《空间向量在立体几何中的应用》教学设计教学教材

《空间向量在立体几何中的应用》教学设计

一.教学目标

（一）知识与技能

1.理解并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值；

2.理解并会用空间向量解决平行与垂直问题. （二）过程与方法

1.体验用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值的过程；

2.体验用空间向量解决平行与垂直问题的过程． （三）情感态度与价值观

1.通过理解并用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值，用空间向量解决平行与垂直问题的过程，让学生体会几何问题代数化，领悟解析几何的思想；

2.培养学生向量的代数运算推理能力；

3.培养学生理解、运用知识的能力． 二.教学重、难点

重点：用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值及解决平行与垂直问题．

难点：用空间向量求二面角的余弦值．

三.教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法． 四.教学用具：电脑、投影仪． 五.教学设计 （一）新课导入

1.提问学生：

（1）怎样找空间中线线角、线面角和二面角的平面角？ （2）能否用代数运算来解决平行与垂直问题？ （二）新课学习

1.用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值. （1）设12,l l 是两条异面直线，,A B 是1l 上的任意两点，,C D 是直线2l 上的任意

两点，则12,l l

.

（2）设AB 是平面α的斜线，且,B BC α∈是斜线AB 在平面α内的射影，则

斜线AB 与平面α

设n r

是平面α的法向量，AB

是平面α的一条斜线，则AB 与平面α

.

（3）设12,n n u r u u r

是二面角l αβ--的面,αβ

就是二面角的

平面角或补角的余弦值.

例1：在棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D -中，EF 分别是'',BC A D 的中点， （1）求直线'

AC DE 与所成角的余弦值.

（2）求直线AD 与平面'B EDF 所成的角的余弦值

（3）求平面'B EDF 与平面ABCD

分析：启发学生找出三条两两垂直的直线AB,AD,AA ′，建立空间直角坐标系A-xyz ，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就可以得到所求的结果.

解：（1）如图建立坐标系，则'(0,0,),(,,0),(0,,0),(,,0)2

a

A a C a a D a E a .

'

(,,),(,,0)2

a AC a a a DE a ∴=-=-u u u r u u u r .

''

'cos ,AC DE AC DE AC DE

?∴<>==?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故'

AC

DE 与所成的角的余弦值为15

15

. （2）,ADE ADF ∠=∠Q 所以AD 在平面'B EDF 内的射影在EDF ∠的平分线上，又'B EDF 为菱形，'DB ∴为EDF ∠的平分线，故直线AD 与平面'B EDF 所成的角为'ADB ∠，建立如图所示坐标系，则'(0,0,0),(,0,),(0,,0)A B a a D a ，

'

(0,,0),(,,)DA a DB a a a ∴=-=-u u u u r u u u r ，'''cos ,DA DB DA DB DA DB

?∴<>==?u u u u

r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r . 故AD 与平面'B EDF 所成角的余弦值为

3

3

. x

（3）由''(0,0,0),(0,0,),(,0,),(0,,0),(,,0)2

a

A A a

B a a D a E a ,所以平面ABCD 的

法向量为'

(0,0,)m AA a ==u u u r u r ,下面求平面'B EDF 的法向量，设(1,,)n y z =r ，由

'

(,,0),(0,,)22a a ED a EB a =-=-u u u r u u u r ，'0210n ED y z n EB ??==??∴???=?

?=??r u u u r

u u u r

r ，(1,2,1)n ∴=r

. cos ,m n n m m n ?∴<>==

?u r r

r u r u r r . 所以，平面'B EDF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为6

6

. 课堂练习：

1.如图，PA ABC ⊥平面

，,1,AC BC PA AC BC ⊥===A PB C --的余弦值.

参考答案：

解：建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，取PB 的中点D ，连,DC 可证

DC PB ⊥，作AE PB ⊥于E ，则向量DC EA u u u r u u u r

与的夹角的大小为二面角A PB C

--

的大小。(1,0,0),(0,0,0),(1,0,1)A B C P Q ，D 为PB 的中点，

11(,,)222∴，在Rt PAB V 中，22

13PE AP EB AB ==. 1

3E PB ∴u u u r 分的比为

，3313()(,)4444E EA ∴∴=-u u u r

11(,)222DC =---u u u r

，1,22

EA DC EA ?==u u u r u u u r u u u r

，

z

1

3

2

1,cos,

3

3

1

2

DC EA DC

=<>==

?

u u u r u u u r u u u r

.

∴二面角A PC C

--的余弦值为

3

3

.

引导学生归纳：

用空间向量求二面角的余弦值时，是将求二面角的余弦值问题转化为求两平面的法向量的夹角的余弦值问题，这里要明确：

（1）当法向量

12

n n

u r u u r

与的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等

于法向量

12

n n

u r u u r

与的夹角的大小；

（2）当法向量

12

n n

u r u u r

与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小

等于法向量

12

n n

u r u u r

与的夹角的补角1

2

,n n

π-<>

r u u r

.

2.利用向量向量解决平行与垂直问题.

例2：如图, 在直三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

中，AC＝3，BC＝4，AA

1

＝4，5

AB=,点D

是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC

1

；（II）求证：A

1

C//平面CDB

1.

分析：启发学生找出三条两两垂直的直线CA,CB,CC

1

，建立空间直角坐标系

C-xyz，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就

可以得到两条直线垂直或平行.

解：∵直三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C

1

C

两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C

1

C分别为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C

1

（0,0，4），B（0,4，0），

B

1

（0,4，4），D（

2

3

，2,0）

（1）∵AC＝（－3,0，0），

1

BC＝（0，－4,0），∴AC?

1

BC＝0，∴AC⊥BC1.

（2）设CB 1与C 1B 的交战为E ，则E （0,2，2）.∵DE ＝（－

2

3

，0,2），1AC ＝（－3,0，4），∴112

DE AC =u u u r u u u u r

，∴DE ∥AC 1. ∵ DE ?平面CDB 1，AC 1?平面CDB 1.

∴ AC 1//平面CDB 1.

引导学生归纳：

（1）垂直问题转化为：判定空间向量的数量积是否为零； （2）平行问题转化为：面面平行线面平行线线平行. 课堂练习：

2.在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ====, （1）求证1;AC BC ⊥（2）在AB 上是否存在点D 使得1?AC CD ⊥ （3）在AB 上是否存在点D 使得11//A C CDB 平面.

参考答案：

解：直三棱柱111ABC A B C -，13,4,5,,,AC BC AB AC BC CC ===两两垂直，以C 为坐标原点，直线1,,CA CB CC 分别为x 轴y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则1(0,0,4),(3,0,0),(0,0,4)C A C ，1(0,4,0),(0,4,4)B B .

（1）1(3,0,0),(0,4,4)AC BC =-=-u u u r u u u u r Q ，110,AC BC AC BC ∴?=∴⊥u u u r u u u u r u u u r u u u u r

AC BC ∴⊥.

（2）假设在AB 上存在点D ，使得1AC CD ⊥，则(3,4,0)AD AB λλλ==-u u u r u u u r

其中01λ≤≤，则(33,4,0)D λλ-，于是(33,4,0)CD λλ=-u u u r 由于1(3,0,4)AC =-u u u u r ，

且1AC CD ⊥.

所以990λ-+=得1λ=，所以在AB 上存在点D 使得1AC CD ⊥，且这时点D 与点B 重合.

（3）假设在AB 上存在点D 使得11//AC CDB 平面，则(3,4,0)

AD AB λλλ==-u u u r u u u r

C A B

x

D

1A

y

Z

1B

1C

其中01λ≤≤则(33,4,0)D λλ-，1(33,44,4)B D λλ=---u u u u r 又1(0,4,4).B C =--u u u r

由于1(3,0,4)AC =-u u u u r

，

11

//AC CDB 平面，所以存在实数

111,,m n AC mB D nBC =+u u u u r u u u u r u u u r 使成立，(33)3,(44)40,444,m m n m n λλ∴-=---=--=所以1

2

λ=

，所以在AB 上存在点D 使得11//AC CDB 平面，且D 使AB 的中点.

引导学生感悟：

空间向量有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量运算，实现了数与形的结合，在解决立体几何的夹角、平行与垂直等问题中体现出巨大的优越性.

（二）课外作业

1.如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，

1

为侧棱CC 1上一点, 1AM BA ⊥． （1）求证: AM ⊥平面1A BC ；

（2）求二面角B －AM －C 的大小；

2.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB

＝2

AB . (1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；

(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．

A B C A

B

C

M