2019年江苏无锡中考数学试题(解析版)_最新修正版

{来源}2019年无锡中考数学试卷 {适用范围:3． 九年级}

{标题}2019年江苏省无锡市中考数学试卷

考试时间：120分钟 满分：130分

{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共10 小题，每小题 3分，合计30分． {题目}1．(2019年无锡)5的相反数是 ( ) A. －5

B ． 5

C ． 1

5

-

D ．

15

{答案}

{解析}本题考查了相反数的定义，5相反数为－5．，因此本题选A ． {分值}3

{章节:[1-1-2-3]相反数} {考点:相反数的定义} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}2．(2019年无锡)函数y =中的自变量x 的取值范围是 ( ) A. x ≠

12

B ．x ≥1

C ．x >

12

D ．x ≥

12

{答案}D

{解析}D ． {分值}3

{章节:[1-16-1]二次根式}

{考点:二次根式的有意义的条件} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}3．(2019年无锡)分解因式22

4x y -的结果是 ( )

A ．(4x ＋y )(4x －y )

B ．4(x ＋y )( x －y )

C ．(2x ＋y )(2x －y )

D ．2(x ＋y )( x －y ) {答案} C

{解析}本题考查了公式法分解因式，4x 2－y 2＝(2x －y )(2x ＋y )，因此本题选C ． {分值}3

{章节:[1-14-3]因式分解} {考点:因式分解－平方差} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}4．(2019年无锡)已知一组数据：66，66，62，67，63 这组数据的众数和中位数分别是 ( ) A ． 66，62 B ．66，66 C ．67，62 D ．67，66 {答案}B

{解析}本题考查了众数和中位数，把这组数据从小到大排列为62，63，66，66，67，∴这组数据的中位数是66，∵66出现的次数最多，∴这组数据的众数是66，因此本题选B ． {分值}3

{章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {考点:中位数} {考点:众数}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}5．(2019年无锡)一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是长方形，这个几何体可能是 ( ) A．长方体B．四棱锥C．三棱锥D．圆锥

{答案}A

{解析}本题考查了由视图判断几何体，主视图、左视图、俯视图都是长方形的几何体是长方体，

因此本题选A．

{分值}3

{章节:[1-29-2]三视图}

{考点:简单几何体的三视图}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}6．(2019年无锡)下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( )

{答案}C

{解析}本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念， A选项的图形是轴对称图形，也是中

心对称图形．故错误；B选项的图形是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；C选项的

图形不是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；D选项的图形不是轴对称图形，是旋转对

称图形．故错误．因此本题选C．

{分值}3

{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}

{考点:中心对称图形}

{考点:轴对称图形}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}7．(2019年无锡)下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )

A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直

{答案}C

{解析}本题考查了矩形的性质、菱形的性质，矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直

且平分，所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，因此本题选C．

{分值}3

{章节:[1-18-2-2]菱形}

{考点:矩形的性质}{考点:菱形的性质}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}8．(2019年无锡)如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为 ( )

A．20°B．25°C．40°D．50°

第8题图 {答案}B

{解析}本题考查了切线的性质，∵PA 是⊙O 的切线，切点为A ，∴OA ⊥AP ，∴∠OAP ＝90°，

∵∠P ＝40°，∴∠AOP ＝50°，∵OA ＝OB ，∴∠B ＝∠OAB ＝∠AOP ＝25°．因此本题选B ．

第8题答图

{分值}3

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {考点:切线的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}9．(2019年无锡)如图，已知A 为反比例函数k

y x

=(x <0)的图像上一点，过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ．若△OAB 的面积为2，则k 的值为( ) A ．2 B ． -2

C ． 4

D ．-4

第9题图

{答案}D

{解析}本题考查了反比例函数的比例系数k 的几何意义，如图，∵AB ⊥y 轴， S △OAB ＝2，而S △OAB 1

2

|k |，∴12|k |＝2，∵k ＜0，∴k ＝﹣4．因此本题选D ．

{分值}3

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数的几何意义} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}10．(2019年无锡)某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a 个零件(a 为整数)，开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a 的值至少为 ( ) A. 10 B ． 9 C ． 8

D ． 7 {答案}B

x y

O

-6

O

O B

C

A

A

B

E F x y

-6

O

{解析}本题考查了不等式的应用，设原计划 m 天完成，开工 n 天后有人外出，则 15am ＝2160，am ＝144，15an ＋12(a ＋2)(m -n )<2160，化简可得：an ＋4am ＋8m -8n <720，将am ＝144 代入得 an ＋8m -8n <144，an ＋8m －8n 8, 至少为 9 ，因此本题选B ． {分值}3

{章节:[1-9-2]一元一次不等式} {考点:一元一次不等式的应用}

{类别:常考题}{考点:代数选择压轴} {难度:3-中等难度}

{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共8 小题，每小题 2分，合计16分．

{题目}11．(2019年无锡)4

9

的平方根为 ． {答案}±

23

{解析}的平方根为±23，因此本题答案为±23

． {分值}2

{章节:[1-6-1]平方根} {考点:平方根的定义}

{类别:常考题}{类别:易错题} {难度:1-最简单}

{题目}12．(2019年无锡)2019年6月29日，新建的无锡文化旅游城将盛大开业，开业后预计接待游客量约20 000 000 人次，这个年接待游客量可以用科学记数法表示为 人次． {答案}2×107

{解析}本题考查了科学记数法的定义，20 000 000 ＝2×107，因此本题答案为2×107． {分值}2

{章节:[1-1-5-2]科学计数法}

{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}13．(2019年无锡)计算：2

(3)a += ． {答案} a 2＋ 6a ＋ 9

{解析}本题考查了完全平方公式，(a ＋3)2＝a 2－2a ×3＋32＝ a 2＋6a ＋9．因此本题答案为a 2＋6a ＋9． {分值}2

{章节:[1-14-2]乘法公式} {考点:完全平方公式} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}14．(2019年无锡)某个函数具有性质：当x >0时，y 随x 的增大而增大，这个函数的表达式可以是 (只要写出一个符合题意的答案即可)． {答案} y ＝x

{解析}本题考查了一次函数与二次函数的增减性， y ＝kx (k >0)和y ＝ax 2(a >0)都符合条件，因此本题答案为y ＝x ．

{分值}2

{章节:[1-19-2-2]一次函数} {考点:正比例函数的性质} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}15．(2019年无锡)已知圆锥的母线成为5cm ，侧面积为15π2

cm ，则这个圆锥的底面圆半径为 cm ． {答案}3

{解析}本题考查了圆锥的计算，∵圆锥的母线长是5cm ，侧面积是15πcm 2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l 2305

s r π=

==6π，∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r 622l π

ππ

=

==3cm ，因此本题答案为3． {分值}2

{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:圆锥侧面展开图} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}16．(2019年无锡)已知一次函数y kx b =+的图像如图所示，则关于x 的不等式30kx b ->的解集为 ．

第16题图

{答案} x <2

{解析}本题考查了一次函数与一元一次不等式知识，把(-6，0)代入y ＝kx ＋b 得－6k ＋b ＝0， 变形得b ＝6k ，所以30kx b ->化为3kx －6k >0，3kx >6k ，因为k ＜0，所以x <2．因此本题答案

为x <2． {分值}2

{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式} {考点:一次函数的性质}

{类别:常考题}{类别:易错题} {难度:2-简单}

{题目}17．(2019年无锡)如图，在△ABC 中，AC ∶BC ∶AB ＝5∶12∶13，⊙O 在△ABC 内自由移动，若⊙O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为10

3

，则△ABC 的周长为__________．

第17题图

{答案}25

{解析}本题考查了动圆与三角形的边动态相切问题，由于Rt △ABC 与Rt △O 1O 2O 3的公共内心，故可以通过两个内切圆半径的差为1来求△ABC 的周长．

第17题答图

如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1得到△ACB ，∴

它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积＝103，∴O 1O 2＝53，O 2O 3＝4，O 1O 3＝13

3

，

连接A O 1 与C O 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是R t △ABC 与R t △O 1O 2O 3的公共内心，四边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE ＝IF

＝ 1223122313O O O O O O O O O O ?++ ＝23，ED ＝1，∴ID ＝ IE ＋ ED ＝5

3

，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID ＝AC BC AC BC AB ?++＝2m ＝53，解得m ＝5

6

，△ABC 的周长＝30m ＝25． 因此本题

答案为25． {分值}2

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {考点:切线长定理}

{考点:三角形的内切圆与内心}

{考点:相似三角形的应用}{考点:几何填空压轴} {类别:发现探究} {难度:4-较高难度}

{题目}18．(2019年无锡)如图，在ABC ?中，AB ＝AC ＝5，BC

＝D 为边AB 上一动点(B 点除外)，以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ?面积的最大值为 ．

第18题图

{答案}

{解析}本题考查了本题考查了有关正方形中动态三角形面积的最值问题． 过D 作DG ⊥BC 于G ，过A 作AN ⊥BC 于N ，过E 作EH ⊥HG 于H ，延长ED 交BC 于M ．易证△EHD ≌△DGC ，可设DG ＝HE ＝x ，

∵AB ＝AC ＝5，BC ＝AN ⊥BC ，∴BN ＝1

2

BC ＝，AN =G ⊥BC ，

AN ⊥BC ，∴DG ∥AN ，∴2BG BN

==，∴BG ＝2x ，CG ＝HD ＝- 2x ；易证△HED ∽△GMD ，

于是HE HD

GM GD =

，x GM ，即MG 2=，所以S △BDE ＝ 12BM ×HD ＝1

2×(2x 2

×- 2x )＝25

2x -+＝2

582x ?--+ ??，当x 时，S △BDE 的最大值为8． 因此本题答案为8．

第18题答图

{分值}2

{章节:[1-22-1-4]二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质} {考点:几何图形最大面积问题}{考点:几何填空压轴} {类别:高度原创} {难度:3-中等难度}

{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共10 小题，合计84分． {题目}19．(2019年无锡)(1) 0

1)2009()2

1(3-+-- {解析}本题考查了实数运算，先逐一化简各数，再相加． {答案}解：原式＝3＋2-1＝4 ． {分值}3

{章节:[1-6-3]实数}

{考点:简单的实数运算} {难度:1-最简单}

{类别:常考题}

{题目}19．(2019年无锡)(2)3

233)(2a a a -?

{解析}本题考查幂的运算，先做乘方、乘法运算，再进行减法 {答案}解：原式＝2a 6－a 6＝a 6． {分值}3

{章节:[1-15-2-3]整数指数幂} {考点:同底数幂的乘法} {考点:幂的乘方} {难度:1-最简单} {类别:常考题}

{题目

2

{解析

{答案{分值}4

{章节:[1-21-2-2]公式法} {考点:公式法} {难度:1-最简单} {类别:常考题}

{题目}20．(2019年无锡)解方程： (2)

1

4

21+=

-x x {解析}本题考查了分式方程的解法，先先转化为整式方程，再解整式方程,最后检验． {答案}解：去分母得x ＋1＝4(x －2)，解得 x ＝3，经检验 x ＝ 3是方程的解． {分值}4

{章节:[1-15-3]分式方程} {考点:分式方程的检验} {难度:2-简单} {

类别:常考题}

{题目}21．(2019年无锡)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD ＝CE ，BE 、CD 相交于点O ；

求证：(1)△DBC ≌△ECB ;(2)OC OB =．

第21题图

B

{解析}本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识．

(1)利用边角边证明全等即可；(2)由全等得到等角，再得到等边．

{答案}解： (1)证明：∵AB＝AC，∴∠ECB＝∠DBC，在△DBC与△ECB中，BD＝CE，∠DBC＝

∠ECB，BC＝CB，∴△DBC≌△ECB(SAS)；

(2)证明：由(1)知△DBC≌△ECB，∴∠DCB＝∠EBC，∴OB＝OC．

{分值}8

{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}

{考点:等边对等角}

{考点:等角对等边}

{考点:全等三角形的判定SAS}

{难度:2-简单}

{类别:常考题}

{题目}22．(2019年无锡)某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没

有奖品．

(1)如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为；

(2)如果小芳有两次摸球机会(摸出后不放回)，求小芳获得2份奖品的概率．(请用“画树状图”或

“列表”等方法写出分析过程)

{解析}本题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，(1)根据概率公式直接求概率；(2)画树

状图求概率．

{答案}解： (1)1 2

(2)根据题意，画出树状图如下：

∵共有等可能事件 12 种，其中符合题目要求，∴获得 2 份奖品的事件有 2种所以概率P＝1

6

．

{分值}8

{章节:[1-25-2]用列举法求概率}

{考点:两步事件不放回}

{难度:2-简单}

{类别:常考题}

{题目}23．(2019年无锡)《国家学生体质健康标准》规定：体质测试成绩达到90．0分及以上的为优秀；达到80．0分至89．9分的为良好；达到60．0分至79．9分的为及格；59．9分及以下为不及格，某校为了了解九年级学生体质健康状况，从该校九年级学生中随机抽取了10%的学生进行体质测试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示．

各等级学生平均分统计表各等级学生人数分布扇形统计图

第23题图

（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是 ； （2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分；

（3）若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级．

{解析}本题考查了表格和扇形统计图的综合运用．

(1)根据扇形统计图的定义，各部分占总体的百分比之和为1，由扇形图可知，不及格人数所占的百分比是1－52%－26%－18%＝4%；

(2)抽取的学生平均得分＝各等级学生的平均分数×所占百分比的和；

(3)设总人数为 n 个，列不等式组求n 的范围，再求整数解，最后九年级学生的优秀人数．． {答案}解：(1)1－52%－26%－18%＝ 4%；

(2)92．1×52%＋85．0×26%＋69．2×18%＋41．3×4%＝84．1；

(3)设总人数为 n 个，80．0 ≤ 41．3×n ×4%≤89．9， 所以 48

{章节:[1-10-1]统计调查} {考点:扇形统计图}

{考点:不等式的简单应用问题} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{题目}24．(2019年无锡)一次函数b kx y +=的图像与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴的正半轴相交于点B ，且，2

3sin =

∠ABO △OAB 的外接圆的圆心M 的横坐标为－3． (1)求一次函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积．

第24题图

{解析}本题考查了一次函数与圆的综合题． (1)作 MN ⊥BO ，先用由垂径定理求 OA 得A 的坐标，再利用解直角三角形求OB 以及B 的坐标，最求用待定系数法求一次函数的解析式； (2)转化为扇形面积与三角形面积的差即可．

{答案}解： (1)作 MN ⊥BO ，由垂径定理得 N

为OB 中点，MN ＝1

2

OA ，∵MN ＝3，∴OA ＝6，即

A (－6，0)．

不及格

∵sin ∠ABO

，OA ＝6，∴OB ＝

， B (0，

)，设 y ＝ kx ＋b ，将 A 、B

坐标代入得60b k b ?=??-+=??

，解得b k ?=?

?=

??

，∴y ＝

x ＋

； (2)∵第一问解得∠ABO ＝60°，∴∠AMO ＝120°，

所以阴影部分面积为S

＝(

(

22143ππ?=-．

第24题答图

{分值}8

{章节:[1-28-3]锐角三角函数}

{考点:圆与函数的综合}{考点:垂径定理}{考点:扇形的面积} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{题目}25．(2019年无锡)“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离()y km 与出发时间之间的函数关系式如图1中线段AB 所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路汽骑车匀速前往甲地，两人之间的距离()x km 与出发时间t(h)之间的函数关系式如图2中折线段CD DE EF --所示． （1）小丽和小明骑车的速度各是多少？ （2）求E 点坐标，并解释点的实际意义．

第25题图

{解析}本题考查了一次函数与图像的应用．(1)根据 “速度＝路程÷时间”求即可；(2)根据速度与路程时间关系求E 的坐标． {答案}解： (1) V 小丽＝36÷2．25＝16 km / h , V 小明＝36÷1－16＝20m / h ；

(2)36÷20＝1．8；16 ×1．8＝ 28．8 (km )，E (1．8，

28．8)，点E 的实际意义为两人出发1．8h 后

小明到了达甲地，此时小丽离开甲地的距离为28．8km ． {分值}8

{章节:[1-19-2-2]一次函数} {考点:分段函数的应用} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{题目}26．(2019年无锡)按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹 （1）如图1，A 为圆O 上一点，请用直尺(不带刻度)和圆规作出得内接正方形；

图1 图2 图3

第

26题图 （2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺(不带刻度)作图：①如图2，在□ABCD 中，E 为CD 的中点，作BC 的中点F ；②如图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC 的高AH ．

{解析}本题考查了尺规作图与网格作图．

(1)作直径的垂直平分线找，找到它与圆的交点与直径端点围成的四边形即可；(2)①作△BDC 的重心G ，连结 DG 并延长交 CB 于点 F 即可；

②作AC 、AB 边上的高，找到交点G ，再连结AG 并延长交 CB 于点H 即可． {答案}解：

（1） 连结 AE 并延长交圆 E 于点 C ，作 AC 的中垂线交圆于点 B ，D ，四边形 ABCD 即为所求．

第26题答图1

(2)①连结 AC ，BD 交于点 O ，连结 EB 交 AC 于点 G ，连结 DG 并延长交 CB 于点 F ， F 即为所求．

B

第26题答图2

②

第26题答图3

{分值}10

{章节:[1-24-1-4]圆周角} {考点:直径所对的圆周角} {考点:与圆有关的作图问题} {难度:2-简单} {类别:北京作图}

{题目}27．(2019年无锡)已知二次函数42

-+=bx ax y (a ＞0)的图像与x 轴交于A 、B 两点，(A 在B 左侧，且OA ＜OB )，与y 轴交于点C ． (1)求C 点坐标，并判断b 的正负性；

(2)设这个二次函数的图像的对称轴与直线AC 交于点D ，已知DC ∶CA ＝1∶2，直线BD 与y 轴交于点E ，连接BC ．

①若△BCE 的面积为8，求二次函数的解析式；

②若△BCD 为锐角三角形，请直接写出OA 的取值范围．

第27题图

{解析}本题考查了二次函数的综合应用． (1)令y ＝0求点C 的坐标，借助对称轴方程判断b 的符号； (2)①过点 D 作 DM ⊥y 轴于M ，先利用相似求得DM 与AO 的关系，再设DM ＝m ，求得 D 、B 的坐标与OE 的长，从而求得m 的值，最后将A 、B 坐标代入求解析式；

②先用m 的表达式求出B 、C 、D 的坐标，再利用勾股定理求CB 2 、CD 2 、DB 2，最后借助“两边的平方和大于第三边平方，第三边所对角为锐角”求出m 的范围从而得到OA 的范围．

{答案} 解：(1)令 x ＝0，则 y ＝－4，∴C (0，－4)，∵ OA ＜OB ，∴对称轴在 y 轴右侧，即2b

a

->0，∵a ＞0，∴b ＜0；

(2)①过点 D 作 DM ⊥y 轴于M ，则DM ∥AO ，∴

12DC DM MC CA OA CO ===， ∴ DM ＝1

2

AO ，设 A (－2m ，0)(m ＞0)，

则 AO ＝2m ，DM ＝m ．∵OC ＝4，∴CM ＝2，∴D (m ，－6)，B (4m ，0)，设对称轴交x 轴于N ，则DN ∥y 轴，∴ △DNB ∽△EOB ，

∴DN BN OE OB =，∴OE ＝8，S △BEF ＝ 12

×4×4m ＝8，∴ m ＝1，∴A (－2，0)，B (4，0)， 设 y ＝ a (x ＋ 2)(x － 4)，即 y ＝ ax 2

－2ax － 8a ，令 x ＝0，则 y ＝－8a ，∴C (0，－8a )，∴－8a ＝

－4，a ＝12，∴ y ＝ 1

2

x 2－ x －4．

②易知：B (4m ，0)，C (0，－4)，D (m ，－6)，由勾股定理得 CB 2 ＝16m 2 ＋16，CD 2 ＝ m 2 ＋4，DB 2 ＝ 9m 2 ＋ 36．

∵9m 2 ＋36＋16m 2 ＋16> m 2 ＋4，∴CB 2 ＋ DB 2＞CD 2，∴∠CB D 为锐角，故同时考虑一下两种情况：

1°当∠CDB 为锐角时，CD 2 ＋ DB 2＞CB 2，m 2 ＋4 ＋ 9m 2 ＋36＞16m 2 ＋16 ，解得 －2＜m ＜2，

2°当∠BCD 为锐角时，CD 2 ＋CB 2＞DB 2， m 2 ＋4 ＋16m 2 ＋16＞ 9m 2 ＋36，解得 m m

舍)，

＜m ＜2 ，∴2m ＜4，∴OA ＜4．

第27题答图

{分值}10

{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {考点:含参系数的二次函数问题} {考点:相似三角形的应用} {考点:代数综合} {类别:常考题} {类别:易错题}

{题目}28．(2019年无锡)如图1，在矩形ABCD 中，BC ＝3，动点P 从B 出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC 方向移动，作PAB ?关于直线PA 的对称'

PAB ?，设点P 的运动时间为()t s ．

(1)若AB ＝

，①如图2，当点'B 落在AC 上时，显然△PC 'B 是直角三角形，求此时t 的值； ②是否存在异于图2的时刻，使得△PC '

B 是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t 的

值？若不存在，请说明理由；

(2)当P点不与C点重合时，若直线P'B与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论∠PAM＝45°是否总是成立？请说明理由．

图1 图2 备用

第28题图

{解析}本题考查了与矩形相关的轴对称问题，(1)①先利用勾股定理求AC，再证△C B'P∽△CBA得比例式求'

PB，最后用勾股定理列方程求t的值；

②先用t表示相关线段，再分三种情况讨论，借助勾股定理或直接计算方法求t；

(2)易得四边形ABCD为正方形，于是AB＝A B'＝AD，从而可证全等得∠DAM＝∠B'AM，由轴对称得∠PAB＝∠PA B'＝2∠DAM＋∠PAD，代入∠PAB＋∠PAD＝90°中得到结论．

{答案}解：(1)①∵∠B＝90°，∴AC

，∵∠C B'P＝∠CBA＝

90°，∠B'CP＝∠BCA，

∴△C B'P∽△CBA，CB B P

CB BA

''

=

=4

B P'=．由轴对称可得

PB＝4，∴

t＝4；

②由已知可得PB＝B'P＝t，PC＝3-t，DA＝BC＝3，AB＝A B

'＝，

分三种情况：1°如图，当∠PC B'＝90 °时，由勾股定理得D B

'，∴C

B'，在△PC B'中，PC2＋C B'2＝P B'

2，∴) 2＋ (3 - t) 2＝t2，解得t＝2．

③②

③④第28题答图

2°如图，当∠PC B'＝90 °时，由勾股定理得D B'，∴C B'＝，在△PC B'中PC2＋C B'2

＝P B'2，)2＋ (t -3) 2＝t2，解得t＝6．

3°当∠CP B'＝90 °时，易证四边形ABP B'为正方形，P B'＝AB＝，∴t＝；

（2）如图④，四边形ABCD为正方形，t>3时，∵AB＝A B'＝AD，AM＝AM，R t△MDA≌R t△B'AM(HL)，∴∠DAM＝∠B'AM，

由轴对称可得∠PAB＝∠PA B'＝2∠DAM＋∠PAD，∴∠PAB＋∠PAD＝2∠DAM＋2∠PAD ＝90°，∴∠PAM＝∠DAM＋∠PAD＝45°．

{分值}10

{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例}

{考点:几何综合}

{难度:4-较高难度}

{类别:高度原创}