能力培优--圆

第三章圆

3．圆周角和圆心角的关系

专题一圆周角定理、推论及应用

1．（2012，鄂州）如图，OA=OB=OC且∠ACB=30°,则∠AOB的大小是（）.

°°°

2．（2012，日照）如图，过A、C、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果∠A=63°，那么∠B= ．

3．（2012，玉林）如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，∠NMB的度数是．

4．（2012，河源）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E.

（1）求证:△ADE∽△BCE;

（2）如果AD2=AE·AC，求证:CD=CB.

5．（2012，南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角.

（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，

①若AB是⊙O的直径，则∠APB=；

②若⊙O的半径是1，AB=2，求∠APB的度数.

（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于点M、N（点M与点A，点N 与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系.

状元笔记：

【知识要点】圆周角定理与推论及应用

【温馨提示】（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①定点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．【方法技巧】灵活运用同弧或等弧所对的圆周角相等、同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角等知识点，由于图形中的角比较多，因此仔细观察图形是关键．

规律总结：圆相对于直线型图形不同之处在于弧，所以用好弧的性质，比如：同弧或等弧所对的圆周角相等，等弧对等弦等等，是顺利解决圆的有关问题的一个重要方面．圆中若出现直径，则往往借助“直径或半圆所对的圆周角是直角”，此时，可能需作辅助线完成.

4．确定圆的条件

专题与三角形的外接圆有关的计算

1．（2012，湖州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC 的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数为（）.

°°°°

2．（2012，襄阳）△ABC是⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（）

A. 80°

B. 160°

C. 100°

D. 80°或100°

3. （2012，安徽）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平

行四边形，则∠OAD+∠OCD=_______________°.

4．（2012，资阳）直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是．

状元笔记：

【知识要点】三角形的外接圆

【温馨提示】以定弦（非直径）为边的圆内接三角形的第三个内角是该弦所对的两个圆周角，它们是互补的关系．

【方法技巧】特别注意外心与三角形的位置关系以及圆内接四边形的性质，解题时注意不要忽略△ABC为钝角三角形的情况，即外心位于△ABC外部的情况．

5．直线和圆的位置关系

专题一直线和圆的三种位置关系

1．（2012，衡阳）已知⊙O的直径等于12 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l 与⊙O的交点个数为（）.

A．0 B．1 C．2 D．无法确定

2．（2012，凉山州）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线2

y与⊙O

-

=x 的位置关系是（）.

A ．相离

B ．相切

C ．相交

D ．以上三种情况都有可能

3．如图，已知⊙O 是以坐标原点O 为圆心，1为半径的圆，∠AOB =45°，点P 在x 轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设P （x ，0），试求x 的取值范围．

专题二 圆的切线的性质、判定及应用

4．（2012，玉林）如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边

AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE

⌒（不包括端点D 、E ）上任一点Ｐ作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N ，若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为（ ）.

A ．r

B ．r 2

3

C ．2r

D ．r 2

5

5．（2012，茂名）如图，⊙O 与直线1l 相离，圆心O 到直线1l 的距离32=OB ，4=OA ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转30°后得到的直线2l 刚好与⊙O 相切于点C ，试求OC 的值．

O

x

y

1 1 -1

-1

6. （2012，广州）如图，⊙P 的圆心P （－3，2），半径为3，直线MN 过点M （5，0）且平行于y 轴，点N 在点M 的上方．

（1）在图中作出⊙P 关于y 轴对称的⊙P ′，根据作图直接写出⊙P ′与直线MN 的位置关系．

（2）若点N 在（1）中的⊙P ′上，求PN 的长．

7．（2012，衡阳）如图，AB 是⊙O 的直径，动弦CD 垂直AB 于点E ，过点B 作直线BF ∥CD 交AD 的延长线于点F ，若AB ＝10 cm ． （1）求证：BF 是⊙O 的切线； （2）若AD ＝8cm ，求BE 的长；

（3）若四边形CBFD 为平行四边形，则四边形ACBD 为何种特殊四边形并说明理由．

8．（2012，福州）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E . （1）求证：AC 平分∠DAB ；

（2）若∠B ＝60°，32 CD ，求AE 的长.

状元笔记：

【知识要点】切线性质与判定及应用

【温馨提示】圆的切线垂直于经过切点的半径，切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件：①直线过圆心；②直线过切点；

③直线与圆的切线垂直.

判定（或证明）直线与圆相切的方法只有两种：一是“距离”判定.既到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；二是“位置”，判定.即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【方法技巧】在遇到有关切线的题目时，要注意利用切线垂直于经过切点的半径这一条件；在证明圆的切线时，要注意①有切点，连半径，证垂直；②无切点，作垂直，证半径．

6．圆和圆的位置关系

专题圆和圆的五种位置关系

1．已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1= 3，则圆O1与圆O2的位置关系是（）.

A.相交或相切

B.相切或相离

C.相交或内含

D.相切或内含2．如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为（a，0），半径为5，如果两圆内含，那么a的取值范围是_________．Array

3．（2012，德阳）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），⊙A的半径是2，⊙P的半径是1，满足与⊙A及x轴都相切的⊙P有个．

4．（2012，佛山）（1）按语句作图并回答：作线段AC（AC＝4），以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆（a<4，b<4，圆A与圆C交于B，D两点），连接AB，BC，CD，DA.

若能作出满足要求的四边形ABCD，则a，b应满足什么条件

（2）若a＝2，b＝3，求四边形ABCD的面积.

5．如图，已知△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE，CD＝3，∠ACB＝30°.

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）分别求AB，OE的长；

（3）填空：如果以点E为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1，则r的取值范围为.

C

D

E

A O B

状元笔记：

【知识要点】两圆的位置关系有五种：相离，外切，相交，内切，内含．具体情况由圆心距与两半径的长度来确定的：圆心距用d来表示，两圆的半径分别用r，R来表示．当d>R+r 时，相离；当d=R+r时，外切；当R-r

【温馨提示】在圆与圆的这些位置关系中，熟练掌握两圆的圆心距d，两圆的半径R和r它们之间的数量关系是解题的关键，一般通过图形、数量关系考查或者在动态中考查.

7．弧长及扇形的面积

8．圆锥的侧面积

专题一 弧长及扇形的面积

1．如图，一枚直径为4 cm 的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是（ ）.

A ．2π cm

B ．4π cm

C ．8π cm

D ．16π cm

2．（2012，衡阳）如图，⊙O 的半径为6 cm ，直线AB 是⊙O 的切线，切点为点B ，弦BC ∥AO ，若∠A ＝30°，则劣弧BC 的长为 cm ．

3．（2012，茂名）如右上图，在3×3的方格中（共有9个小格），每个小方格都是边长为1的正方形，O ，B ，C 是格点，则扇形OBC 的面积等于 ．（结果保留π）

专题二 圆锥的侧面积

4．（2012，莱芜）若一个圆锥的底面积为4π cm 2，圆锥的高为42cm ，则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（ ）． A ．40°

B ．80°

C ．120°

D ．150°

5．（2012，绍兴）如图，扇形DOE 的半径为3，边长为3的菱形OABC 的顶点A ，C ，B 分别在OD ，OE ，?DE

上，若把扇形DOE 围成一个圆锥，则此圆锥的高为（ ）.

A ．2

1 B ．2

2 C ．

2

37 D ．

2

35

6．如图，用邻边长分别为a ，b （a

A ．a b 3=

B ．a b 2

15+= C ．a b 25

= D ．a b 2=

专题三 组合图形的面积

7．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AC =6cm ，CD ⊥AB 于D ，以C 为圆心，CD 为半径画弧，交BC 于E ，则图中阴影部分的面积为（ ）.

A ．333π24??- ???cm 2

B ．333π28??- ??? cm 2

C ．333π4??- ??? cm 2

D ．333π8??-

??

? cm 2 8．如图，在□ABCD 中，AD =2，AB =4，∠A =30°，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是 .（结果保留π）

状元笔记：

【知识要点】弧长及扇形的面积，圆锥的侧面展开图

【温馨提示】圆锥的侧面展开图中有几个相等量要把握：（1）底面圆的周长即是圆锥侧面展开图的弧长；（2）圆锥的母线长即是侧面展开图的扇形的半径． 【方法技巧】

求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积，常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．

第三章 圆 参考答案

3．圆周角和圆心角的关系

专题一 圆周角定理、推论及应用

1．C ［解析］根据题意，可以以点O 为圆心，以OA 为半径作圆（如下图），则有点A 、B 、C 均在圆周上，故有∠AOB =2∠ACB =60°．

2．18° ［解析］连接DE 、CE ，则∠2=∠θ，∠5=∠6. ∵∠6是△BDE 的外角，∴∠6=∠2+∠ABC =2θ.∵∠5+∠6+∠1=180°，∴4θ+∠1=180°①.在△ACE 中，∵AE =CE ，∴∠3=∠CAE =63°，∴∠4=180°-∠3-∠CAE =180°-63°-63°=54°. ∵∠4+∠1+∠2=180°，即54°+∠1+θ=180°②，①②联立得，θ=18°．

3．30° ［解析］连接BO ，Q 矩形ABCD 内接于扇形MON ，∴BO ON CO CN 2

1

21===. ∵ON,BC ⊥∴?=∠30CBO ，

∴?=?-?=∠-?=∠60309090OBC OC B ，∴?=??=∠=

∠30602

1

21BOC NMB . 4．证明：（1）∵AB

⌒=AB ⌒，∴∠ADE =∠BCE .又∵∠AED =∠BEC ，∴△ADE ∽△BCE . （2）∵AD 2=AE ·AC ，∴

AD AC AE

AD

=.∵∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACD .

∴∠ADB =∠ACD .∵AB

⌒=AB ⌒，∴∠ADB =∠BCA .∴∠ACD =∠BCA ，∴AB ⌒=AD ⌒ . ∵AC 是⊙O 的直径， ∴ADC

⌒=ABC ⌒，∴CD ⌒=CB ⌒，∴CD =CB .

5．解：（1）①90;

②连接OA 、OB 、AB （如图）.∵⊙O 的半径是1，AB =2，即OA =OB =1,

由勾股定理的逆定理可得△OAB 是直角三角形，∴∠AOB =90°,∴∠APB =45°或135°.

O

A

C

B

（2）①当点P 在优弧AB 上时，如左图，∠APB =∠MAN -∠ANB ； ②当点P 在劣弧AB 上时，如右图，∠APB =∠MAN +∠ANB .

4．确定圆的条件

专题 与三角形的外接圆有关的计算

1．B ［解析］∵AC 是直径，∴∠ABC =90°. ∵∠C =50°，∴∠BAC =40°，又∠ABC 的平分线BD 交⊙O 于点D ，∴∠DBC =∠DAC =45°，∴∠BAD =85°． 2．D ［解析］如下图，①若点O 在△AB 1C 内部，则∠AB 1C ＝

2

1

∠AOC ＝80°；②若点O 在△AB 2C 外部，∵四边形AB 1CB 2内接于⊙O ，∴∠AB 2C ＋∠AB 1C ＝180°，此时，∠AB 2C ＝180°－80°＝100°.

3．60° ［解析］∵四边形OABC 为平行四边形，∴∠ABC =∠AOC ，∠OAB =∠OCB .

A

C

O

B 1

B 2

∵∠ADC =

2

1∠AOC ，∠ADC +∠ABC =180°，∴∠ABC =∠AOC =120°. ∵OA ∥BC ，

∴∠OAB =∠OCB =60°．∵（∠OAB +∠OAD ）+（∠OCB +∠OCD ）=180°，∴∠OAD +∠OCD =60°. 4．10或8 ［解析］当已知两边长16和12为直角边长时，求得斜边为20，此时直角三角形的外接圆半径是10；当斜边长为16时，此时直角三角形的外接圆半径为8. 所以三角形的外接圆半径是10或8.

5． 直线和圆的位置关系

专题一 直线和圆的三种位置关系

1．C ［解析］∵⊙O 的直径为12 cm ，∴⊙O 的半径为6 cm ． 又圆心到直线l 的距离为5 cm ，6 cm>5 cm ，所以直线l 与圆O 相交，因此直线与圆有2个交点．

2．B ［解析］∵令x =0，则y =﹣2；令y =0，则x =2，∴A （0，2-），B （2，0）.∴OA =OB =2，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴AB =2.过点O 作OD ⊥A B ，则OD =BD =21AB =2

1

×2=1，∴直线2-x y =与⊙O 相切．

3．解：作与OA 平行且与圆相切的直线，这两条直线与x 轴的交点即是所求的点P ，过点O 向直线做垂线，因为∠AOB =45°，所以得到一腰长为1的等腰直角三角形，根据锐角三角函数或勾股定理得点P 的坐标，所以2-≤x ≤2.

4．［解析］连接OE OD ，,∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ,OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD =MP ,同理可得NP =NE. ∴C Rt △MBN =MB +BN +NM =MB +BN +NP +PM =MB +MD +BN +NE =BD +BE =2r. 5．解：在Rt △AOB 中，已知32=OB ，4=OA ，∴sin ∠OAB ＝

2

3

432=

，∴sin ∠OAB ＝60°．∵将直线1l 绕点A 逆时针旋转30°，∴∠OAC ＝30°．∵点C 为切点，∴∠OCA ＝90°，∴△AOC 为直角三角形．在Rt △AOC 中，4=OA ，∠OAC ＝30°，∴OC ＝2． 6．解：（1）作图如下，

⊙P ′与直线MN 相交．

（2）连接PP ′并延长交MN 于点Q ，连接PN 、P′N ；

由题意可知：在Rt △P ′QN 中，P ′Q ＝2，P ′N ＝3，由勾股定理可求出QN ＝5.

在Rt △PQN 中，PQ ＝3+5＝8，QN ＝5，由勾股定理可求出PN ＝69)5(822=+． 7．解：（1） ∵CD ⊥AB ，BF ∥CD ，∴AB ⊥BF ．∵AB 是⊙O 的直径，∴BF 是⊙O 的切线． （2）如图，连接BD ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°．在Rt △ABD 中，BD =

68102222=-=-AD AB ．∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴△BDE ∽△BAD ，

∴BA

BD

BD BE =

．∴6.310622===BA BD BE ．

（3）如图，连接BC ，BD ．四边形ACBD 为正方形．

证明：∵四边形CBFD 是平行四边形，∴CB ∥AF ．∴∠ADC =∠BCD ． ∵∠BAD =∠BCD , ∴∠BAD =∠ADC ． ∴AE =DE ．∵AB ⊥CD ，∴∠AED =90°．∴∠BAD =∠ADC =45°．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠BAD =∠ABD =45°． ∴AD =BD ．∵AB ⊥CD ，∴点E 是AB 的中点．又点O 为直径AB 的中点，∴点E 与点O 重合．∴AE =BE =CE =DE ．∴四边形ACBD 为平行四边形. 又∵AB =CD ，∴四边形ACBD 是矩形．∵∠ADB =90°，∴四边形

ACBD 为正方形．

8．解：（1） 证明：如图，连接OC ．∵CD 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ，∴∠OCD ＝90°．∵AD ⊥CD ，

∴∠ADC ＝90°，∴∠OCD ＋∠ADC ＝180°，∴AD ∥OC ， ∴∠1＝∠2. ∵OA ＝OC ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，即AC 平分∠DAB.

（2）解法一：如图．

∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°．又∵∠B =60°，∴∠1=∠3=∠30°．在Rt △ACD 中，32=CD ，∴AC =2CD =34．∴830cos 3

4cos =?

=∠=

CAB AC AB ．

连接OE ， ∵∠EAO =2∠2=60°，

∴OA =OE ，∴△AOE 是等边三角

形．∴42

1

===AB OA AE .

解法二：如图，连接CE ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°.又∵∠B =60°， ∴∠1=∠3=30°．

在Rt △ADC 中，CD =32，∴AD =

630tan 3

2tan =?

=∠DAC CD ．∵四边形ABCE 是⊙O 的内接四

边形，∴∠B +∠AEC =180°. 又∵∠AEC +∠DEC =180°，∴∠DEC =∠B =60°． 在Rt △CDE 中，32=CD ，∴260tan 3

2tan =?

=∠=DEC DC DE ，∴AE =AD =DE =4．

6．圆和圆的位置关系

专题 圆和圆的五种位置关系

1．A ［解析］通过数轴法分析两圆的位置关系就可以得到正确答案．

2．-2＜a ＜2 ［解析］因为小圆圆心为原点，大圆的圆心坐标为（a ，0），所以圆心距为|a|，由两圆位置为内含得数量关系：|a |＜5-3，得-2＜a ＜2．

3．4 ［解析］如图，取OA 的中点P 3，过点P 3作P 3 P 1⊥y 轴，则在直线P 3 P 1上有三个圆与⊙A 及x 轴都相切，其中有两个圆与⊙A 外切，一个圆与⊙A 内切；另外，在x 轴的下方有一个圆与⊙A 外切及与x 轴相切．综上，符合条件的⊙P 有4个，故填4．

4．［解析］（1）如图，a ，b 应满足：a ＋b ＞4.

（2）法一：连接BD ，交AC 于O ，∵⊙A 与⊙C 交于B ，D ，

∴AC ⊥DB ，BO ＝DO ．设CO ＝x ，则AO ＝4－x ，∵由勾股定理得BO 2＝32－x 2＝22－（4－x ）

2，解得

x ＝821，∴BO ＝815382132

2=

??

?

??-，

则四边形ABCD 的面积是2×

2

1

×AC ×BO ＝4×15238153=.

5．解：（1）连接BD ，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°.又∵AB ＝BC ，∴AD ＝CD . 又∵AO ＝BO ，∴ODDE ⊥BC ，∴OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线. （2）在Rt △CBD 中，CD ＝3，∠ACB ＝30°，∴BC =

,22

3330cos ==

?

CD

∴AB =2.

在Rt △CDE 中，CD ＝3，∠ACB ＝30°，∴DE ＝2

1

CD =23.

连接OD ，在Rt △ODE 中，OE ＝2

7

)23(12=

+. （3）

27

-1

7+1

7．弧长及扇形的面积 8． 圆锥的侧面积

专题一 弧长及扇形的面积

1．B ［解析］因为圆的直径是4 cm ，硬币滚动一周的距离为4π cm ，所以圆心移动的距离也为4π cm.

P 4

P 3P 2P 1

A (0,2)O y

x

2．2π ［解析］∵AB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BO ． ∵∠A =30°，∴∠AOB =60°． ∵BC ∥AO ，∴∠OBC =∠AOB =60°．在等腰△OBC 中，∠BOC =180°-2∠OBC =180°-2×60°=60°．∴弧BC 的长为60π62π180??=．

3．5

π4

［解析］利用勾股定理得OB ＝5，

∴利用扇形的面积公式得

S 扇BOC ＝()

2

905360

π?=5

π4．

4．C ［解析］圆锥底面积为4π，所以半径r ＝2，底面圆的周长为4π.又底面半径与高、

母线长构成直角三角形，所以母线长＝6)24(222=+，又6

4180n π?=π，解得n ＝120.

5．D ［解析］分别连接OB 、AC 交于点M ，因为扇形DOE 的半径为3，所以菱形的对角线

OB =3，所以OM =23

，又OA =3，cos ∠AOM =3

3223

OM OA ==

，即∠AOM =30°，故∠DOE=60°，所以?DE

的长为60π3π180??=．圆锥的底面半径为π÷2π=21，即此圆锥的高为13613522

3()2

442

-=

-=

．

6．D ［解析］如图，设两圆心为A , B ，底面圆的半径为r ，连接AB ，过点B 作BD 垂直

AD ，则AB =0.5a +r ，BD =，AD =0.5a -r ，根据勾股定理构造方程得222)2

()2()2(r a

b r a +=+-，

得ar b 82=，因为半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，则：1

22

a r π=π，

a =4r ，所以22

2b a =，所以a b 2=.

7．A ［解析］ ∵∠A =30°，AC =6 cm ，CD ⊥AB ，∴∠B =60°，∠BCD =30°，CD =3 cm ，BD =3cm ，故S △BDC =21BD ×DC =323

cm 2，

S 扇形CED =2

330360?π?，故阴影部分的面积为：3332

4-π?? ???cm 2． 8．33

π-

［解析］ 在□ABCD 中，AD =2，AB =4，∠A =30°，可得平行四边形的高等于1，

所以平行四边形的面积为4×1=4，由画弧过程可知，AE =BE =2，所以可求出三角形EBC 的面

积为2×1÷2=1，再由扇形面积公式可求得?ADE 面积为

2

3023603

·ππ=，∴阴影部分面积等于4－1－33

3

ππ=-

．