现代量子力学chpt3
量子力学QMCh3
(r , t ) 计算动量平均值 利用坐标为变量的波函数
2 3 w( P, t )d P C ( P, t ) d P 2 3 * 3 P P C ( P, t ) d P C ( P, t ) PC ( P, t )d P
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3.1 表示力学量的算符
Chap.3 The operator and commutation relation
1.坐标与动量的平均值及坐标算符与动量算符的引入 由前面的讨论，我们看到，当微观粒子处在某一状态时， 一般而言，其力学量（如坐标、动量和能量等）不一定具有 确定的值，而以一定几率分布取一系列可能值（当然，可能 在某些特殊的状态，有些力学可取确定值）。 若已知粒子在坐标表象中的状态波函数 (r , t ) ，按照波函 统计解释，利用统计平均方法，可求得粒子坐标 ( x, y, z) 或 r 的平均值 若知道粒子在动量表象中的波函数 C ( p, t ) ，同理可求出粒 (Px , Py , P) 或 P 的平均值。 子动量 （1）坐标平均值 (r , t ) 或 C ( P, t ) 设粒子的状态波函数为
3 * ˆ P (r,t)P(r,t)d r
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3.1 表示力学量的算符（续3）
Prove:
C ( P, t )P[
*
P
ˆ P i
*
Chap.3 The operator and commutation relation
*
i 3 Pr 3 1 * 3 * Prove： r (r , t )r (r , t )d r (2 )3/ 2 (r , t )r [ C ( P, t )e d P]d r
【优秀PPT】第三量子力学基础资料
波函数的演化 波函数的引出
Introduction to Wave Functions 算符的本征值和本征函数：
可见，Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。
粒子全同性假设 测量值与平均值I
Measure and Average Value I
算符的定义
测不准原理 Definition of Operator
r 点附近衍射花样的强度
正比于该点附近感光点的数目，
正比于该点附近出现的电子数目，
正比于电子出现在 r 点附近的几
率。
经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。
波函数的引出 Introduction to Wave Functions
者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。
l 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此
基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
波函数的意义 Significance of Wave Functions
在电子衍射实验中，照相底片上
r 点附近衍射花样的强度
正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几
量子力学认为所有微观粒子都由波函数描述， 粒子具有波动性。
我们看一下电子的衍射实验
1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样; 2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.
电子源
O
感
Q光
Q
屏
波函数的引出 Introduction to Wave Functions
l 结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或
量子力学 第三章 表象理论
第三章表象理论本章提要：本章讨论态矢和算符的具体表示形式。
首先，重点讨论了本征矢和本征函数、态矢量和波函数之间的关系，指出了函数依赖于表象。
之后，引入投影算符，讨论了不同表象下的态矢展开，尤其是位置和动量表象，并顺带解决了观测值问题。
接着，用投影算符统一了态矢内积与函数内积。
最后，简单介绍了一些矩阵力学的内容。
1.表象：完备基的选择不唯一。
因此可以选用不同的完备基把态矢量展开。
除了态矢量，算符在不同表象下的具体表示也不同。
因此，我们把态矢量和算符的具体表示方式统称为表象 ①使用力学量表象：我们还知道每个力学量对应的（厄米）算符的本征矢都构成一组完备基。
若选用算符G 的（已经标准正交化（离散谱）或规格正交化（连续谱））的本征矢作为态空间的基，就称为使用G 表象的描述②波函数：把态矢展开式中各项的系数（“坐标”）定义为G 表象下的波函数③本征函数与本征矢的关系：设本征方程ψ=ψλQˆ又可写作()()G Q G Q ψψ=ˆ 则两边乘G 有()()ψ===ψ=ψ=ψQ G Q G Q G Q Q G QG ˆˆˆψψ 因此：本征函数()ψ=G G ψ就是Q ˆ的本征态ψ在表象G ˆ下的“坐标”（波函数） 如果离散谱：()ψ=i i G ψ就是Q ˆ的本征态ψ在表象G ˆ的iG 方向上的“坐标” ④结论：算符和态矢量的抽象符号表示不依赖于表象，具体形式依赖于表象选择但本征函数和波函数相当于“坐标”，依赖于态矢（向量）和表象（基）*注意：第二章在展开态矢量、写算符和本征函数时使用都是位置表象（也称坐标表象）2.投影算符：我们将使用这个算符统一函数与矢量的内积符号（1）投影算符：令()()连续谱离散谱dG G Gi i Pi⎰∑==ˆ，称为投影算符（2）算符约定：求和或积分遍历算符G 的标准（或规格）完备正交基矢量（3）本征方程：ψ=ψ=ψI Pˆˆ，表明投影算符就是单位算符 （4）单位算符代换公式：()()连续谱离散谱dQ G G i i I i⎰∑==ˆ3.不同表象下的态矢量展开和波函数：①离散谱：∑=ii iF Fψψ，ψψi i F =为Fˆ表象下的波函数 {}i ψ可表示为一列矩阵，第i 行元素就是ψψi i F =观测值恰为i Q 的概率：用Qˆ表象展开∑=ii i Q Q ψψ，22Pr ψψi i Q ob ==概率归一等价于波函数归一∑==ii 12ψψψ算符Qˆ的观测平均值：ψψψQ Q Q ii i ˆˆ2==∑②连续谱：⎰==dG G GIψψψˆ，ψψG =称为Gˆ表象下的波函数观测值落在dQ Q Q +~范围内的概率：用Qˆ表象展开⎰=dQ Q Qψψ，dQ Q dQ ob 22Pr ψψ==，满足概率归一⎰=12dQ ψ算符Qˆ的观测平均值：()()ψψψQ dQ Q Q Q ˆ,ˆ2==⎰③本征函数和态矢量的内积统一：设f f =，g Q g =，有()g f gdQ f dQ g Q f Q dQ g Q f g I f g f ,ˆ**=====⎰⎰⎰结论：量子态g f 在同一表象Q 下投影得波函数g f ,，则()g f g f ,=算符对本征函数作用：()()ϕψϕψϕψϕψϕψQ Q QQ Qˆˆˆ,ˆˆ,==== 示例：()ϕψϕψϕψϕψϕψϕψp dx pdx x p dx p x x p I pˆ,ˆˆˆˆˆˆ**=====⎰⎰⎰④位置表象与动量表象：4.力学量的测量值问题：①当待测系统处于算符本征态：此时ψ=ψQ Qˆ，对系统中所有粒子的测量结果都是本征态ψ对应的本征值i Q ，显然i Q 的统计平均值还是i Q ，iQ Q =ˆ。
量子力学 第三章 课件
3.1 表示力学量的算符
（1）算符的定义 对一函数作用得到另一函数的运算符号
ˆ Fu v
例：
ˆ F dx ˆ Fx
ˆ d F dx
ˆ F 称为算符 d uv dx
udx v
xu v
(2）算符的本征方程 ˆ 算符 F 作用在函数 上，等于一常数 乘以 ˆ ˆ 即 F 此称为算符 F 的本征方程
ˆ i P
ˆ i Px x
ˆ i Py y
ˆ i Py z
ˆ (r ) P (r ) 本征方程： P P P (r ) ( x) Py ( y) Pz (z) 则有 按分离变量法,令 P Px
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重点掌握内容
一个基本概念：厄米算符； 两个假设： 力学量用厄米算符表示； 状态用厄米算符本征态表示，力学量 算符的本征值为力学量的可测值 三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值； 四个力学量算符的本征态及本征值：坐标算符，动量 算符，角动量算符及能量算符（哈密顿算 符）及它们的本征值。 一个关系：力学量算符间的对易关系（特别是坐标 算符与动量算符的对易关系，角动量算符 对易关系） 两个定理: 共同本征态定理（包括逆定理） 不确定关系
可以看出，相邻两本征值的间隔 P 2 L 与 L 成 反比。当 L 足够大时，本征值间隔可任意小；当 L 时 Px 0 ，即离散谱→连续谱
（3）在自由粒子波值，该确定值就是动量算符在这 个态中的本征值。
ˆ 证明动量算符的一个分量 px 是厄密算符
证明：
ˆ px dx i x dx
* *
* * ˆ i i dx ( px )* dx x
量子力学解答(3章)
后
ˆ ψ ( x, t ) = −ih ( p (t ) = (ψ ( x, t ), p
案
网
=
3 x 0 −iωt 3 x 0 iωt 3 e + e = x 0 cos ωt 4 2 4 2 2 2
3 1 d 3 d 1 ψ 0 ( x)e −iωt / 2 + ψ 1 ( x)e −i 3ωt / 2 , ψ 0 ( x)e −iωt / 2 + ψ 1 ( x)e −i 3ωt / 2 ) 2 2 dx 2 dx 2
a −a
1 32a π π x cos x sin xdx = 2a a a 9π 2
所以，有
x (t ) =
E − E1 1 32a −i ( E2 − E1 ) t / h 32a [e + e i ( E2 − E1 ) t / h ] = cos 2 t 2 2 2 9π h 9π
3-2 粒子在一维无限深势阱（0<x<a）中运动，已知初始波函数，ψ ( x,0) = cx(a − x) ，c为 归一化常数，请确定c，并计算各能量本征值(En)的测量概率以及 E , ΔE. 解:
ψ n ( x) =
3π
ww
∴ψ ( x,0) = 2 =
于是：
1
sin 2 x = 2
e iϕ − e − iϕ 2 2 ) = 2i 3π 2 3 1 (
w.
3
1 inϕ e 2π
kh
1 2π (2 − e i 2ϕ − e −i 2ϕ )
=
由E =
课
后
2 1 1 − 3 2π 6
2
答
ψ ( x, t ) =
课
后
803量子力学
803量子力学量子力学是一门描述微观世界行为的物理学理论，它是20世纪物理学的重要分支之一。
803量子力学是指在20世纪30年代至40年代，由一批杰出科学家共同建立的现代量子力学的基本理论体系。
它为我们认识自然界的微观世界提供了重要的理论工具和解释框架。
一、量子力学的基本原理量子力学的基本原理可以归纳为以下几个方面：1. 波粒二象性：量子力学认为微观粒子既具有粒子性，也具有波动性。
这意味着微观粒子在某些实验条件下可以表现为粒子，而在其他条件下则表现为波动。
2. 不确定性原理：根据不确定性原理，我们无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。
这意味着在微观世界中，我们无法知道粒子的精确状态，只能通过概率来描述。
3. 波函数：波函数是量子力学中描述粒子状态的数学工具。
波函数的平方模表示了在某个位置发现粒子的概率。
根据波函数的演化，我们可以预测粒子在不同时间和空间的行为。
4. 观测问题：量子力学认为观测会导致波函数的坍缩，从而确定粒子的状态。
观测结果是随机的，只能通过概率来描述。
这与经典物理学中确定性的观测结果有很大不同。
二、803量子力学的里程碑803量子力学的发展中，有几个重要的里程碑：1. 波动力学：由德布罗意和薛定谔等人提出的波动力学理论，成功地解释了电子在原子中的行为，并预测了电子云的形状和能级结构。
2. 矩阵力学：由海森堡等人提出的矩阵力学理论，将量子力学表述为矩阵运算的形式，解决了粒子位置和动量的不确定性问题。
3. 统计力学：由玻尔兹曼等人发展的统计力学理论，将量子力学与热力学相结合，成功地解释了气体的行为和热力学规律。
三、803量子力学的应用803量子力学的建立为许多领域的科学研究和技术应用提供了基础。
以下是其中的一些应用：1. 原子物理学：803量子力学成功地解释了原子的结构和性质，为原子物理学的发展奠定了基础。
通过对原子的研究，我们可以了解原子核的组成、电子的能级结构等重要信息。
2. 分子物理学：803量子力学为分子物理学的研究提供了理论框架。
人教版高中物理选择性必修第三册精品课件 第4章 原子结构和波粒二象性 粒子的波动性和量子力学的建立
列说法错误的是( B )
A.电子显微镜的分辨率非常高,是由于电子的德布罗意波长非常短
B.电子显微镜与加速电压有关,加速电压越高,则分辨率越低
C.若用相同动能的质子代替电子,也能拍摄到该病毒的图像
D.德布罗意波长为0.2 nm的电子,可由静止电子通过约37.8 V的电压加速
终完整地建立起来,它被称为 量子力学 。
统一描述微观世界物理规律的普遍性规律
2.量子力学的应用
(1)量子力学推动了核物理和 粒子
物理的发展。
(2)量子力学推动了原子、分子物理和 光学 的发展。
(3)量子力学推动了 固体 物理的发展。
情境链接
电子显微镜基于光学显微镜的结构基础,利用了电子在一定加速电压下的
从宏观世界向微观世界的重大飞跃。
应用体验
【例2】 下列描述与“量子计算机”的原理相符的是( C )
A.人们认识了原子的结构,以及原子、分子和电磁场相互作用的方式
B.根据量子力学,人们发展了各式各样的对原子和电磁场进行精确操控和
测量的技术
C.利用固体的微观结构对电路进行操控,速度和可靠性都远胜过去的电子
所有物体都具有波动性和粒子性
(3)说明
①后来陆续证实了质子、中子以及原子、分子的 波动性
粒子,德布罗意给出的
ν= 和
ℎ
。对于这些
ℎ
λ= 的关系同样正确。
②宏观物体的质量比微观粒子大得多,运动时的 动量
罗意波的波长 很短 ,根本无法观察到它的波动性。
波长越长越容易衍射
很大,对应的德布
二、量子力学的建立与应用
三阶薛定谔方程
三阶薛定谔方程三阶薛定谔方程是量子力学中描述波函数演化的方程之一。
它是薛定谔方程的一个一般化形式，用于描述三维空间中的粒子的运动。
本文将介绍三阶薛定谔方程的基本概念和应用。
我们先回顾一下薛定谔方程的基本形式。
薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了粒子的波函数随时间的演化。
它可以写成如下的形式：\[i\hbar\frac{{\partial \Psi}}{{\partial t}} = \hat{H}\Psi\]其中，\(\Psi\) 是波函数，\(\hat{H}\) 是哈密顿算符，\(\hbar\) 是约化普朗克常数。
三阶薛定谔方程是在三维空间中描述粒子的运动时使用的方程。
它的一般形式可以写成如下的形式：\[i\hbar\frac{{\partial \Psi}}{{\partial t}} = \left(-\frac{{\hbar^2}}{{2m}}\nabla^2 + V(\mathbf{r})\right)\Psi\]其中，\(\nabla^2\) 是拉普拉斯算符，\(\mathbf{r}\) 是位置矢量，\(V(\mathbf{r})\) 是势能函数。
三阶薛定谔方程描述了波函数随时间和位置的演化。
它的解可以给出粒子在三维空间中的概率分布。
通过求解三阶薛定谔方程，我们可以得到粒子在不同位置和时间的波函数，从而了解粒子的行为和性质。
三阶薛定谔方程的求解可以通过数值方法或者近似方法来进行。
数值方法包括有限差分法、有限元法等，可以通过离散化方程来进行求解。
近似方法包括微扰法、变分法等，可以通过近似波函数来进行求解。
三阶薛定谔方程在量子力学的研究中有着重要的应用。
它可以用来描述原子、分子以及凝聚态物质中的粒子的行为。
通过求解三阶薛定谔方程，我们可以计算出粒子的能级、波函数和概率分布等信息，从而揭示物质的微观性质。
除了在理论研究中的应用，三阶薛定谔方程还可以应用于实际问题的求解。
例如，在量子化学中，三阶薛定谔方程可以用来研究分子的电子结构和化学反应。
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令 则
2 d 2 证 ( V( x)) u n ( x) E nu n ( x ) 2m dx 2 u n ( x ) R n ( x) iI n ( x ) （ ( R n ( x ), I n ( x) 都是实函数） 2 d 2 V( x ))R n ( x) E n R n ( x) 2m dx 2 2 d 2 ( V( x ))I n ( x ) E nI n ( x ) 2m dx 2 (
简并度（ degeneracy） ：一个力学量的测量值，可在 n 个独立的（线性无关的） 波函数中测得，则称这一测量值是具有 n 重简并度。 （某能量本征值有 n 个独立的定态相对应，则称这能量本征值是 n 重简并的） 。 证：假设 u 1 , u 2 是具有同样能量的波函数
2
2 d2 V( x ))u 1 ( x) Eu 1 ( x) 2m dx 2 2 d 2 ( V( x)) u 2 ( x ) Eu 2 ( x ) 2m dx 2 ( u 2 (1) u 1 ( 2 )
从而有
u 2u 1 ( x ) u 1u 2 ( x) 0
若 u 2 ( x)u 1 ( x ) 不是处处为零，则有
u u 2 1 (ln u 2 ) (ln u 1 ) u 2 u1
从而有
u 1 ( x) Au 2 ( x ) 。
二者仅差一常数因子，所以是同一波函数。也就是说，一个 E 只对应一个独立的波函 数，因此，是不简并的。 应当注意 ⅰ. 分立能级是不简并的。而对于连续谱时，若一端 u 0 ，那也不简并。 但如两端都不趋于 0（如自由粒子） ，则有简并。 ⅱ．当变量在允许值范围内 （包括端点） ， 波函数无零点， 就可能有简并存在 。 （因常数 c≠0）。 ⅲ．当 V ( x ) 有奇异点，简并可能存在。因这时可能导致 u 2 ( x)u 1 ( x ) 处处为 零。 推论：一维束缚态的波函数必为实函数（当然可保留一相因子） 。
从而得
(1)
(2)
u2
d2 dx 2
u1(x) u1
d2 dx 2
u 2 ( x) 0
于是
u 2u 1 ( x ) u 1u 2 ( x) c (c 是与 x 无关的常数)。
对于束缚态
x , u i 0
所以 c 0 ，
（或在有限区域有某值使 u 2 u 1 ( x ) u 1u 2 ( x) 0 ）
第三章 一维定态问题
第三章 目 录
§3.1 一般性质........................................ 3 （1）定理 1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是 不简并的................................... 3 （2）不同的分立能级的波函数是正交的。........... 4 （3）振荡定理....................................4 （4）在无穷大位势处的边条件......................5 §3.2 阶梯位势........................................ 6 §3.3 位垒穿透........................................ 8 （1） E<V 0....................................... 8 （2） E V0 .....................................10 （3）结果讨论 10 §3.4 方位阱穿透 11 §3.5 一维无限深方位阱 11 （1）能量本征值和本征函数 12 （2）结果讨论 12 §3.6 宇称，一维有限深方势阱，双 δ 位势 13 （1）宇称 13 （2）有限对称方位阱 14 （3） 求粒子在双 位阱中运动 17
§3.7 束缚能级与反射振幅极点的关系................... 20 （1） 半壁δ位阱的散射..........................21 （2）有限深方位阱...............................22 §3.8 一维谐振子的代数解法...........................23 （1）能量本征值.................................24 （2） 能量本征函数..............................25 （3）讨论和结论.................................28 §3.9 相干态.........................................30 （1） 湮灭算符 a ˆ 的本征态..................... 30 （2） 相干态的性质..............................31
第三章 一维定态问题
现将所学得的原理和方程应用于最简单的问题：一维、不显含时间的位势，即一维定态 问题。 当 则薛定谔方程 i
V( r , t ) V( r ) ˆ (r , p ˆ ) (r , t ) 有特解 ( r , t ) H t E (r , t ) u E (r )e iEt / ˆ (r, p ˆ )u E ( r ) Eu E (r ) H
§3.1 一般性质
设粒子具有质量 m，沿 x 轴运动，位势为 V (x )。于是有
(
2 d 2 V( x))u E ( x ) Eu E ( x ) 。 2m dx 2
由于 u E ( x) 是满足一定条件或边条件下的解，所以不是所有 E 都有非零解。
（1）定理 1：一维运(r ) 满足
事实上，当 V ( r ) 有一定性质时，如 V ( r ) V ( x) V ( y ) V ( Z ) 或 V ( r ) V ( r ) 时 ， 三维问题可化为一维问题处理，所以一维问题是解决三维问题的基础。 在解一维问题之前，先介绍一些解的性质。 需要指出，现讨论的 V ( x ) 是实函数，从而保持不含时间的 S.eq 中 E 为实数。