不定积分习例题讲解(一)

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不定积分计算公式

不定积分计算公式不定积分是微积分中的重要内容之一，它是对函数的积分运算，是求导的逆运算。

在数学中，不定积分可以帮助我们求解各种函数的原函数，用符号∫来表示，被积函数称为被积表达式，积分变量叫做积分变量。

本文将介绍不定积分的计算方法和常用公式，并通过具体的例子进行说明。

一、基本公式1. 常数的不定积分当被积表达式为常数c时，不定积分为cx，其中x为积分变量，c为常数。

2. 幂函数的不定积分(a) 单项式的不定积分对于单项式x^n来说，其中n是非零整数，不定积分为(x^(n+1))/(n+1)+C，其中C为常数。

例如，∫x^3dx=(x^(3+1))/(3+1)+C=(x^4)/4+C。

(b) 反函数的不定积分当被积表达式为反函数1/x时，不定积分为ln|x|+C，其中C 为常数。

例如，∫(1/x)dx=ln|x|+C。

例如，∫x^(-3)dx=(x^(-3+1))/(-3+1)+C=(x^(-2))/(-2)+C=-1/(2x^2)+C。

3. 指数函数的不定积分(a) e^x的不定积分为e^x+C，其中C为常数。

例如，∫e^xdx=e^x+C。

(b) a^x(lna)的不定积分为(a^x)/lna+C，其中C为常数，a不等于1。

例如，∫2^xdx=(2^x)/ln2+C。

4. 对数函数的不定积分lnx的不定积分为xlnx-x+C，其中C为常数。

例如，∫lnxdx=xlnx-x+C。

5. 三角函数的不定积分(a) sinx的不定积分为-cosx+C，其中C为常数。

例如，∫sinxdx=-cosx+C。

(b) cosx的不定积分为sinx+C，其中C为常数。

例如，∫cosxdx=sinx+C。

例如，∫tanxdx=-ln|cosx|+C。

不定积分例题与答案解析

第4章不定积分容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)⎰思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C--==-+⎰★(2)dx-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰⎰ ★★(5)4223311x x dx x +++⎰ 思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰ 思路:注意到222221111111x x x x x+-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。

三角代换求不定积分例题

三角代换求不定积分例题在微积分学习中，求不定积分是一个重要的概念，而三角代换是解决一些复杂不定积分的常用方法之一。

本文将通过一个具体的例题来展示如何使用三角代换来求解不定积分。

考虑以下不定积分问题：\[ \int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}} \]首先，我们观察到被积函数中含有平方根，并且其内部是一个二次函数。

这时候我们可以尝试使用三角代换来简化问题。

我们可以令：\[ x = 3\sin\theta \]这样，我们有：\[ dx = 3\cos\theta d\theta \]接下来，我们要将原积分中的 x 用θ 表示出来。

由于我们已经令x = 3sinθ，那么根据三角恒等式，我们可以得到：\[ \sqrt{9-x^2} = \sqrt{9-9\sin^2\theta} = 3\cos\theta \]将 x 和 dx 用θ 表示后，原不定积分可以转化为：\[ \int \frac{3\cos\theta d\theta}{3\cos\theta} = \intd\theta \]现在，我们已经将原不定积分转化为了一个更简单的形式。

对于不定积分 \(\int d\theta\)，其结果显然是θ 加上一个常数 C，即：\[ \int d\theta = \theta + C \]最后，我们需要将θ 重新转化为 x。

由于我们之前令 x =3sinθ，因此可以得到：\[ \theta = \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) \]因此，最终的结果是：\[ \int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}} =\arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + C \]通过这个例题，我们展示了如何使用三角代换来求解不定积分。

三角代换是一个常用的积分方法，对于一些包含平方根和二次函数的积分问题非常有效。

希望读者通过这个例题能更加熟悉和掌握三角代换的使用方法，从而更好地应用于实际的积分计算中。

不定积分法

第五章不定积分法基本要求1、正确理解原函数与不定积分的概念．2、牢记基本积分公式．3、牢固掌握并能熟练运用换元积分法与分部积分法．重点与难点重点：原函数与不定积分的概念，基本积分公式，换元积分法与分部积分法．难点：换元积分法．例题与例题分析一、填空题l 、若)(x f 为连续函数，且)()(x f x F ='则⎰=dx x f )( . 2、若⎰='x dx x f ln ))((，则=)(x f ．3、若C x F dx x f +=⎰)()(，而)(x u ϕ=，则⎰=du u f )( .4、已知2xe -是)(xf 的一个原函数，则⎰=dx x tgx f 2sec )( .5、⎰='dx xf x)2(12. 6、设)(x f 的一个原函数是xx cos ，则⎰='dx x f x )( .7、⎰=-dx x 131 .8、⎰=+dx x2491 .9、设C xdx x f +=⎰2sin2)(2，则=')6/(πf .10、设x 2sin 是)(x f 的一个原函数，则=)(x f . 二、单项选择题1、若)(x f 在（a ，b ）内连续，则在),(b a 内)(x f （）（A ）必有导函数（B ）必有原函数（C ）必有界（D ）必有极值2、若)(x f 的一个原函数是)2ln(x ，则=')(x f （）（A ）21x-（B ）x1 （C ）x ln （D ）x x 2ln -3、下列各对函数中，是同一函数的原函数的是（）（A ）arctgx 和arcctgx （B ）)2ln(+x 和2ln ln +x（C ）2ln /2x 和2ln 2+x （D ）2)(x x e e --和x x e e 22-+4、若⎰⎰=)()(x dg x df ，则下列各式中不成立的是（）（A ）)()(x g x f = （B ）)()(x g x f '='（C ）)()(x dg x df = （D ）⎰⎰'='dx x g d dx x f d )()(5、若22/1)(x x f ='（0>x ），则=)(x f （）（A ）c x +2 （B ）c x +ln （C ）c x +2 （D ）c x+16、若x e x f 2)(-=，则⎰='dx xx f )(ln （）（A ）c x+21 （B ）c x+-21 （C ）c x +-ln （D ）c x +ln7、设x sin 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x xf )(（）（A ） c x x x +-cos sin （B ）c x x x ++cos sin （C ）c x x x +-sin cos （D ）c x x x ++sin cos8、如果函数)(x f 在区间I 内连续，则在I 内)(x f 的原函数（）（A ）有唯一的一个存在（B ）有有限多个存在（C ）有无穷多个存在（D ）不一定存在三、计算与证明题 1、计算下列不定积分（1）⎰-dx ax221（2）⎰dx xx 22cossin1 （3）⎰+++dx xx x x 321分析计算不定积分首先考虑能否直接利用不定积分的运算性质和基本积分公式或经过恒等变形后应用基本积分公式计算积分。

积分计算的求解方法例题

积分计算的求解方法例题1. 引言积分是数学中重要的概念之一，在计算和解决实际问题中起着关键作用。

本文将给出一些积分计算的求解方法例题，帮助读者更好地理解和应用积分的概念。

2. 方法示例2.1 不定积分不定积分是指求出一个函数的原函数的过程，通常以积分符号∫ 表示。

下面是一个不定积分的求解示例：例题1：求解不定积分∫(4x^3 + 2x^2 - 3x + 1) dx。

解：根据积分的性质，不定积分的求解是逐项求解的。

首先，我们计算每一项的不定积分：∫(4x^3) dx = x^4 + C1∫(2x^2) dx = 2/3 x^3 + C2∫(-3x) dx = -3/2 x^2 + C3∫(1) dx = x + C4其中 C1、C2、C3、C4 是常数项。

最后，将每一项的不定积分相加，得到整个函数的原函数：∫(4x^3 + 2x^2 - 3x + 1) dx = x^4 + 2/3 x^3 - 3/2 x^2 + x + C2.2 定积分定积分是指在一个区间上求一个函数的积分值的过程，通常用符号∫[a, b] 表示。

下面是一个定积分的求解示例：例题2：计算定积分∫[0, 2] (x^2 + 3x) dx。

解：根据定积分的定义，首先我们求出函数 (x^2 + 3x) 在区间 [0, 2] 上的原函数 F(x)。

然后，计算 F(2) 和 F(0)，并求出它们之间的差值：F(2) = 2^3/3 + 3*2^2/2 = 8/3 + 12/2 = 8/3 + 6 = 26/3F(0) = 0^3/3 + 3*0^2/2 = 0 + 0 = 0最后，将 F(2) 和 F(0) 的差值作为积分的结果：∫[0, 2] (x^2 + 3x) dx = F(2) - F(0) = 26/3 - 0 = 26/33. 总结本文介绍了积分计算的两种求解方法：不定积分和定积分。

不定积分是求解函数的原函数，而定积分是在一个区间上求函数的积分值。

不定积分5-6

【例 1】
=
【例 2】【解】
1 a
∫
f ′( ax + b )d ( ax + b ) =
1 f ( ax + b ) + c a
∫ xf ′′( x )dx ∫ xf ′′( x )dx = ∫ xdf ′( x ) = xf ′( x ) − ∫ f ′( x )dx
= xf ′( x ) − f ( x ) + c
∫
【注意】把注意】
∫
f ( x )dx = x 2 + c 的 x 同时更换为 1 − x 2
得
∫
f (1 − x 2 )d (1 − x 2 ) = (1 − x 2 ) 2 + c
11 30
【练习 1】设
【解】
∫ f ( x )dx = x + c ，则 ∫ f (1 − x )dx = （
13 30
教材习题中较难的积分题目解答
[1]
∫
a+ x dx a− x
【解】原式 =
∫
∫
a+ x a −x dx
2 2
dx
+ 1 2
=a
a2 − x2
∫
2 xdx a2 − x2
【相关题】经过四则运算或利用恒等式可积出来的题目有：相关题】经过四则运算或利用恒等式可积出来的题目有：
x 1 d (a 2 − x 2 ) = a arcsin − a 2 a2 − x2 x = a arcsin − a 2 − x 2 + c a
= −(1 − x ) + c = x + c1
）
∫ f (1 − x )dx = − ∫ f (1 − x )d (1 − x ) ∫

不定积分递推公式例题

我们首先考虑一个简单的递推关系式，即等差数列的递推公式。

等差数列的递推公式为：
an+1=an+d
其中，an是第n项，d是公差。

现在，我们要求解这个递推公式的不定积分。

首先，我们写出等差数列的通项公式：
an=a1+(n−1)d
接下来，我们对这个通项公式进行不定积分。

∫andx=∫(a1+(n−1)d)dx
由于a1 和d是常数，我们可以直接积分：
∫andx=21a1x2+(n−1)dx+C
其中C是积分常数。

现在，我们可以使用递推关系式来求解an+1 的不定积分：
∫an+1dx=∫(an+d)dx
利用不定积分的性质，我们可以将这个表达式拆分为两部分：
∫an+1dx=∫andx+∫ddx
由于∫ddx=d⋅x+C′，其中C′是积分常数，我们可以进一步求解：
∫an+1dx=21a1x2+(n−1)dx+d⋅x+C′。

不定积分例题及答案

求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)思路: 被积函数52x-，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C--=-+⎰ ★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰ ★★(5)4223311x x dxx +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x Cx x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2思路:分项积分。

解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++★(8)23(1x+⎰思路:分项积分。

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高等数学（1）学习辅导（8）
不定积分习例题讲解（一）

（一）填空题
1. 设，则f(x)＝_______________。

解：由不定积分性质，

故应填 10ln2102xx
2. 曲线在任意一点处的切线斜率为2x，且曲线过点(,)25，则曲线方程
为。
解： cxxx2d2，即曲线方程为cxy2。

将点)5,2(代入得1c，所求曲线方程为12xy
故应填 12xy
3. 设，则＝_____________。

解：
故应填 31)('xf
4. 已知函数fx()的一个原函数是2arctanx，则)(xf 。
解：4212)(arctan)(xxxxf
24444
)1(8)1(2)12()(xxxxxxf




24
4
)1(62xx




故应填
24

)1(62xx


5. 设，则。
解：
故应填 cx22)1(21
6. 已知Fx()是fx()的一个原函数，那么faxbx()d 。
解：用凑微分法
)d()(1)d()(1d)(baxbaxfaaxbaxfaxbaxf

cbaxFabaxFa)(1)(d
1

故应填 cbaxFa)(1
7. ，则。
解：
故应填 cxFxxf)()(
二、单项选择题
1.
当x＜0时，（）。

A ln|x| B C－ln(－x)
C C＋ln(－x) D lnx＋C
解：
A缺少积分常数, D不满足前提条件,经验证，只有C中函数的导数为被积函数，

即C正
确

故应填 C

2. 设cxxxxflnd)(，则)(xf（）。
A. 1lnx； B. xln；
C. x； D.
xxln

解：

因为 1lnln)ln()(xxxxxxxf
故应填 A

3. 下列式子中，只有（）是正确的。
A （其中a是任意常数）

B （a＞0，a≠1）
C
D
解：A缺少a≠－1的条件，B、C与导数公式混淆了
,D正确

故应填 D

4. 设Fx()是fx()的一个原函数，则等式（）成立。
A.dddxfxxFx(())()； B.Fxxfxc()()d；
C.FxxFx()()d； D.
d
ddx
fxxfx(())()

解：正确的等式关系是
)()d)((ddxfxxfx


cxFxxF)(d)(
D正确．
故应填 D

5. 下列函数中，（）是xsinx2的原函数。
A B
C 2cosx2 D －2cosx2
解：22'2sin2)sin(21)cos21(xxxxx,经验证A,C,D不正确
故应填 B
6. 设Fx()是fx()的一个原函数，则xxxfd)1(2（）。

A. cxF)1(2； B. cxF)1(2；
C. cxF)1(212； D.
cxF)(

解：由复合函数求导法则得
)1)(1(21])1(21[222xxfxF

)1()1)(1(21222xxfxxf
C正确．
故应填 C

7. 若，则（）成立。（其中C是任意常数）
A
B
C dF(x)＋C＝f(x)dx
D
解：由原函数的定义，只有D正确
故应填 D
8．下列等式成立的是（）。

A B
C D
解：B与D右边缺少积分常数，C右边应为微分式。只有A正确
故应填 A

9． 21xdxex( )

A B
C D
解：由凑微分法或直接积分验证，可知C正确
故应填 C
10．下列等式成立的是（）。

A B

C sinxdx＝d(cosx) D
解：经验证dxdxdxxx22ln22ln122ln1，C正确
故应填 D
11．若，则（）。

A B
C xF(x2)＋C D F(x2)＋C
解：，A正确
故应填 A
12．若，则f(x)＝（）。
A B C D
解：积分式两边求导，得，从而A正确
故应填 A
13．若f(x)＝（），则有。

A B x C x2 D 2x
解：
22'2)(22)()(xxxxx
eeexfe

令
yex
，有22)(yyyf，则 xxf2)(，从而D正确

故应填 D