3.1.1 数系的扩充和复数的概念
3.1数系的扩充与复数的概念(ppt)1
数系的扩充
复数的概念
复数相等的定义 如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就 说这两个复数相等.
根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d∈R，两个复数 a+bi和 c+di 相等规定为a+bi = c+di
a c b d
两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相 等或不相等。
m=1 m=-2
时
数系的扩充
复数的概念
变式练习: 实数m取什么值时，复数 z=mi2+1-mi
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解:（1）当-m =0 ，即m=0 时，复数z 是实数． （2）当 –m≠0 ，即m≠0 时，复数z 是虚数．
（3）当 1 m 0
m 0
即 m 1 时，复数z 是 纯虚数．
把这一表示形式叫做复数的代数形式。 ②复数Z=a+bi (a∈R， b∈R )把实数a，b叫做 复数的实部和虚部。 ③全体复数所组成的集合叫复数集，记作C。
数系的扩充
复数的概念
讨论
观察复数的代数形式 复数的分类？
z a bi (a R, b R)
实部 虚部 其中 称为虚数单位。 当a= 0 且b= 0 时，则z=0 当b= 0 时，则z为实数 当b ≠0 时，则z为虚数 当a= 0 且b ≠0时，则z为纯虚数
数系的扩充
复数的概念
创设情景，探究问题
因计数的需要
自然数
数 系 的 扩 充
因不够减的需要，引入负数
整数Байду номын сангаас
因测量、分配中的等分问题引入分数
有理数 实数
(分数集有理数集循环小数集)
高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》导学案 新人教A版选修1-2
上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？
二合作探究，展示，点评
例2.求适合下列方程的 的值
.
例3实数x取何值时，复数 （1）是实数
（2）是虚数（3）是纯虚数
三总结
四检测
1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。
2．判断①两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大( )
3.1.-1.2实数系与复数的引入
【使用说明】
1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；
2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
【重点难点】复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.
虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用
【学习目标】
1、知识与技能：实数系的总结，复数定义
（1）通过实例分析复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.
虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用，
2、过程与方法：小组合作探究；
3、情感态度与价值观：以极度的热情，自动自发，如痴如醉，投入到学习中，充分享受学习的乐趣感受人类理性思维对数学发展所起的重要作用,进行历史唯物主义教育与辩证唯物主义教育.
② 复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数( )
3若 ，则 的值是________.
4．．知 是虚数单位，复数 ，当 取何实数时， 是：
（1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）零
5.已知复数 与 相等，且 的实部、虚部分别是方程 的两根，试求： 的值。（讨论 中，k取何值时是实数？
实数 与 相乘、相加的结果应如何？
4请对实数系进行分类
1.复数的概念：
①定义复数：复数代数形式
(数学1-2)3.1.1数系的扩充和复数的概念答案
年级高二 科目数学 选修1-2章节3.1.1 班级_______学习小组号 组内编号 姓名_____________ 小组评价____________ 教师评价___________ 使用日期________3.1.1数系的扩充和复数的概念主备人：卢坚 审核人：党中柱[使用说明]：1．阅读教材从50页---52页，按探究提示完成学案。
2. 限时完成导学案合作探究部分，书写规范。
3. 找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。
【学习目标】1. 回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义；了解复数的代数表示法及其简单运算.2.自主学习，合作交流。
3.激情投入，高效学习，养成严谨的思维习惯。
重点：准确理解和掌握复数的分类标准及两个复数相等的充要条件；一、 预习案：1.复数的引入解决负实数不能开偶次方根的问题。
我们规定12-=i ，任意一个数均可表示成bi a +的形式例i a +可看作是i a ∙+1，bi 可以看作是bi +0，a 可以看作是i a 0+，i 可以看作是i ∙+103.复数的概念：形如)R b ,a (bi a ∈+的数叫做__复数___,其中i 叫做虚数单位_，a 与b 分别叫做复数a+bi 的__实__部和__虚__部。
复数通常用字母__z_来表示。
z=a+bi_叫做复数的代数形式。
全体复数所成的集合叫做_复数__集。
用字母__C_来表示。
4.复数a+bi=c+di 的充要条件是：__a=c 且b=d__________________.特例a+bi=0⇔___a=0且b=0________________.注：两个复数(假若不全是实数)，不能比较大小5、复数的分类：对于复数a+bi 当且仅当___b=0_____ 时，它是实数；当且仅当_____b ≠0_______时，它是虚数。
当且仅当__a=0且b ≠0____时，它是纯虚数。
6、复数集C 和实数集R 之间的关系二、探究案例1．实数m 取什么值时，复数i m m z )1(1-++=是（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数（1）m=1 (2)m ≠1 (3)m=-1变式训练1、实数m 取什么值时，复数 z =(m 2-3m -4)+(m 2-5m -6)i .(1) 是实数；(2)虚数； (3) 纯虚数；(1)m=6或-1 （2）m ≠6且m ≠-1 （3）m=4例2．已知（x+y ）+(y-1)i=(2x+3y)-(2y+1)i,其中x,y 为实数，求x,yx=0,y=0变式训练2. 若(2x 2-3x-2)+(x 2-5x+6)i =0，求x 的值.x=2三、课堂小结1.知识方面 ____________________2.数学思想方法_____________________四、课后自主训练[作业]1.若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（A ）A ．1-B ．0C ．1D ．1-或12. 已知i y y i x )3()12(--=+-,其中，,x y R ∈，求x 与y x=25,y=4。
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念一、选择题1．z ＝(m 2－1)＋(m －1)i(m ∈R )是纯虚数，则有( )A ．m ＝±1B ．m ＝－1C ．m ＝1D ．m ≠1 解析：∵z 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－1＝0，m －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±1，m ≠1，∴m ＝－1. 故选B答案：B2．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．2＋iC ．－5＋5i D.5＋5i解析：∵2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2的实部为－2，∴新复数为2－2i.故选A.答案：A3．若2＋a i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝( )A ．0B ．2 C.52 D ．5解析：∵2＋a i ＝b －i ，∴b ＝2，a ＝－1，∴a 2＋b 2＝5.故选D.答案：D4．已知复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( )A.π4B.π4或5π4C ．2k π＋π4(k ∈Z ) D ．k π＋π4(k ∈Z ) 解析：由复数相等的定义知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，得θ＝k π＋π4(k ∈Z )，故选D. 答案：D5．如果关于x 的方程x 2－2x －a ＝0的一个根是i ，那么复数a ( )A ．一定是实数B ．一定是纯虚数C ．可能是实数，也可能是虚数D ．一定是虚数，但不是纯虚数解析：因为i 是方程x 2－2x －a ＝0的根，故代入整理得：a ＝x 2－2x ＝i 2－2i ＝－1－2i.故选D. 答案：D6．以复数－24＋m i(m ∈R )的实部为首项，虚部为公差的等差数列，当且仅当n ＝10时，其前n 项和最小，则m 的取值范围是( )A ．m >125B.125<m ≤83C.125≤m <83D.125<m <83解析：由题意，等差数列{a n }的首项a 1＝－24，公差d ＝m ，由当且仅当n ＝10时其前n 项和最小知：a 10＝－24＋9m <0，a 11＝－24＋10m >0，解之得125<m <83，故选D. 答案：D二、填空题7．复数1－i 的虚部的平方是________．解析：由题意，1－i 的虚部为－1，则其平方为1.答案：18．已知复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝________.解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m <0.因此m ＝－1. 答案：－19．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值(或范围)是________．解析：∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2－3x －2)>1，log 2(x 2＋2x ＋1)＝0.∴x ＝－2. 答案：－2三、解答题10．m 为何实数时，复数z ＝2m 2－3m －2m 2－25＋(m 2＋3m －10)i. (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．解：(1)当z 为实数时有：⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －10＝0，m 2－25≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2或m ＝－5，m ≠±5，∴m ＝2. ∴m ＝2时，z 为实数． (2)当z 为虚数时有：⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋3m －10≠0，m 2－25≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠2且m ≠－5，m ≠±5， ∴m ≠±5且m ≠2.∴当m ∈(－∞，－5)∪(－5,2)∪(2,5)∪(5，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时有：⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－3m －2m 2－25＝0，m 2＋3m －10≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2或m ＝－12m ≠2且m ≠－5， ∴m ＝－12， ∴m ＝－12时，z 为纯虚数． 11．已知关于t 的一元二次方程t 2＋(2＋i)t ＋2xy ＋(x －y )i ＝0(x ，y ∈R )．(1)当方程有实根时，求点(x ，y )的轨迹方程；(2)求方程的实根t 0的取值范围．解：(1)设方程的实根为t 0，则有t 20＋(2＋i)t 0＋2xy ＋(x －y )i ＝0，t 20＋2t 0＋2xy ＋(t 0＋x －y )i ＝0⎩⎪⎨⎪⎧t 20＋2t 0＋2xy ＝0，t 0＋x －y ＝0. ∴(y －x )2－2x ＋2y ＋2xy ＝0，即x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，也就是(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.∴点(x ，y )的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，其轨迹是以(1，－1)为圆心，2为半径的圆．(2)由于直线t 0＋x －y ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝2有公共点， ∴|1－(－1)＋t 0|2≤2，即|t 0＋2|≤2， ∴－2≤t 0＋2≤2，即－4≤t 0≤0.∴方程的实根t 0的取值范围是[－4,0]．12．已知复数z ＝a 2－b 2＋(|a |＋a )i(a ，b ∈R )，试添加a ，b 的条件，使之满足下列要求．(1)使复数z 为纯虚数的充要条件；(2)使复数z 为纯虚数的一个充分非必要条件．解：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝0，a ＋|a |≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±b ，a >0， ∴z 为纯虚数的充要条件是a ＝±b ，且a >0.(2)由(1)得，条件a ＝b >0和a ＝－b >0都可以作为z 为纯虚数的充分不必要条件．。
数系的扩充与复数的概念
§3.1数系的扩充和复数的概念§3.1.1数系的扩充和复数的概念教学目标：1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念教学重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.教学难点：虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.教学过程：学生探究过程：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R .因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i ，叫做虚数单位.并由此产生的了复数 讲解新课：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i !3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？例1请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？ 例2 复数－2i +3.14的实部和虚部是什么？例3（课本例1）实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？［分析］因为m ∈R ，所以m +1，m －1都是实数，由复数z =a +bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m 的值.解：例4 已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y .解：巩固练习：P104 ：1、2、3课后作业：课本第106页 习题3.1 1 , 2 ,教学反思：。
数系的扩充与复数的概念
第3章 数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充和复数的概念§3.1.1数系的扩充和复数的概念一．三维目标：1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律3. 情感、态度与价值观： 了解数系扩充的历史和发展规律，激发学生学习数学的兴趣二. 教学重点.难点重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.难点：虚数单位i的引进及复数的概念.三. 教学方法与教学用具1. 教学方法：教师讲解与学生学习相结合，加强自主学习、思考、交流、讨论和概括，更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪.教具准备：多媒体、实物投影仪四．教学课时：1课时五. 教学过程(一)回顾历史，揭示课题：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然N Q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有Z Q、N Z.如果把整数看作分母为1的分数那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.为了使上述方程有解，我们应该怎样再一次扩充数系呢？（二）研究探索，归纳概括问题1：在自然数集中方程x+1=0有解吗？问题2：在整数集中方程x+1=0有解吗？问题3：在整数集中方程3x-1=0有解吗？问题4：在有理数集中方程有解吗？问题5：在实数集中方程有解吗？现在我们要进行数系的再一次扩充就是要解决这个问题， 怎么解决？引入一个新数i，满足.1.虚数单位:(1)它的平方等于-1，即 ;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+b i的形式，叫做复数的代数形式4. 复数的分类：对于复数，（1）当且仅当b=0时，复数a+b i(a、b∈R)是实数a；（2）当b≠0时，复数z=a+b i叫做虚数；（3）当a=0且b≠0时，z=b i叫做纯虚数；（4）当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+b i=c+d i a=c，b=d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小例1请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？例2 复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？例3（课本例1）实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？［分析］因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，由复数z=a+b i是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.解：(1)当m－1=0，即m=1时，复数z是实数；(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；(3)当m+1=0，且m－1≠0时，即m=－1时，复数z 是纯虚数.例4 已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y.解：根据复数相等的定义，得方程组，所以x=，y=4(三)巩固深化，反馈矫正1.如果，则2.已知m∈R，复数z=，当m为何值时，(1)z∈R; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(四)课堂小结1．熟悉扩充的过程；2．复数的基本概念；虚数单位，实部和虚部的概念；3. 复数集的分类；4.复数相等的充要条件.(五)作业设计1.课后书面作业：习题3.1A组第1-4题.2.知识扩展作业：小组成员交流合作，写一篇与数系扩充有关的小论文.(六)板书设计3.1.1数系的扩充与复数的概念 复数的代数形式 例题精讲数系发展的历史 复数的分类 课堂练习提出5个问题 复数集与其它数集之间的关系虚数单位 相等复数 小结复数的定义六．教后反思（待定）。
文科学案3.1.1数系的扩充和复数的引入
第三章 数系的扩充和复数的引入一、［课标要求］1．复数的概念① 理解复数的基本概念.② 理解复数相等的充要条件.③ 了解复数的代数表示法及其几何意义.二、［知识盘点］1.复数的有关概念（1）复数的单位为 ，它的平方等于 ，即 。
（2）复数：形如 的数（其中,a b R ∈），a 叫做复数的 ，b 叫做复数的 ，当0b =时，复数a bi +为实数，当0b ≠时，复数a bi +为虚数；当0a =且0b ≠时，复数a bi +为 。
（3）两个复数相等的定义a bi c di +=+⇔ （其中,,,abcd R ∈），特别地0a bi +=0.a b ⇔==（4）两个复数，如果不全为实数，就不能比较大小。
2．复数的几何意义（1）复数(,)z a bi a b R =+∈与复平面内的点 一一对应。
（2）在复平面内，实轴上的点都表示 ；除 外，虚轴上的点都表示 .（3）复数(,)z a bi a b R =+∈与平面向量OZ 一一对应（其中O 是坐标原点，(,)Z a b ）.（4）向量OZ 的模r 叫做复数(,)z a bi a b R =+∈的 ，记作 ，并且||______.z =（5）相等的向量表示 复数。
三、课前预习1．指出下列各数中，哪些是实数，试找出它们各自的实部和虚部？哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？72+，618.0， i 72， 0， i ， 2i ， 85+i ， i 293-， )31(-i ， i 22-2．说出下列复数的实部与虚部，并思考它们之间能比较大小吗？i 312+-， i +2， 22， i 3-，0四、典型例题例1、实数x 取何值时，复数(2)(3)z x x i =-++：（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？【变式训练1】当m 为何实数时，复数226(215)3m m z m m i m --=+--+：（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？例2、求适合下列方程的x 和y (,)x y R ∈的值：（1）(2)6()x y i x x y i +-=+-；（2）(1)(2)0x y x y i ++--+=.【变式训练2】已知,x y 是实数，且2222x y xyi i -+=，求,x y 的值。
课时作业17：3.1.1 数系的扩充和复数的概念
3．1.1 数系的扩充和复数的概念一、选择题1．设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列命题正确的是( )A ．若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数B ．若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋iC ．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1D ．两个虚数不能比较大小3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．－5＋5iC ．2＋i D.5＋5i4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( )A.12B ．2C ．0D ．1 5．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或16．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( )A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－47．已知复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ，b ∈R )，则“a ＝2”是“z 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题8．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.9．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________.10．已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________.三、解答题11．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．12.若m 为实数，z 1＝(m 2＋1)＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝(4m ＋2)＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 的值的集合又是什么？13．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，求自然数m ，n 的值？参考答案1．【答案】B【解析】因为a ，b ∈R ，“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数，也可能b ＝0，即a ＋b i ＝0∈R ”．而当“复数a ＋b i 是纯虚数”则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件．2．【答案】D【解析】对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在A 中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故A 错误；在B 中，两个虚数不能比较大小，故B 错误；在C 中，若x ＝－1，不成立，故C 错误；D 正确．3．【答案】A【解析】设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知：复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A.4．【答案】D【解析】由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1. 5．【答案】A【解析】由复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1. 6．【答案】C【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解之得a ＝－4. 7．【答案】A【解析】当⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a －3≠0时，z 为纯虚数，即a ＝±2时，z 为纯虚数．故选A. 8．【答案】－2【解析】⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0⇒m ＝－2. 9．【答案】2 ±2【解析】由z 1＝z 2得⎩⎪⎨⎪⎧ －3＝n 2－3m －1，－4＝n 2－m －6，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝±2. 10．【答案】－1【解析】由M ∩N ＝{3}知，3∈M ，即有(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1.11．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0，m ＋3≠0， 解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2＋m －3＝0，m ＋3≠0，m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1. 所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数． 12．解 当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1或m ＝－2，∴z 1＝1或z 1＝2或z 1＝5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，解得m ＝0或m ＝1或m ＝4，∴z 2＝2或z 2＝6或z 2＝18.上面m 的公共值为m ＝0，此时，z 1与z 2同时为实数，且z 1＝1，z 2＝2. ∴当z 1>z 2时，m 值的集合为空集；当z 1<z 2时，m 值的集合为{0}．13．解 因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1， 所以log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＝0， ①log 12(m ＋n )>－1， ② 由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾， 综上可得m ＝0，n ＝1.。
数系的扩充和复数的概念(教学设计)(1)
数系的扩充和复数的概念（教学设计）（1）§3.1.1数系的扩充和复数的概念教学目标：知识与技能目标：了解引进复数的必要性；理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等）。
理解虚数单位i 以及i 与实数的四则运算规律。
过程与方法目标：通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i 和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识。
情感、态度与价值观目标：通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
教学重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用教学难点：虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立教学过程：一、创设情境、新课引入：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R .因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i ，叫做虚数单位.并由此产生的了复数二、师生互动、新课讲解1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i !3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小例1：请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？ 答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－3;虚部分别是3，21，－31，－5;－31i 是纯虚数. 例2 ：复数－2i +3.14的实部和虚部是什么？答：实部是3.14，虚部是－2.易错为：实部是－2，虚部是3.14！例3（课本P51例1）：实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？［分析］因为m ∈R ，所以m +1，m －1都是实数，由复数z =a +bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m 的值. 解：(1)当m －1=0，即m =1时，复数z 是实数；(2)当m －1≠0，即m ≠1时，复数z 是虚数；(3)当m +1=0，且m －1≠0时，即m =－1时，复数z 是纯虚数.例4：已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y .解：根据复数相等的定义，得方程组⎩⎨⎧--==-)3(1,12y y x ，所以x =25，y =4 课堂练习：（课本P52练习NO ：1；2；3）三、课堂小结，巩固反思：这节课我们学习了虚数单位i 及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题。
人教版高中数学选修2-2学案：3.1.1数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩大和复数的观点【学习目标】1.认识引进复数的必需性；理解并掌握虚数单位i;2.认识并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律;3.认识并掌握复数的相关观点（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部）理解并掌握复数相等的相关观点．【新知自学】知识回首：1.数系的扩大历程：(1)在自然数集内引入负数 ,扩大到 ___________;(2)在整数集内引入分数 ,扩大到 _____________;(3) 在有理数集内引入无理数,扩大到 _________．22.在实数集内方程 x＋ 1＝0的解的问题该怎样解决？数集扩到实数集R 此后，像x2＝－1这样的方程仍是无解的，因为没有一个实数的平方等于－ 1．因为解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位，并由此产生了复数．新知梳理：1.虚数单位i:（1）它的平方等于 _________，即 i 2＝－ 1；（ 2）实数能够与它进行四则运算，进行四则运算时，原有______________ 仍旧建立．2.复数的定义：形如a＋ bi （ a， b∈R）的数叫复数， a 叫复数的_______， b 叫复数的_______．全体复数所成的会合叫做复数集，用字母 C 表示．3.复数 a＋ bi （a， b∈R）的分类：（1）当 _______________ 时，复数 a＋ bi （a， b∈R）为实数；（2）当 _______________ 时，复数 a＋ bi （a， b∈R）为 0；（3）当 _______________ 时，复数 a＋ bi （a， b∈R）为虚数；（4）当 _______________ 时，复数 a＋ bi （a， b∈R）为纯虚数 .4.复数集与其余数集之间的关系：____________ ．5.两个复数相等的定义：假如两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，假如a，b， c， d∈R，那么 a＋ bi＝ c＋ di a＝ c， b＝ d ．对点练习：1 41.写出复数4，2－ 3i， 0，i ， 5＋ 2i， 6i 的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是2 3虚数，哪些是纯虚数？2.以下说法中正确的选项是()A. 方程x 2 1 0 没有根B.纯虚数和虚数组成实数会合C.实数会合由虚数与复数组成D.实数是复数3.已2i5的虚部为实部，以5i 2i 2的实部为虚部的新复数是（）A. 22iB. 2iC.55iD. 55i4.假如 (x+y)+ (y-1)i = (2x+3y) + (2y+1)i，务实数 x, y 的值.【合作研究】典例精析：例 1. 实数m取什么数值时，复数z＝ m(m－1) ＋(m－ 1)i 是：（ 1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？变式练习：实数 m 取什么数值时，复数 z＝m2＋ m－ 2＋ (m2－ 1)i 是（ 1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？例 2.已知(x＋y)＋(x－2y)i＝(2x－5)＋(3x＋y)i，此中x，y∈ R，求x与y．变式练习：若(2x2－ 3x－ 2)＋ (x2－ 5x+6)i ＝ 0，求 x 的值．规律总结：1.关于复数 z= a＋bi ，只有在 a，b∈ R 时， a，b 才能分别是复数的实部和虚部，并注意虚部是 b，而非 bi；2.只有两个实数才能够比较大小，关于两个虚数，或许一个虚数一个实数都不可以比较大小；3.在两复数相等以及复数的分类中，要第一明的确部和虚部.【讲堂小结】【当堂达标】1.设会合 C=｛复数｝，A= ｛实数｝，B=｛纯虚数｝，若全集 S=C，则以下结论正确的选项是()A. A∪ B=CB. C S A=BC.A∩C S B=D.B∪C S B=C2.若(x21) (x 23x2)i 是纯虚数，则实数x 的值为（）A .1 B.-1 C. -2 D.1 或-13.若实数x, y 知足 ( x y)( x y)i 2, 求xy的值.4.复数z1( 2m7)(m 22)i ,z2 (m 28)(4m3)i ( m R) ，当z1z2时，求m的值.【课时作业】1.复数z12i 的实部是，虚部是，模为.2．已知复数z k 23k(k 25k6)i ( k R), 且 z0 ，则 k.3.已知会合 M=｛ 1， 2，( m2－ 3m－ 1)+( m2－ 5m－ 6)i｝，会合 P=｛－ 1， 3｝.M ∩P=｛ 3｝，则实数 m 的值为()A. －1B.－1 或 4C.6D.6 或－ 14．若复数z x22x 3(log 1 x2)i 是虚部为正数的纯虚数，务实数x 的值 .25．若( 2 i )x (3 10i ) y 1 9i ，务实数 x, y 的值.6.已知 m∈R，复数 z= m(m2)+(m2+2m－ 3)i，当 m 为什么值时，m11(1) z∈R; (2) z 是虚数； (3) z 是纯虚数； (4) z=+4i .27.假如log1(m n) ( m23m)i 1 ，求自然数m， n 的值 .2。
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1
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
课时演练·促提升
A组
1.若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b的值为( )
A.-2 B. C.- D.2
解析:复数2-bi的实部为2,虚部为-b,由题意知2=-(-b),所以b=2.
答案:D
2.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为( )
A. B.2 C.0 D. 1
解析:由复数相等的充要条件知,
解得
故x+y=0.故2x+y=20=1.
答案:D
3.设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},则( )
A.M∪R=I
B.(∁IM)∪R=I
C.(∁IM)∩R=R
D.M∩(∁IR)=⌀
解析:根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断.依题意,I,R,M三个集合之间的关系
如下图所示.
所以应有:M∪R⫋I,(∁ IM)∪R=∁IM,M∩(∁IR)≠⌀,
故A,B,D三项均错,只有C项正确.
答案:C
4.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为( )
A.4 B.-1
C.-1或4 D.-1或6
解析:由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,
所以得m=-1.
答案:B
5.若复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,则点(x,y)的轨迹是( )
A.以原点为圆心,以2为半径的圆
B.两个点,其坐标为(2,2),(-2,-2)
C.以原点为圆心,以2为半径的圆和过原点的一条直线
D.以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(),(-,-)
解析:因为复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,
则
即x2+y2=4且x≠y.
由可解得
故点(x,y)的轨迹是以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(),(-,-).
答案:D
6.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i2,④isin π,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号) .
解析:②为实数;③8i2=-8为实数;④i·sin π=0·i=0为实数,其余为虚数.
答案:②③④
7.满足x2+2x+3i=m+xi(x,m∈R)的m的值为 .
解析:由已知可得所以m=15.
2
答案:15
8.设复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i,
(1)当实数m为何值时,z是纯虚数?
(2)当实数m为何值时,z是实数?
解:(1)因为复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i是纯虚数,
所以
解得m=1±,
所以当m=1±时,z是纯虚数.
(2)因为复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i是实数,
所以解得m=-2,
所以当m=-2时,z是实数.
9.定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值.
解:由定义运算=ad-bc,可得=3x+2y+yi.
即(x+y)+(x+3)i=(3x+2y)+yi.
由复数相等的充要条件得
解得
B组
1.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为( )
A.-2 B.3 C.-3 D.±3
解析:依题意应有解得m=3.
答案:B
2.若复数z=cos θ+(m-sin θ-cos θ)i为虚数,则实数m的取值范围是 .
解析:∵z为虚数,∴m-sin θ-cos θ≠0,
即m≠sin θ+cos θ.
∵sin θ+cos θ=sin∈[-
],
∴m∈(-∞,-)∪(,+∞).
答案:(-∞,-)∪(,+∞)
3.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,z1>z2,则a的值为 .
解析:由z1>z2,
得
解得a=0.
答案:0
4.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是 .
解析:若复数为纯虚数,则有
即故a=-1.
故复数不是纯虚数时a≠-1.
答案:{a|a≠-1}
5.如果lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,求自然数m,n的值.
解:因为lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,
所以lo(m+n)-(m2-3m)i是实数.
从而有
由①,得m=0或m=3.
当m=0时,代入②,得0
当m=3时,代入②,得n<-1,与n是自然数矛盾.
综上可得,m=0,n=1.
6.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.
解:∵M∪P=P,∴M⊆P,
即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,
得解得m=1;
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,
3
得解得m=2.
综上可知m=1或m=2.