高中数学椭圆的定义与标准方程教案

椭圆的定义与标准方程教案

一、教学目标

学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程.

二、教学重点、难点

（1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程.

（2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导.

三、教学方法: 引导发现法、探索讨论法

四、教学内容:

（一）设置情景，引出课题

问题：2008年9月28日上午9时，“神州七号”载人飞船顺利升空，实现多人航天天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州七号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州六七号”运行轨道图片和视频．

请学生列举生活中椭圆的例子.

（二）实验探索,建构新知

1．玻璃杯装半杯水,适度倾斜,观察水面是个什么形状?

2. 手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆 分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？

（2）在这个运动过程中，什么是不变的？

答：两个定点，绳长。即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上的点与两个定点距离之和不变）

（三）小组讨论,定义形成

平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．

椭圆定义的再认识：问题：假设与两定点的距离之和为d,为什么要满足d>2c 呢？

（1）当d=2c 时，轨迹是什么？（2）当d<2c 时，轨迹又是什么？ 结论：（1）、当d>|F 1F 2|时，是椭圆；

（2）、当d=|F 1F 2|时，是线段；

（3）、当d<|F 1F 2|轨迹不存在.

（四）方程推导,学会建系

取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴。

设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.

则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数） {}a PF PF P P 221=+=∴

221)(y c x PF ++= 又， a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，

化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-，

由定义c a 22>,022>-∴c a

令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，

两边同除22b a 得 122

22=+b y a x 此即为椭圆的标准方程。它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程其中22b c a +=

注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程

如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程12222=+b

y a x 中的y x ,调换，即可得 122

22=+b x a y ，也是椭圆的标准方程

理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点。

（五）应用方程,实际演练

例1.求下列椭圆的焦点坐标以及椭圆上每一点到两焦点距离的和. (1) 19y 16x 22=+ (2) 125

y 16x 2

2=+ (3)14322=+y x 例2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程

（1）两个焦点的坐标分别是)0,4(),0,4(-，椭圆上一点P 到两焦点距离和等于10.

（2）52,10==+c b a .

例3. 若方程11

22

2=-+-k x k y 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的范围 . 变式1：把上面的方程变为22

121

y x k k -=---,那么结果将如何呢? 变式2：如果方程122=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） （A ）（0，+∞） （B ）（0，2） （C ）（1，+∞） （D ）（0，1）

（六）课堂训练,反思调节 1椭圆19

252

2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10

2.椭圆1169

252

2=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)

3．已知椭圆方程为132

232

2=+y x ，则这个椭圆的焦距为（ ） （A ）6 （B ）3 （C ）53 （D ）65

4．21,F F 是定点，且6||21=F F ，动点M 满足6||||21=+MF MF ，则点M 的轨迹是（ ） （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段