2016人教A版数学(理)课件：选修4-1_几何证明选讲
高考数学 试题汇编 第一节 几何证明选讲(选修41)
1 第一节 几何证明选讲(选修41)
相似三角形的判定与性质 考向 聚焦
该考点主要考查相似三角形的判定与性质、直角三角形射影定理及平行线分线段成比例定理,一般不单独考查,常结合圆的有关知识,解决比例线段的计算与证明问题,难度不大,以填空题、解答题为主,分值5~10分
备考 指津 (1)判定三角形相似的思路:①条件中若有一对角相等,可找另一对角相等或找夹这对角的两边成比例;②条件中若有两边的比相等,可找夹角相等或证另一组对应边的比等于已知两边的比;③条件中若有等腰三角形,可找顶角相等或找一对底角相等或两三角形的底和腰的比对应相等; (2)解题中要注意观察图形特点,巧添辅助线,构造平行或相似三角形,可起到事半功倍的效果
1.
(2011年陕西卷,文15)如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,则AE= . 解析:由∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°知△ABE∽△ADC,
则=,AE===2. 答案:2 2.
(2010年天津卷,文11)如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P,若PB=1,PD=3,则的值为 . 解析:在△ADP与△CBP中, ∵∠PBC=∠PDA,∠P=∠P,∴△CBP∽△ADP, 2
∴=. 又∵PB=1,PD=3,∴=. 答案: 3.
(2012年新课标全国卷,文22,10分)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明: (1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD. 证明:(1)因为D,E分别为AB,AC的中点, 所以BC∥DE. 又CF∥AB,故四边形BCFD为平行四边形, 所以CF=BD=AD.而CF∥AD,连结AF, 所以ADCF是平行四边形,故CD=AF. 由CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC. (2)因为FG∥BC,所以GB=CF, 由(1)知BD=CF,所以GB=BD. 而∠DGB=∠EFC=∠DBC=∠GDB,故△BCD ∽△GBD. 4.
高考数学试题分类汇编：第20部分：选修4-1几何证明选讲 Word版含答案[ 高考]
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第20部分：选修4-1几何证明选讲一、填空题：1．（2010年高考天津卷文科11）如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P 。
若PB=1，PD=3，则BC AD 的值为 。
【答案】13【解析】因为ABCD 四点共圆，所以∠DAB =∠PCB ，∠CDA=∠PBC ，因为∠P 为公共角，所以PBC ∆∽PAB ∆，所以PB PD =PC PA =BC AD ，所以BC AD =PB PD =13。
【命题意图】本题考查四点共圆与相似三角形的性质。
2．（2010年高考广东卷文科14）（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB,CB AB ⊥,AB=AD=a ,CD=2a , 点E,F 分别为线段AB,AD 的中点，则EF= 。
【答案】2a 解：连结DE ，可知AED ∆为直角三角形。
则EF 是DEA Rt ∆斜边上的中线，等于斜边的一半，为2a . 3．（2010年高考陕西卷文科15）（几何证明选做题）如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝ cm. 【答案】165cm二、解答题：1．（2010年高考辽宁卷文科22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点.E（Ⅰ）证明：ABE ∆∽△ADC ;（Ⅱ）若ABC ∆的面积12S AD AE =⋅，求BAC ∠的大小. 证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD .因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .（Ⅱ）因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AD AE AC=，即AB ·AC ＝AD ·AE . 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE . 则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°.2(2010年高考宁夏卷文科22)（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图：已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（Ⅰ）ACE ∠=BCD ∠。
人教版数学选修4-1《几何证明选讲》基础训练题及答案
高中数学选修4-1《几何证明选讲》练习题（二）1．(2018·天津卷)如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P.若PB ＝1，PD ＝3，则BCAD的值为________．解析： ∵∠P ＝∠P ，∠A ＝∠PCB ， ∴△PCB ∽△PAD. ∴PB PD ＝BC AD ＝13. 答案： 132．(2018·湖南卷)如图所示，过⊙O 外一点P 作一条直线与⊙O 交于A ，B 两点，已知PA ＝2，点P 到⊙O 的切线长PT ＝4，则弦AB 的长为______．解析： 由切割线定理知 PT 2＝PA·PB，∴PB ＝422＝8.∴弦AB 的长为PB －PA ＝8－2＝6.答案： 63．如图所示，已知PC 、DA 为⊙O 的切线，C 、A 分别为切点，AB 为⊙O 的直径，若DA ＝2，CD DP ＝12，则AB ＝________.解析： 由CD ＝DA ＝2，∴DP ＝4.在Rt △ADP 中，AP ＝42－22＝2 3.由切割线定理：PC 2＝PA·PB，∴62＝23(23＋AB)，∴AB ＝4 3. 答案： 4 34．(2018·陕西卷)如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BDDA＝________.解析： ∵∠C ＝90°，AC 为圆的直径， ∴BC 为圆的切线，AB 为圆的割线．∴BC 2＝BD·BA，即16＝BD·5，解得BD ＝165.∴DA ＝BA －BD ＝5－165＝95.∴BD DA ＝169.答案： 1695．(2018·广东东莞)如图，已知PA 、PB 是圆O 的切线，A 、B 分别为切点，C 为圆O 上不与A 、B 重合的另一点，若∠ACB ＝120°，则∠APB ＝________.解析： 连结OA 、OB ，∠PAO ＝∠PBO ＝90°， ∵∠ACB ＝120°，∴∠AOB ＝120°.又P 、A 、O 、B 四点共圆，故∠APB ＝60°. 答案： 60°6．(2018·广东佛山)如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝________.解析： 由切割线定理知，PC 2＝PA·PB，解得PC ＝2 3. 又OC ⊥PC ，故CD ＝PC·OC PO ＝23×24＝ 3.答案：37．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，且AC ＝2 2 cm ，过C 的割线CMN 交AB的延长线于点D ，CM ＝MN ＝ND ，则AD 的长等于________cm.解析： 由切割线定理知|CA|2＝|CM|·|CN|＝2|CM|2，因为|CA|＝22， 所以|CM|＝2，|CD|＝6，所以|AD|＝|CD|2－|CA|2＝27. 答案： 278．(2018·广东卷)如图，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝2a3，∠OAP ＝30°，则CP ＝______.解析： ∵AP ＝PB ，∴OP ⊥AB.又∵∠OAP ＝30°，∴AP ＝32a.由相交弦定理得CP·PD＝AP 2，∴CP ＝AP 2PD ＝34a 2×32a ＝98a.答案： 98a9．(2018·北京卷)如图，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A.若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝______，CE ＝______.解析： 由圆的割线定理知： AB·AC＝AD·AE，∴AE ＝8，∴DE ＝5.连接EB ，∵∠EDB ＝90°， ∴EB 为直径．∴∠ECB ＝90°. 由勾股定理，得 EB 2＝DB 2＋ED 2＝AB 2－AD 2＋ED 2＝16－9＋25＝32.在Rt △ECB 中，EB 2＝BC 2＋CE 2＝4＋CE 2，∴CE 2＝28，∴CE ＝27. 答案： 5 2710．如图，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，已知⊙O 的半径为3，PA ＝2，则PC ＝________，OE ＝________.解析： 因为PB ＝PA ＋AB ＝8， 所以在⊙O 中，由切割线定理得： PC 2＝PA·PB＝2×8＝16，故PC ＝4； 连结OC ，则OC ⊥CP ，在Rt △OCP 中，由射影定理得：PC 2＝PE·PO，则PE ＝PC 2PO ＝165.故OE ＝PO －PE ＝95.答案： 4 9511．如图，自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 的中点，过M 引割线交圆于B 、C 两点．求证：∠MCP ＝∠MPB.证明： ∵PA 与圆相切于A ，∴MA 2＝MB·MC.∵M 为PA 的中点，∴PM ＝MA ，∴PM 2＝MB·MC，∴PM MC ＝MB PM. ∵∠BMP ＝∠PMC ，∴△BMP ∽△PMC ， ∴∠MCP ＝∠MPB.12．如图，已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，连结DB 、DE 、OC.若AD ＝2，AE ＝1，求CD 的长．解析： 由切割线定理得AD 2＝AE·AB， 所以AB ＝4，EB ＝AB －AE ＝3.又∵∠OCD ＝∠ADE ＝90°－∠CDB ，∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ACO ， ∴AD AE ＝AC AO ，即21＝CD ＋22.5，CD ＝3. 答：CD 的长等于3.13．(2018·江苏卷)如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC.证明： 如图所示，连接OD ，BD ，因为CD 为⊙O 的切线，AB 为直径， 所以∠ADB ＝∠ODC ＝90°. 所以∠ODA ＝∠BDC. 又因为DA ＝DC ， 所以∠DAB ＝∠DCB. 所以△ADO ≌△CDB.所以OA ＝BC ，从而AB ＝2BC.14．已知弦AB 与⊙O 半径相等，连接OB 并延长使BC ＝OB. (1)问AC 与⊙O 的位置关系是怎样的； (2)试在⊙O 上找一点D ，使AD ＝AC. 解析： (1)∵AB 与⊙O 半径相等， ∴△OAB 为正三角形， ∠OAB ＝60°＝∠OBA ， 又∵BC ＝OB ＝AB ，∴∠C ＝∠BAC ＝30°，故∠OAC ＝90°， ∴AC 与⊙O 相切．(2)延长BO 交⊙O 于D ，则必有AD ＝AC. ∵∠BOA ＝60°，OA ＝OD ， ∴∠D ＝30°， 又∵∠C ＝30°，∴∠C ＝∠D ，得AD ＝AC.15．(2018·辽宁卷)如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E. (1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD·AE，求∠BAC 的大小．解析： (1)证明：由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧所对的圆周角， 所以∠AEB ＝∠ACD.故△ABE ∽△ADC.(2)因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝ADAC，即AB·AC＝AD·AE.又S ＝12AB·ACsin∠BAC ，且S ＝12AD·AE，故AB·ACsin∠BAC ＝AD·AE.则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝90°.16．如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE ∥AC ，并交CD 于E ，交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC ＝ED ＝1，PA ＝2.(1)求AC 的长； (2)求证：EF ＝BE.解析： (1)∵PA 2＝PC·PD，PA ＝2，PC ＝1，∴PD ＝4. 又∵PC ＝ED ＝1，∴CE ＝2.∵∠PAC ＝∠CBA ，∠PCA ＝∠CAB ， ∴△PAC ∽△CBA ， ∴PC AC ＝AC AB，∴AC 2＝PC·AB＝2，∴AC ＝ 2. (2)证明：∵CE·ED＝BE·EF，BE ＝AC ＝2，∴EF ＝2·12＝2，∴EF ＝BE.17．如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B ，C ，∠APC 的角平分线分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，求证：(1)AD ＝AE ；(2)AD 2＝D B·EC.【解析方法代码108001161】证明： (1)∠AED ＝∠EPC ＋∠C ，∠ADE ＝∠APD ＋∠PAB.因为PE 是∠APC 的角平分线，故∠EPC ＝∠APD ， 又PA 是⊙O 的切线，故∠C ＝∠PAB. 所以∠AED ＝∠ADE.故AD ＝AE.(2)⎭⎪⎬⎪⎫∠PCE ＝∠PAD ∠CPE ＝∠APD ⇒△PCE ∽△PAD ⇒EC AD ＝PCPA ；⎭⎪⎬⎪⎫∠PEA ＝∠PDB ∠APE ＝∠BPD ⇒△PAE ∽△PBD ⇒AE DB ＝PAPB .又PA 是切线，PBC 是割线⇒PA 2＝PB·PC ⇒PA PB ＝PC PA.故EC AD ＝AE DB，又AD ＝AE ，故AD 2＝DB·EC.18．如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB 、FC.(1)求证：FB ＝FC ；(2)求证：FB 2＝FA·FD；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6 cm ，求AD 的长.【解析方法代码108001162】 解析： (1)证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC. ∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC.∵∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ， ∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC.(2)证明：∵∠FAB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ，∴△FBA ∽△FDB.∴FB FD ＝FAFB，∴FB 2＝FA·FD.(3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝12∠EAC＝60°，∴∠BAC＝∠BFC＝60°，∠FDB＝30°，∴△FBC为正三角形，又BC＝6，在Rt△ABC中，∴AC＝23，∴在Rt△ACD中，AD＝4 3.。
【恒心】高考数学冲刺复习-选修4-1(几何证明选讲)知识点精华总结【清华大学张云翼校对】【李炳璋提供】
选修4-1几何证明选讲编者：李炳璋校对：张云翼（清华大学）【***】感激并感谢好友张云翼对此份材料一丝不苟的校对！也希望用到此份材料的童鞋们，怀揣一颗感恩之心，感谢你们张学长的认真校对，向他学习，学习他那种的严谨的态度。
他不愧是能以高分考入清华大学的学生，他不仅仅是你们的榜样，更是李炳璋我的偶像！李炳璋（原名李东升）---全国唯一一位曾经连续三年命中过高考试题中理科和文科一些试题的人平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
平分线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
相似三角形的判定及性质。
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。
直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。
圆周角定理（注意一条弦对应两个弧，也就对应两个圆周角。
2016届人教A版高考数学大一轮复习课件 选修4-1 选修 第2讲
基础诊断
考点突破 第九页，编辑于星期五：十八点 四十四分。
4.(2015·广 州 调 研 ) 如 图 ， 四 边 形 ABCD 内 接 于 ⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为 A，∠MAB＝35°，则∠D＝________.
基础诊断
考点突破 第六页，编辑于星期五：十八点 四十四分。
诊断自测
1.如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC ＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则 BP长为________． 解析 连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定 理知，AC2＝AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4. 答案 6.4
基础诊断
考点突破 第十四页，编辑于星期五：十八点 四十四分。
【训练1】 如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆 于点E. (1)证明：△ABE∽△ADC； (2)若△ABC 的面积 S＝12AD·AE，求∠BAC 的大 小． (1)证明 由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角． 所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
割线 定理
PAB、PCD
(1)PA·PB ＝_P_C_·_P_D_
是⊙O 的 (2)△PAC
割线
∽_△__P_D_B_
(1)求线段 PA、 PB、PC、PD (2)应用相似求 AC、BD
基础诊断
考点突破 第四页，编辑于星期五：十八点 四十四分。
定理 基本图形
名称
条件
结论
应用
切割 线定 理
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《红对勾讲与练系列》高三文科数学二轮复习专题八第一讲 几何证明选讲选修4-1(共49张 P P T)
解析：由切割线定理EA2＝EB·ED，得62＝EB·(EB＋
5)，经计算EB＝4，∠EAB＝∠ACB＝∠ABC，所以AE∥
BC，又因为AC∥BD，所以四边形AEBC是平行四边形，可
得BC＝AE＝6，AC＝EB＝4.∠C＝∠C，∠CAF＝∠D＝∠
C＝∠ABC，所以△CAF∽△CBA，所以
AC BC
＝
(1)求证：四点A，I，H，E共圆； (2)若∠C＝50°，求∠IEH的度数．
(2)因为△ABE∽△ADC，所以AADB＝AACE， 即AB·AC＝AD·AE. 又S＝12AB·AC·sin∠BAC，且S＝12AD·AE， 故AB·AC·sin∠BAC＝AD·AE. 则sin∠BAC＝1，又∠BAC为△ABC的内角，所以∠ BAC＝90°.
1．如下图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且 AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.
＝ A8B ，∴AB
＝4.
答案：4
3．(2014·陕西卷)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直 径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝ ________.
解析：因为四边形BCFE为圆内接四边形，所以∠AEF
＝∠C，∠AFE＝∠B，故△AEF∽△ACB，从而
AE AC
＝ BECF
1．(2014·湖南卷)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦， AO⊥BC，AB＝ 3，BC＝2 2，则⊙O的半径等于_____．
解析：设线段AO交BC于点D延长AO交圆于另外一点 E，则BD＝DC＝ 2 ，由三角形ABD的勾股定理可得AD＝ 1，由双割线定理可得BD·DC＝AD·DE⇒DE＝2，则直径AE ＝3⇒r＝32，故填32.
答案：32
高考复习数学(理)试题：选修4-1几何证明选讲Word版含答案
第一节相似三角形的判定及有关性质考纲要求：1.了解平行线截割定理．2．会证明并应用直角三角形射影定理．1．平行线的截割定理(1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．(2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定定理①判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．②判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．③判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．(2)相似三角形的性质定理①性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．②推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．(3)直角三角形相似的判定定理①判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．②判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．③判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(4)直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)梯形的中位线平行于两底，且等于两底和．( )(2)若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行．( )(3)在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，若AD 2＝BD ·CD ，则∠A 为直角．( ) (4)在直角三角形ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AD ，则BC 2＝BD ·AB .( ) (5)若两个三角形的相似比等于1，则这两个三角形全等．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√2.如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 分别交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为________．解析：由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8. 答案：83.如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.解析：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点，又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm. ∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：244.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB ＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23， ∴S △ADE S △ABC ＝49，故S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：45[典题1] (1)如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC的值．第(1)题图 第(2)题图(2)如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．[听前试做] (1)如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ，∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12. (2)设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MHAH ，∴x4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43.即△DEF 的边长为43.对于平行线分线段成比例定理，往往会以相似三角形为载体，通过三角形相似来构建相应线段比，从而解决问题．解题时要充分利用中点来作辅助线，建立三角形的中位线或梯形的中位线，从而有效利用平行线分线段成比例定理．如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋FGAD的值．解：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ， 故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC＝1.[典题2] 如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．[听前试做] (1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠BCE .又因为AD ＝AC ，所以∠ADC ＝∠ACB .所以△ABC ∽△FCD .(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ，所以S △ABCS △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20. 因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BDBM .因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，E 为AC 的中点，ED ，CB 延长线交于一点F .求证：FD 2＝FB ·FC .证明：∵E 是Rt △ACD 斜边中点，∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠1， ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A ，∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ， ∴∠FBD ＝∠FDC .∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ， ∴FB FD ＝FDFC ，∴FD 2＝FB ·FC .[典题3] 如图，在△ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，求AC .[听前试做] 在△ABC 中，设AC 为x ， ∵AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，又FC ＝1，根据射影定理，得AC 2＝FC ·BC ，即BC ＝x 2.再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ，即AF 2＝x 2－1， ∴AF ＝x 2－1.在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E . ∵BD ＝DC ＝1，∴BE ＝EC ＝12x 2.又∵AF ⊥BC ，∴DE ∥AF ，∴DE AF ＝DCAC ，∴DE ＝DC ·AF AC＝x 2－1x. 在Rt △DEC 中，∵DE 2＋EC 2＝DC 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 2＋⎝⎛⎭⎫12x 22＝12，∴x 2－1x 2＋x 44＝1. 整理得x 6＝4，∴x ＝32，即AC ＝32.(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”． (2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 是∠ABC 的角平分线，交AD 于点F ，求证：DF AF ＝AE EC.证明：∵BE 是∠ABC 的角平分线， ∴DF AE ＝BDAB ，① AF EC ＝AB BC.② 在Rt △ABC 中，由射影定理知， AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC .③由①③得DF AE ＝ABBC ，④由②④得DF AF ＝AEEC.—————————————[课堂归纳——感悟提升]——————————————[方法技巧]1．证明两个三角形相似的关键是根据判定定理找(证)两个三角形的边和角之间的数量关系．有的证明起来比较简单，但有的找边角关系比较困难，这就要求我们必须提高读图、识图、添加必要辅助线的能力．2．等积式的证明方法证明等积式，化成比例式，用分子、分母四个字母构造三角形，或等号同侧四个字母构造三角形，证此两三角形相似．不能构成三角形或三角形不相似需转化．[易错防范]1．平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在三角形与四边形中的灵活应用．2．证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解．1.在△ABC 中，∠BAC ＝90°，BC 边的垂直平分线EM 和AB 以及CA 的延长线分别交于D 、E ，连接AM ，求证：AM 2＝DM ·EM .证明：∵∠BAC ＝90°，M 是BC 边的中点，∴AM ＝CM ，∠MAC ＝∠C . 又∵EM ⊥BC ，∴∠E ＋∠C ＝90°.又∵∠BAM ＋∠MAC ＝90°，∴∠E ＝∠BAM . 又∵∠EMA ＝∠AMD ，∴△AMD ∽△EMA . ∴AM DM ＝EM AM，∴AM 2＝DM ·EM . 2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，DE ＝12CD ，BE 与AD 交于点F .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BAF ＝∠BCD ，AB ∥CD ， ∴∠ABF ＝∠CEB ，∴△ABF ∽△CEB . (2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF .∴S △DEF S △CEB ＝⎝⎛⎭⎫DE CE 2，S △DEF S △ABF ＝⎝⎛⎭⎫DE AB 2. 又DE ＝12CD ＝12AB ，∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE . ∴S △DEF S △CEB ＝⎝⎛⎭⎫DE CE 2＝19，S △DEF S △ABF ＝⎝⎛⎭⎫DE AB 2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8.∴平行四边形ABCD 的面积S ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.3．如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AFAC的值．解：∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CNF ， ∴AF CF ＝AE CN， ∴AF AF ＋CF ＝AE AE ＋CN. ∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM ＝1，∴AE ＝BN ，∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC . ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6，∴AF AC ＝22×2＋6＝15.4.如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E .求证：AE ·BF ＝2DE ·AF .证明：过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N .在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ， ∴DN ＝12BF .∵DN ∥AF ，∴△AFE ∽△DNE ， ∴AE AF ＝DE DN. 又DN ＝12BF ，∴AE AF ＝2DEBF ，即AE ·BF ＝2DE ·AF .5. (2016·南阳模拟)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，点F 在BC 上，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC .证明：设AB ＝AC ＝3a ，则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ， 由∠BAC ＝90°，∴∠EFC ＝90°，∴EF ⊥BC . (2)由(1)得EF ＝2a ，故AE EF ＝a 2a ＝22，AD FB ＝2a 22a ＝22， ∴AE EF ＝AD FB. ∵∠DAE ＝∠BFE ＝90°，∴△ADE ∽△FBE ，∴∠ADE ＝∠EBC .6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PFPE.证明：过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线及DC 于M ，N .对△MEF 有PF PE ＝AMAE ，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AMAF .对△MBN 有AB AM ＝BDDN ，因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DCDN .对△ADC 有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝ACAF .所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PFPE.第二节 直线与圆的位置关系考纲要求：1.会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理与性质定理． 2．会证明并应用相交弦定理，圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理．1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等． ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角． ②90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．(2)推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)同弧所对的圆心角与圆周角相等．()(2)若一个四边形的一个外角等于它的内角，则这个四边形的四个顶点共圆．()(3)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．()(4)弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半．()(5)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2.如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB，PD，P A＝AB＝5，CD＝3，则PC 的长为________．解析：设PC＝x，由割线定理知P A·PB＝PC·PD.即5×25＝x(x＋3)，解得x＝2或x＝－5(舍去)．故PC＝2.答案：23．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过P A的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.解析：由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝P A＝2QA＝4.答案：44．如图所示，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D，E分别是CA，CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，则AB＝________.解析：设x＝BC＝AD，由圆外一点向圆引两条割线的结论得到x(x＋10)＝4(x＋4)，∴x＝2，∴AB＝42－22＝2 3.答案：2 3[典题1](2015·新课标全国卷Ⅰ)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小．[听前试做](1)证明：如图，连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切线．(2)设CE＝1，AE＝x.由已知得AB＝23，BE＝12－x2.由射影定理可得AE2＝CE·BE，即x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.解得x＝3，所以∠ACB＝60°.(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF 为⊙O 的弦， 所以O 在AD 上． 连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°. 因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033.所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.[典题2] 如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． [听前试做] (1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC AF ＝DCAE ，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EF A ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连接CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补；(2)证明它的一个外角等于它的内对角；(3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用．如图，AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H.(1)求证：C，D，E，F四点共圆；(2)若GH＝6，GE＝4，求EF的长．解：(1)证明：连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD＝∠AFE，又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠AFE.∴C，D，E，F四点共圆．(2)∵C，D，E，F四点共圆，∴GE·GF＝GC·GD.∵GH是⊙O的切线，∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF.又GH＝6，GE＝4，∴GF＝9.∴EF＝GF－GE＝9－4＝5.[典题3]如图，P是⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2P A，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[听前试做]连接AB，AC.由题设知P A＝PD，故∠P AD＝∠PDA.(1)因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠P AD＝∠BAD＋∠P AB，∠DCA＝∠P AB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得P A2＝PB·PC.因为P A＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD ∥EC ；(2)若AD 是⊙O 2的切线，且P A ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长． 解：(1)证明：连接AB .因为AC 是⊙O 1的切线，所以∠BAC ＝∠ADB . 又∠BAC ＝∠CEP ，所以∠ADB ＝∠CEP ， 所以AD ∥EC .(2)法一：因为P A 是⊙O 1的切线，PD 是⊙O 1的割线， 所以P A 2＝PB ·PD ，即62＝PB ·(PB ＋9)． 所以PB ＝3或PB ＝－12(舍去)．在⊙O 2中由相交弦定理，得P A ·PC ＝BP ·PE ，所以PE ＝4. 所以DE ＝BD ＋PB ＋PE ＝9＋3＋4＝16. 因为AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线， 所以AD 2＝DB ·DE ＝9×16.所以AD ＝12. 法二：设BP ＝x ，PE ＝y . 因为P A ＝6，PC ＝2，所以由相交弦定理得P A ·PC ＝BP ·PE ，即xy ＝12.① 因为AD ∥EC ，所以DP PE ＝APPC ，所以9＋x y ＝62.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－1(舍去)，所以DE ＝9＋x ＋y ＝16.因为AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线， 所以AD 2＝DB ·DE ＝9×16.所以AD ＝12.—————————————[课堂归纳——感悟提升]——————————————[方法技巧]1．处理与圆有关的比例线段问题的常见思路：(1)利用相似三角形；(2)利用圆的有关定理；(3)利用平行线分线段成比例定理及推论；(4)利用面积关系．2．圆内接四边形的性质定理是探求圆中角相等或互补关系的常用定理，使用时要注意观察图形，弄清四边形的外角和它的内对角的位置．其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据，解题时要注意与圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及垂径定理的联系与综合．3．切点与圆心的连线与圆的切线垂直；过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心．4．相离两圆的内公切线夹在外公切线间的线段长等于两圆外公切线的长．[易错防范]1．圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系，从而证明三角形全等或相似，也可用于求线段的长或角的大小及与圆的切线有关的问题．2．相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解决问题时要注意相似三角形的知识及相关圆的性质的综合应用．1．如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的切线，连接OC.D为圆O上一点，且AD∥OC.(1)求证：CO平分∠DCB；(2)已知AD·OC＝8，求圆O的半径．解：(1)证明：连接OD，BD，∵AB是直径，∴AD⊥BD，∴OC⊥BD.设BD∩OC＝E，OD＝OB，OE＝OE，∴△BOE≌△DOE，∴BE＝DE，同理，△CBE≌△CDE，∴∠BCO＝∠DCO，∴CO平分∠DCB.(2)∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵AD∥OC，∴∠DOC＝∠ODA，∴∠DOC＝∠OAD，∴Rt△BDA∽Rt△CDO.∴AD·OC＝AB·OD＝2OD2＝8.所以所求圆的半径为2.2．(2015·湖南高考)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.证明：(1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.3．(2015·陕西高考)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA;(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径，所以∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED .又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA .(2)由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝AD CD＝3. 又BC ＝2，从而AB ＝3 2.所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3. 由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD＝6， 故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.4. (2016·开封模拟)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE .(1)证明：∠D ＝∠E;(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形． 证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．5．(2016·南昌模拟)如图所示，P A为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，P A＝20，PB＝10，∠BAC 的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.(1)求证：AB·PC＝P A·AC；(2)求AD·AE的值．解：(1)证明：∵P A为圆O的切线，∴∠P AB＝∠ACP，又∠P为公共角，∴△P AB∽△PCA，∴AB·PC＝P A·AC.(2)∵P A为圆O的切线，PBC是过点O的割线，∴P A2＝PB·PC，∴PC＝40，BC＝30.又∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝900，又由(1)知ABAC＝P APC＝12，∴AC＝125，AB＝65，连接EC，则∠CAE＝∠EAB，∠CEA＝∠DBA，∴△ACE∽△ADB，∴AB AE ＝AD AC，AD ×AE ＝AB ×AC ＝65×125＝360. 6．(2016·唐山模拟)如图，圆周角∠BAC 的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .(1)求证：BC ∥DE ；(2)若D ，E ，C ，F 四点共圆，且AC ＝BC ，求∠BAC .解：(1)证明：因为∠EDC ＝∠DAC ，∠DAC ＝∠DAB ，∠DAB ＝∠DCB ，所以∠EDC ＝∠DCB ，所以BC ∥DE .(2)因为D ，E ，C ，F 四点共圆，所以∠CF A ＝∠CED ，由(1)知∠ACF ＝∠CED ，所以∠CF A ＝∠ACF .设∠DAC ＝∠DAB ＝x ，因为AC ＝BC ，所以∠CBA ＝∠BAC ＝2x ，所以∠CF A ＝∠FBA ＋∠F AB ＝3x ，在等腰三角形ACF 中，π＝∠CF A ＋∠ACF ＋∠CAF ＝7x ，则x ＝π7，所以∠BAC ＝2x ＝2π7.。
选修4-1《几何证明选讲》综合复习
第1题图 第6题图第9题图 选修4-1《几何证明选讲》综合复习一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.1.如图4所示,圆O 的直径AB =6,C 为圆周上一点,BC =3过C 作 圆的切线l ,过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则∠DAC =( ) A .15︒ B .30︒ C .45︒ D .60︒2.在Rt ABC ∆中,CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线,该图中共有x 个三角形与ABC ∆相似,则x =( ) A .0 B .1 C .2 D .33.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm 和18cm 两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( ) A .11cm B .33cm C .66cm D .99cm4.如图,在ABC ∆和DBE ∆中,53AB BC AC DB BE DE ===,若ABC ∆与 DBE ∆的周长之差为10cm ,则ABC ∆的周长为( ) A .20cm B .254cm C .503cm D .25cm 5.O 的割线PAB 交O 于,A B 两点,割线PCD 经过圆心,已知226,12,3PA PO AB ===,则O 的半径为( )A .4 B.6C.6D .8 6.如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D , 且DB AD 3=,设COD θ∠=,则2tan 2θ＝( )A .13B .14C.4- D .37.在ABC ∆中,,D E 分别为,AB AC 上的点,且//DE BC ,ADE ∆的面积是22cm ,梯形DBCE 的面积为26cm ,则:DE BC 的值为( )A. B .1:2 C .1:3 D .1:4 8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个. A .2 B .3 C .4 D .5 9.如图甲,四边形ABCD 是等腰梯形,//AB CD .由4个这样的 等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形, 则四边形ABCD 中A ∠度数为 ( )A .30︒B .45︒C .60︒D .75︒10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠 压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑 直径为10mm ,若所用钢珠的直径为26 mm ,则凹坑深度为( ) A .1mm B .2 mm C .3mm D .4 mmA B CDE第4题图∙第 14 1题图O CDBA第12题图二、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在题中横线上.11.如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,∠C ＝720,⊙O 过A 、B 两点且 与BC 相切于点B ,与AC 交于点D ,连结BD , 若BC ＝15-,则AC ＝12.如图,AB 为O 的直径,弦AC 、BD 交于点P , 若3,1AB CD ==,则sin APD ∠=13.如图，EF 是O 的直径，MN 是O 的弦，10,EF cm =8MN cm =，则E F、两点到直线MN 的距离之和等于__________(第13题图) (第14题图)14.如图，1O 过O 的圆心O ，与O 交于A B 、两点，C 在O 上，CB 延长线交1O 于点D ，CO 延长线交1O 于E ，108EDC ∠= ，则C ∠=__________15.相交两圆1O 与2O 的公共弦长3AB =，延长AB 到P 作PC 切1O 于C ，PD 切2O 于D ，若2PC =，则PD =__________16.如图，AB 的延长线上任取一点C ，过C 作圆的切线CD ，切点为D ，ACD ∠的平分线交AD 于E ,则CED ∠=__________(第16题图) (第17题图)17.如图，AB 是O 的直径，D 是O 上一点，E 为 BD的中点，O 的弦AD 与BE 的延长线相交于C ，若18,AB =12,BC =则AD =__________18.如图，AD CE 、分别是ABC的两条高，则 (1) A E D C 、、、四点__________（是否共圆） (2) BDE __________BAC(∽,≌),为什么？(3) 10,AC =4sin 5B =，则DE =__________ 19.如图，PC 是O 的切线， C 为切点，PAB 为割线，4,PC =8,PB =30B ∠= ，则BC =__________(第19题图) (第20题图)20.如图ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D ，若1,AB =AD =30ADB ∠= ，则ABCACDS S = __________.21.如图，PQ 为半圆O 的直径，A 为以OQ 为直径的半圆A 的圆心，O 的弦PN 切A 于点N ，8,PN =则A 的半径为__________(第21题图) (第22题图)22.如图ABC中，D 是AB 的一个三等分点，//DE BC ，//EF BC ，2AF =，则AB =__________ 23.如图，在ABC中，AD 是BC 边上中线，AE 是BC 边上的高，DAB DBA ∠=∠,18AB =,12BE =,则CE =__________.(第23题图)(第24题图)A CP D OE F B第26题图 第25题图第27题图C24.如图，AD 是ABC 的高，AE 是ABC 外接圆的直径，圆半径为5，4AD =，则AB AC = __________三、解答题:本大题共3小题,共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25.(本小题满分8分)如图:,EB EC 是O 的两条切线,,B C 是切点,,A D 是 O 上两点,如果46,32E DCF ∠=︒∠=︒,试求A ∠的度数.26.(本小题满分10分)如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ,E 为⊙O 上一点,AE AC =,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB ,求PF 的长度.27.(本小题满分12分)如图,A 是以BC 为直径的O 上一点,AD BC ⊥于点D ,过点B 作O 的切线,与CA 的延长线相交于点E G ，是AD 的中点,连结CG 并延长与BE 相交于点F ,延长AF 与CB 的延长线相交于点P . (1)求证:BF EF =；(2)求证:PA 是O 的切线；(3)若FG BF =,且O 的半径长为求BD 和FG 的长度.。
高中数学专题讲座 PPT课件 图文
学校课程既可以由学校独立开发或联校 开发，也可以联合高校、科研院所等共同 开发；另外，还可以利用和开发基于现代 信息技术的资源，建立广泛而有效的课程 资源网络。
6 课程的实施
高中数学课程分成必修课和选修课 两部分，由若干个模块组成.模块的形 式有两种:一种是2个学分的模块(授课 36学时)，一种是1个学分的专题(授 课18学时)，每两个专题组成一个模 块。
高等院校的招生考试应当根据高校的不同要求， 按照高中数学课程标准所设置的不同课程组合 进行命题、考试，命题范围为必修、选修1、选 修2、选修4系列课程。根据课程内容的特点， 对选修3系列课程的评价应采用定性与定量相结 合的形式，由（高中）学校来完成。高等学校 在录取时，应全面地考虑学校对学生在高中阶 段数学学习的评价。
数学探究、数学建模、数学文化：数学 探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高 中数学课程的重要内容，这些内容不单独设 置，渗透在每个模块或专题中。
对数学探究、数学建模的课时和内容不做 具体安排。学校和教师可根据各自的实际情 况，统筹安排相关的内容和时间，但高中阶 段至少各应安排一次较为完整的数学探究、 数学建模活动。
函数、对数函数、幂函数）
数学2：立体几何初步、平面解析几何初步
数学3：算法初步、统计、概率 数学4：基本初等函数2（三角函数）、平 面上
的向量、三角恒等变换
数学5：解三角形、数列、不等式
选修系列1
选修1-1： 常用逻辑用语；圆锥曲线与方程； 导数及其应用。
选修1-2： 统计案例；推理与证明； 数系扩充及复数的引入；逻辑框图。
2015届高考数学总复习几何证明选讲第1课时相似三角形的进一步认识教学案(新人教A版选修4-1)
选修4－1 几何证明选讲第1课时 相似三角形的进一步认识(对应学生用书(理)179～181页)1. 如图，△ABC 中， DE ∥BC, DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，求BF 的长． 解：DE BC ＝AE AC 6BC ＝35BC ＝10，∴ BF ＝10－6＝4.2. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若AD ＝4，DB ＝2，求DE 与BC 的长度比．解：因为DE ∥BC ，所以DE BC ＝AD AB ＝46＝23.3. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD.且AB ＝2，AD ＝2，求AF 的长．解：设AF ＝x ，则由AD DB ＝AE EC ＝AF DF ，22－2＝x2－x，解得x ＝1.4. 如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB.连结BD 、EC ，若BD ∥EC ，求△BCD 和四边形ABCD 的面积．解：S △BCD ＝S △BDE ＝12·BE ·DF ＝12×1×3＝32，S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝12·AE ·DF ＝12×4×3＝6.5. 如图，平行四边形ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，△AEF 的面积为6，求△ADF 的面积．解：由题意可得△AEF ∽△CDF ，且相似比为1∶3，由△AEF 的面积为6，得△CDF 的面积为54.又S △ADF ∶S △CDF ＝1∶3，所以S △ADF ＝18.1. 平行截割定理(1) 平行线等分线段定理及其推论①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．②推论：经过梯形一腰的中点而平行于底边的直线平分另一腰． (2) 平行截割定理及其推论①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例． ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形的边与原三角形的对应边成比例．(3) 三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比． (4) 梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 2. 相似三角形(1) 相似三角形的判定 ①判定定理a. 两角对应相等的两个三角形相似．b. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．c. 三边对应成比例的两个三角形相似．②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． ③直角三角形相似的特殊判定．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． (2) 相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(3) 直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．[备课札记]题型1平行线分线段成比例问题例1如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，E是AB边的中点，求证：ED＝EC.证明：如图，过E点作EF∥BC交DC于点F.在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.∵E是AB的中点，∴F是DC的中点．∵∠ADC＝90°，∴∠DFE＝90°.∴EF是DC的垂直平分线，∴ED＝EC.备选变式（教师专享）如图，在△ABC中，作直线DN平行于中线AM，设这条直线交边AB于点D，交边CA的延长线于点E，交边BC于点N.求证：AD∶AB＝AE∶AC.证明：∵ AM ∥EN ，∴ AD ∶AB ＝NM ∶MB ，NM ∶MC ＝AE ∶AC. ∵ MB ＝MC ，∴ AD ∶AB ＝AE ∶AC. 题型2 三角形相似的证明与应用例2 已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，过点D 作AC 的平行线DE ，交BA 的延长线于点E.求证：(1) △ABC ≌△DCB ； (2) DE·DC ＝AE·BD.证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是等腰梯形，∴ AC ＝DB. ∵ AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴ △ABC ≌△BCD. (2) ∵ △ABC ≌△BCD ，∴ ∠ACB ＝∠DBC ，∠ABC ＝∠DCB ，∵ AD ∥BC ，∴ ∠DAC ＝∠ACB ，∠EAD ＝∠ABC. ∵ ED ∥AC ，∴ ∠EDA ＝∠DAC ， ∴ ∠EDA ＝∠DBC ，∠EAD ＝∠DCB. ∴ △ADE ∽△CBD.∴ DE ∶BD ＝AE ∶CD ， ∴ DE ·DC ＝AE·BD. 变式训练如图，在矩形ABCD 中，AB>12·AD ，E 为AD 的中点，连结EC ，作EF ⊥EC ，且EF交AB 于F ，连结FC.设ABBC＝k ，是否存在实数k ，使△AEF 、△ECF 、△DCE 与△BCF 都相似？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．解：假设存在实数k 的值，满足题设． ①先证明△AEF ∽△DCE ∽△ECF. 因为EF ⊥EC ，所以∠AEF ＝90°－∠DEC ＝∠DCE. 而∠A ＝∠D ＝90°，故△AEF ∽△DCE.故得CE EF ＝DE AF .又DE ＝EA ，所以CE EF ＝AE AF.又∠CEF ＝∠EAF ＝90°， 所以△AEF ∽△ECF.②再证明可以取到实数k 的值，使△AEF ∽△BCF ，由于∠AFE ＋∠BFC ≠90°，故不可能有∠AFE ＝∠BFC ，因此要使△AEF ∽△BCF ，应有∠AFE ＝∠BFC ， 此时，有AE AF ＝BC BF ，又AE ＝12BC ，故得AF ＝12BF ＝13AB.由△AEF ∽△DCE ，可知AE AF ＝CDDE ，因此，⎝⎛⎭⎫12BC 2＝13AB 2， 所以AB 2BC 2＝34，求得k ＝AB BC ＝32.可以验证，当k ＝32时，这四个三角形都是有一个锐角等于60°的直角三角形，故它们都相似．题型3 射影定理的应用例3 已知：如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F.求证：AE·BF·AB ＝CD 3.证明：∵ ∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴ CD 2＝AD ·BD ，故CD 4＝AD 2·BD 2. 又在Rt △ADC 中，DE ⊥AC ， Rt △BDC 中，DF ⊥BC ， ∴ AD 2＝AE·AC ，BD 2＝BF·BC. ∴ CD 4＝AE·BF·AC·BC. ∵ AC ·BC ＝AB·CD ， ∴ CD 4＝AE·BF·AB ·CD ，即AE·BF·AB ＝CD 3. 备选变式（教师专享）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，垂足为E ，∠ABC ＝45°，过E 作AD 的垂线交AD 于F ，交BC 于G ，过E 作AD 的平行线交AB 于H.求证：FG 2＝AF·DF ＋BG·CG ＋AH·BH.证明：因为AC ⊥BD ，故△AED 、△BEC 都是直角三角形． 又EF ⊥AD ，EG ⊥BC ， 由射影定理可知AF·DF ＝EF 2， BG ·CG ＝EG 2.又FG 2＝(FE ＋EG)2＝FE 2＋EG 2＋2FE·EG ＝AF·DF ＋BG·CG ＋2FE·EG ，∠ABC ＝45°，如图，过点H 、A 分别作直线HM 、AN 与BC 垂直，易知，AH ＝2FE ，BH ＝2EG ，故AH·BH＝2EF·EG.所以FG2＝AF·DF＋BG·CG＋2FE·EG＝AF·DF＋BG·CG＋AH·BH.1. 如图，在ABCD中，BC＝24，E、F为BD的三等分点，求BM－DN的值．解：∵ E、F为BD的三等分点，四边形为平行四边形，∴M为BC的中点．连CF交AD于P，则P为AD的中点，由△BCF∽△DPF及M为BC中点知，N为DP的中点，∴BM－DN＝12－6＝6.2. 如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CAB＝∠CDB.再由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA.因此∠DBA＝∠CDB，所以AB∥CD.3. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中位线，BD交EF于P，已知EP∶PF＝1∶2，AD＝7 cm，求BC的长．解：EF是梯形中位线，得EF∥AD∥BC，∴PEAD＝PE7＝BEAB＝12，PFBC＝FDCD＝12.∵PE∶PF＝1∶2,∴BC＝2PF＝14cm.4. 如图，已知A、B、C三点的坐标分别为(0，1)、(－1，0)、(1，0)，P是线段AC上一点，BP交AO于点D，设三角形ADP的面积为S，点P的坐标为(x，y)，求S关于x的函数表达式．解：如图，作PE ⊥y 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，则PE ＝x ，PF ＝y. ∵ OA ＝OB ＝OC ＝1，∴ ∠ACO ＝∠FPC ＝45°， ∴ PF ＝FC ＝y ，∴ OF ＝OC －FC ＝1－y ， ∴ x ＝1－y ，即y ＝1－x ， ∴ BF ＝2－y ＝1＋x.∵ OE ∥FP ，∴ △BOD ∽△BFP ， ∴OD PF ＝BO BF ，即OD y ＝11＋x， ∴ OD ＝y 1＋x ＝1－x 1＋x，∴ AD ＝1－OD ＝1－1－x 1＋x ＝2x1＋x ，S △ADP ＝12AD ·PE ＝12·2x 1＋x ×x ＝x 21＋x ，∴ S ＝x 21＋x(0<x ≤1)．1. 在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，求|PA|2＋|PB|2|PC|2.解：不失一般性，取特殊的等腰直角三角形，不妨令|AC|＝|BC|＝4，则|AB|＝42，|CD|＝12|AB|＝22，|PC|＝|PD|＝12|CD|＝2，|PA|＝|PB|＝|AD|2＋|PD|2＝（22）2＋（2）2＝10，所以|PA|2＋|PB|2|PC|2＝10＋102＝10.2. 如图，在ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD.(1) 求证：△ABF ∽△CEB ；(2) 若△DEF 的面积为2，求ABCD 的面积． (1) 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ ∠A ＝∠C ，AB ∥CD ， ∴ ∠ABF ＝∠CEB ，∴ △ABF ∽△CEB. (2) 24.3. 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是AD 上一点，且AE ＝14AD ，N 是AB 的中点，NF ⊥CE 于F ，求证：FN 2＝EF·FC.证明：连结NC 、NE ，设正方形的边长为a ， ∵ AE ＝14a ，AN ＝12a ，∴ NE ＝54a.∵ BN ＝12a ，BC ＝a ，∴ NC ＝52a.∵ DE ＝34a ，DC ＝a ，∴ EC ＝54a.又NE 2＝516a 2，NC 2＝54a 2，EC 2＝2516a 2，且NE 2＋NC 2＝EC 2，∴ EN ⊥NC.∵ NF ⊥CE ，∴ FN 2＝EF·FC.4. 在梯形ABCD 中，点E 、F 分别在腰AB 、CD 上，EF ∥AD ，AE ∶EB ＝m ∶n.求证：(m ＋n)EF ＝mBC ＋nAD.你能由此推导出梯形的中位线公式吗？解：如图，连结AC ，交EF 于点G. ∵ AD ∥EF ∥BC ， ∴ DF FC ＝AE EB ＝m n， ∴AE AB ＝m m ＋n ，CF CD ＝n m ＋n. 又EG ∥BC ，FG ∥AD ， ∴AE AB ＝EG BC ＝m m ＋n ，CF CD ＝GF AD ＝n m ＋n， ∴ EG ＝m m ＋n ·BC ，GF ＝nm ＋n ·AD.又EF ＝EG ＋GF ，∴ (m ＋n)EF ＝mBC ＋nAD.∴ 当m ＝n ＝1时，EF ＝12(BC ＋AD)，即表示梯形的中位线．比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a b ＝cd(或a ∶b ＝c ∶d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1) 在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成统一单位． (2) 当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(3) 比例线段是有顺序的，如果说a 是b ，c ，d 的第四比例项，那么应得比例式为：bc ＝d a.请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。