人教版初中数学锐角三角函数的解析

人教版初中数学锐角三角函数的解析

一、选择题

1．如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，3tan 4B =

，CD 为AB 边上的中线，CE 平分ACB ∠，则AE AD 的值（ ）

A ．35

B ．34

C ．45

D ．67

【答案】D

【解析】

【分析】

根据角平分线定理可得AE ：BE ＝AC ：BC ＝3:4，进而求得AE ＝37

AB ，再由点D 为AB 中点得AD ＝

12AB ，进而可求得AE AD

的值． 【详解】 解：∵CE 平分ACB ∠，

∴点E 到ACB ∠的两边距离相等，

设点E 到ACB ∠的两边距离位h ，

则S △ACE ＝12AC·h ，S △BCE ＝12

BC·h ， ∴S △ACE ：S △BCE ＝

12AC·h ：12

BC·h ＝AC ：BC ， 又∵S △ACE ：S △BCE ＝AE ：BE ，

∴AE ：BE ＝AC ：BC ， ∵在Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，3tan 4B =

， ∴AC ：BC ＝3:4，

∴AE ：BE ＝3:4

∴AE ＝37

AB ， ∵CD 为AB 边上的中线，

∴AD ＝12

AB ，

∴3

6

7

17

2

AB

AE

AD AB

==，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得AE：BE＝AC：BC 是解决本题的关键．

2．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D 重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（）

A

5

B．

3

5

C．

2

2

D．

2

3

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据翻折变换的性质得到DEF AEF

∆≅∆，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BED CDF

∠=，设1

CD=，CF x

=，则2

CA CB

==，再根据勾股定理即可求解．

【详解】

解：∵△DEF是△AEF翻折而成，

∴△DEF≌△AEF，∠A＝∠EDF，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠EDF＝45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°＝∠BED+45°，

∴∠BED＝∠CDF，

设CD＝1，CF＝x，则CA＝CB＝2，

∴DF＝FA＝2﹣x，

∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，

CF2+CD2＝DF2，

即x2+1＝（2﹣x）2，

解得：

3

4

x=，

3

sin sin

5

CF

BED CDF

DF

∴∠=∠==．

故选：B．

【点睛】

本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．

3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）

A．2＋3B．23C．3＋3D．33

【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】

设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，BC=3x，

所以BD=BA=2x，即可得CD=3x+2x=（3+2）x，

在Rt△ACD中，tan∠DAC=

(32)

32 CD x

AC

+

==+，

故选A.

4．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC

V如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE

∠的值是（）

A．24

7

B

7

C．

7

24

D．

1

3

【答案】C

【解析】

试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，

解得x=25

4

，故CE=8-

25

4

=

7

4

，

∴tan∠CBE=

7

24 CE

CB

=.

故选C.

考点：锐角三角函数.

5．为了方便行人推车过某天桥,市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A．

【详解】

解：因为AC＝40，BC＝10，sin∠A＝BC AC

，

所以sin∠A＝0.25.

所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为

故选：A．

点睛：

本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．

6．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tan D的值为（）

A．3B．33C．23D．23

【答案】D

【解析】

【分析】

设AC＝m，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解决问题．