第三章随机变量的数字特征
第三章-多维随机向量的分布及数字特征
xi x y j y
一般求概率函数 P ( X , Y ) ( xi , y j ) 采用以下公式： P ( X , Y ) ( xi , y j ) PX xi P Y y j X xi 例3.3 整数 X 等可能的取值1,2,3,4，整数Y 等可能的取值 1~ X，求随机向量( X , Y )的概率分布列。 解: 由题目条件随机向量( X , Y )所有可能取值点为 (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) 显然，当 y j xi时，P ( X , Y ) ( xi , y j ) 0 。 当 y j xi时，分别有 P ( X , Y ) (1,1) P X 1 P Y 1 X 1 1 1 1 4 4 P ( X , Y ) (2,1) P X 2 P Y 1 X 2
P x1 X x2 , y1 Y y2
X
pij
0 1
Y
0
1/4 1/4
1
1/4 1/4
0 x 0或y 0 1 / 4 0 x 1且0 y 1 F ( x, y ) PX x, Y y 1 / 2 0 x 1且y 1 1 / 2 x 1且0 y 1 1 x 1且y 1
表达随机试验结果的变量个数从一个增加到两个形成二 维随机向量，概率分布律的描述有了实质的变化，而二维推 广到多维只有形式上的变化并无实质性的困难，我们主要讨 论二维随机向量。 2. 二维随机向量的分布函数 Def 设( X , Y )为二维随机向量，( x, y )为平面内任意一点，则
概率论随机变量的特征
Y X2 0
149
P(Y yi ) 0.25 0.40 0.25 0.10
EY 00.25 10.40 40.25 90.10 2.30
10
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
随机变量的数字特 征
EX Y
x
y
f
x,
y dxdy
xf x, ydxdy yf x, ydxdy =EX+ EY
推论： E n Xi n EXi .
i1 i1
16
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随机变量的数字特
征
定理 若X、Y 独立，则有： EXY EX EY
频率
12 5 40 40 40
66 40 40
该班的平均成绩为：
85
85 40 40
421
421 40 40 40
351 50 2 68 5 72 6 75 6 80 8 85 5 90 4 96 2 1001
35
1
50
2
68
5
72
6
75
6
40
80
8
85
5
90
4
96
X1
1234
pX1 xi 0.4 0.3 0.2 0.1
EX1 1 0.4 2 0.3 3 0.2 4 0.1 2
5
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概率论与数理统计
（2）设随机变量 X 2 是取球次数，则
随机变量的数字特征
x 1 1 2 b ab dx x a b-a b-a 2 2
例3 设随机变量X~E(λ),求EX.
e- x , x 0 解 X的概率密度函数 f ( x ) 0 ,x 0
- x 0 0
故,
EX xf ( x)dx xe dx ( x)d(e x )
例7 设(X,Y)的联合概率分布为
X Y 1 3 0 0 1/8 1 3/8 0 2 3/8 0 X P 3 0 1/8 1 3 Y 0 1 2 3
求EX,EY,E(XY).
解 X,Y的边缘分布为 所以 EX=3/2, EY=3/2,
3/4 1/4
P 1/8 3/8 3/8 1/8
据定理2 有
3 3 E ( XY ) (1 0) 0 (1 1) (1 2) (1 3) 0 8 8 1 1 9 (3 0) (3 1) 0 (3 2) 0 (3 3) 8 8 4
则
E[ g( X , Y )] g( xi , y j ) pij
i j
(2) 若(X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)~f(x,y),则
E[ g ( X,Y )]
g ( x, y ) f ( x, y )dxdy
例5 设随机变量X服从[0,π]的均匀分布,求 E (sin X ), E ( X 2 ), E ( X EX )2 解 由定理1，有
八、方差的性质
数字特征的优越性(了解)：
1. 较集中地反映了随机变量变化的一些平均特征. 2. 很多重要的随机变量(如二项分布、泊松分布、均匀 分布、指数分布、正态分布等)的分布函数都能用一、两 个数字特征完全确定.
3-8切比雪夫不等式
概率论与数理统计教程（第四版）
§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
[例] 从某工厂生产的产品中任取 200 件来检查， 是否相信该工厂的产品 结果发现其中有 6 件次品， 的次品率 p ≤ 1% ? 解：假设该工厂的次品率 p ≤ 1%, 则检查 200 件产品 发现其中次品数 X ≥ 6的概率
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§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
小结
D X) ( [ 1. 切比雪夫不等式： P X −E(X) ≥ε] ≤ 2 .
2. 大数定律及其含义. 3. 小概率事件的实际不可能性原理. .
ε
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§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
D X) ( ≥1− 2 .
ε
切比雪夫不等式给出了离差与方差的关系， 可用它 注： 来估计 [ X − E ( X ) < ε ] 的概率.
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§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
2.大数定律 .
[定义 对随机变量序列 X 1 , X 2 ,⋯ , X n ,⋯, 若存在 定义] 定义 常数 a , 使得对于任意的 正数 ε ,
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第三章 随机变量的数字特征
§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系 列定理统称为大数定律.
第一节——数学期望
第三章 随机变量的数字特征
第一节数学期望
一、 填空题
1. 设X ～()2
,σμN
，Y ～()P λ，且Y X ,相互独立，则()E X Y -2 =_____
2. 设X 与Y 相互独立，且X ～)31
,2(B ，Y ～)5
1,4(B ，________)(=+Y X E 3. 设随机变量X 服从[-a , a ]上的均匀分布，则(21)=E X +_________
4. 设随机变量X 的概率密度为()x f x ,
⎧
<<⎪=⎨⎪⎩12020，其他，则(3+2)=E X ２
二、计算题
1.随机变量X 的分布律为：
求()(2+3),(-1).E X E X E X ２，
２. 设某种晶体管的寿命X （小时）的概率密度为()⎪⎩
⎪
⎨⎧≤>⨯=100
01001023
4x x x x f ．
求（1）一个晶体管使用150小时以上的概率；（2）该批晶体管的平均使用寿命．
３.设随机变量X 的概率密度为⎩⎨
⎧≤>=-0
0)(x x e x f x
，求X Y 2=的数学期望.
4. 某车间生产的圆盘直径X 在区间a,b （）内服从均匀分布，求圆盘面积的数学期望.
.
5．设),(Y X 的联合概率密度为()xy ,x ,y f x,y ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩2
30201
20，其它. 求：()E X ，()E Y ,
)(XY E .。
3-6原点矩与中心矩
(3) µ4 = v4 − 4v3v1 + 6v v − 3v .
2 2 1 4 1
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§3.6 原点矩与中心矩
[例] 设随机变量X 服从指数分布e(λ ) , 求X 的 k 阶原点 例 矩及三、四阶中心矩. 解： 因为随机变量 X 的概率密度
第三章 随机变量的数字特征
§3.6 原点矩与中心矩
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§3.6 原点矩与中心矩
原点矩 [定义 随机变量X 的 k 次幂的数学期望（k 为正整数） 定义1] 定义
v 叫做随机变量 X 的 k阶原点矩. 记作：k ( X ), 即
vk (X) = E(Xk ).
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§3.6 原点矩与中心矩
原点距与中心矩的一些关系
记 µ k = µ k ( X ), vk = vk ( X ).
(1) µ 2 = v2 − v ,
2 1
D ( X ) = E ( X ) − [ E ( X )] ;
2 2
( 2) µ3 = v3 − 3v2v1 + 2v ;
§3.6 原点矩与中心矩
vk ( X ) =
1
λ
k 0
∫
+∞ k
t e dt =
−t
Γ(k + 1)
λ
k
=k!λkFra bibliotek,X 的三阶中心矩
3!
k = 1 ,2 ,3 ,4 ,⋯
随机变量的数字特征
2
矩存在的条件： 若一随机变量的各阶绝对矩都存 在，则它相应的各阶矩都存在。
3
一维随机变量的矩 原点矩 中心矩
4
一维随机变量的原点矩
k 阶绝对原点矩 E X k
若 E X k p k 0, 1, 2,
⑵ DX EX 2 EX 2 ； ⑶ DC X DX ； ⑷ DCX C2DX ； ⑸ D X1 X 2 L X n DX1 DX 2 L DX n，
X i 相互独立；
12
二维随机变量的原点矩
联合原点矩 E X kY l
k 0时， EY l 是随机变量 Y 的 l 阶原点矩 l 0时， EX k 是随机变量 X 的 k 阶原点矩 k 1, l 1时， EXY RXY 是随机变量 X 和Y 的互相关
18
为简化运算，使算法更稳定，将得到的观 测数据进行预处理。数据预处理由两部分 组 成 ： 中 心 化 （ centralized ） 和 预 白 化 （prewhitening）。
中心化（观测数据），即从观测数据中减 去其均值得到零均值向量。
中心化观测数据后，为去除各观测分量之 间二阶统计相关，要对进行预白化。白化， 即将线性变换为一个新的向量，的各个分 量互不相关且方差为1。
p 0，则称 X 和Y 负相关；
⑸当 X 和Y 均服从高斯分布时， X 和Y 不相关等价于 X 和Y 独立。
21
不相关与独立的关系
若随机变量 X 和 Y 相互独立，则 X 和 Y必定互不相关。
X 和 Y 互不相关，则 X 和Y不一定相 互独立。
若两个随机变量的联合矩对任意n和k 有 E X nY k E X n • E Y k
2.3随机变量的数字特征
E[X-E(X)]2
为随机变量X的方差，记为D(X),或Var(X). 称 ( X ) D( X ) 为随机变量X的标准差
2. 方差的意义
方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, E(X) 的代 表性差;
如果 D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中, 以 E(X)
它有以下等价的形式：
P{| X E( X ) | } 1 D( X ) . 2
例3 已知某种股票每股价格X的平均值为1元 ，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或 低于1-a元的概率小于10%。 解:由切比雪夫不等式 P(X>1+a∪X<1-a)<0.01 0.01 P{| X 1 | a} 2 ; a
0.01 0 .1 2 a
令
a 0.1
2
a 0.32
O
1000 1000
x x
2组
O
随机变量在期望周围的波动情况 ——方差、标准差
如何定义？
E| X-E(x) |
方便计算
E{X-E(X)}2
X1
O
X2
1000
Xn
x
E(X)=1000
1.定义 若E(X),E(X2)存在，则称
其中 f ( x ) 为X的概率密度.
例1 将资金投资在房地产和商业，收益都与市场状 态有关。把未来市场划分为好、中、差三个等级， 其发生的概率分别为0.2、0.7、0.1。 投资房地产的收益X（万元）和投资商业的收益Y （万元）的分布列为： 房地产 X 11 3 -3 问：该投资者如何选择？ P 0.2 0.7 0.1
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1 第三章、随机变量的数字特征 一、选择题： 1．设随机变量X的分布函数为40,1(),011,1xFxxxx ，则EX= （ ） A．140xdx B．15014xdx C．1404xdx D．1401xdxxdx 2．设X是随机变量，0x是任意实数，EX是X的数学期望，则 （ ） A．220()()EXxEXEX B．220()()EXxEXEX C．220()()EXxEXEX D．20()0EXx 3．已知~(,)XBnp，且EX=2.4，EX=1.44，则参数,np的值为 （ ） A．n= 4，p= 0.6 B．n= 6，p= 0.4 C．n= 8，p= 0.3 D．n= 24，p= 0.1
4．设X是随机变量，且EXa，2EXb，c为常数，则D（CX）=（ ） A．2()cab B．2()cba C．22()cab D．22()cba 5．设随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，且EX=3，DX=4/3，则参数a，b的值为 （ ） A．a= 0，b= 6 B．a= 1，b= 5 C．a= 2，b= 4 D．a= -3，b= 3
6．设服从指数分布()e，且D=0.25，则的值为 （ ） A．2 B．1/2 C．4 D．1/4
7．设随机变量~N（0，1），=2+1 ，则 ~ （ ） A．N（1，4） B．N（0，1） C．N（1，1） D．N（1，2）
8．设随机变量X的方 差DX =2，则()DaXb= （ ） 2
A．2ab B．22ab C．2a D．22a 9．若随机变量X的数学期望EX存在，则[()]EEEX = （ ） A．0 B．EX C．2()EX D．3()EX
10．若随机变量X的方差DX存在，则[()]DDDX= （ ） A．0 B．DX C．2()DX D．3()DX 11．设随机变量X满足D（10X）=10，则DX= （ ） A．0.1 B．1 C．10 D．100
12．已知1X，2X，3X都在[0，2]上服从均匀分布，则123(32)EXXX= （ ） A．1 B．2 C．3 D．4
13．若1X与2X都服从参数为1泊松分布P（1），则12()EXX= （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．若随机变量X的数学期望与方差均存在，则 A．0EX B．0DX
C．2()EXDX D．2()EXDX
15．若随机变量2~(2,2)XN，则1()2DX= （ ） A．1 B．2 C．1/2 D．3 16．若X与Y独立，且DX=6，DY=3，则D(2X-Y）= （ ） A．9 B．15 C．21 D．27
17．设DX = 4，DY = 1，XY= 0.6，则D(2X-2Y) = （ ） A．40 B．34 C．25.6 D．17.6
18．设X与Y分别表示抛掷一枚硬币n次时，出现正面与出现反面的次数，则XY为（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 3
19．如果X与Y满足D(X+Y) = D(X-Y), 则 （ ） A．X与Y独立 B．XY= 0 C．DX-DY = 0 D．DXDY=0 20．若随机变量X与Y的相关数XY=0，则下列选项错误的是 （ ） A．X与Y必独立 B．X与Y必不相关 C．E (XY ) = E(X) EY D．D (X+Y ) = DX+DY
二、填空题： 1. 设X表示10次独立重复射击命中的次数，每次射击命中目标的概率为0.4，则2EX= . 2. 若随机变量X ~ B（n, p），已知EX = 1.6，DX = 1.28，则参数n = ，P = . 3. 若随机变量X 服从参数为p的“0—1”分布，且DX = 2/9，21,92DXEX，则EX = . 4. 若随机变量X在区间 [a , b]服从均匀分布，EX = 3，DX = 1/3，则a = ,b = .
5. 若随机变量X的数学期望与方差分别为EX = 2，DX = 4，则2EX= . 6. 若随机变量X 服从参数为泊松分布 ~()XP，且EX = 1，则DX = . 7. 若随机变量X 服从参数为指数分布~()Xe，且EX = 1，则DX = . 8. 若随机变量X 服从参数为2与2的正态分布2~(2,)XN，且P{2 < X < 4} = 0.3, 则P{X<0} = . 9. 若X是一随机变量，EX = 1，DX = 1，则D（2X - 3）= . 10. 若X是一随机变量，D（10X）= 10，则DX = .
11. 若X是一随机变量，2(1)2XE= 2，1(1)22XD，则EX = . 12. 若随机变量X 服从参数为n与p的二项分布X ~ B（n, p），EX = 2.4，DX = 1.44，则{1}pX = .
13. 若随机变量X 服从参数为2与22的正态分布X ~ 2(2,2)N，则1()2DX= . 14. 若随机变量X 服从参数为2指数分布X ~e（2），则2()EXX= .
15. 若随机变量X的概率密度为 2,01()0,xxfx其他 ，则EX = ，DX = . 4
16. 若随机变量X的分布函数为300(),011,1yFxyyy， ，则EX = . 17. 若随机变量1X与2X都在区间 [0 ，2]上服从均匀分布，则12()EXX= . 18. 人的体重是随机变量X，EX = a, DX = b, 10个人的平均重量记为Y，则EY = . 19. 若X与Y独立，且DX = 6，DY = 3，则D（2X-Y）= . 20. 若随机变量X与Y独立，则X与Y的相关系数为R（X，Y）= 。
三、判断题： 1. 对任意两个随机变量X与Y都有E（X+Y）= EX + EY 。 2. 若X是连续随机变量，则有D（X+Y）= DX + DY 。 3. 若随机变量X与Y独立，则有D（X+Y）= DX + DY 。
4. 若随机变量X与Y独立，则有()EXYEXEY。
5. 若随机变量X与Y独立，则有()DXYDXDY。 6. 若X与Y是两个随机变量，且有E（X+Y）= EX + EY，则有D（X+Y）= DX + DY 。 7. 若X与Y是两个随机变量，且有()EXYEXEY，则有D（X+Y）= DX + DY 。
8. 若X与Y是两个随机变量，且有()EXYEXEY，则有CoV（X，Y）= 0 。 9. 若X与Y是两个随机变量，且有()EXYEXEY，则有0XY。 10. 若X与Y是两个随机变量，且0XY，则有CoV（X，Y）= 0 。 11. 若X与Y是两个随机变量，且0XY，则有D（X+Y）= DX + DY 。 12. 若X与Y是两个随机变量，且0XY，则有()EXYEXEY。 13. 若X与Y是两个随机变量，且0XY，则有X与Y独立。 14. 若X与Y独立，则0XY。 15. 若X与Y独立，则CoV（XY）= 0 。 16. 若X与Y是两个随机变量，且D（X+Y）= DX + DY，则X与Y独立。
17. 对于任意的随机变量X都有0XY。 18. 对于任意的随机变量X都有0EX。 19. 对于任意的随机变量X都有0DX。 5
20. 若随机变量X的期望与方差均存在，则0， 有2{}1DXPXEX 。 四、计算题： 1．设随机变量X服从参数为p的0—1分布，即 {0},{1};1PXqPXppq 求：数学期望EX与方差DX。 2．设随机变量X服从参数为n、p的二项分布，即
{},0,1,2,,;1kknknPXkCpqknqp 求：数学期望EX与方差DX。 3．设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，即
{},0,1,2,;0!kPXkekk 求：数学期望EX与方差DX。 4．设随机变量X服从参数为p的几何分布，即
1 {},1,2,;1kPXkpqkqp
求：数学期望EX与方差DX。 5．设随机变量X在[a,b]上服从均匀分布，即
1,()0,axbfxba
其他
求随机变量X的数学期望与方差。 6．设随机变量X服从参数为λ的指数分布，即
,0()(0)0,0xexfxx
求随机变量X的数学期望EX与方差DX。 7．设随机变量X服从参数为2,的正态分布2(,)N，即
22()21(),2xufxex 求随机变量X的数学期望EX与方差DX。 8．设随机变量X的概率密度为 6
21,1()10,1xfxxx
求随机变量X的数学期望EX与方差DX。 9．设随机变量X的概率密度为 1(),2xfxex
求随机变量X的数学期望EX与方差DX。 10．设随机变量X服从参数为1的指数分布，即
,0()0,0xexfxx
求2()XEXe 11．设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，即
{},0,1,2;0!kPXkekk
且122EXX，求参数λ. 12．设随机变量（X,Y）在以（0,1），（1,0），（1,1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求：（1）（X,Y）的联合概率密度；（2）E（X+Y）。 13．设二维随机变量（X,Y）的数学期望、方差及相关系数分别为 EX = EY =0，DX = DY = 2，R(X,Y)= 0.5， 求：（1）E（X +Y）;（2）D（X +Y）. 14．设随机变量（X，Y）的联合概率分布为
Y X 0 1
0 0.25 0.125 1 0.125 0.5
求：（1）(,)covXY；（2）(,)RXY. 15．设（X，Y）服从二维正态分布，且 221(1,3),(0,4),(,)2XNYNRXY
设 32XYZ ，求：EZ与DZ. 16．设随机变量X的数字特征满足：