专题_反比例函数与相似综合

中考数学专题复习：反比例函数与相似的综合题

【考点分析】

近几年的中考数学题中，对于反比例函数与几何图形的结合的考查力度明显加大，主要考查：①平面直角坐标系中，如何把线段转化为坐标，坐标转化为含有字母的代数式，进而进行代数计算；②反比例函数与相似图形的综合题；③反比例函数与几何图形的平移。 【专题攻略】

在平面直角坐标系中，反比例函数与几何图形的综合题，最基本的解决方法是：由点的坐标求相关线段的长度，根据相关线段的长度表示点的坐标。这类题在解答时要求我们要熟练运用数学基础知识，还要能灵活运用数形结合、转化、待定系数、分类讨论等基本数学思想和方法。

【课前训练】

1、如图，面积为3的矩形OABC 的一个顶点B 在反比例函数x

k

y =的图象上，另三点在坐标轴上，则k = .

2、如图，A 为反比例函数x

k y =图象上一点，AB 垂直x 轴于B 点，若S △AOB ＝3，则k =____

第1题 第2题 第3、4题

3、如图，已知双曲线)0k (x

k

y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相

交于点C ．若△OBA 的面积为6，则k ＝____________．

4、如图，已知双曲线)0k (x

k

y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相

交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝____________．

【典型例题】（2010年中考第23题）

已知反比例函数y＝

8

m

x

-

(m为常数)的图象经过点A（－1，6）．

（1）求m的值；

（2）如图9，过点A作直线AC与函数y＝

8 m

x -

与x轴交于点C，且AB＝2BC，求点C的坐标．

（2014南沙区一模）如图，已知直线y 4x =-与反比例函数()m

y m 0x 0x

>>=，的图象交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点．

（1）若点A 的横坐标为1，求m 的值并利用函数图象求关于x 的不等式m

4x x

<

-的解集； （2）是否存在以AB 为直径的圆经过点P （1，0）？若存在，求出m 的值；若不存在， 请说明理由．

y

x

D C

O B A P

第23题

1、（2013•）如图，等腰直角三角形ABC 顶点A 在x 轴上， ∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x ＞0）的图象分别 与AB ，BC 交于点D ，E ．连结DE ，当△BDE∽△BCA 时， 点E 的坐标为 ．

2、（2013 ）如图，已知矩形OABC 中，OA ＝2，AB ＝4，双曲线k

y x

（k ＞0）与矩形两边AB 、BC 分别交于E 、F 。

（1）若E 是AB 的中点，求F 点的坐标；

（2）若将△BEF 沿直线EF 对折，B 点落在x 轴上的D 点，作EG ⊥OC ，垂足为G ，

证明△EGD ∽△DCF ，并求k 的值。

解：（1）OABC 为矩形,AB=OC=4，点E 是

AB 的中点，AE=2，OA=2，，

点E （2，2）在双曲线y=k

x 上，

k=2×2=4 ,点F 在直线BC 及双

曲线y= 4x ，设点F 的坐标为（4，f ）,f= 4

4

=1,

所以点F 的坐标为（4，1）.

(2)①证明：△DEF 是由△BEF 沿EF 对折得到的， ∠EDF=∠EBF=90º，点D 在直线OC 上，

∠GDE+∠CDF=180º-∠EDF=180º-90º=90º，

∠DGE=∠FCD=90º，∠GDE+∠GED=90º，∠CDF=∠GED ， △EGD ∽△DCF ；

② 设点E 的坐标为（a ,2）, 点F 的坐标为（4,b ）,点E 、F 在双曲线y=k

x 上，

k=2a=4b,a=2b,所以有点E （2b,2）, AE=2b,AB=4, ED=EB=4-2b, EG=OA=CB=2, CF=b, DF=BF=CB-CF=2-b, DC=DF 2-CF 2 =(2-b)2-b 2 =21-b ,

O

G

F

E

D

C

B A

y

x

△EGD ∽△DCF,DC DF = EG ED ,2 1-b 2-b = 2 4-2b ,b= 3

4 ,

有点F （4，34 ），k = 4×3

4

= 3.

3、如图,直线1

22

y x =

+分别交轴于A 、C ，点P 是该直线与反比例函数在第一象限的一个交点,PB ⊥x 轴于B,且9ABP S ∆=.

(1) 求证:△AOC ∽△ABP ； （2）求点P 的坐标； （3）设点R 与点P 在同一个反比例函数的图象上,且点R 在直线PB 的右侧,作RT ⊥x 轴于T,当△BRT 与△AOC 相似时,求点R 的坐标.

解（1）

∴△AOC ∽△ABP

(2)

△AOC ∽△ABP

2

2⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴∆∆AB OA PB OC S S ABP AOC

第27题图

PB OC x PB x OC //,∴⊥⊥轴轴 42420044,0;2,0=∴==∴-∴-====∆AOC S OC OA B A x y y x ，），（），，（则令则令