聚焦概率与立体几何交融

聚焦概率与立体几何的交融
概率是课标课程中的重要知识点,概率试题常常从能力立意,突出对考生知识的整体把握和综合能力的检测;题型新颖,综合性强,常与多个知识点进行交融,在知识网络的交汇处设计试题,符合高考的命题原则。

本文拟例说概率与立体几何的交融,分别从“点、线、面、体”的形式出发,旨在开拓视野,进一步提高数学的思维能力,揭示解题方法。

一、有关“点”的形式
例1(2010年高考福建卷·理18):如图,圆柱oo1内有一个三棱柱abc-a1b1c1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且ab是圆o 的直径。

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(1)证明:平面a1acc1⊥b1bcc1;
(2)设ab=aa1,在圆柱oo1内随机选一点,记该点取自于三棱柱abc-a1b1c内的概率为p。

①当点c在圆周上运动时,求p的最大值。

②记平面a1acc1与平面b1oc所成的角为θ(0°<θ≤90°),当p 取最大值时,求cosθ的值.
解析:(1)略。

(2)①设圆柱的底面半径为r,则ab=aa1=2r,故圆柱的体积v=πr2·2r=2πr3,
三棱柱abc-a1b1c的体积为v1。

因为p=■,所以当v1取得最大
值时,p取得最大值。

又因为点c在圆周上运动,所以当oc⊥ab时,△abc的面积最大。

进而,三棱柱abc-a1b1c的体积v1最大,且其最大值为■·2r·r·2r=2r3。

故p的最大值为■。

②略。

点评:本题以立体图形为背景,考察概率,寓趣味性、思考性和挑战性于一体,是典型的学科内综合题,使平淡的数学题充满活力与魅力。

利用空间图形的位置关系合理讨论是求解的关键。

二、有关“线”的形式
例2(2009年高考安徽卷·理10):考查正方形6个面的中心,甲从这6个点中任意选两点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于()
a.■
b.■
c.■
d.■
解析:从6个点中任取两点连成直线,共有c■■=15条,甲、乙均从中任选一条共有c■■×c■■=225种。

这15条直线中相互平行的有6对,甲、乙两人选一对,各选一条有种c■■×c■■=12种,所以p=■=■。

例3:由正方体的8个顶点中的2个所确定的所有直线中取出2条,这2条直线是异面直线的概率为()
a.■
b.■
c.■
d.■
解析:从八个顶点中任取两点有c■■=28条直线,基本事件总数为c■■。

又从8个顶点任取4个不共面的点共有c■■=12种等可能结果,而其中每一组四点不共面可出现3对异面直线,所以p=■=
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点评:把概率与立体几何中的直线间的位置关系问题交汇在一起,不但有新意,而且能较好地考查学生的综合应用数学知识的能力和数学素养。

三、有关“面”的形式
例4(2005年高考湖北卷·理12):以六面体abcd-a1b1c1d1的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出两个三角形,则这两个
三角形不共面的概率p为()
a.■
b.■
c.■d■
解析:由平行六面体的八个顶点可以组成c■■=56个三角形,平行六面体的六个表面加上六个对角面共有12个面,12个面内每个四边形中共面的三角形有c■■=4个,即从56个三角形中任取两个三角形共面的概率p1=■=■,即p=1-p1=■
例5(2006年高考安徽卷·理12):在正方体上任选3个顶点连成三角形,则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为()
a.■
b.■
c.■
d.■
解析:在正方体上任选3个顶点连成三角形可得c■■个三角形,要得直角非等腰三角形,则每个顶点上可得三个(即正方体的一边
与此点的一条面对角线),共有24个,所以p=■=■。

例6(2009年高考安徽卷·文10):考察正方体6个面的中心,从中任意选3个点连成三角形,再把剩下的3个点也连成三角形,则所得的两个三角形全等的概率等于_________。

解析:不妨设上下面的中心为a、b,左右面的中心为c、d,前后面的中心为e、f,从中任选3个点连成三角形可分为两类。

第一类是选中一对向对面的中心及除这两个面外其他四个面中的任意一面的中心,构成的是等腰直角三角形,此外剩下的3个点也连成一个与其全等的三角形;第二类是所选3个点所在的平面中没有任何两个面是相对面,即此三个面彼此相邻,此时构成的是正三角形,同时,剩下的3个点也构成正三角形,即p=1。

点评:寻求恰当的分类标准,并且按一定顺序进行排列组合,不重不漏地求出符合条件的图形个数是此类题的亮点。

四、有关“体”的形式
例7:从正方体的八个顶点中,任取4个点为顶点能构成四面体的概率是_____。

解析:从八个顶点任取四个顶点的事件总数为c■■=70,能构成的四面体的个数为:c■■-6c■■(六个面中四点共面)-6c■■(六个对角面中四点共面)=70-6-6=58,因此能构成四面体的概率为■=■
例8:如图,在一个木制的棱长为3的正方体表面涂上颜色,将它的棱3等分,然后从等分点把正方体锯开,得到27个棱长为1的小正方体,将这些小正方体充分混合后,装入一个口袋中。

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(1)从这口袋中任意取出1个小正方体,这个小正方体的表面恰好没涂颜色的概率是多少?
(2)从这个口袋中同时任意取出2个小正方体,其中1个小正方体恰好有1面涂有颜色,另1个小正方体至少有2面涂有颜色的概率是多少?
解析:在27个小正方体中,恰好3个面都涂有颜色的共8个,恰好2个面涂有颜色的共12个,恰好1个面涂有颜色的共6个,表面没涂颜色的1个。

(1)从这个口袋中任意取出1个小正方体,而这个小正方体的表面恰好没涂颜色的概率是p1=■。

(2)从27个小正方体中,同时任取2个,共有c■■种可能的结果。

在这些结果中,有1个小正方体恰好有1个面涂有颜色,另1个小正方体至少有2个面涂有颜色包含的结果是c■■(c■■+c■■)种。

所以从这个口袋中同时任意取出2个小正方体,其中1个小正方体恰好有1个面涂有颜色,另1个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率是p2=■=■。

点评:通过对以上例题的解析可以看出, 概率与立体几何交汇的综合性试题是考查数学能力和数学素养的极好素材,同时也是将来学习高等数学必不可少的重要基础知识,应引起足够的重视。

在知识网络交汇点设计命题是近几年高考命题改革重要理念之一,把握好知识间的纵横联系与综合、灵活应用基础知识,明确问题的生长点,运用基本的数学思想和方法来实现知识的互相渗透、融合,我们才能将所学内容融会贯通,运用自如。

参考文献:
王勇.例说概率与立体几何的交汇与融合.数学通讯.2006(8) 作者单位:1.福建师范大学数学与计算机科学学院
2.福建省连城县第一中学。