(完整版)现代控制理论期末试卷

一、（10分，每小题1分）

1、任一线性连续定常系统的系统矩阵均可对角形化。(×)

2、对SISO 线性连续定常系统，传递函数存在零极点对消，则系统一定不能观且不能控制。

(×)

3、对线性连续定常系统，非奇异变换后的系统特征值不变。(√)

4、对于线性连续定常系统的最小实现是唯一的。(×)

5、稳定性问题是相对于某个平衡状态而言的。(√)

6、Lyapunov 第二法只给出了判定稳定性的充分条件。(√)

7、对于SISO 线性连续定常系统，状态反馈后形成的闭环系统零点与原系统一样。(√)

8、对于一个系统，只能选取一组状态变量。(×)

9、对于一个n 维的线性定常连续系统，若其完全能观，则利用状态观测器实现的状态反馈

闭环系统是2n 维的。(√)

10、对线性定常系统，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵特征值都具有负实部是一

致的。(√)

二（10分，每小题5分）

（1）简述平衡状态及平衡点的定义。

（2）简述状态方程解的意义。

解：（1）状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点。由平衡状态在状态空间中所确定

的点称之为平衡点。

（2）线性连续定常系统状态方程的解由两部分组成，一部分是由初始状态所引起的自由运

动即零输入响应，第二部分是由输入所引起的系统强迫运动，与输入有关称为零状态响应。

三、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。其中，m 为运动物体的质量，k 为弹簧的弹性系数，

h 为阻尼器的阻尼系数，f 为系统所受外力。取物体位移为状态变量x 1，速度为状态变量

x 2，并取位移为系统输出y ，外力为系统输入u ，试建立系统的状态空间表达式。

解：

……………………………….……1分

f ma =令位移变量为x 1，速度变量为x 2，外力为输入u ，有

………………………………2分122u kx kx mx

--= 于是有

………………………………..……………1分12x

x = ……….….……………….2分2121k h x x x u m m m

=--+

再令位移为系统的输出y ，有

…………………………….……….1分

1y x =写成状态空间表达式，即矩阵形式，有

………..……………..2分11220101x x u k h x x m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

……………………..……….……….2分[]1210x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

四、（15分）求以下系统的状态响应

0120()()(),(0),()e 2301t x t x t u t x u t -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦

解： 由得012,230A b ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦

…………….……………………………………2分123s sI A s -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦

……………….………2分121111212()22

2121

21s s s s sI A s s s s -⎡⎤--⎢⎥++++-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥++++⎣⎦ …………….………….………2分22222e e e e e 2e e e 2e t t

t t At t t t t --------⎡⎤--=⎢⎥-+-+⎣⎦

…………….………………2分()0

()e (0)e ()()t At A t s x t x B s u s ds -=+⎰ …………….………………...…………1分21(41)e e

t t x t --=-+ …………….…………..………………1分

22(34)e 2e t t x t --=--五、（10分）令为二阶单位矩阵。求解Lyapunov 方程判断以下系统

2I 20T A P PA I ++=的稳定性

0111x x ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦

解 令………….…………..…………………..……………1分a b P b c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

得

……………….………………2分21002201b a b c a b c b c ---⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦

……………….……………………………..………2分

21002210b a b c b c -+=⎧⎪--=⎨⎪-+=⎩ ……………….…………………………..…………2分3212121P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

由 ……………….…………..………………2分

320,540a P =>=>可知正定，所以系统渐近稳定………….……………..………………1分

P 六、设和是两个能控且能观的系统

1∑2∑[]1

121210431022221111==-=∑=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑C b A C b A ，，：，，：（1）试分析由和所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函

1∑2∑数；

解：（1）和串联

1∑2∑当的输出是的输入时，1∑1y 2∑2u 331222x

x x x =-++ ，010*********x x u ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

[]001y x =20141413014M b Ab A b -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

则rank M=2<3，所以系统不完全能控。

12

71)4)(3)(2(2)()(21++=++++=-=-s s s s s s B A sI C s W 当得输出是的输入时

2∑2y 1∑1u