最新椭圆及其性质知识点题型总结
最新椭圆知识点总结
椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的简单几何性质标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题目）离心率)10(<<=e ace c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；(p 是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等知识点三：椭圆相关计算1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义222c b a +=2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab 22焦点弦：椭圆过焦点的弦。
3.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠为最大角。
数学知识点：椭圆的性质(顶点、范围、对称性、离心率)_知识点总结
数学知识点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）_知识点总结
椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。
椭圆的性质：
1、顶点：A（a，0），B（-a，0），C（0，b）和D（0，-b）。
2、轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长|AB|=2a，短轴长|CD|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。
3、焦点：F1（-c，0），F2（c，0）。
4、焦距：。
5、离心率：；
离心率对椭圆形状的影响：e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆；
6、椭圆的范围和对称性：（a＞b＞0）中-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。
利用椭圆的几何性质解题：
利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程．要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a，b，c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长，过焦点与长轴垂直的弦长等，这将有利于提高解题能力。
椭圆中求最值的方法：
求最值有两种方法：
(1)利用函数最值的探求方法利用函数最值的探求方法，将其转化为函数的最值问题来处理．此时应充分注意椭圆中x，y的范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解。
(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义，寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系．
椭圆中离心率的求法：
在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式,高考物理，从而求离心率或离心率的取值范围．。
高中数学知识点总结_椭圆及其性质
椭圆及其性质1.方程122=+ny m x 表示椭圆⇔m >0，n >0，且m ≠n ；2a 是m ，n 中之较大者，焦点的位置也取决于m ，n 的大小。
[举例] 椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则m = 解析：方程中4和m 哪个大哪个就是2a ，因此要讨论；（ⅰ）若0<m <4,则,42=a m b =2，∴m c -=4，∴e =24m -=21，得m =3；（ⅱ）m >4,则,42=b m a =2，∴4-=m c ，∴e =m m 4-=21，得m =316；综上：m =3或m =316。
[巩固]若方程：x 2+ay 2=a 2 表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆，则a 的允许值的个数是A 1个B .2个 C.4个 D.无数个2．椭圆12222=+by a x 关于x 轴、y 轴、原点对称；P(x,y)是椭圆上一点，则|x|≤a,|y|≤b ，a-c ≤|PF|≤a+c ，（其中F 是椭圆的一个焦点），椭圆的焦点到短轴端点的距离为a ，椭圆的焦准距为c b 2，椭圆的通经(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2ab 2，通经是过焦点最短的弦。
[举例1] 已知椭圆12222=+by a x （a >0,b >0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 。
解析：|AB|2=a 2+b 2，|BF|=a ，|FA|=a +c ，在Rt ⊿ABF 中，(a +c )2=a 2+b 2+a 2化简得： c 2+a c -a 2=0，等式两边同除以a 2得：012=-+e e ，解得：e =215-。
注：关于a ,b ，c 的齐次方程是“孕育”离心率的温床。
[举例2] 已知椭圆12222=+by a x （a >0,b >0）的离心率为53，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转2π后，所得的新的椭圆的一条准线的方程为y =316，则原来椭圆的方程是 。
(完整版)椭圆知识点归纳总结
(完整版)椭圆知识点归纳总结1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。
椭圆的形状由焦点之间的距离决定，离心率的大小则决定了椭圆的扁平程度。
2. 椭圆的基本性质- 椭圆的长轴是焦点之间的距离，短轴是长轴的垂直中垂线。
- 椭圆的离心率介于0和1之间，且离心率为0时为圆。
- 椭圆有两个对称轴，分别是长轴和短轴的中垂线。
- 椭圆的焦点和任意一点的距离和等于离心率与该点到椭圆两个焦点的距离之和。
- 椭圆的面积为π * a * b，其中a和b分别是长轴和短轴的一半。
3. 椭圆的方程普通椭圆的方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。
4. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = h + a * cos(t)y = k + b * sin(t)其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半，t是参数。
5. 椭圆的焦点与直径- 焦点到定点的距离等于椭圆的常数离心率。
- 椭圆的两个焦点与椭圆的直径的交点相同。
6. 椭圆与其他几何图形关系- 椭圆与直线的关系：给定一条直线，椭圆上离直线距离之和最小的点在直线的垂直线上。
- 椭圆与双曲线的关系：双曲线可以看作是离心率大于1的椭圆。
- 椭圆与抛物线的关系：抛物线可以看作是离心率等于1的椭圆。
7. 椭圆的应用椭圆在现实生活中有广泛的应用，例如：- 天体运动：行星、卫星等的轨道可以近似看作是椭圆。
- 椭圆滤波器：在信号处理中用于清除噪音。
- 光学器件：如折射球面镜、椭圆镜等。
以上是关于椭圆的常见知识点的归纳总结，希望能对你有所帮助。
椭圆知识点总结附例题
圆锥曲线与方程椭 圆知识点一．椭圆及其标准方程1．椭圆的概念：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}；那个地址两个定点F 1，F 2叫椭圆的核心，两核心间的距离叫椭圆的焦距2c 。
（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
2．标准方程： 222c a b =-①核心在x 轴上：12222=+by a x （a ＞b ＞0）； 核心F （±c ，0） ②核心在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）； 核心F （0, ±c ） 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，而且椭圆的核心总在长轴上； ②两种标准方程可用一样形式表示：221x y m n+= 或 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b （2）椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，那个地址，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.极点（1）椭圆的极点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）（2）线段A 1A 2，B 1B 2 别离叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 别离叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率（1）咱们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即a c 称为椭圆的离心率， 记作e （10<<e ），22221()b e a a==-c e 0=是圆；e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆;e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
椭圆 知识点和题型
椭圆的方程要点一、椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(21212F F a PF PF >=+)，这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.要点诠释：若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ； 若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形. 要点二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程：1.当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2.当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；要点诠释：1.这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2.在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222b ac -=；3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -；4. 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.要点三、求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a,b ，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：221(,0m n)mx ny m n +=>≠且.（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。
利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.【典型例题】 类型一：椭圆的定义例1. 若动点M 到两个定点F 1,F 2的距离的和为定值m ，则M 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.以上都不对 举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（ ）A ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆B ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段C ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线D ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹存在，则轨迹是一个椭圆或者是一条线段【变式2】（2015·武汉模拟）“ab ＞0”是“方程ax 2+by 2=1表示椭圆的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件例2. （2015 宁城县一模）△ABC 的两个顶点A （－4，0），B （4，0），△ABC 周长为18，则C 点轨迹为（ ）A ．221(0)169x y y +=≠ B ．221(0)259y x y +=≠ C ．221(0)169y x y +=≠ D ．221(0)259x y y +=≠举一反三：【变式】设动圆P 与圆22:(3)4M x y -+=外切，与22:(3)100N x y ++=内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.类型二：椭圆的标准方程例3. 方程2212516x y m m+=-+表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________举一反三：变式1.若方程22221(1)x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A.12m > B. 12m < C. 112m m >≠且 D. 102m m <≠且变式2.当39k <<时，指出方程22193x y k k +=--所表示的曲线.变式3. 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围．变式4.已知椭圆的方程为222116x y m +=，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是( ) A ．－4≤m ≤4B ．－4<m <4且m ≠0C ．m >4或m <－4D ．0<m <4变式5.如果方程222(0)x ky k +=>表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是变式6.椭圆221x y m n+=--(m <n <0)的焦点坐标是________．变式7.已知椭圆的标准方程是221225x y a +=(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为________．类型三：求椭圆标准方程例5. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10； （2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点35(,)22-【变式1】（2015 江西校级一模）已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为（ ）A.221369x y += B. 221936x y += C.22149x y += D.22194x y +=【变式2】已知椭圆过两点(1,(2,求椭圆的标准方程.举一反三：【变式1】两焦点的坐标分别为(04),(0,4)-，，且椭圆经过点(5,0)。
椭圆的性质及知识点总结
椭圆的性质及知识点总结一、椭圆的定义和基本性质1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设d1和d2分别表示P到F1和F2的距离，则椭圆的定义可以用数学表达式表示为|d1 + d2| = 2a 。
1.2 椭圆的基本性质（1）椭圆对称轴：椭圆有两个对称轴，分别称为长轴和短轴。
长轴的端点是两个焦点F1和F2，短轴与长轴垂直并通过椭圆的中心点。
（2）椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点F1和F2，离心率e是一个表示椭圆形状的参数，e的取值范围是0<e<1。
（3）椭圆的三大定律：椭圆有三个基本定律，分别是:（a）椭圆内到两个焦点的距离之和等于长轴的长度；（b）椭圆内到两个焦点的距离之差等于长轴的长度；（c）椭圆的面积等于πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
1.3 椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的长度，椭圆的中心点位于原点(0,0)。
二、椭圆的相关知识点2.1 椭圆的离心率椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c为焦距，a为长半轴的一半。
离心率越接近于0，椭圆形状越圆；离心率越接近于1，椭圆形状越扁。
2.2 椭圆的参数方程椭圆也可以用参数方程表示，参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b分别是长轴和短轴的长度。
2.3 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到该椭圆上的任意一点P的距离，椭圆上各点的焦半径之和等于椭圆的周长。
2.4 椭圆的切线椭圆上的切线有一个特点：与椭圆相切的切线在切点处与切线的法线垂直。
根据这个特点可以求出椭圆上任意一点处的切线方程。
2.5 椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标可以通过椭圆的离心率和焦距来求解。
焦点坐标为（±ae, 0），a为长轴的一半，e为椭圆的离心率。
2.6 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数法求解，面积为πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
椭圆知识点与性质大全
椭圆与方程【知识梳理】 1、椭圆的定义平面内，到两定点1F 、2F 的距离之和为定长()1222,0a F F a a <>的点的轨迹称为椭圆，其中两定点1F 、2F 称为椭圆的焦点，定长2a 称为椭圆的长轴长,线段12F F 的长称为椭圆的焦距。
此定义为椭圆的第一定义。
2、椭圆的简单性质3、焦半径椭圆上任意一点P 到椭圆焦点F 的距离称为焦半径，且[],PF a c a c ∈-+，特别地，若00(,)P x y 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上的任意一点，1(,0)F c -,2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，则10||PF a ex =+，20||PF a ex =-,其中c e a =.4、通径过椭圆()222210x y a b a b+=>>焦点F 作垂直于长轴的直线，交椭圆于A 、B 两点,称线段AB 为椭圆的通径，且22b AB a =。
P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，称12PF F ∆为椭圆的焦点三角形,其周长为：1222F PF C a c ∆=+，若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122tan 2F PF S b θ∆=.6、过焦点三角形直线l 过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点1F ，与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，称2ABF ∆为椭圆的过焦点三角形，其周长为：24ABF C a ∆=，面积为212y y c S ABF -=∆.7、点与椭圆的位置关系()00,P x y 为平面内的任意一点,椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>：若2200221x y a b +=，则P 在椭圆上;若2200221x y a b +>，则P 在椭圆外；若2200221x y a b+<，则P 在椭圆内。
椭圆知识点总结及经典习题练习资料
第二部分 圆锥曲线（一）---椭圆知识点一：1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点)0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2离心率)10(<<=e ace 准线方程 ca x 2±=ca y 2±=焦半径01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -=注意：椭圆122=+b y a x ，122=+bx a y )0(>>b a 的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有)0(>>b a 和)10(<<=e ac e ，222c b a +=；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。
知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
高中数学椭圆,知识题型总结
陈氏优学教学课题椭圆知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：假设，那么动点的轨迹为线段；假设，那么动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义1．假设ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，那么顶点C 的轨迹方程是 知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
讲练结合二．利用标准方程确定参数1．椭圆2214x y m+=的焦距为2，那么m = 。
2．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。
知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质〔1〕对称性对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
〔2〕范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。
〔3〕顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆〔a＞b＞0〕与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1〔―a，0〕，A 2〔a，0〕，B1〔0，―b〕，B2〔0，b〕。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。
a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
〔4〕离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。
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椭圆知识清单1.椭圆的两种定义：① 平面内与两定点F i , F 2的距离的和等于定长 2a(2a> F 1F 2 )的动点P 的轨迹，即点集 M={P| |PF i |+|PF 2|=2a, 2a >时2|}; ( 2a = F 1F 2 时为线段 证,2a c RF ?无轨迹)。
其中两定点F i , F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
② 平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于M={P| PF =e , O v e v 1的常数 4 ( e =1为抛物线；e 1为双曲线)d(利用第二定义，可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点 为焦点，定直线为准线)焦点 F 1 (0, - c ), F 2 (0, c )。
其中 c*a 2 _b 2注意：①在两种标准方程中， 总有a >b >0, c - ■- a 2 - b 2并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 (A >0, B >0, A 工B ),当A vB 时，椭圆的焦点在 x 轴上，A > B 时焦点在y 轴上。
x = a cos 。
3参数方程：焦点在x 轴，」(日为参数)y = bsin 廿2 24 一般方程： Ax By =1(A 0,B 0)2 25.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点： 笃•占 胡(a >b > 0)有以下性质：a b坐标系下的性质： ① 范围：|x|w a , |y|< b ;② 对称性：对称轴方程为x=0 , y=0 ,对称中心为 O (0, 0);③ 顶点：A ( -a, 0), A 2( a , 0), B ( 0 , -b ), B (( 0 , b ),长轴 |A 1A 2|=2a ,短轴 |B 1B 2|=2b ;(a 半长轴长，b 半短轴长);2 2 2 21的正常数的点的轨迹，即点集2标准方程：(1)焦点在x 轴上，中心在原点:=1 (a > b > 0);焦点 F 1 (- c , 0),F 2 (c , 0)。
其中 C = ja 2 - b 2 (一个 Rt 三角形)(2)焦点在y 轴上，中心在原点:2 2事认1(a >b >0);④椭圆的准线方程：对于笃•葺=1 ,左准线h : X --—；右准线12: x =』*a b c c椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短减下加⑥通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径, 径最短=2b a平面几何性质:==-・2C| y o |= c | y o |= b 2 tan 二22|PF 1| = r 1， |PF 2| =门，/F 1PF a = v)227. 共焦点的椭圆系设法：把椭圆字廿1 (a >b >0)的共焦点椭圆设为准线方程8.特别注意： 椭圆方程中的 a,b,c,e 与坐标系无关，而焦点坐标，准线方程，顶点坐标，与坐 2x 2a +扎b 2■=1(% 乜-b 2) 标系有关•因此确定椭圆方程需要三个条件：两个定形条件 a,b, 一个定位条件焦点坐标或 焦点到准线的距离2x d y 1,下准线 i i : y2 2aa；上准线12 ： y = c c2a pc =cb 2=—(焦参数)c⑤焦半径公式：P (X o , y o )为椭圆上任一点。
|PF i |= r 左=a+ex o , IPF 2F r 右=a-ex o ； |PF i |=r 下=a+ey o ， IPF 2F r 上=a-ey oPF max = a + c, PFmm =a_c ，左加右减，上⑦离心率:ce= —a2(焦距与长轴长之比)• 0,1 ； e 越大越扁，e = 0是圆。
⑧焦准距 b 2 p =c⑨两个最大角• F 1PF 2 max - F i B 2F 2「AfA ? max 「AB 2A 2焦点在y 轴上，中心在原点: 2 2爲•笃=1 (a > b > 0 )的性质可类似的给出。
a b6. 焦点三角形 应注意以下关系: (1)定义：「计「2= 2a (2)余弦定理:『+ r 22 — 2r 1r 2COS -=(2 c )(3)面积：S PF 1F 2 =丄 r 1r 2 sin1 2 2 (其中P( x o ,y o )为椭圆上一点，（a,b,c 为方程的系数考点解析考点一椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用 例1 .椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ,静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭 圆壁反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是（ ）A. 4a B . 2（a — c ） 2x例2.点P 为为椭圆—a PF 1 PF 2取得最值时的P 点坐标。
题型2求椭圆的标准方程 例3.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4 2 — 4，求此椭圆方程bX i x 2 二aCX 1X 2 = 、一 aC. 2(a+c)2y牙=1(a bb 29.弦长公式若A 为椭圆C 内一定点（异于焦点），P 为C 上的一个动点, F 是C 的一个焦点,考点二椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）例4.在厶ABC 中,A=30°,| AB|=2,S.ABC —..3 .若以A , B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率.题型2：椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）2 2x . y .I 22x ，y 满足4 2 ,求x y -x 的最大值与最小值考点三椭圆的最值问题题型1:动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值2 2 — _例6.椭圆16 9 上的点到直线|： x + y -9 = 0的距离的最小值为 ________________________ . 题型2.1、 召 的最值若A 为椭圆内一定点（异于焦点），P 是C 上的一个动点，F 是C 的一个焦点，e 是C 的离P^-\PF心率，求的最小值。
C ：网+ 2留上的动点，求了的最小值。
的最值例5.已知实数 例7.已知椭圆内有 点 A (2, 1), F 是椭圆 C 的左焦点, P 为椭圆C2、3、“ 的最值若A为椭圆C外一定点，*为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到/的距离为d,求禺+ M的最小值。
f y2 .——+ -—= 1例9.已知椭圆二16 外一点A(5，6)，为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到F的距离为d，求 5 的最小值。
4、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值动，求AB的中点M到椭圆右准线■'的最短距离。
考点四直线与椭圆相交问题题型1直线与椭圆相交求弦长(1)常用分析一元二次方程解的情况，仅有△还不够，且用数形结合的思想。
⑵弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但△>0这一制约条件不同意。
a例8已知椭圆16内有一点A (2, 1), F为椭圆的左焦点, P是椭圆上动点，求宕亠寻“3占弋上移例10.定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆-X2* y2 _/+k ,.V k|a|(a,b,c 为c的最大值与最小值。
X-|X2 :例11.已知直线l 过椭圆8x 2・9y 2 =72的一个焦点，斜率为2, I 与椭圆相交于M 、N 两点, 求弦MN 的长。
题型2 “点差法”解题。
“设而不求”的思想。
当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直 线方程，用“点差法”来求解。
步骤：1•设A(x i,yi )B (x 2,y 2)分别代入椭圆方程；22b (% x 2) b x 0 a 2(y i y 2) a 2y ° 3.得出 k = y i 一 y 2 X i —X22 2 2 注：一般的，对椭圆 笃 与=1上弦AB 及中点，M ，有K AB K OM =-飞 a ba2例12.已知椭圆 — y 2 ^1，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程2考点五.轨迹问题这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。
1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点 (x ，y)，直接列出动点所应满足的方程。
2. 代入法：一个是动点 Q(x °,y °)在已知曲线 F(x,y)=O ,上运动，而动点 P(x,y)与Q 点满足某种关系，要求 P 点的轨迹。
其关键是列出P 、Q 两点的关系式九=f (x, y) $。
= y(x, y)3. 定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义 求出方程。
、、、、、 X = f ⑴4.参数法：在x ，y 间的方程F(x,y)=O 难以直接求得时，往往用'(t 为参数)y = y(t)来反映x ，y 之间的关系。
2.设p( X o , y o )为AB 的中点。
两式相减， % 7 X i — X2常用的参数有斜率k与角a等。
例13:厶ABC 的一边的的顶点是 B （0,6）和C （0,-6），另两边斜率的乘积是，求顶点A 的9轨迹方程：考点六 综合性问题，与平面向量结合 椭圆有两顶点 A （-1，0）、B （1，0），过其 焦点F （0, 1）的直线 I 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P.直线AC 与直线BD 交 于点Q （I ） 当| CD | =3&时，求直线I 的方程；2（II ） 当点P 异于A B 两点时，求证：OP OQ 为定值。
2y x^1，设I 的方程为y 十 k （x-0）,k 为I 的斜率•则I 的方程为汀^'2x 1或y 「2x '1为所求.（n ）当直线I 与x 轴垂直时与题意不符.设直线I 的方程为y =kx 十1 , （k 式0且k 式±1），所以P 点坐标为（一1 0）. k ，12，2 k 2（2011四川卷理）（本小题满分12分）解：由已知可得椭圆方程为|-y = kx 亠 1 y 2 2(2 - k 2)x 2x =1.2kX 1 X 2 2 k -1 x 2 ■ *2 ky1 ' y2 22 + k2k - 2 y 1 y2 'k2 kx -1 = 0 =：X 1 o2 8k2+8 丄 8k 4 +8k 292丄 l -x 2)(y t -y 2)2 2 2 2 k = 2= k =. 21(2 k 2)2 (2 k 2)2 2k设 C (X 1, yj , D (X 2, y 2)，由(I)知为• x ?2二2 +k将两直线方程联立，消去x 1x —1 丫2(花 1)ydx 2 T) 直线AC 的方程为y 二」一（x ，1），直线BD 的方程为y 二」（x-1） 为 +1 x 2 T 因为-仁"龙：：：1，所以口与里异号.x —1 y i 22 2 2 y (x i 1)2-2x 2 (x i 1) ~2 22 2y 1(X 2 -1)2-2x 1 (X 2—1)1与y”2异号,k 1「= . ，解得 x - -kX -1 k 1因此Q 点坐标为(-k,y 0), OP[O Q =(_L,O)_(_k,y 0)=1k 故OpOQ 为定值.(2013四川卷理)(本小题满分12分)2 2已知椭圆C :笃+%=[,(a Ab >0)的两个焦点分别为F ,(—1,0), F 2(1,0)，且椭圆C 经过 a b ' 点卩(4丄).3 3(I)求椭圆C 的离心率；(n)设过点 A(0, 2)的直线I 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且所以a 〜2 • 又由已知，c = 1.c1 J2 所以椭圆C 的离心率e.aJ222X2(2)由(1)知，椭圆C 的方程为 + y = 1.2x T )2 x -1)(1 X 1)(1 • X 2) (1…x 1)(1 …X 2 )-1 又 y 1 y 2 _2k 1 k 2■ 2 F ■ 2-2k-12=k X 1X 2 亠 k( X 1X 2) 1k -1)2. k 1)2(1 - k)(1 k) k 2 22(1 k)2 k —1k 2 2 k 12 |AQ |2-11 - | AM |2| AN |2求点Q 的轨迹方程.解：⑴ 由椭圆定义知, 2a = | PF | + | PF 2| =3'3-12 32-2 2 ,设点Q 的坐标为(x , y ).(1)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1) , (0，- 1)两点，此时点Q 的坐标为 因为M N 在直线l 上，可设点 M N 的坐标分别为(x i , kx i + 2), (X 2, kx 2 + 2), 则|AM 2= (1 + k 2)x i 2, |AN 2= (1 + k 2)x 22.2 2 2 2 2又 | AQ = x + (y - 2) = (1 + k )x .由22 1三 1牙，得|AQ | | AM | |AN | 2 1 1 2 --- r = 2 ------------ ---- + ---------- 2 --- 2 1 k x 1 k X1 1 k X2(X 1 +X 2 )2 —2X 1X 2 ①2 ~2'①X 1 X 22 X 2将y = kx + 2代入 + y = 1中，得22 2(2 k + 1)x + 8kx + 6= 0.②3 由△ = (8 k )2 — 4X (2 k 2 +1) x 6> 0, 得 k 2>.2 由②可知，X 1+ X 2= , X 1X 2= 6一 ,2k 2 +1 2k 2+1代入①中并化简，得 x 2二一 .③10k 2 -3因为点Q 在直线y = kx + 2上，所以k 二土三，代入③中并化简，得 10(y — 2)2— 3x 2= 18.x由③及k 2> 3，可知0v x 2v 3，即x €〔逅0 'U 幕』6 j.2 2 L 2，J I ，2 J又 0 2 _ 满足 10(y — 2)2 — 3x 2= 18,C 5丿故 x € i _6 .(2，2 丿由题意，Qx , y )在椭圆C 内，所以一1 w y w 1.f 0, 2 3.5 (2)当直线l 与X 轴不垂直时，设直线 l 的方程为y = kx + 2.即？ 一丄 2 — 2x x 1 1 2X 2又由10( y—2)2= 18+ 3x2有(y—2)2€K y< 1,]5'4 丿3 5 . 5。