现代控制理论试题详细答案
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现代控制理论试题B 卷及答案
一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤
=+=⎢
⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。
2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）
解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分）
2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）
…..….…….（1分）
写成
010*********x x u ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
…..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分）
二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定
义。（3分）
2
已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
，判定该系统是否
完全能观？(5分)
解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),
,(1)u k u k u k N ++-，时系统
从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对
每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2.
[][]320300020012 110-=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分）
[][]940300020012 3202=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分）
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分）
rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2
分）
三、已知系统1、2的传递函数分别为 求两系统串联后系统的最小实现。（8分） 解
112(1)(1)11
()()()(1)(2)(1)(2)4
s s s s g s g s g s s s s s s -+++==
⋅=++--- …..….…….
（5分） 最小实现为
[]010,10401x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
…..….…….
（3分）
四、将下列状态方程化为能控标准形。(8分)
解 []⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-==7111Ab b U C ……..…………….…….（1分）
……..…………..…….…….（1分） ……..………….…..…….…….（1分） ……..………….…...…….…….（1分）
..………….…...…….…….（1分）
101105C A PAP -⎡⎤
==⎢⎥
-⎣⎦………….…...…….…….（1分）
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡-==1011 434
1818
1Pb b C ……….…...…….…….（1
分）
……….…...…….…….（1
分）
五、利用李亚普诺夫第一方法判定系统的稳定性。（8分） 解
212231
1I A λλλλλ+-⎡⎤
⋅-==++⎢⎥+⎣⎦…………...……....…….…….（3分）
特征根1λ=-…………...…...…….…….（3
分）
均具有负实部，系统在原点附近一致渐近稳定…...…….…….
（2分）
六、利用李雅普诺夫第二方法判断系统是否为大范围渐近稳定： （8分） 解
T A P PA I +=-…………...……....…….…….（1
分）
………...……....…….…….（1分） ………...…………....…….…….（1分）
11
1212
227
5485
38
8p p P p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥
==⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
...…………....…….…….（1分）
11121112
22757
17480 det det
0534648
8p p P p p ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥=
>==>⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
………...（1分）
P 正定，因此系统在原点处是大范围渐近稳定的.………（1
分）
七、已知系统传递函数阵为
2211(1)(2)()213(1)(2)1s s s s G s s s s s s +⎡
⎤⎢⎥
-+⎢
⎥=-⎢
⎥⎢⎥+-+⎣
⎦
试判断该系统能否用状态反馈和输入变换实现解耦控制。（6分） 解： 10d = 20d = ---------- （2分）
[]110E =， []101E = ---------- （2
分）
非奇异，可实现解耦控制。------ （2分）
八、给定系统的状态空间表达式为
[]12310110,0101011x x u y x ---⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
，设计一个具有特征值为-1，
-1，-1的全维状态观测器。（8分） 解：方法1