高中数学第四章圆与方程章末复习课新人教A版必修2
高中数学第四章圆与方程章末复习课学案新人教A版必修
第四章圆与方程章末复习课1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆. (3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.2.点与圆的位置关系(1)点在圆上①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.(2)点不在圆上①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足F(x，y)<0，则该点在圆内.②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离：d min＝|PC|－r.3.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数.4.圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断).(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用直线与圆相交的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.方法一函数与方程思想函数与方程思想是中学数学的基本思想，就是用函数和方程的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，在求圆的方程、圆的切线方程及直线与圆、圆与圆的交点等问题时，由于圆的方程中涉及三个量a ，b ，r (或D ，E ，F ).故要确定圆的方程必须要有三个独立的条件.设出圆的方程，由题设列方程组，解方程组即可得圆的方程，一般在求解时有几个参变量，就要列几个方程.例1 求圆心在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2上，且与x 轴和直线x ＝－12都相切的圆的方程.解 设圆心坐标为(a ，b )，半径为r ，因为圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2在直线x ＝－12的右侧，且所求的圆与x 轴和直线x ＝－12都相切，所以a ＞－12.所以r ＝a ＋12，r ＝|b |.又圆心(a ，b )在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋b 2＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧r ＝a ＋12，r ＝|b |，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋b 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，r ＝1，b ＝±1.所以所求圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝1，或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝1.训练1 已知圆经过点A (2，－1)，圆心在直线2x ＋y ＝0上且与直线x －y －1＝0相切，求圆的方程.解 法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2. ∵圆过点A (2，－1)，∴5＋2D －E ＋F ＝0，① 又圆心在直线2x ＋y ＝0上，∴2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，即2D ＋E ＝0.②将y ＝x －1代入圆方程得 2x 2＋(D ＋E －2)x ＋(1－E ＋F )＝0.Δ＝(D ＋E －2)2－8(1－E ＋F )＝0.③将①②代入③中，得(－D －2)2－8(1－2D －5)＝0，即D 2＋20D ＋36＝0， ∴D ＝－2或D ＝－18.代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－18，E ＝36，F ＝67.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0 或x 2＋y 2－18x ＋36y ＋67＝0.法二 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0). ∵圆心在直线y ＝－2x 上，∴b ＝－2a ， 即圆心为(a ，－2a ).又圆与直线x －y －1＝0相切，且过点(2，－1)， ∴|a ＋2a －1|2＝r ，(2－a )2＋(－1＋2a )2＝r 2，即(3a －1)2＝2(2－a )2＋2(－1＋2a )2， 解得a ＝1或a ＝9.∴a ＝1，b ＝－2，r ＝2或a ＝9，b ＝－18，r ＝132， 故所求圆的方程为：(x －1)2＋(y ＋2)2＝2， 或(x －9)2＋(y ＋18)2＝338. 方法二 数形结合思想数形结合思想，就是把问题的数量关系和空间图形结合起来的思想.“数”和“形”是数学研究的两类基本对象.坐标系的建立，使“形”和“数”互相联系，互相渗透，互相转化.构造法就是根据题设条件和探求目标进行联想，构造出一个适当的数学关系或图形，将原来问题转化成易于解决的问题.“构造法”方法新颖，富有创造性，正像我国著名数学家华罗庚教授所说的“数缺形时，少直观；形缺数时，难入微.”数形结合思想是解答高考题的一种常用方法与技巧，特别是在解答选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中要加强这方面的训练，以提高解题能力和速度. 例2 已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆C 上任一点. (1)求y －2x －1的最大值与最小值； (2)求x －2y 的最大值与最小值. 解 (1)显然y －2x －1可以看作是点P (x ，y )与点Q (1，2)连线的斜率.令y －2x －1＝k ，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q (1，2)的圆C 的两条切线的斜率.对上式整理得kx －y －k ＋2＝0， ∴|－2k ＋2－k |1＋k 2＝1，∴k ＝3±34. 故y －2x －1的最大值是3＋34，最小值是3－34. (2)令u ＝x －2y ，则u 可视为一组平行线，当直线和圆C 有公共点时，u 的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.依题意，得|－2－u |5＝1，解得u ＝－2±5，故x －2y 的最大值是－2＋5，最小值是－2－ 5.训练2 当曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，512 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，34 C.⎝⎛⎦⎥⎤512，34D.⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞ 解析 曲线y ＝1＋4－x 2是以(0，1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y ＝k (x －2)＋4是过定点(2，4)的直线.设切线PC 的斜率为k 0，则切线PC 的方程为y ＝k 0(x －2)＋4，圆心(0，1)到直线PC 的距离等于半径2，即|－1－2k 0－4|1＋k 20＝2，k 0＝512.直线PA 的斜率为k 1＝34. 所以，实数k 的取值范围是512<k ≤34. 答案 C方法三 分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.例3 已知直线l 经过点P (－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋ (y ＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l 的方程.解 圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r ＝5.①当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝－4，由题意可知直线x ＝－4符合题意. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋3＝k (x ＋4)， 即kx －y ＋4k －3＝0.由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫|－k ＋2＋4k －3|1＋k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝52， 解得k ＝－43，即所求直线方程为4x ＋3y ＋25＝0.综上所述，满足题设的l 方程为x ＝－4或4x ＋3y ＋25＝0.训练3 如图，已知以点A (－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切.过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程. 解 (1)设圆A 的半径为r .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴r ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN .∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1，则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.直线方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.1．(2016·北京高考)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．2 2解析 圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y ＝x ＋3得x －y ＋3＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.答案 C2.(2015·安徽高考)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A.－2或12 B.2或－12 C.－2或－12D.2或12解析 圆方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x ＋4y ＝b 与该圆相切，∴|3×1＋4×1－b |32＋42＝1.解得b ＝2或b ＝12，故选D. 答案 D3.(2015·北京高考)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x －1)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D.(x －1)2＋(y －1)2＝2解析 圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 答案 D4.(2015·全国Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213C.253D.43解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23 3，其到原点的距离为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 32＝213.故选B.答案 B5.(2014·浙江高考)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A.－2B.－4C.－6D.－8解析 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ∴圆心坐标(－1，1)半径r 2＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2∴＋(2)2＝2－a ，解得a ＝－4. 答案 B6．(2016·全国Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π. 答案 4π7．(2016·全国Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A 、B 两点，过A 、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C 、D 两点，则|CD |＝________． 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，则y 1＋y 2＝33，又y 2＝23，∴y 1＝3，∴A (－3，3)，B (0，23)．过A ，B 作l 的垂线方程分别为y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，令y ＝0，则x C ＝－2，x D ＝2，∴|CD |＝2－(－2)＝4. 答案 48.(2015·重庆高考)若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________.解析 点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则圆的方程为x 2＋y 2＝5，设所求直线为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，圆心到直线的距离d ＝|－k ＋2|k 2＋1＝5，解得k ＝－12，∴直线为－12x －y ＋52＝0，即x ＋2y －5＝0.答案 x ＋2y －5＝09.(2015·浙江高考)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________.解析 因为实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则2x ＋y －4＜0，6－x －3y ＞0，所以|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝－3x －4y ＋10.令z ＝－3x －4y ＋10，则3x ＋4y －10＋z ＝0.当直线3x ＋4y －10＋z ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切时，z 取最值，故|z －10|5＝1，∴z ＝5或z ＝15，∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值为15. 答案 15。
2019高中数学第四章圆与方程章末小结与测评讲义含解析新人教A版必修2
第四章圆与方程考点1求圆的方程1．求圆的方程的常用方法有待定系数法、几何法等，运用待定系数法时，要充分利用题目中提供的三个条件来确定三个独立的参数；使用几何法时，要充分利用圆的有关性质，如垂径定理、“半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形”等．2．如果已知条件容易求得圆心坐标、半径，则一般选用圆的标准方程，否则选用圆的一般方程．[典例1] 过点A(1,2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25B．(x－1)2＋(y－3)2＝2C．(x－5)2＋(y－5)2＝25D．(x－1)2＋(y－1)2＝1解析：选A 由题意可设圆心为(a，a)，则半径r＝a，圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，又点A(1,2)在圆上，∴(1－a)2＋(2－a)2＝a2，解得a＝1或a＝5.∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25.[对点训练]1．经过两点P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P、Q两点的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10， ①又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.由已知，|x 1－x 2|＝6(其中x 1，x 2是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根)， ∴D 2－4F ＝36， ②①、②联立组成方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.考点2直线与圆的位置关系判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离d ，然后比较所求距离d 与半径r 的大小关系，进而判断直线和圆的位置关系．[典例2] 已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 由圆C 与y 轴相切得|a |＝r ， ①又圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0， ②圆心C (a ，b )到直线y ＝x 的距离为d ＝|a －b |2，由于弦心距d ，半径r 及弦的一半构成直角三角形，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b |22＋(7)2＝r 2. ③ 联立①②③解方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，b 1＝1，r 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－3，b 2＝－1，r 2＝3.故圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. [对点训练]2．直线x ＋3y －2＝0被圆(x －1)2＋y 2＝1截得的线段的长为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 解析：选C 圆心到直线的距离d ＝|1＋0－2|12＋32＝12，∴弦长l＝2r2－d2＝ 3.3．已知直线l经过坐标原点，且与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l的方程为________．解析：设切线方程为y＝kx，代入圆方程中，得(1＋k2)x2－4x＋3＝0.由Δ＝0，解得k＝－33⎝⎛⎭⎪⎫舍去k＝33，所以直线l的方程为x＋3y＝0.答案：x＋3y＝0考点3圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断)．(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长．(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.[典例3] (2016·九江高一检测)求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程．解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，则a－12＋b2＝r＋1. ①又所求圆过点M的切线为直线x＋3y＝0，故b＋3a－3＝ 3. ②|a＋3b|2＝r. ③解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－43，r＝6.故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.[对点训练]4．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋4)2＝4相切，则正实数r的值为__________．解析：当两圆外切时，两圆心的距离d＝5，由题意，得r＋2＝5，∴r＝3；当两圆内切时，由题意知，r－2＝5，即r＝7.答案：3或7（时间120分钟 满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)与点B (2，－1,6)的距离是( ) A ．243 B ．221 C ．9 D.86解析：选D 由空间直角坐标系中两点间距离公式得： |AB |＝－3－22＋4＋12＋0－62＝86.2．方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞解析：选A 由题意得1＋1＋4m >0，解得m >－12.3．(2015·北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选D r ＝12＋12＝2，∴所求方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，选D. 4．点A (2a ，a －1)在以点C (0,1)为圆心，半径为5的圆上，则a 的值为( ) A ．±1 B ．0或1 C ．－1或15 D ．－15或1解析：选D 由题意，已知圆的方程为x 2＋(y －1)2＝5，将点A 的坐标代入圆的方程可得a ＝1或a ＝－15.5．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 3解析：选D 直线方程为y ＝3x ，圆的方程化为x 2＋(y －2)2＝22，∴r ＝2，圆心(0,2)到直线y ＝3x 的距离为d ＝1，∴半弦长为22－12＝3，∴弦长为2 3.6．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.12解析：选C 因为点P (2,2)为圆(x －1)2＋y 2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P (2,2)的连线与过点P (2,2)的切线垂直．因为圆心(1,0)与点P (2,2)的连线的斜率k ＝2，故过点P (2,2)的切线斜率为－12，所以直线ax －y ＋1＝0的斜率为2，因此a ＝2.7．一条光线从点A (－1,1)出发，经x 轴反射到⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上，则光走过的最短路程为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D A (－1,1)关于x 轴的对称点B (－1，－1)，圆心C (2,3)，所以光走过的最短路程为|BC |－1＝4.8．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝0解析：选D 当CM ⊥l ，即弦长最短时，∠ACB 最小， ∴k l ·k CM ＝－1，∴k l ＝12，∴l 的方程为： x －2y ＋3＝0.9．圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9与圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4外切，则m 的值为( ) A ．2 B ．－5 C ．2或－5 D ．不确定解析：选C 圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9的圆心为(－2，m )，半径长为3，圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4的圆心为(m ，－1)，半径长为2.依题意有－2－m2＋m ＋12＝3＋2，即m 2＋3m －10＝0，解得m ＝2或m ＝－5.10．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m: ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( )A ．4B ．2 C.85 D.125解析：选A P 为圆上一点，则有k OP ·k l ＝－1，而k OP ＝4－1－2－2＝－34，∴k l ＝43，∴a ＝4，∴m 的直线方程为4x －3y ＝0，l 的直线方程为4x －3y ＋20＝0.∴l 与m 的距离为|20|42＋32＝4.11．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 设P (3,1)，圆心C (1,0)，切点为A 、B ，则P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC为圆的直径，∴四边形PACB 的外接圆方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54， ①圆C ：(x －1)2＋y 2＝1， ②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．12．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M 、N 分别是圆C 1、C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17解析：选A 由题意知，圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9的圆心分别为C 1(2,3)，C 2(3,4)，且|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4，点C 1(2，3)关于x 轴的对称点为C (2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|＝|PC |＋|PC 2|≥|CC 2|＝52，即|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在如图所示的长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________．解析：由题中图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标相同，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标相同，∴B 1(a ，b ，c )．答案：(a ，b ，c )14．设A 为圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上一动点，则A 到直线x －y －5＝0的最大距离为________．解析：圆心到直线的距离d ＝|2－2－5|2＝522，则A 到直线x －y －5＝0的最大距离为522＋1. 答案：522＋115．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．解析：(数形结合法)如图，圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0可化为x 2＋(y －6)2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为3.在Rt △OBC 中可得：∠OCB ＝π3，∴∠ACB ＝2π3，∴所求劣弧长为2π.答案：2π16．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程是________．解析：设动点P 的坐标为(x ，y )，依题意有|PO |＝r sin 30°＝112＝2，∴x 2＋y 2＝4，即所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.答案：x 2＋y 2＝4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2016·绍兴高一检测)已知圆C 的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 的方程为y ＝x ＋m ，求当m 为何值时，(1)直线平分圆； (2)直线与圆相切．解：(1)∵直线平分圆，所以圆心在直线上，即有m ＝0. (2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， ∴d ＝|1－1＋m |12＋－12＝|m |2＝2，m ＝±2 2. 即m ＝±22时，直线l 与圆相切．18．(本小题满分12分)已知直线l 1：x －y －1＝0，直线l 2：4x ＋3y ＋14＝0，直线l 3：3x ＋4y ＋10＝0，求圆心在直线l 1上，与直线l 2相切，截直线l 3所得的弦长为6的圆的方程．解：设圆心为C (a ，a －1)，半径为r ， 则点C 到直线l 2的距离d 1＝|4a ＋3a －1＋14|5＝|7a ＋11|5.点C 到直线l 3的距离d 2＝|3a ＋4a －1＋10|5＝|7a ＋6|5.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|7a ＋11|5＝r ，⎝ ⎛⎭⎪⎫|7a ＋6|52＋32＝r 2.解得a ＝2，r ＝5，即所求圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝25.19．(本小题满分12分)一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？解：以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知可得A (6，－2)，设圆的半径长为r ，则C (0，－r )，即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10，所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设A ′(x 0，－3)(x 0＞0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得2x 0＝251，即当水面下降1米后，水面宽251米．20．(本小题满分12分)已知点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上运动，N (4,0)，点P (x ，y )为线段MN 的中点．(1)求点P (x ，y )的轨迹方程；(2)求点P (x ，y )到直线3x ＋4y －86＝0的距离的最大值和最小值．解：(1)∵点P (x ，y )是MN 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y .将用x ，y 表示的x 0，y 0代入到x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋y 2＝1.此式即为所求轨迹方程．(2)由(1)知点P 的轨迹是以Q (2,0)为圆心，以1为半径的圆． 点Q 到直线3x ＋4y －86＝0的距离d ＝|6－86|32＋42＝16. 故点P 到直线3x ＋4y －86＝0的距离的最大值为16＋1＝17，最小值为16－1＝15.21．(本小题满分12分)已知圆C: x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解：把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件． 当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k (x －1)， 即kx －y ＋3－k ＝0， 则|－k －2＋3－k |1＋k2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4，|PO |2＝x 2＋y 2. ∵|PM |＝|PO |，∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2， 整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0，22．(本小题满分12分)已知圆C: x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，则OA ⊥OB .设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1x 1·y 2x 2＝－1， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0. ①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，消去y 得： 2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， ∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)， ②y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)． ③把②③式代入①式，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0成立， 故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.模块综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·临沂高一检测)过点A (3，－4)，B (－2，m )的直线l 的斜率为－2，则m 的值为( )A ．6B ．1C ．2D ．4 解析：选A 由题意知k AB ＝m ＋4－2－3＝－2，∴m ＝6.2．(2016·温州高一检测)直线y －2＝mx ＋m 经过一定点，则该点的坐标为( ) A ．(－1,2) B ．(2，－1) C ．(1,2) D ．(2,1)解析：选A 将直线方程化为y －2＝m (x ＋1)，则当x ＝－1时，y ＝2，即直线过定点(－1,2)．3．在空间直角坐标系中，点B 是A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则|OB |等于( )A.14B.13 C ．2 3 D.11解析：选B 点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影为B (0,2,3)，∴|OB |＝02＋22＋32＝13.4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0 D ．x －2y ＋3＝0解析：选A 结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为－12，直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.5．(2015·广东高考)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交解析：选D 由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交．6．动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( ) A ．x 2＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2＝16 C ．(x －1)2＋y 2＝16 D ．x 2＋(y －1)2＝16 解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得： 2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.7．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π解析：选C 根据三视图知该几何体是由半球与圆锥构成，球的半径R ＝3，圆锥半径R ＝3，高为4，所以V 组合体＝V 半球＋V 圆锥＝12×43π×33＋13π×32×4＝30π.8．(2015·浙江高考)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β.( )A ．若l ⊥β，则α⊥βB ．若α⊥β，则l ⊥mC ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m解析：选A A 中，由面面垂直的判定，故正确；选项B 中，当α⊥β时，l ，m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，l ∥β时，α、β可以相交；选项D 中，α∥β时，l ，m 也可以异面，故选A.9．设长方体的长，宽，高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2解析：选B 由题可知，球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2R ＝4a 2＋a 2＋a 2，解得R ＝62a ，所以球的表面积S ＝4πR 2＝6πa 2.10．过点P (－2,4)作圆(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )A.285 B.125C.85D.25解析：选B 直线l 1的斜率k ＝－a3，l 1∥l ，又l 过P (－2,4)，∴l 的直线方程为y －4＝－a3(x ＋2)，即ax ＋3y ＋2a －12＝0.又直线l 与圆相切， ∴|2a ＋3×1＋2a －12|a 2＋9＝5，∴a ＝－4，∴l 1与l 的距离为d ＝125.11．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：选A 圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴直线OP 垂直于x ＋y －2＝0，故选A. 12．(2015·新课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 由正视图和俯视图可知，该几何体是一个半球和一个半圆柱的组合体，圆柱的半径和球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为12×4πr 2＋πr ×2r ＋πr 2＋2r ×2r＝5πr 2＋4r 2＝16＋20π，解得r ＝2，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2016·宁波高一检测)若直线l 1：ax ＋y ＋2a ＝0与l 2：x ＋ay ＋3＝0互相平行，则实数a ＝________.解析：由两直线平行的条件A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0得⎩⎨⎧a 2－1＝0，3a －2a ≠0，得a ＝±1.答案：±114．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解析：直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，当切点为(2，－1)时，半径最大为2－12＋－1－02＝2，此时圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝215．(2015·湖南高考)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________.解析：由直线与圆的位置及圆的性质，可求得圆心(0,0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为r2，∴|5|32＋42＝r2，∴r ＝2. 答案：216．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C ，有如下三个结论． ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 成60°的角． 说法正确的命题序号是________． 解析：如图所示，①取BD 中点E ，连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a .由①知∠AEC 是直二面角A BD C 的平面角，∴∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ，∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点(m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1. 解：(1)因为l 1与l 2相交于点(m ，－1)，所以点(m ，－1)在l 1、l 2上，将点(m ，－1)代入l 2，得2m －m －1＝0，解得m ＝1. 又因为m ＝1，把(1，－1)代入l 1，所以n ＝7. 故m ＝1，n ＝7.(2)要使l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，m ×－1－2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2，则有m ·2＋8·m ＝0，得m ＝0. 则l 1为y ＝－n8，由于l 1在y 轴上的截距为－1，所以－n8＝－1，即n ＝8.故m ＝0，n ＝8.18．(本小题满分12分)(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确. 19．(本小题12分)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.证明：(1)∵B 1C 1CB 为正方形，∴E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1中点，∴DE 为△B 1AC 的中位线，∴DE ∥AC ，又DE ⊄平面A 1C 1CA ，AC ⊂平面A 1C 1CA ，∴DE ∥平面AA 1C 1C .(2)在直三棱柱中，平面ACB ⊥平面B 1C 1CB ，又平面ACB ∩平面B 1C 1CB ＝BC ，AC ⊂平面ABC ，且AC ⊥BC ，∴AC ⊥平面B 1C 1CB ， ∴AC ⊥BC 1， 又B 1C 1CB 为正方形， ∴B 1C ⊥BC 1，AC ∩B 1C ＝C ，∴BC 1⊥平面ACB 1，又AB 1⊂平面ACB 1，∴BC 1⊥AB 1.20．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (a,0)(a >0)，B (0，a )，C (－4,0)，D (0,4)，设△AOB 的外接圆圆心为E .(1)若⊙E 与直线CD 相切，求实数a 的值；(2)设点P 在⊙E 上，使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的⊙E 是否存在？若存在求出⊙E 的标准方程；若不存在，说明理由．解：(1)直线CD 的方程为y ＝x ＋4，圆心E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，半径r ＝22a .由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－a 2＋42＝22a ，解得a ＝4. (2)∵|CD |＝－42＋42＝42，∴当△PCD 面积为12时，点P 到直线CD 的距离为3 2.又圆心E 到直线CD 距离为22(定值)，要使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，需⊙E 的半径2a2＝52，解得a ＝10， 此时，⊙E 的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50.21．(本小题满分12分)(2015·四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG . 解：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示． (2)平面BEG ∥平面ACH .证明如下：因为ABCD EFGH 为正方体，所以BC ∥FG ，BC ＝FG . 又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ， 于是四边形BCHE 为平行四边形， 所以BE ∥CH .又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ， 所以BE ∥平面ACH . 同理BG ∥平面ACH . 又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .(3)证明：连接FH ，与EG 交于点O ，连接BD . 因为ABCD EFGH 为正方体， 所以DH ⊥平面EFGH .因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG .又EG ⊥FH ，DH ∩FH ＝H ，所以EG ⊥平面BFH D. 又DF ⊂平面BFHD ，所以DF ⊥EG . 同理DF ⊥BG . 又EG ∩BG ＝G ， 所以DF ⊥平面BEG .22．(本小题满分12分)(2015·广东高考)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)． (2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴＝0.又∵＝(3－x ，－y )，＝(－x ，－y )，∴由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为y ＝mx ， 当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)． 又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点， ∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．(3)由题意知直线L 表示过定点(4,0)，斜率为k 的直线，把直线L 的方程代入轨迹C的方程x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，化简得(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0， 其中53<x ≤3，记f (x )＝(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2， 其中53<x ≤3.若直线L 与曲线C 只有一个交点，令f (x )＝0.当Δ＝0时，解得k 2＝916，即k ＝±34，此时方程可化为25x 2－120x ＋144＝0，即(5x －12)2＝0，解得x ＝125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3，∴k ＝±34满足条件．当Δ>0时，①若x ＝3是方程的解，则f (3)＝0⇒k ＝0⇒另一根为x ＝0<53，故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意．②若x ＝53是方程的解，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝0⇒k ＝±257⇒另外一根为x ＝6423，53<6423≤3，故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意．③若x ＝3和x ＝53均不是方程的解，则方程在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3上有且仅有一个根，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53·f (3)<0⇒－257<k <257.故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意． 综上所述，k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34∪－257，257时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C只有一个交点．。
高中数学新学案同步 必修2 人教A版 全国通用版 第四章 圆与方程 章末复习
章末复习学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，并学会运用数形结合的数学思想．1．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．2．点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外．(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P在圆内．(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上．3．直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d>r⇒相离；d＝r⇒相切；d<r⇒相交．4．圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则5.求圆的方程时常用的四个几何性质6．与圆有关的最值问题的常见类型(1)形如μ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题．7．计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法运用根与系数的关系及弦长公式|AB |＝1＋k 2|x A －x B |＝(1＋k 2)[(x A ＋x B )2－4x A x B ].注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．8．空间中两点的距离公式空间中点P 1(x 1，y 1，z 1)，点P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2.类型一 求圆的方程例1 一个圆和已知圆x 2＋y 2－2x ＝0外切，并与直线l ：x ＋3y ＝0相切于M (3，－3)点，求该圆的方程．考点 求圆的方程题点 求圆的方程解 ∵圆C 与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切，故两个圆心之间的距离等于半径的和，又∵圆C 与直线l ：x ＋3y ＝0相切于M (3，－3)点，可得圆心与点M (3，－3)的连线与直线x ＋3y ＝0垂直，其斜率为 3.设圆C 的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧ b ＋3a －3＝3，(a －1)2＋b 2＝1＋|a ＋3b |2，解得a ＝4，b ＝0，r ＝2或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，∴圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.反思与感悟求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤：第一步：选择圆的方程的某一形式．第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)．第三步：解出a，b，r(或D，E，F)．第四步：代入圆的方程．注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等．跟踪训练1(1)如图所示，圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为________．考点求圆的方程题点求圆的方程答案(x－1)2＋(y－2)2＝2解析取AB的中点D，连接CD，AC，则CD⊥AB.由题意知，|AD|＝|CD|＝1，故|AC|＝|CD|2＋|AD|2＝2，即圆C的半径为 2.又因为圆C与x轴相切于点T(1，0)，所以圆心C(1，2)，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2. (2)求半径为10，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为42的圆的方程．考点求圆的方程题点求圆的方程解设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心坐标为(a，b)，半径r＝10，圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b |2， 由半弦长，弦心距，半径组成的直角三角形得，d 2＋⎝⎛⎭⎫4222＝r 2， 即(a －b )22＋8＝10， ∴(a －b )2＝4，又∵b ＝2a ，∴a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4，故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.类型二 直线与圆的位置关系例2 已知点M (3，1)，直线ax －y ＋4＝0及圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值． 考点 直线和圆的位置关系题点 直线和圆的位置关系解 (1)圆心C (1，2)，半径为r ＝2.①当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心C (1，2)到直线x ＝3的距离为d ＝3－1＝2＝r 知，此时直线与圆相切．②当直线的斜率存在时，设直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0. 由题意知，|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34. ∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0. 故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0.(2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43. (3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|a 2＋1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|a ＋2|a 2＋12＋⎝⎛⎭⎫2322＝4，解得a ＝－34. 反思与感悟 当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ，圆半径为r ，则弦长为l ＝2r 2－d 2.解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线．跟踪训练2已知点P(0，5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；(2)求过点P的圆C的弦的中点的轨迹方程．考点直线和圆的位置关系题点直线和圆的位置关系解(1)如图所示，|AB|＝43，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，∴|AD|＝23，|AC|＝4.在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离为|－2k－6＋5|k2＋1＝2，得k＝34，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又∵当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0，∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.(2)设过点P的圆C的弦的中点为E(x，y)，则CE⊥PE，所以k CE·k PE＝－1，即y－6x＋2·y－5x＝－1，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.类型三圆与圆的位置关系例3已知一个圆的圆心坐标为A(2，1)，且与圆x2＋y2－3x＝0相交于P1，P2两点，若点A 到直线P1P2的距离为5，求这个圆的方程．考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系，求参数的值或范围解设圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0，所以直线P 1P 2的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0. 由已知得|2＋2×1＋r 2－5|5＝5， 解得r 2＝6.故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝6.反思与感悟 (1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练3 已知两圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2和(x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P ，Q 两点，若点P 的坐标为(1，2)，则点Q 的坐标为________．考点 圆与圆的位置关系题点 已知圆与圆的位置关系，求参数的值或范围答案 (－2，－1)解析 两圆的圆心坐标分别为O 1(－1，1)和O 2(2，－2)，由平面几何知，直线O 1O 2垂直平分线段PQ ，则12·PQ O O k k ＝k PQ ·1－(－2)－1－2＝－1，∴k PQ ＝1. ∴直线PQ 的方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1.由点P (1，2)在圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2上，可得r ＝5，联立⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2＋(y －1)2＝5，y ＝x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴Q (－2，－1)．类型四 圆中的最值问题例4 圆x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2－1＝0与x 2＋y 2＋2bx ＋2by ＋2b 2－2＝0的公共弦长的最大值为( )A ．2 2B ．2 C. 2D ．1 考点 与圆有关的最值问题题点 与圆的几何性质有关的最值答案 B解析 由题意得，两圆的标准方程分别为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1和(x ＋b )2＋(y ＋b )2＝2，两圆的圆心坐标分别为(－a ，－a )，(－b ，－b )，半径分别为1，2，则当公共弦为圆(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1的直径时，公共弦长最大，最大值为2.反思与感悟 与圆有关的最值问题包括(1)求圆O 上一点到圆外一点P 的最大距离、最小距离：d max ＝|OP |＋r ，d min ＝||OP |－r |.(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m ，则d max ＝m ＋r ，d min ＝|m －r |.(3)已知点的运动轨迹是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，求①y x ；②y －m x －n；③x 2＋y 2等式子的最值，一般是运用几何法求解．跟踪训练4 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值为________． 考点 与圆有关的最值问题题点 与面积有关的最值答案 2 2解析 圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心为C (1，1)，半径为1，由题意知，当圆心C 到点P 的距离最小，即为圆心到直线的距离最小时，四边形的面积最小，由圆心到直线的距离d ＝|3＋4＋8|32＋42＝3， ∴|P A |＝|PB |＝d 2－r 2＝22，∴S 四边形P ACB ＝2×12|P A |r ＝2 2.1．以点(－3，4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝16B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝16C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝9D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝9考点 圆的标准方程题点 求与某直线相切的圆的标准方程答案 B2．若过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A ．0°＜α≤30°B ．0°＜α≤60°C ．0°≤α≤30°D ．0°≤α≤60°考点 直线与圆的位置关系题点 已知直线与圆的位置关系，求参数的值或范围答案 D解析 设l ：y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0，圆心(0，0)到直线l 的距离为d ＝|3k －1|k 2＋1≤1， 解得0≤k ≤3，即0≤tan α≤3，∴0°≤α≤60°.3．两圆x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1考点 圆与圆的位置关系题点 两圆的位置关系与其公切线答案 C解析 两圆的标准方程分别为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121；(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，则两圆的圆心与半径分别为C 1(3，－8)，r 1＝11；C 2(－2，4)，r 2＝8.圆心距为|C 1C 2|＝(3＋2)2＋(－8－4)2＝13.∵r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，∴两圆相交，则公切线共2条．4．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________． 考点 圆的方程的综合应用题点 与圆有关的对称问题答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 由圆C 的圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，得圆C 的圆心为(0,1)．又因为圆C 的半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.5．已知直线x －my ＋3＝0和圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0.(1)当直线与圆相切时，求实数m 的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为2105时，求实数m 的值． 考点 直线和圆的位置关系题点 直线和圆的位置关系解 (1)因为圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3，0)． 因为直线x －my ＋3＝0与圆相切， 所以|3＋3|1＋(－m )2＝2， 解得m ＝±2 2.(2)圆心(3，0)到直线x －my ＋3＝0的距离为d ＝|3＋3|1＋(－m )2.由24－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3＋3|1＋(－m )22＝2105， 得2＋2m 2＝20m 2－160，即m 2＝9. 故m ＝±3.圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，经常使用的几何性质有(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．一、选择题1．已知圆C 与直线x －y ＝0和x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 考点 圆的切线问题 题点 求圆的切线方程 答案 B2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是()A．(－13，13)B．[－13，13]C．(－∞，－13)∪(13，＋∞)D．(－∞，－13]∪[13，＋∞)考点直线与圆的位置关系题点已知直线与圆的位置关系，求参数的值或范围答案 A解析由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0，0)到直线的距离d满足0≤d<1.∵d＝|c|122＋(－5)2＝|c|13，∴0≤|c|<13，即c∈(－13，13)．3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是()A．{1，－1}B．{3，－3}C．{1，－1,3，－3}D．{5，－5,3，－3}考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围答案 C解析∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，当两圆内切时，|a|＝1，当两圆外切时，|a|＝3，∴实数a的取值集合是{1，－1,3，－3}，故选C.4．设A(1，1，－2)，B(3，2，8)，C(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()A.132 B.534 C.532 D.532考点空间两点间的距离公式题点空间两点间的距离的计算答案 D解析 利用中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32，3，由空间两点间的距离公式，得|PC |＝(2－0)2＋⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－0)2＝532. 5．已知圆心为(2，0)的圆C 与直线y ＝x 相切，则切点到原点的距离为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D. 3 考点 圆的切线问题 题点 圆的切线长问题 答案 B解析 如图，设圆心为C ，切点为A ，圆的半径为r ＝|2－0|2＝2，|OC |＝2，∴切点到原点的距离为22－(2)2＝ 2.故选B.6．直线3x ＋y －23＝0截圆x 2＋y 2＝4所得的劣弧所对的圆心角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 考点 直线和圆的位置关系 题点 直线和圆的位置关系 答案 C解析 设直线与圆相交于A ，B 两点，过O 作OC ⊥AB ，垂足为点C ， 由圆的方程x 2＋y 2＝4，得圆心O 的坐标为(0，0)，半径为r ＝2. ∵圆心到直线3x ＋y －23＝0的距离为d ＝|OC |＝232＝3， ∴直线被圆截得的弦长为|AB |＝2r 2－d 2＝2，∴△AOB 为等边三角形，即∠AOB ＝60°，∴直线被圆截得的劣弧AB 所对的圆心角为60°，故选C.7．已知直线l ：kx ＋y －2＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋9＝0的对称轴，过点A (0，k )作圆C 的一条切线，切点为B ，则线段AB 的长为( ) A ．2 B ．2 2 C ．3D ．2 3考点 圆的切线问题 题点 圆的切线长问题 答案 D解析 由圆C ：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋9＝0，得(x －3)2＋(y ＋1)2＝1， 表示以C (3，－1)为圆心，1为半径的圆．由题意可得直线l ：kx ＋y －2＝0经过圆C 的圆心(3，－1)， 故有3k －1－2＝0，得k ＝1，则点A (0，1)， 即|AC |＝(0－3)2＋(1＋1)2＝13， 则|AB |＝|AC |2－r 2＝(13)2－1＝23，故选D.二、填空题8．以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为1，则棱CC 1的中点坐标为________． 考点 空间中点的对称问题 题点 中点坐标公式及其应用 答案 ⎝⎛⎭⎫1，1，12 解析 画出图形(图略)即知CC 1的中点坐标为⎝⎛⎭⎫1，1，12. 9．若两圆x 2＋(y ＋1)2＝1和(x ＋1)2＋y 2＝r 2相交，则正数r 的取值范围是________． 考点 圆与圆的位置关系题点 已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围 答案 (2－1，2＋1)解析 ∵两圆x 2＋(y ＋1)2＝1和(x ＋1)2＋y 2＝r 2相交， 圆x 2＋(y ＋1)2＝1的半径和圆心分别是1，(0，－1)， 圆(x ＋1)2＋y 2＝r 2的半径和圆心分别是r ，(－1，0)，∴两个圆的圆心的距离大于两个圆的半径之差的绝对值，小于两个圆的半径之和， 即|r －1|＜(0＋1)2＋(－1－0)2＜r ＋1，∴r －1＜2＜r ＋1， ∴r ∈(2－1，2＋1)，即正数r 的取值范围是(2－1，2＋1)．10．已知在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)的直线l 与直线x －y ＋1＝0垂直，且l 与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为________． 考点 圆的弦长问题题点 直线和圆位置关系的综合问题 答案 1解析 ∵直线l 的方程为y ＝－(x －1)， 即x ＋y －1＝0.又由圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3，得x 2＋(y ＋1)2＝4， 圆心C (0，－1)到l 的距离为d ＝|－2|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝22，又原点O 到l 的距离为|－1|2＝22，∴S △OAB ＝12×22×22＝1.11．设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是__________________________． 考点 求圆的方程 题点 求圆的方程答案 (x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8 解析 由题意可设圆心C (a ，a )，如图，得22＋22＝2a 2， 解得a ＝±2，r 2＝8.所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8. 三、解答题12．如图，已知以点A (－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 交于M ，N 两点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． 考点 直线和圆的位置关系 题点 直线和圆的位置关系解 (1)由题意知，A (－1，2)到直线x ＋2y ＋7＝0的距离为圆A 的半径R ， ∴R ＝|－1＋4＋7|5＝25，∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20. (2)设MN 的中点为Q ，连接QA ， 则由垂径定理可知∠MQA ＝90°， 且|MQ |＝19，在Rt △AMQ 中， 由勾股定理知，|AQ |＝AM 2－MQ 2＝1，①当动直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－2，显然符合题意， ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.∴|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l ：3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.13．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0相交于A ，B 两点． (1)求公共弦AB 所在的直线方程；(2)求圆心在直线y ＝－x 上，且经过A ，B 两点的圆的方程； (3)求经过A ，B 两点且面积最小的圆的方程． 考点 与圆有关的最值问题 题点 与面积有关的最值解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得x －2y ＋4＝0.∴圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0的公共弦AB 所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.(2)由(1)得x ＝2y －4，代入x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0中，得y 2－2y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即A (－4，0)，B (0，2)．又圆心在直线y ＝－x 上，设圆心为M (x ，－x )， 则|MA |＝|MB |，即(x ＋4)2＋(－x )2＝x 2＋(－x －2)2， 解得x ＝－3.∴圆心M (－3，3)，半径|MA |＝10.∴圆心在直线y ＝－x 上，且经过A ，B 两点的圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10. (3)由A (－4，0)，B (0，2)， 得AB 的中点坐标为(－2，1)， 12|AB |＝12(－4－0)2＋(0－2)2＝ 5.∴经过A ，B 两点且面积最小的圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5. 四、探究与拓展14．当曲线y ＝1＋4－x 2与直线kx －y －2k ＋4＝0有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，512 B.⎝⎛⎦⎤13，34 C.⎝⎛⎦⎤512，34D.⎝⎛⎭⎫512，＋∞ 考点 数形结合思想的应用 题点 数形结合思想的应用 答案 C 解析 y ＝1＋4－x 2可化为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)．直线kx －y －2k ＋4＝0过定点A (2，4)且斜率为k ，故设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为B (－2，1)，当直线的斜率k 大于直线AD 的斜率且小于或等于直线AB 的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点．当直线与半圆相切时，有|－1－2k ＋4|1＋k 2＝2，解得k ＝512，即k AD ＝512.又∵直线AB 的斜率k AB ＝4－12＋2＝34，∴直线的斜率k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤512，34.15．已知圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝4，直线l ：(m ＋2)x ＋(2m ＋1)y ＝7m ＋8. (1)求证：直线l 与圆C 恒相交；(2)当m ＝1时，过圆C 上点(0，3)作圆的切线l 1交直线l 于点P ，Q 为圆C 上的动点，求|PQ |的取值范围．考点 与圆有关的最值问题 题点 与圆的几何性质有关的最值(1)证明 直线l 的方程可化为m (x ＋2y －7)＋2x ＋y －8＝0，故l 恒过点A (3，2)． ∵(3－2)2＋(2－3)2＝2<4， 即点A 在圆C 内， ∴直线l 与圆C 恒相交．(2)解 由题意知直线l 1的方程为x ＝0. 又当m ＝1时，l ：x ＋y ＝5，∴联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x ＋y ＝5，得交点P (0，5)，∴|PC |＝22，∴|PQ |的取值范围为[22－2，22＋2]．。
人教A版高中数学必修2第四章圆与方程4.1圆的方程课件
尝试1： 判断下列方程分别表示什么图形
（1）x2+y2-2x+4y-4=0 （2）x2+y2-2x+4y+5=0
方程（1）并不一 定表示圆
（3）x2+y2-2x+4y+6=0
（1）圆 圆心为（1，-2），半径为3 （2）点（1，-2） （3）不表示任何图形
动动脑
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
M(x,y) OC
复习 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
把圆的 标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
2.圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=
-
D 2
，b= -
E 2
，r=
1 2
D2 + E2 -4F
（2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出情势上的特点：
x2与y2系数相同并且不等于0；
没有xy这样的二次项
应用 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是， 要求出圆的圆心及半径。
2.已知P(2,0),Q(8,0)，点M到点P的距离是它到点Q的距离 的1/5，求M的轨迹方程，并求轨迹上的点到直线l:8x-y-1=0 的最小距离
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1 【金版学案】2016-2017学年高中数学 第四章 圆与方程章末复习课 新人教A版必修2
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[警示·易错提醒] 1．注意轨迹与轨迹方程的区别 (1)“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． (2)求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由条件判断轨迹图形，再由图形求方程． 2．注意条件，避免忽略隐含条件致错 圆的方程问题的破解关键是“圆心”和“半径”，特别是对于圆的一般方程，一定要注意其隐含条件，即D2＋E2－4F>0，否则，易造成增解或漏解． 3．注意过程，避免忽略多解致错 有关圆的方程的问题在求解的过程中要特别注意漏解的情况，因为决定圆的方程的条件一般是圆心和半径，但符合条件的圆往往不止一个，因此要特别注意多解的产生． 2
4．运用代数法判断两圆位置关系时的易错点 用代数法判断两圆的位置关系时，方程组一解或无解时两圆的位置关系不确定，还需进一步判断．当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆无公共点，两圆可能相离也可能内含；只有一组解时，两圆只有一个公共点，两圆可能外切也可能内切．
专题一 求圆的方程 圆的方程有两种形式，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2明确了圆心和半径，圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)体现了圆的二元二次方程的特点．在实际求解中常常先求出圆的标准方程，再化简为一般方程，求圆的方程常用的方法为几何法和待定系数法． [例1] 已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求其外接圆的一般方程． 解：法一 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
由题意可得－D＋5E＋F＋26＝0，－2D－2E＋F＋8＝0，5D＋5E＋F＋50＝0，
解得D＝－4，E＝－2，F＝－20. 故圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0. 法二 由题意可求得弦AC的中垂线方程为x＝2，BC的中垂线方程为x＋y－3＝0，由
x＝2，x＋y－3＝0解得x＝2，
y＝1.
所以圆心P的坐标为(2，1)．
圆半径r＝|AP|＝（2＋1）2＋（1－5）2＝5. 所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25， 即x2＋y2－4x－2y－20＝0. 归纳升华 用待定系数法求圆的方程的一般步骤 第一步：选择圆的方程的某一形式； 第二步：由题意，得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)； 第三步：解出a，b，r(或D，E，F)； 第四步：代入圆的方程． 在高考中单独求圆的方程的情况不多，一般在考查直线与圆的位置关系中间接考查． [变式训练] 已知△ABC三边所在直线的方程为AB：x＋2y＋2＝0，BC：2x－y－6＝0， 3
CA：x－2y＋6＝0，求△ABC的外接圆的方程．
解：由题先求出△ABC的三个顶点．
由x＋2y＋2＝0，2x－y－6＝0得B(2，－2)，
由2x－y－6＝0，x－2y＋6＝0得C(6，6)， 由x＋2y＋2＝0，x－2y＋6＝0得A(－4，1)， 又A、B、C都在外接圆上，故设外接圆方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2.
解方程组（2－a）2＋（－2－b）2＝r2，（6－a）2＋（6－b）2＝r2，（－4－a）2＋（1－b）2＝r2， 得a＝1，b＝72，r2＝1254. 所以所求外接圆方程为(x－1)2＋y－722＝1254. 专题二 直线与圆的位置关系 讨论直线与圆的位置关系时，一般可以从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(直线到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中用几何特征解决与圆有关的问题比较简捷实用．如
直线与圆相交求弦长时，利用公式l22＋d2＝r2(其中，弦长为l，弦心距为d，半径为r)比利用代数法求弦长要简单实用． [例2] (1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( ) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 (2)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．
解析：(1)由题意，知点M在圆外，则a2＋b2>1.圆心到直线的距离d＝1a2＋b2<1，故直线与圆相交． (2)由圆的方程可知，圆心为(2，－1)，半径r为2.如图所示，设已知直线被圆截得的弦为AB，取弦AB的中点P，连接CP，则CP⊥AB，圆心到直线AB的距离 4
d＝|CP|＝|2＋2×（－1）－3|1＋4＝355.
在Rt△ACP中，|AP|＝r2－d2＝ 22－3552＝555， 故直线被圆截得的弦长|AB|＝2|AP|＝2555. 答案：(1)B (2)2555 归纳升华 1．确定直线与圆的位置关系可用几何法，也可用代数法，但代数法计算较为烦琐，而几何法的关键在于比较圆心到直线的距离与半径的大小关系．同学们应熟练掌握几何法． 2．求直线与圆相交形成的弦长问题，一般不采用代数法，而是利用圆的几何性质构造相应的直角三角形，利用数形结合求解． [变式训练] (1)已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－12 B．1 C．2 D.12 (2)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为23，则a＝________． 解析：(1)由题意，知圆心为(1，0)．由圆的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x＋ay＋c＝0.因为切线x＋ay＋c＝0过点P(2，2)，所以c＝－2－2a，所以|1－2－2a|1＋a2＝5，解得a＝2.
(2)x2＋y2＋2ay＝6，x2＋y2＝4， 两式相减得y＝1a.
联立y＝1a，x2＋y2＝4， 消去y得x2＝4a2－1a2(a>0)． 5
所以24a2－1a＝23，解得a＝1. 答案：(1)C (2)1 专题三 圆中的对称问题 圆关于点、直线对称的圆形仍然是一个和原来的图形全等的圆．因此，求对称的圆的方程，只需要求出圆心关于点、直线对称的点的坐标即可，半径大小不变． [例3] 求圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l：x＋y＋1＝0对称的圆C′的方程． 解：法一 由条件，知所求圆的圆心C′(a，b)与圆C的圆心C(2，3)关于直线l对称．
故有b－3a－2·（－1）＝－1，a＋22＋b＋32＋1＝0. 解得a＝－4，b＝－3.即C′(－4，－3)． 故圆C′的方程为(x＋4)2＋(y＋3)2＝1. 法二 设M(x，y)为曲线C′上的任意一点，并设点M关于直线l: x＋y＋1＝0的对称点为M′(x0，y0)，则点M′(x0，y0)在曲线C上，即(x0－2)2＋(y0－3)2＝1.
由题意，得y0－yx0－x＝1，x＋x02＋y＋y02＋1＝0. 得x0＝－1－y，y0＝－1－x. 代入(x0－2)2＋(y0－3)2＝1，得(x＋4)2＋(y＋3)2＝1. 故圆C′的方程为(x＋4)2＋(y＋3)2＝1. 归纳升华 点关于点对称，直线关于点对称，主要是利用中点坐标公式；点关于直线对称，利用垂直和中点坐标公式；直线关于直线对称，有可能平行，也有可能相交，都可利用点到直线的距离公式． [变式训练] 自点A(－3，3)发出的光线射到x轴上，被x轴反射后，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求入射光线l所在的直线方程． 解：如图所示，圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆C′为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，由题意设过A点与圆C′相切的直线斜率为k，则l：y－3＝k(x＋3)．
点(2，－2)到直线l的距离为d＝|2k＋2＋3k＋3|1＋k2＝1， 6
解得k＝－34或k＝－43. 所以入射光线l的方程为：3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
专题四 数形结合思想 1．数形结合的思想方法是一种重要的方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围，其中可先找出要求最值的量的几何意义，再应用平面几何知识求解． 2．与圆有关的最值问题是本章中的一个难点，常见的类型包括以下几种． (1)求圆O上一点到圆外一点P的最大、最小距离： dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；
(2)求圆上的点到与圆相离的某条直线的最大、最小距离： 设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝|m－r|；
(3)已知某点的运动轨迹是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求yx，y－mx－n，x2＋y2等式子的最值，一般运用几何法求解． [例4] 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求yx的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值． 解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆．
(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设yx＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3(如图1)． 所以yx的最大值为3，最小值为－3.