若函数y= f (x)在区间（-1，1）上有两个零点,则有 ???
????>=>-=-<-<->.0)1(,
02)1(,1211,0a f a f a
a 解不等式组可得: a >2.
综上所述,满足条件的实数的a 取值范围是(0,2) (2,∞+).
上面的解法是错误的.事实上,可以验证,当a =2时, 方程a x 2+x-1=0就是2x 2+x-1=0,它有一个实数根x=2
1在（-1，1）上,故a =2符合题意. 上面的解法错误的原因是对函数y=f (x)在区间（-1，1）上只有一个零点的转化不是等价转化.还应该讨论函数y=f (x)有零点x=1或-1这两种情况:
① 0)1(=f 时, a = 0,由(1)知不符合题意,舍去.
② 0)1(=-f 时, a =2, 方程ax 2+x-1=0就是2x 2+x-1=0,它有一个实
数根x=2
1∈（-1，1）,符合题意.因此所求实数a 的取值范围是(0,∞+).
从上面的分析可以看出,关于函数在区间上存在零点的问题, 区间的端点一般要单独讨论.有些在教学第一线的老师们对二次函数零点讨论总结了一句顺口溜: “一看判别式,二看对称轴,三看区间端点函数值”,在这里的看区间端点函数值,不应该仅理解为端点函数值的“正”与“负”,而应包括端点函数值为零的情况.从上面的例题还可以看出, 端点函数值等于零的情况最好单独验证,即“等号问题单独看”,这不妨作为二次函数零点讨论的第四“看”吧,这是对第三看的深化.
本题若从端点仔细分析,可以有下面简捷明快的解法:
解：（1）当a =0时，f (x)=x-1,函数f (x)的零点为x=1，且1?（-1，1）, 不符合题意.
(2) 当a >0时，由0)1(,01)0(>=<-=a f f 知f (x)在区间(0,1)上至少有一个零点,因此f (x)在区间(-1,1)上有零点.
综上所述,满足条件的实数a 的取值范围是(0,∞+).
本题是函数存在零点问题，可以转化为方程有解问题，而方程有解问题又可以转化为函数值域问题，因此我们还可以有下面的解法:
解:(1)当x=0时,,1)0(-=f 故x=0不是f (x)的零点.
(2)当10,01<<<<-x x 或时, f (x)=a x 2+x-1=0可以转化为 =-=
21x
x a 2)1(x -x 1= (x 1-21)2-41, 当 01<<-x 时, x 1<-1,∴a >(-1-21)2-4
1=2, 当 10<1,∴a >(1-21)2-41=0, ∴a 的取值范围是a >0.
综上所述,满足条件的实数a 的取值范围是(0,∞+).
上述解法用了分离参数的方法, 分离参数后所得的a 关于x 的函数是一个二次函数.一般地,当分离参数后所得的函数是一个比较简单的函数时,用分离参数法比较简单.
本题若利用一元二次方程求根公式，直接求出方程的根，也可以求出结果，于是有下面的解法：
第12讲-二次函数的零点与最值
第十二讲 二次函数的零点与最值 知识归纳和梳理： 1.一元二次方程的根即二次函数的零点也是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标 2.解决二次函数零点问题的方法： （1）转化为???韦达定理判别式 （零点的正负问题） （2）结合二次函数的图象等价转化为??? ????特殊函数值符号判别式符号对称轴位置开口方向的不等式组 3.解二次函数的最值问题的方法: （1）分离参数转化为函数的值域 (2)讨论对称轴和区间的关系 4．恒成立问题的解决方法：)(x f a >恒成立max )(x f a >?（具体情况还要分析能否取”=”） )(x f a ≤恒成立min )(x f a ≤? 【典型例题】： 例1.已知方程023222 =---k x kx 有两个不相等的实根21x x 、 （1）若12,x x 都小于零，求k 的取值围； （2）若12,x x 都小于1，求k 的取值围； （3）若121x x <<，求k 的取值围； （4）若1220x x -<<、，求k 的取值围； （5）恰有一根在（1，2）区间，求k 的取值围。
例2. 若二次函数12 -+-=mx x y 的图像与两端点为A （0，3），B （3，0）的线段AB 有两个不同的交点，求m 的取值围。 经典练习1,2 1.若一元二次方程0332 =-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值围。 2. 已知方程012)2(2=-+-+m x m x 有一实根在0和1之间，求m 的取值围。 3. 若方程0)2(2=-++k x k x 的两实根均在区间（-1、1），求k 的取值围。
4.设? ?????≤≤=121| x x A ，}0)1()12(|{2≤+++-=a a x a x x B ，若B A ?，数a 的取值围 例3..求函数2 2242)(a x x x f --=在区间]1,[+a a 上的最小值 例4．求函数1)(2+-=ax x x f 在区间]2,1[-上的最大值 经典练习3,4 1.函数1)(2+-=ax x x f 在区间]2,1[-上的最小值为-2求a
203专题--二次函数零点分布
1、若关于x 的一元二次方程0)1(2=-+-m x m x 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围. 小结：0>?，方程有2个实根；0=?，方程有1个实根；0x ，02 >x (两个正根)??? ?? ?? ???>=>-=+≥-=?0 0421212a c x x a b x x ac b 3、一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围。（5 12- ≤k 或k>3） 3、一元二次方程0234)1(22=-+++k kx x k 有两个负实根，求实数k 的取值范围. 3、一元二次方程06)63()2(2=++--k x k x k 有两个负根，求k 的取值范围 小结：01=<-=+≥-=?00042 12 12 a c x x a b x x a c b 4、k 在何范围内取值，一元二次方程0332 =-++k kx kx 有一个正根和一个负根？ 分析：依题意有 3k k -<0=>0一次函数、二次函数、函数的零点
一次函数、二次函数、函数的零点 （一）基本知识回顾及应用举例 1. 一次函数.当时，叫做正比例函数，其图象是直线.当时，直线上升，函数为增函数；当时，直线下降，函数为减函数 2. 二次函数的解析式的三种形式 （1）一般式； （2）顶点式； （3）零点式 3. 二次函数的图象是抛物线.当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下.抛物线的顶点坐标为，对称轴方程为.抛物线与轴的交点的 横坐标是方程的根，它在轴上截得的线段的长为=. 4. 二次方程实根的分布情况，常常根据二次函数的图象与轴的交点的位置来确定.当二次方程 在区间内只有一个实根时，有，或；有两个不等实 根时，有；在两个区间各有一个实根即时，， . 5. 二次函数与一元二次不等式有紧密的联系. 图1 图2 图3 6. 函数零点的概念：对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x ∈D）的零点。 函数零点的意义：函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的实数根，亦即函数y＝f（x）的图象与x 轴交点的横坐标。即方程f（x）＝0有实数根函数y＝f（x）的图象与x轴有交点函数y＝f（x）有零点。 例：问：二次函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）在什么条件下有两个零点？一个零点？没有零点？ 7. 例：观察下面函数f（x）＝0的图象（如图4）。 图4
①在区间[a，b]上______（有/无）零点；f（a）·f（b）_____0（＜或＞＝。 ②在区间[b，c]上______（有/无）零点；f（b）·f（c）_____0（＜或＞＝。 ③在区间[c，d]上______（有/无）零点；f（c）·f（d）_____0（＜或＞＝。 如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根。 如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0及函数 在区间[a，b]内单调递增则函数在这个区间内有且只有一个零点。（变号零点）例1. 求函数f（x）＝ln x＋2x－6的零点个数。 直接画图、两个函数求图象交点个数、利用函数单调性判断等三种方法 答案：1 8. 二分法的思想方法：先找到a、b，使f（a），f（b）异号，说明在区间（a，b）内一定有零点，然后求f[（a+b）/2]， 现在假设f（a）<0，f（b）>0，a0，同上 通过每次把f（x）的零点所在的小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。 例2. 若函数唯一的零点同时在区间内，那么下列命题正确的是 A. 函数在区间内有零点 B. 函数在区间或内有零点 C. 函数在区间上无零点 D. 函数在区间内无零点 本小题主要考查学生在掌握用二分法求相应方程的近似解的基础上，对二分法思想的理解。 答案：C 例3. 在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（重量不同），现在只有一台天平，请问：你最多称______次就可以发现这枚假币？ 本小题主要考查对二分法思想的理解和延伸。 答案：4 例4. （1）函数的图象与x轴有交点的充要条件是（） A. a=0且b≠0 B. a≠0 C. D. （2）已知函数的值恒小于零，那么（） A. m=9 B. C. D. m 答案：（1）D（2）D 例5. （1）二次函数的图象如下图所示
二次函数的零点
二次函数的零点：)0(2≠++=a c bx ax y 零点存在性的探索： ① 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞＝） ． ② 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞＝）． （Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象 例1.求函数f(x)=㏑x ＋2x －6的零点个数。 例2．求函数y=x 3-x 2-x+2，并画出它的大致图象 二分法求零点： 对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4． 例1．求函数22)(3 --+=x x x x f 的一个正数零点（精确到1.0）． ○2 1.已知全集{}{}{}()====N M C ，N M U U 则3,2, 2.1,0,4,3,2,1,0 2. 函数2x y -=的单调递增区间为 3. 下列函数是偶函数的是 A. x y = B. 322-=x y C. 21 -=x y D. ]1,0[,2 ∈=x x y 4. 若函数 ()log (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的2倍，则a 的值为（ ）
5.三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是 A b c a <<. B. c b a << C. c a b << D.a c b << 6. 已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为 Ａ．(1,2) Ｂ．(2,1)-- Ｃ．(2,1)(1,2)-- Ｄ．(1,1)- 7.若幂函数y =()x f 的图象经过点（9, 13）, 则 8. 函数()()1log 1 43++--=x x x x f 的定义域是 9．幂函数y ＝x α(α是常数)的图象( ). A ．一定经过点(0，0) B ．一定经过点(1，1) C ．一定经过点(－1，1) D ．一定经过点(1，－1) 10．方程2x ＝2－x 的根所在区间是( ). A ．(－1，0) B ．(2，3) C ．(1，2) D ．(0，1) 11．若log 2 a ＜0，b ?? ? ??21＞1，则( ). A ．a ＞1，b ＞0 B ．a ＞1，b ＜0 C ．0＜a ＜1，b ＞0 D ．0＜a ＜1，b ＜0 11．函数y ＝x 416－的值域是( ). A ．[0，＋∞) B ．[0，4] C ．[0，4) D ．(0，4) 11．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( ). A ．f (x )＝x 1 B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ln (x ＋1) 12．奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，若f (－1)＝0，则不等式f (x )＜0的解集是( ). 13．已知函数f (x )＝? ??0≤ 30log 2x x f x x )，＋(＞，，则f (－10)的值是( ). 19、已知函数 ()()()1,0,1log ≠>-=a a a x f x a 且， （1）求 ()x f 的定义域； （2）讨论函数()x f 的单调性。 20、已知()x f 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，f(x)=log 2x 求()x f 的解析式
二次函数零点问题
二次函数零点问题 【探究拓展】 探究1：设21,x x 分别是实系数一元二次方程02=++c bx ax 和02=++-c bx ax 的一个根，且,0,2121≠≠x x x x 求证：方程02 2=++c bx x a 有且仅有一根介于21,x x 之间. 变式1：已知函数f (x )＝ax 2＋4x ＋b (a <0，a 、b ∈R)，设关于x 的方程f (x ) ＝0的两实根为 x 1、x 2，方程f (x )＝x 的两实根为α、β. （1）若|α－β|＝1，求a 、b 的关系式； （2）若a 、b 均为负整数，且|α－β|＝1，求f (x )的解析式； （3）若α<1<β<2，求证：(x 1＋1)(x 2＋1)<7. 变式2：二次函数2()f x ax bx c =++满足0,0,0,a c a b c ><++=且方程()f x a =-有实根. （1）求证：函数()f x 在(0,)+∞上是增函数. （2）设函数()()g x f x bx =+的零点为1x 和2x ，求证：12||2x x -≥. 变式3：设函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c ，且f (1)＝－a 2，3a >2c >2b ，求证： （1）a >0且－3
变式4：设函数2()(0)f x ax bx c a =++>且(1)2 a f =-. （1）求证：函数()f x 有两个零点； （2）设12,x x 是函数()f x 的两个零点，求12x x -的取值范围； （3）求证：函数()f x 的零点12,x x 至少有一个在区间()0,2内. 探究2：已知方程 x b x a bx =+-21 2有两个不相等的实数根. （1）求a b 的取值范围； （2）求证：函数1)(2++=bx ax x f 在区间()1,1-上是单调函数. 变式：已知二次函数1)(2++=bx ax x f 和b x a bx x g 21 )(2 +-= （1）若)(x f 为偶函数，试判断)(x g 的奇偶性； （2）若方程x x g =)(有两个不相等的实根，当0>a 时判断)(x f 在()1,1-上的单调性； （3）若方程x x g =)(的两个不相等的实根为21,x x ，0)(=x f 的两实根为43,x x ， 求使 得4213x x x x <<<成立的a 的取值范围. 探究3：二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<
二次函数的零点分布
二次函数的零点分布 一、基础知识 1． 零点存在性定理：函数()y f x =的图像连续不断，且满足 ；则函数()y f x =在区间（a,b ）存在零点；当 存在唯一零点。 2． 函数265y x x =-+的零点为 3． 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的零点个数与方程20ax bx c ++=根的关系： 若0?>，则方程20ax bx c ++=有 根，函数2y ax bx c =++有 个零点 若0?=，则方程20ax bx c ++=有 根，函数2y ax bx c =++有 个零点 若0?<，则方程20ax bx c ++=有 根，函数2y ax bx c =++有 个零点 二、例题讲解 例1：函数29y x mx =++有两个零点均大于2，求实数m 的范围 变式1：函数29y x mx =++有两个零点在区间（2，4）内，求实数m 的范围 变式2：函数29y x mx =++有两个零点在区间（2，4）两侧，求实数m 的范围 变式3：函数29y x mx =++有一个零点在区间（2，4）内，求实数m 的范围
变式4：函数29y x mx =++的两个零点，一个在（2，3）内，一个在（4，5）内，求实数m 的范围 变式5：函数29y x mx =++有两个零点一个比2大，一个比2小，求实数m 的范围 变式6：函数29y x mx =++的零点都比2大，求实数m 的范围 例2：若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A (－∞,2] B [－2,2] C (－2,2] D (－∞,－2) 例3：已知函数2 ()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，则a 的取值范围为 解：设()f x 的最小值为()g a （1）当22 a -<-即a ＞4时，()g a ＝(2)f -＝7－3a ≥0，得73a ≤故此时a 不存在； (2) 当[2,2]2a -∈-即－4≤a ≤4时，()g a ＝3－a －2 4 a ≥0，得－6≤a ≤2 又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2； （3）22 a ->即a ＜－4时，()g a ＝(2)f ＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4
二次函数零点分布
一元二次函数零点分布（二次方程根的分布） 教学目标 学会如何通过研究函数的图像，确定二次函数在给定区间上的零点分布。 教学重点 根据函数的图像确定二次函数在给定区间上的零点分布。 教学难点 体会影响二次函数在给定区间上的零点分布的要素。 教学过程 一、探究二次函数零点分布的要素 1、 回想：方程0)3(2 =+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。 2、 思考：函数2)3()(2 +-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。 若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。 3.探究：二次函数零点分布的要素 二、例题讲解 例1 函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a 范围 【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x
例2函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【总结】一元二次函数两个零点均在一个区 间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。这类问题要 考虑哪些因素。 【练习2】12)(2 ++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x 【变式2】12)(2 ++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围
例3函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且0,021>2 二次函数零点的分布专题训练
二次函数零点的分布专题训练 一、单选题 1．若方程2 (1)230k x x --+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．43k < B ．43k > C ．4 3k <，且1k ≠ D ．43 k >，且1k ≠ 2．已知函数()2x e f x x =（其中无理数 2.718e =???），关于x 的方程 λ=有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是（ ） A ．0,2e ?? ??? B ．()2,+∞ C ．2,2e e ?? ++∞ ??? D ．224,4e e ??++∞ ??? 3．已知函数()10,0 lg ,0 x x f x x x -?≤=?>?，函数()()()()2 4g x f x f x t t R =-+∈，若函数 ()g x 有四个零点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[)3,4 B ．[)lg5,4 C ．[){}3,4lg5? D ．(]3,4- 4．设ln ,0()2020,0 e x x f x x x x ?>?=??≤?，2 ()()(21)()2g x f x m f x =---，若函数()g x 恰有4 个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．0m < B ．1m < C ．2m > D ．1m 5．函数()() 2 3x f x x e =-，关于x 的方程()()2 10f x mf x -+=恰有四个不同实数根， 则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞ C ．3360,6e e ?? + ??? D ．336,6e e ?? ++∞ ??? 6．已知()e x f x x =，又2()()()1() g x f x tf x t R =-+∈有四个零点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．21,e e ?? ++∞ ??? B ．212,e e ?? + ??? C ．21,2e e ?? +-- ??? D ．21,e e ?? +-∞- ?? ? 7．已知函数1 2,0()21,0 x e x f x x x x -?>?=?--+≤??，关于x 的方程2 3())0() (f f x a x a -+=∈R
二次函数零点分布
一元二次函数零点分布 教学过程 一、探究二次函数零点分布的要素 1、 回想：方程0)3(2 =+-+a x a x 有两 个正根，两个负根，一个正根一个负根。 2、 思考：函数2)3()(2 +-+=x a x x f 有 两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。 若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。 3.探究：二次函数零点分布的要素 二、例题讲解 例1 函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a 范围 【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x 例2函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【总结】一元二次函数两个零点均在一个区 间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。这类问题要 考虑哪些因素。
【练习2】12)(2 ++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x 【变式2】12)(2 ++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围 例3函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且0,021>【练习3】例3中条件改成1,121>人教版_数学Ⅰ_311方程的根与函数的零点
课题：§ 3.1.1方程的根与函数的零点 教学目标 知识与技能理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程 要的关系，掌握零点存在的判定条件. 过程与方法零点存在性的判定. 情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值. 教学重点： 重点零点的概念及存在性的判定. 难点零点的确定. 教学程序与环节设计: . . 零点存在性为练习重点. . . 号，并尝试进行系统的总结.
环节 教学内容设置 师生双边互动 教学过程与操作设计 函数零点的概念： 对于函数y f(x)(x D)，把使f (x) 0成 立的实数x 叫做函数y f(x)(x D)的零点. 函数零点的意义： 函数y f (x)的零点就是方程 f(x) 0实数 根，亦即函数 y f (x)的图象与x 轴交点的横坐 标. 即: 方程f(x) 0有实数根 函数y f (x)的 图象与x 轴有交点 函数y f (x)有零点. 函数零点的求法： 求函数y f (x)的零点： ②(代数法)求方程f(x) 0的实数根； ②(几何法)对于不能用求根公式的方程， 可以将它与函数 y f(x)的图象联系起来，并利用 函数的性质找出零点. 二次函数的零点： 二次函数 2 y ax bx c(a 0). !)△> o,方程 ax 2 bx c 0有两不等 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其 相应的二次函数的图象: 创 设 情 境 ① 方程x 2 2x ② 方程x 2 2x ③ 方程x 2 2x 2 3 0与函数y x 2x 3 1 0与函数y x 2 2x 1 师：引导学生解方程， 画函数图象，分析方程 的根与图象和 x 轴交 点坐标 的关系，引出零 点的概念. 生：独立思考完成解 答，观察、思考、总结、 概括得出结论，并进行 交流. 师：上述结论推广到一 般的一元二次方程和 二次函数又怎样？ 组 织 探 究 师：引导学生仔细体会 左边的这段文字，感悟 其中的思想方法. 生：认真理解函数零点 的意义，并根据函数零 点的意义探索其求法： ②代数法； ②几何法. 师：引导学生运用函数 零点的意义探索二次 函数零点的情况.
5.二次函数的零点问题
5.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)及复合函数的零点 注意：在解决有关零点问题时，一定要充分利用这三者的关系，观察、分析函数的图象，找函数的零点，判断各区间上函数值的符号，使问题得以解决． 1.（2015?上海二模）设定义域为R 的函数，若关于x 的函数???≤-->=0 ,20|, lg |)(2x x x x x x f ，若关于x 的函数 1)(2)(22++=x bf x f y 有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 ____________ ． 解：令t ＝f （x ），则原函数等价为y ＝2t 2 +2bt +1．做出函数f （x ）的图象如图， 图象可知当由0＜t ＜1时，函数t ＝f （x ）有四个交点． 要使关于x 的函数1)(2)(22 ++=x bf x f y 有8个不同的零点，则函数y ＝2t 2 +2bt +1有两个根t 1，t 2，
且0＜t 1＜1，0＜t 2＜1． 令g （t ）＝2t 2 +2bt +1，则由根的分布可得 ， 解得，即，故实数b 的取值范围是﹣＜b ． 故答案为：﹣＜b 2.（2018秋?大观区校级期中）设定义域为R 的函数?????<++≥-=-0 ,440 ,15)(2|1|x x x x x f x ，若关于x 的方程 0)()12()(22=++-m x f m x f 有7个不同的实数解，则m ＝（ ） A ．m ＝6 B ．m ＝2 C ．m ＝6或2 D ．m ＝﹣6 解：当m ＝2时，由f 2 （x ）﹣5f （x ）+4＝0得f （x ）＝1或f （x ）＝4， 当x ≥0时，f （x ）＝5|x ﹣1| ﹣1， 由5 |x ﹣1| ﹣1＝1得x ＝1±log 52均符合， 由5 |x ﹣1| ﹣1＝4得x ＝0，x ＝2均符合，当x ＜0时，f （x ）＝x 2 +4x +4， 由x 2 +4x +4＝1得x ＝﹣1，x ＝﹣3均符合，由x 2 +4x +4＝4得x ＝0（舍），x ＝﹣4符合， 故m ＝2时，关于x 的方程f 2 （x ）﹣（2m +1）f （x ）+m 2 ＝0有7个不同的实数解，所以排除A 和D ； 当m ＝6时，由f 2 （x ）﹣13f （x ）+9＝0得f （x ）＝4或f （x ）＝9， 当f （x ）＝4时，已经解出x ＝0，x ＝2，x ＝﹣4均符合； 当f （x ）＝9时，由 ，解得x ＝1+log 510，由 得x ＝﹣5， 故m ＝6时，原方程只有5个不同实根，不符合题意，故排除C ．故选：B ．
二次函数零点分布
一元二次函数零点分布（二次方程根的分布） 教学目标 学会如何通过研究函数的图像，确定二次函数在给定区间上的零点分布。 教学重点 根据函数的图像确定二次函数在给定区间上的零点分布。 教学难点 体会影响二次函数在给定区间上的零点分布的要素。 教学过程 一、 探究二次函数零点分布的要素 1、 回想：方程0)3(2 =+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。 2、 思考：函数2)3()(2+-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。 若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。 3.探究：二次函数零点分布的要素 二、例题讲解
例1 函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个 零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a 范围 【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x 例2函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个 零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【总结】一元二次函数两个零点均在一个区间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。这类问题要考虑哪些因素。 【练习2】12)(2++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x 【变式2】12)(2++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围 例3函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个 零点21,x x ，且0,021>二次函数零点问题
二 次函数零点问题 【探究拓展】 探究1：设21,x x 分别是实系数一元二次方程02=++c bx ax 和02 =++-c bx ax 的一个根，且 ,0,2121≠≠x x x x 求证：方程 02 2 =++c bx x a 有且仅有一根介于21,x x 之间. 变式1：已知函数f (x )＝ax 2＋4x ＋b (a <0，a 、b ∈R)，设关于x 的方程f (x )＝0的两实根为 x 1、x 2，方程f (x )＝x 的两实根为α、β. （1）若|α－β|＝1，求a 、b 的关系式； （2）若a 、b 均为负整数，且|α－β|＝1，求f (x )的解析式； （3）若α<1<β<2，求证：(x 1＋1)(x 2＋1)<7. 变式2：二次函数2()f x ax bx c =++满足0,0,0,a c a b c ><++=且方程()f x a =-有实根. （1）求证：函数()f x 在(0,)+∞上是增函数. （2）设函数()()g x f x bx =+的零点为1x 和2x ，求证：12||2x x -≥. 变式3：设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a 2，3a >2c >2b ，求证： （1）a >0且－3且(1)2 a f =-. （1）求证：函数()f x 有两个零点； （2）设12,x x 是函数()f x 的两个零点，求 12x x -的取值范围； （3）求证：函数()f x 的零点12,x x 至少有一个在区间()0,2内. 探究2：已知方程x b x a bx =+-21 2有两个不相等的实数根. （1）求 a b 的取值范围； （2）求证：函数1)(2 ++=bx ax x f 在区间()1,1-上是单调函数.
函数零点存在的典型题
函数零点存在的典型题 函数的零点是函数的一个重要特性，在分析解题思路、探求解题方法中发挥着重要作用。函数的零点即方程的根，也就是函数的图像与x 轴交点的横坐标。主要考查二次函数及其性质，一元二次方程，函数的应用，解不等式等基础知识，考查数形结合，分类与整合的思想方法，以及抽象概括能力，运算求解能力。二次函数的零点情况分如下几种情况：(1)在某个区间上有一个零点，(2)在某个区间上有两个零点，(3)在某个区间上有零点，但没说多少个，(4) 在某个区间上有一个零点，且此零点大于零。例题如下： 例1. 若函数()12--=x ax x f 在()1,0内有一零点，求a 的取值范围。 分析：把函数的零点问题转化为方程的根。此函数恰有一零点，即方程012 =--x ax 在()1,0内有一个根。可分为以下三种情况： (1)0=a (2)()内有一解，在10,0>?(3),0=?且根在()1,0内 解：由题意得 令012=--x ax ，因为最高次项系数是常数，所以首先要讨论最高次项系数为0的情况。 (1)当0=a 时，解得1-=x ,不在()1,0内，∴不符合题意 (2)方程有两个根，且有一个根在()1,0内，即 ()()????>?1 00f f 241>->a a 2>∴a (3)当方程有两个相等的根时，即0=?，解得41- =a ，解得2-=x ，不在()1,0内。 4 1-≠∴a 综上所述，当函数()12--=x ax x f 在()1,0内有一零点时，2>a 例2．已知a 是实数，函数(),3222 a x ax x f --+=如果函数()x f 在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。 。 解：由题意得 若0=a 时，则函数()32-=x x f ，在区间[]1,1-上没有零点 下面就0≠a 时分三种情况讨论： (1)方程()0=x f 在区间[]1,1-上有重根，此时() 016242=++=?a a ，解得2 73±-=a 当273--= a 时，()x f 0=的重根=x 273-[]1,1-∈
二次函数的零点问题
二次函数在给定区间上的零点分布 一学习目标： 学会如何通过研究函数的图象确定二次函数在给定区间上的零点分布. 二 知识点精讲 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所 涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系 定理（韦达定理）的运用。函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ?f (0x )=0 若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )?()f x =()g x 有解0x 。 下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分 布的充要条件及其运用。 1．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有 一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说， 这两个根分布在零的两侧．设一元二次方程02 =++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤． 1方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个正根：01>x ，02>x ?212124000b ac b x x a c x x a ??=-≥???+=->???=>?? 推论：01>x ，02>x ????????<>=>≥-=?00 )0(0042b c f a ac b 或???????><=<≥-=?00)0(0042 b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到． 2方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个负根：01=<-=+≥-=?000 421212a c x x a b x x ac b 推论：01>=>≥-=?0 )0(0042b c f a ac b 或???????<<=<≥-=?00)0(0042b c f a ac b 由二次函数图象易知它的正确性． 3方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个异号根：210x x <全国一等奖方程的根与函数的零点教学设计
方程的根与函数的零点 一、教学内容分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》第94-95页的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的的零点。 函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。 就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数”思想。 总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。 二学生学习情况分析 地理位置：学生大多来自市区，学生接触面较广，个性较活跃，所以开始可采用竞赛的形式调动学生积极性；学生数学基础的差异不大，但进一步钻研的精神相差较大，所以可适当对知识点进行拓展。 程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高与程度很差的学生占少数。 知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数
二次函数零点问题 (2)
二 次函 数零 点问题 【探究拓展】 探究1：设21,x x 分别是实系数一元二次方程02 =++c bx ax 和02 =++-c bx ax 的一个根，且 ,0,2121≠≠x x x x 求证：方程 02 2 =++c bx x a 有且仅有一根介于21,x x 之间. 变式1：已知函数f (x )＝ax 2＋4x ＋b (a <0，a 、b ∈R)，设关于x 的方程f (x )＝0的两实根为 x 1、x 2，方程f (x )＝x 的两实根为α、β. （1）若|α－β|＝1，求a 、b 的关系式； （2）若a 、b 均为负整数，且|α－β|＝1，求f (x )的解析式； （3）若α<1<β<2，求证：(x 1＋1)(x 2＋1)<7. 变式2：二次函数2()f x ax bx c =++满足0,0,0,a c a b c ><++=且方程()f x a =-有实根. （1）求证：函数()f x 在(0,)+∞上是增函数. （2）设函数()()g x f x bx =+的零点为1x 和2x ，求证：12||2x x -≥. 变式3：设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a 2，3a >2c >2b ，求证： （1）a >0且－3且(1)2 a f =- . （1）求证：函数()f x 有两个零点； （2）设12,x x 是函数()f x 的两个零点，求12x x -的取值范围； （3）求证：函数()f x 的零点12,x x 至少有一个在区间()0,2内. 探究2：已知方程x b x a bx =+-21 2 有两个不相等的实数根. （1）求 a b 的取值范围； （2）求证：函数1)(2 ++=bx ax x f 在区间()1,1-上是单调函数. 变式：已知二次函数1)(2 ++=bx ax x f 和b x a bx x g 21 )(2+-= （1）若)(x f 为偶函数，试判断)(x g 的奇偶性； （2）若方程x x g =)(有两个不相等的实根，当0>a 时判断)(x f 在()1,1-上的单调性；
二次函数零点分布作业
二次函数零点分布学案 一、导练： 1．已知一元二次方程0)3()1(22=---+m x m x ． ①实数m 满足什么条件时，方程有两正根？ ②实数m 满足什么条件时，方程有一正一负根？ 2．已知二次函数)3()1(2)(2---+=m x m x x f ．实数m 满足什么条件时， （1）函数在),1(+∞上有两个零点？ (2)函数在)1,(-∞，),1(+∞上各有一个零点？ (3)函数在)1,(--∞，),1(+∞上各有一个零点？ (4)函数在)1,(-∞上有且只有一个零点？ (5)函数在)4,0(上有两个零点？ (6) 函数在)4,0(上有且只有一个零点？
(7) 函数的一个零点在)1,2(--，一个零点在)0,1(-？ 总结归纳： 根据以上的探究过程你能总结一下函数的零点分布与哪些要素有关吗？能否得出一般性的结论？ 二次函数零点分布作业 1. 已知实系数方程 的一个实根在区间 内，则 的取值范围为 A. B. C. D. 2. 关于 的方程 的两个实根中有一个大于 ，另一个小于 ，则实数 的取值范围为 A. B. C. 或 D. 3. 关于 的方程 有两个不相等的实数根 ， ，且满足 ，则实数 的取值范围是 A. B. C. D.
4. 如果关于的方程的一根小于，另一根大于，那么实数的取值范围是 A. B. C. D. 5. 关于的方程有两个不同的实根，且一个大于，另一个小于 ，则的取值范围为 A. B. C. D. 6. 若方程的两根满足一根大于，一根小于，则的取值范围是 A. B. C. D. 7. 设方程在内恰有一解，则的取值范围是 A. B. C. D. 8.若函数的一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则实数 的取值范围是． 9.若关于的方程的两根，一个根比大，一个根比小，求的取值范围 为． 10.已知函数恰有一个零点在内，则实数的取值范围是． 11. 已知方程的两个根均大于，则实数的取值范围是．
