数学建模 减肥模型

有一人体重110kg，身高180cm，制定减肥计划使其BMI降到25以下
目前人们公认的评测体重的标准是联合国世界卫生组织颁布的体重指数BMI，定义为BMI=h/L^2其中h是体重（单位是kg），L是身高（单位是m）。

模型分析：
在正常情况下，人体通过食物摄入的热量与代谢和运动消耗的热量会影响体重的变化，摄入的热量大于消耗的热量会使人增肥，反之会使人体重降低，因此需要从人体对热量的吸收与消耗两方面进行分析，在适当的假设下建立模型，减肥计划应以不伤害人体健康为目标，所以吸收热量不应过少减重体重不要过快来限制，同时增大运动量也是减肥的关键，也应加以考虑，通常，制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以这里用离散时间模型——差分方程来讨论。

模型假设：
根据上述分析，参考有关生理数据，做出以下假设：
1、体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加体重1kg。

（kcal是非国际单位制单位，1kcal=4.5kJ）；
2、身体正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每千克体重消耗热量一般在200kcal至320kcal之间，且因人而异，这相当于体重110kg的人每天消耗约3413kcal至5029kcal之间；
3、运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式和运动时间有关；
4、为了健康考虑，每周吸收热量不能少于10 000kcal，且每周减少量不能超过1 000kcal每周体重减少不能超过1kg；
5、假设此人身体健康，没有肠胃方面的毛病；
通过调查资料得知各种食物的每百克所含的大卡热量供参考（假设食物重量如表中一样重），如下表
基本模型：
记第k周（初）体重为w(k)（kg），第k周吸收热量为c(k)（kcal），k=1，2，……。

设热量转换（体重的）系数为α，身体代谢消耗系数为β，根据模型假设，正常
情况下（不考虑运动）体重变化的基本方程为α(1)
w
k
(k
)1
k
c
wβ
k
w
(
k
-
+
=
⋯
⋯
)
=
(
)
(
+,2,1
),
由假设1，α=1/8000kg/kcal，当确定了个人的代谢消耗系数β后，就可按照(1)式由每周吸收的热量c(k)推导出他的体重w(k)的变化。

增加运动时，只需将β改为β+β1，β1由运动的形式和时间决定。

减肥计划的提出：
有一人体重110kg，身高180cm，BMI达到33.95。

假设此人目前每周吸收30 000kcal热量，体重长期不变，现在制定减肥计划使其BMI降到25既是体重减至81kg并维持下去：
1、在正常代谢情况下安排一个两阶段计划，第一阶段：吸收热量由20 000kcal 每周减少500kcal，直至达到安全下限（每周10 000kcal）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，直至达到减肥目标。

2、为加快进程而增加运动，重新安排两阶段计划。

3、给出达到目标后维持体重不变的方案。

减肥计划的制定：
首先我们应先将此人的热量吸收降至安全下限，制定的此人的第一周的食谱如下：
此后只需要每周每天中午的米饭减少25g，鸡胸肉减少20g，下午的米饭减少25g，牛肉减少20g，坚持10周就可以达到每周吸收热量安全下限10 000kcal 了，十周之后食谱如下不再改变：
然后确定这个人的代谢消耗系数β，根据他每周吸收的c=20 000kcal 热量，体重为w=110kg 不变，在(1)式中另w(k+1)=w(k)=w,c(k)=c ，得
w=w+αc -βw
于是
w c /αβ= 得出β=0.023 (2)
相当于每周每千克体重消耗热量181.8kcal ，可以看出，此人消化不行以。

1、正常代谢情况下有两个阶段，第一个阶段要求吸收热量由20 000kcal 降到10 000kcal ，达到下线kcal c 10000min =，即
c(k)=20 000-1 000k ，k=1，2，……，10 (3)
将c(k)及α=1/8000，β=0.023代入(1)式，可得
w(k+1)=(1-β)w(k)+α(20000-500k)=0.977w(k)+2.5-0.0625k,
K=1，2，……，20 (4)
(4)式虽是一阶线性常系数差分方程，但因右端含有时间变量k ，不能直接应用基础知识6-1的求解方程，更方便的是以w(1)=110kg 为初始值，编一个程序计算第21周的体重为w(21)=98.1182kg.
第二阶段要求每周吸收热量保持下限m in c ，由(1)式可得
25.1)(977.0)()1()1(min +=+-=+k w c k w k w αβ，k=21，22， (5)
以第一阶段的终值w(21)为第二阶段的初值，再按照程序计算直到w(21+n)<=81kg 为止，可得w(21+22)=80.5816kg ，即每周吸收热量保持下限10 000kcal ，再有22周体重可减至81kg ，两阶段共需42周。

但是经过检验，第二阶段的每周体重减少超过了1kg ，所以我们应该增加每周热量吸收下限，使下限10000min =c 变为10500min =c ，这个时候仍然保持每周降低热量吸收为500，第一个阶段为19周，w(20)=99.1486kg,之后再经过25周，w(20+25)=80.5872kg ，两阶段共经历44周，并且每周体重减少不超过1kg 。

2、为加快进程而增加运动，记表3中热量消耗为γ，每周运动时间为t h ，在(1)式中将β改为β+αγt ，即
)()()()()1(k w t k c k w k w αγβα+-+=+ (6) 试取007.0=t αγ，则03.0=+t αγβ，(4)、(5)式分别变成为
w(k+1)=0.97w(k)+2.5-0.0625k ， k=1，2，……，19 (7) w(k+1)=0.97w(k)+1.3125， k=20，21，…… (8) 类似的计算可得，w(20)=88.2973kg,w(20+6)=80.8567kg ，即若增加007.0=t αγ的运动，就可以将第二阶段的时间缩短为6周，但是经过检验可得第二个阶段每周的体重减少超过1kg ，所以我们在第二个阶段取003.0=t αγ，则026.0=+t αγβ
(7) 、(8)式分别变成
W(k+1)=0.974w(k)+2.5-0.0625k ，k=1，2，……，19 (9) W(k+1)=0.974w(k)+1.3125， k=20，21，…… (10) 计算可得w(20)=88.2973kg,w(20+9)=80.3148kg,即第二阶段若增加003.0=t αγ的运动 就可以将不训练时第二阶段的时间缩短为9周，稍加训练的话可以28周到达目标，由1/8000=α可知，第一阶段增加的运动内容应满足56=t γ，第二阶段增加的运动内容应满足24=t γ，如第一阶段每周步行7h 加乒乓球4h 加跑步2h 加一小时自行车（中速），第二阶段乒乓球4h 加步行2h 。

增加运动的效果非常明显。

3、达到目标后维持体重不变的方案，最简单的是寻求每周吸收热量保持某常数
值c，使体重w=81kg不变，在(6)式中令w(k+1)=w(k)=w,c(k)=c，得
w=w+αc-(β+αγt)w
于是
β/
α
αγ
t
=(11)
c+
(w
)
由(11)式，在正常代谢情况下(γ=0)可算出c=14904kcal,若第一阶段增加56
tγ
=
运动可算出c=19440kcal，第二阶段增加24
tγ运动可算出c=16848kcal。

=
17041102
丁典。