lnx 的单调减区间是（ ） A ．(−∞，12)B ．(0，12)C ．(−∞，−12)和(0，12)D ．(12，+∞) 多选题9、若直线y =12x +b 是函数f (x )的图象的一条切线，则f (x )的解析式可以是（ ） A ．f (x )=1x B ．f (x )=x 4C ．f (x )=14sinx D ．f (x )=e x210、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，下列说法正确的是（ ） A ．若S n =n 2+1，则{a n }是等差数列 B ．若S n =3n −1，则{a n }是等比数列 C ．若{a n }是等差数列，则S 9=9a 5D ．若{a n }是等比数列，且a 1>0，q >0，则S 1S 3>S 2211、在数列{a n }中，若a n 2−a n−12=p （n ≥2，n ∈N ∗，p 为常数），则称{a n }为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有（ ）A ．若{a n }是等差数列，则{a n 2}是等方差数列B ．数列{(−1)n }是等方差数列C．若数列{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则数列{a n}一定是常数列D．若数列{a n}是等方差数列，则数列{a kn}（k∈N∗，k为常数）也是等方差数列填空题12、已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)=−x3+2f′(1)x+e x，则f′(1)的值等于__________.部编版高中数学选修二综合测试题带答案(六)参考答案1、答案：A分析：求导得f ′(x )=2x −f ′(1)，则f ′(1)=2−f ′(1)，解得f ′(1)的值，代入即可求得结果. f(x)=x 2−xf ′(1)，求导得f ′(x )=2x −f ′(1)， 则f ′(1)=2−f ′(1)，解得f ′(1)=1， 故f(x)=x 2−x ， f ′(6)=2×6−1=11， 故选：A. 2、答案：C分析：求得f ′(x)=(lnx)2+2lnx ，根据减函数有f ′(x)<0求减区间即可. 由题意，f ′(x)=(lnx)2+x ⋅2lnx x=(lnx)2+2lnx ，令f ′(x)<0，得−2<lnx <0，则1e 2<x <1，故f(x)的减区间是(1e 2,1). 故选：C 3、答案：A分析：由题意可得f ′(x)=0两个根分别位于[0,1]和[2,3]上，所以{ f ′(0)≥0f ′(1)≤0f ′(2)≤0f ′(3)≥0 ，从而解不等式组可求出实数a的取值范围.由f (x )=13x 3+a2x 2+x +1，得f ′(x )=x 2+ax +1．因为f (x )在(−∞,0)，(3,+∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减， 所以方程f ′(x )=0的两个根分别位于区间[0,1]和[2,3]上， 所以{ f ′(0)≥0f ′(1)≤0f ′(2)≤0f ′(3)≥0 ，即{1≥0,1+a +1≤0,4+2a +1≤0,9+3a +1≥0,解得−103≤a ≤−52.故选：A ．4、答案：B分析：利用导数的四则运算和复合函数的导数，即得解 (lnx 2x )′=1−lnx 2x 2，A 错误；[ln(2x +1)]′=22x+1，B 正确； (2x+1)′=2x+1ln2，C 错误；(2xsin x2cos x 2)′=(xsinx)′=sinx +xcosx ，D 错误． 故选：B ． 5、答案：D分析：由S n+1>S n ⇒a n+1>0，举反例a n =12n >0和a n =−12n 即可得出结果 S n+1>S n ⇒a n+1>0，例如a n =12n>0，但是数列{a n }不单调递增，故不充分；数列{a n }单调递增，例如a n =−12n ，但是S n+1<S n ，故不必要； 故选：D 6、答案：D分析：由等比数列的通项公式计算．设第n 行视标边长为a n ，第n −1行视标边长为a n−1(n ≥2)， 由题意可得a n−1=√1010a n (n ≥2)，则a na n−1=10−110(n ≥2)，则数列{a n }为首项为a ，公比为10−110的等比数列，所以a 10=a (10−110)10−1=10−910a ，则视力4.9的视标边长为10−910a ，故选：D. 7、答案：D分析：求出函数y =x 2+1在x ≥0时值的集合， 函数y =−x 3+3x +a 在x <0时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.当x ≥0时，f(x)=x 2+1在[0,+∞)上单调递增，∀x ∈[0,+∞)，f(x)≥f(0)=1，则f(x)在[0,+∞)上值的集合是[1,+∞)，当x<0时，f(x)=−x3+3x+a，f′(x)=−3x2+3=−3(x+1)(x−1)，当x<−1时，f′(x)<0，当−1<x<0时，f′(x)>0，即f(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,0)上单调递增，∀x<0，f(x)≥f(−1)=a−2，则f(x)在(−∞,0)上值的集合为[a−2,+∞)，因函数f(x)={x2+1,x≥0−x3+3x+a,x<0的值域为[1,+∞)，于是得[a−2,+∞)⊆[1,+∞)，则a−2≥1，解得a≥3，所以实数a的取值范围是[3,+∞).故选：D8、答案：B分析：根据函数求导，然后由f′(x)<0求解.因为函数f(x)=2x2−lnx，所以f′(x)=4x−1x =4x2−1x=4(x−12)(x+12)x，由f′(x)<0，解得0<x<12，所以函数的单调递减区间是(0,12)，故选：B9、答案：BD分析：求出每个选项中函数f′(x)的值域，由此可得出合适的选项.直线y=12x+b的斜率k=12.对于A，f′(x)=−1x2<0，A选项不满足条件；对于B，f′(x)=4x3，函数f′(x)的值域为(−∞,+∞)，故f′(x)=12有解，B选项满足条件；对于C，f′(x)=14cosx∈[−14,14]，C选项不满足条件；对于D，f′(x)=12e x2>0，f′(x)=12有解，D选项满足条件.故选：BD. 10、答案：BC分析：A.先根据a n =S n −S n−1(n ≥2)求解出{a n }在n ≥2时的通项，然后验证n =1是否符合，由此即可判断； B.同A ，先根据a n =S n −S n−1(n ≥2)计算出{a n }的通项公式，然后根据通项即可判断； C.根据等差数列的前n 项和公式进行化简计算并判断；D.采用作差法化简计算S 1⋅S 3−S 22的结果，根据结果进行判断即可.若S n =n 2+1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n −1，a 1=2不满足a n =2n −1，故A 错误. 若S n =3n −1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2⋅3n−1，且a 1=S 1=2，则a n ={2.3n−1,n ≥22,n =1 ，又a 1=2满足a n =2⋅3n−1，所以{a n }是等比数列，故B 正确. 若{a n }是等差数列，则S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5，故C 正确.S 1⋅S 3−S 22=a 12(1+q +q 2)−a 12(1+q)2=−a 12q <0，故D 错误.故选：BC. 11、答案：BCD分析：利用等方差数列的定义判断.A.设{a n }等差数列的通项公式a n =kn +b ，则a n 2−a n−12=(a n +a n−1)(a n −a n−1)=(a n +a n−1)d =(2kn −k +2b )d ，不一定是常数，所以{a n 2}不是等方差数列，故错误；B. 因为a n 2−a n−12=(−1)2n −(−1)2(n−1)=0，所以数列{(−1)n }是等方差数列，故正确；C.因为数列{a n }是等方差数列，则a n 2−a n−12=p ，又数列{a n }是等差数列，则a n 2−a n−12=(a n +a n−1)(a n −a n−1)=(a n +a n−1)d =p ，当d =0时，数列{a n }是常数列，当d ≠0时，a n =d2+p2d ，所以数列{a n }一定是常数列，故正确；D.数列{a kn }是a k ,a 2k ,a 3k ,...因为(a k+12−a k 2)=(a k+22−a k+12)=(a k+32−a k+22)=...=(a 2k 2−a 2k−12)=p ， 则(a k+12−a k 2)+(a k+22−a k+12)+(a k+32−a k+22)+...+(a 2k 2−a 2k−12)=kp ， 所以(a kn+12−a kn 2)=kp ，所以数列{a kn }（k ∈N ∗，k 为常数）也是等方差数列，故正确；故选：BCD 12、答案：3−e解析：先对f(x)=−x3+2f′(1)x+e x求导，再将x=1代入即可求解. 由题意可得f′(x)=−3x2+2f′(1)+e x，令x=1得f′(1)=−3+2f′(1)+e，即f′(1)=3−e.所以答案是：3−e小提示：本题主要考查了导数的运算，属于基础题.。
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最新审定版试题 欢迎下载！ 数学选修2----2知识点 第一章 导数及其应用 知识点： 一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()yfx在0xx处的瞬时变化率是
000()()limxfxxfxx
，
我们称它为函数()yfx在0xx处的导数，记作0()fx或0|xxy， 即0()fx=000()()limxfxxfxx 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点nP趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易
知道，割线nPP的斜率是00()()nnnfxfxkxx，当点nP趋近于P时，函数()yfx在0xx处的导
数就是切线PT的斜率k，即0000()()lim()nxnfxfxkfxxx 3. 导函数：当x变化时，()fx便是x的一个函数，我们称它为()fx的导函数. ()yfx的导函数有时也记作y,即0()()()limxfxxfxfxx 考点：无 知识点： 二.导数的计算 1）基本初等函数的导数公式:
1若()fxc(c为常数)，则()0fx；
2 若()fxx,则1()fxx; 3 若()sinfxx,则()cosfxx 4 若()cosfxx,则()sinfxx; 5 若()xfxa,则()lnxfxaa 6 若()xfxe,则()xfxe 最新审定版试题 欢迎下载！ 7 若()logxafx,则1()lnfxxa 8 若()lnfxx,则1()fxx 2）导数的运算法则 1. [()()]()()fxgxfxgx
2. [()()]()()()()fxgxfxgxfxgx
3. 2()()()()()[]()[()]fxfxgxfxgxgxgx 3）复合函数求导 ()yfu和()ugx,称则y可以表示成为x的函数,即(())yfgx为一个复合函数
(())()yfgxgx 考点：导数的求导及运算 ★1、已知22sinfxxx，则'0f ★2、若sinxfxex，则'fx ★3.)(xf=ax3+3x2+2 ，4)1(f，则a=（ ）
319.316.313.310.DCBA
★★4.过抛物线y=x2上的点M)41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° ★★5.如果曲线2932yx与32yx在0xx处的切线互相垂直，则0x= 三.导数在研究函数中的应用 知识点： 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
在某个区间(,)ab内，如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间单调递增；
如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数()yfx的极值的方法是: 最新审定版试题 欢迎下载！ -2 2
x
y O 1 -1
-1
1
(1) 如果在0x附近的左侧()0fx,右侧()0fx,那么0()fx是极大值; (2) 如果在0x附近的左侧()0fx,右侧()0fx,那么0()fx是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系.
求函数()yfx在[,]ab上的最大值与最小值的步骤
（1） 求函数()yfx在(,)ab内的极值； （2） 将函数()yfx的各极值与端点处的函数值()fa，()fb比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 四.生活中的优化问题 利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题
考点：1、导数在切线方程中的应用
2、导数在单调性中的应用 3、导数在极值、最值中的应用 4、导数在恒成立问题中的应用 一、题型一：导数在切线方程中的运用
★1.曲线3xy在P点处的切线斜率为k,若k=3，则P点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）
C.（2，8） D.（－21，－81） ★2.曲线53123xxy，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ）
A.6 B.4 C.3 D.43 二、题型二：导数在单调性中的运用
★1.(05广东卷)函数32()31fxxx是减函数的区间为( ) A.(2,) B.(,2) C.(,0) D.(0,2) ★2．关于函数762)(23xxxf，下列说法不正确的是（ ） A．在区间（，0）内，)(xf为增函数 B．在区间（0，2）内，)(xf为减函数 C．在区间（2，）内，)(xf为增函数 D．在区间（，0）),2(内,)(xf为增函数 ★★3．(05江西)已知函数()yxfx的图象如右图所示(其中'()fx是函数最新审定版试题 欢迎下载！ ()fx的导函数)，下面四个图象中()yfx的图象大致是（ ）
★★★4、（2010年山东21）（本小题满分12分） 已知函数).(111)(Raxaaxnxxf
（Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1fxfya
（Ⅱ）当12a≤时，讨论()fx的单调性． 三、导数在最值、极值中的运用： ★1.（05全国卷Ⅰ）函数93)(23xaxxxf，已知)(xf在3x时取得极值，则a=（ ） A．2 B. 3 C. 4 D.5
★2．函数5123223xxxy在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16 ★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数)0()(3adcxaxxf是R上的奇函数，当1x时)(xf取得极值－2.
（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值； ★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数2312)(bxaxexxfx，已知12xx和为)(xf的极值点。 （1）求ba,的值； （2）讨论)(xf的单调性； 第二章 推理与证明 知识点：
O -2 2 x y 1 -1 -2 1 2 O x y -2 -2 2
1 -1
1
2 O -2
4 x
y
1 -1 -2
1 2 O -2 2
x
y -1 2 4
A B C
D 最新审定版试题
欢迎下载！ 1、归纳推理 把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 归纳推理的一般步骤： 通过观察个别情况发现某些相同的性质；
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；
证明（视题目要求，可有可无）.
2、类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
检验猜想。
3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理. 归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理． 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式———“三段论”，包括 ⑴大前提-----已知的一般原理； ⑵小前提-----所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断． 5、直接证明与间接证明 ⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果. ⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 要点：逆推证法；执果索因. ⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤： (1)（反设）假设命题的结论不成立； (2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止； (3)（归谬）断言假设不成立； (4)（结论）肯定原命题的结论成立. 6、数学归纳法 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法. 用数学归纳法证明命题的步骤; （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值*00()nnN时命题成立； （2）（归纳递推）假设*0(,)nkknkN时命题成立，推证当1nk时命题也成立. 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n开始的所有正整数n都成立.
考点：无