2018年优课系列高中数学苏教版选修2-1： 3.2.3 空间的角的计算 (25张)
高中数学选修2-1精品课件：§3.2 第3课时 用空间向量解决空间角
所成的角
＝
|a·b| |a||b|
范围 0，π2
直线与平面 所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a， 平面α的法向量为n，则sin θ＝_|_co_s_〈__a_，__n_〉__|_
＝
|a·n| |a||n|
0，π2
二ห้องสมุดไป่ตู้角
设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别 为n1，n2，则|cos θ|＝ |cos〈n1，n2〉| ＝ |n1·n2|
|n1||n2|
[0，π]
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( × ) 2.直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角.( × ) 3.二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角.( × ) 4.若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或 120°.( √ )
(3)求平面的法向量n； →
(4)设线面角为 θ，则 sin θ＝|P→A·n|. |PA||n|
跟 踪 训 练 2 如 图 所 示 ， 三 棱 柱 ABC － A1B1C1 中 ， CA ＝ CB ， AB ＝ AA1 ， ∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C；
证明 取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正 弦值.
苏教版高中数学选修2-13.2.3 空间角的计算.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作3.2.3空间角的计算双基达标(限时20分钟)1．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ等于______．解析 由cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a||b|＝6－λ35＋λ2＝89，化简得55λ2＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或255. 答案 －2或2552．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为________．解析 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (1，0，0)，M (1， 12，1)，C (0，1，0)，N (1，1，12)． ∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1，0，12)．∴AM →·CN →＝12，|AM →|＝52＝|CN →|.∴cos 〈AM →，CN →〉＝1252×52＝25. 答案 253．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是棱AD 的中点，则二面角A 1－BD 1－P 的正弦值为______．解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长 为1.容易求得平面A 1B 1D 的一个法向量为n 1＝(－1，0，1)， 平面PB 1D 的一个法向量为n 2＝(0，－1，1)所以 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝12，且二面角A 1－BD 1－P 是锐二面角，所以其正弦值为32. 答案324．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角D 1－AC －D 的正切值为______．解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1.容易求得平面ACD 1的一个法向量为n 1＝(1，－1，1)，平面ACD 的一个法向量为 n 2＝(0，0，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝33，且二面角D 1－AC －D是锐二面角，所以其正弦值为63，余弦值为33，正切值 为 2. 答案25.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．解析 建立如图所示的坐标系，设正三棱柱的棱长为1，则 B (32，－12，0)，M (32，12，12)，B 1(32，－12，1)，因此AB 1→＝(32，－12，1)，BM →＝(0，1，12)，设异面直线AB 1与BM 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈AB 1→，BM →〉|＝|0－12＋12||AB 1→|·|BM →|＝0，∴θ＝90°. 答案 90°6．已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M是PB 的中点．(1)证明：平面P AD ⊥平面PCD ； (2)求AC 与PB 所成的角的余弦值；(3)求平面AMC 与平面BMC 所成二面角的余弦值．解 因为P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，AD ⊥AB ，故以A 为坐标原 点AD 长为单位长度，建立如图空间直角坐标系，则各点 的坐标为A (0，0，0)，B (0，2，0)，C (1，1，0)，D (1，0， 0)，P (0，0，1)，M (0，1，12)．(1)证明：因为AP →＝(0，0，1)，DC →＝(0，1，0)， 故AP →·DC →＝0，所以AP ⊥DC .又由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线，故由此得DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ，故平面P AD ⊥平面PCD . (2)因AC →＝(1，1，0)，PB →＝(0，2，－1)， 故|AC →|＝2，|PB →|＝5，AC →·PB →＝2， 所以cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →||PB →|＝105.由此得AC 与PB 所成的角的余弦值为105. (3)在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ，使NC →＝λMC →. 因为NC →＝(1－x ，1－y ，1－z )，MC →＝(1，0，－12)，所以x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ.要使AN ⊥MC ，只需AN →·MC →＝0即x －12z ＝0，解得λ＝45.可知，当λ＝45时，N 点的坐标为(15，1，25)，能使AN →·MC →＝0.此时，AN →＝(15，1，25)，BN →＝(15，－1，25)，有BN →·MC →＝0.由AN →·MC →＝0，BN →·MC →＝0，得AN ⊥MC ，BN ⊥MC ， 所以∠ANB 为所求二面角的平面角．因为|AN →|＝305，|BN →|＝305，AN →·BN →＝－45，所以cos 〈AN →，BN →〉＝AN →·BN →|AN →||BN →|＝－23.又平面AMC 与平面BMC 所成的二面角是钝二面角， 所以平面AMC 与平面BMC 所成的二面角的余弦值为－23.综合提高（限时25分钟）7．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为棱AB 的中点，则直线D 1E 与平面BC 1D 所成角的余弦值为______．解析 建立空间直角坐标系，如图，则A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，A 1(2，0，2)，B 1(2，2，2)，D 1(0， 0，2)，E (2，1，0)，所以A 1C →＝(－2，2，－2)，D 1E →＝(2，1，－2)，AB →＝(0， 2，0)，BB 1→＝(0，0，2)．不难证明A 1C →为平面BC 1D 的法向量． 因为cos 〈A 1C →，D 1E →〉＝A 1C →·D 1E →|A 1C →||D 1E →|＝39，所以D 1E 与平面BC 1D 所成的角的余弦值为789. 答案7898．如图，在直三棱柱ABC －A1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线的交点为D ，则平面B 1BD 与平面CBD 所成二面角的余弦值等于______． 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则B (2，0，0)，A (0， 1，0)，B 1(2，0，1)，D (22，12，12)，所以CD →＝(22，12，12)，CB →＝(2，0，0)，BA →＝(－2，1，0)，BB 1→＝(0，0，1)．设平面CBD 和平面B 1BD 的一个法向量分别为n 1，n 2，易求 得n 1＝(0，1，－1)，n 2＝(1，2，0)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝33，且n 1，n 2“方向相同”，所以平面B 1BD 与平面CBD 所成二面角的平面角与〈n 1，n 2〉 互补，即平面B 1BD 与平面CBD 所成二面角的余弦值等于－33. 答案 －339．若P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝2，则二面角A －PB －C 的余弦值为______． 解析 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，1，0)，C (0，1，0)．P (0，0，1)，AP →＝(0，0，1)，AB →＝(2，1，0)，CB →＝(2，0， 0)，CP →＝(0，－1，1)，设平面P AB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP →＝0，m ·AB →＝0⇒⎩⎨⎧（x ，y ，z ）·（0，0，1）＝0，（x ，y ，z ）·（2，1，0）＝0⇒⎩⎨⎧y ＝－2x ，z ＝0，令x ＝1，则m ＝(1，－2，0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0，n ·CP →＝0⇒⎩⎨⎧（x ′，y ′，z ′）·（2，0，0）＝0（x ′，y ′，z ′）·（0，－1，1）＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝0，y ′＝z ′.令y ′＝－1，则n ＝(0，－1，－1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝33.∴二面角A －PB －C 的余弦值为33. 答案3310．在底面是直角梯形的四棱锥S －ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，则面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值为______．解析 建立如图所示空间直角坐标系，则A (0，0，0)、D (12，0，0)、C (1，1，0)、S (0，0，1)，面SAB 的一个法向量是AD →＝(12，0，0)，设n ＝(x ，y ，z )是面SCD 的一个法向量，则n ⊥DC →， n ⊥DS →，n ·DC →＝0，n ·DS →＝0， 又DC →＝(12，1，0)，DS →＝(－12，0，1)∴12x ＋y ＝0且－12x ＋z ＝0， ∴y ＝－12x 且z ＝12x ，∴n ＝(x ，－x 2，x 2)，取x ＝1，得n ＝(1，－12，12)．∴cos 〈AD →，n 〉＝AD →·n |AD →||n|＝1212×1＋14＋14＝63. 设二面角为θ，即cos θ＝63.∴tan θ＝22. 答案2211．已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，且AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．(1)证明 设P A ＝1，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直 线分别为x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系如图所示， 则P (0，0，1)，C (0，1，0)，B (2，0，0)，M (1，0，12)，N (12，0，0)，S (1，12，0)． 所以CM →＝(1，－1，12)，SN →＝(－12，－12，0)．因为CM →·SN →＝－12＋12＋0＝0，所以CM ⊥SN.(2)解 NC →＝(－12，1，0)，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧a ·CM →＝0，a ·NC →＝0，即⎩⎨⎧x －y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0.令x ＝2，得 a ＝(2，1，－2)．因为|cos 〈a ，SN →〉|＝|a ·SN →|a||SN →||＝|－1－123×22|＝22，所以SN 与平面CMN 所成的角为45°.12．如图，矩形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，∠BCF ＝90°，BE ∥CF ，CE ⊥EF ，AD ＝3，EF ＝2.(1)求异面直线AD 与EF 所成角的大小；(2)当AB 的长为何值时，二面角A －EF －C 的大小为45°？ 解 如图，以点C 为坐标原点，以CB ，CF 和CD 所在直线分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C － xyz .设AB ＝a ，BE ＝b ，CF ＝c (b ＜c )，则C (0，0，0)，A (3，0，a )，B (3，0，0)，E (3，b ， 0)，F (0，c ，0)，D (0，0，a )．(1)DA →＝(3，0，0)，CB →＝(3，0，0)，FE →＝(3，b －c ， 0)．由|FE →|＝2，得3＋(b －c )2＝4， 所以b －c ＝－1.所以FE →＝(3，－1，0)．所以cos 〈DA →，FE →〉＝DA →·FE →|DA →||FE →|＝33×2＝32，所以异面直线AD 与EF 成30°角． (2)设n ＝(1，y ，z )为平面AEF 的法向量， 则n ·AE →＝0，n ·EF →＝0.结合|BC →|2＋|BE →|2＝|CF →|2－|EF →|2， 解得n ＝(1，3，33a)． 又因为BA ⊥平面BEFC ，BA →＝(0，0，a )， 所以cos 〈n ，BA →〉＝n ·BA →|n||BA →|＝33a a 4a 2＋27＝22，得到a ＝332.所以当AB 的长度为332时，二面角A －EF －C 的大小为45°.13．(创新拓展)如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，F 是棱CD 上的动点(非C 、D 两点)，设二面角C 1－EF －C 的大小为θ.试确定F 点的位置，使得cos θ＝13.解 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(0，0，1)，C 1(1，1，1)，E (1，12，0)．设F (x ，1，0)(0＜x ＜1)．易知C 1E →＝(0，－12，－1)，EF →＝(x －1，12，0)．设v ＝(a ，b ，c )是平面C 1EF 的一个法向量，则⎩⎨⎧v ·C 1E →＝－12b －c ＝0，v ·EF →＝（x －1）a ＋12b ＝0.令c ＝1，则v ＝(1x －1，－2，1)．又AA 1→＝(0，0，1)是平面ABCD 的一个法向量， 所以cos 〈v ，AA 1→〉＝v ·AA 1→|v ||AA 1→|＝1（1x －1）2＋5.结合条件知可取cos θ＝cos 〈v ，AA 1→〉， 故1（1x －1）2＋5＝13， 解得x ＝12或x ＝32(舍)．故当F 是CD 的中点时，cos θ＝13.。
2018年优课系列高中数学苏教版选修2-1： 3.1.1 空间向量及其线性运算 (25张)
用
AG
，表示
(1向)H量P;
.
(2) 1 ( AB AC AD) 3
2019年4月29日
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祝同学们学习进步
2019年4月29日
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6
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思考：在空间中，如果用任意三个不共面向量a, b, c
代替两两垂直的向量 i, j, k ，你能得出类似的结论
吗？
空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对空间任
一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组x，y，
z，使 p xa yb zc.
任意不共面的三个向量都可做为空间的一
11
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用基底表示向量
O
M
A
Q
C
P
(1)OP OM 例MP 12 OA 23 MN 解：
OA,OB,OC OQ OP
B
N
1
OA
2
2 (O、N
OM
)
1
OA
2
(ON
1
OA)
2
3如
23
2
1 6
OA
2 3
12图，(OB
OC)
1 6
OA
1 3
OB
1 3
OC)
2019年4月29日
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求空间向量的坐标
例3.已知PA垂直于正方
2018学年高中数学选修2-1课件：3.2 第二课时 空间向量与空间角、距离 精品
4 2×2
2＝12，
∴〈―P→B ，―D→B 〉＝π3，∴BD 和平面 ADMN 所成的角为π6.
[类题通法]
求直线与平面的夹角的方法与步骤
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质
及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)． 思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或
问题 1：如何用向量方法求异面直线 AC 和 BD 所成的角？ 提示：设异面直线 AC 与 BD 所成角为 θ， 则 cos θ＝|cos〈―A→C ，―B→D 〉|.
问题 2：如何求斜线 BD 与地面所成角 α？ 提示：设地面的法向量为 n，则 sin α＝|cos〈―B→D ，n〉|. 问题 3：l⊥α，向量 n 也垂直于 α 吗？ 提示：cos β＝cos〈―C→A ，―D→B 〉．
0，π2
__________________
_[_0， __π_]_
2．空间距离的向量求法
分类
向量求法
两点距 设A，B为空间中任意两点，则d＝__|A_B__| _
点面距
设平面α的法向量为n―，→B∉α，A∈α，则B点 | BA ·n|
到平面α的距离d＝____|_n_| __
[化解疑难] 1．若直线 l(方向向量为 a)与平面 α(法向量为 n)所成的角为 θ， 则当〈a，n〉∈0，π2时，θ＝π2－〈a，n〉；当〈a，n〉∈π2，π 时， θ＝〈a，n〉－π2. 2．将二面角转化为两个平面的法向量的夹角求解时，应注意 判断二面角是锐角还是钝角． 3．点到平面的距离的实质，就是平面的单位法向量与从该点 出发的平面的斜线段向量数量积的绝对值．
设 BC＝1，则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,1,0)， M(1，12，1)，―P→B ＝(2,0，－2)，―DM→＝1，－32，1，―A→D ＝(0,2,0)， ―D→B ＝(2，－2,0)．
2018-2019数学新学案同步实用课件选修2-1苏教版第3章 空间向量与立体几何 3.2.3ppt版本
类型二 求直线和平面所成的角 例2 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为A1(0,，2a)， a，求AC1与 侧面ABB1A1所成的角.
2
解答
反思与感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建 立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出 了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角， 再进行换算.
(1， 2，－1)，平面 ABCD 的一个法向量为
n＝(0,0,1),
所以
→ cos〈PC，n〉＝
→ PC·n →
＝－21，
|PC||n|
与平面ABCD所成的角是_3_0_°__.
1234
解析 答案
规I律mN 与ao 方ge 法
向量法求角 (1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得， 即cos θ＝|cos φ|. (2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹 角φ求得，即sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ. (3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等 于两个法向量的夹角或其补角.
图形
关系 计算
〈e，n〉∈
π 2
θ＝
π 2
－〈e，n〉
，
〈e，n〉∈
，
θ＝〈e，n〉－ π2，π
sin θ＝|cos〈e，n〉|
2.向量法求二面角的原理 条件 平面α，β的法向量分别为n1，n2，α，β所构成的二面角的大小 为θ，〈n1，n2〉＝φ
图形
关系 计算
θ＝φ cos θ＝cos φ
第3章 §3.2 空间向量的应用
3.2.3 空间的角的计算
高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3空间的角的计算作业苏教版选修2-1(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3 空间的角的计算作业苏教版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3 空间的角的计算作业苏教版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3 空间的角的计算作业苏教版选修2-1的全部内容。
3.2.3 空间的角的计算［基础达标］1.如图，四棱锥S–ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是__________．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角；④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角．解析：易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，①正确；AB∥DC，DC⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，②正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．答案:④错误!已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－2，1），直线l2的一个方向向量为b＝(2,－2，0)，则两直线所成角的余弦值为__________．解析：cos<a，b>＝错误!＝错误!＝错误!，所以两直线所成角的余弦值为错误!.答案：错误!3.若直线l的方向向量为a＝（－2，3,1）,平面α的一个法向量为n＝(4,0，1），则直线l与平面α所成角的正弦值等于__________．解析：sin θ＝错误!＝错误!＝错误!.答案：238 34错误!若一个锐二面角的两个半平面的法向量分别为m＝（0,0,3）,n＝（8，9,2），则这个锐二面角的余弦值为__________．解析：cos θ＝错误!＝错误!＝错误!。
2018年优课系列高中数学苏教版选修2-1： 3.2.2 空间线面关系的判定 (26张)
平行 垂直
l1与l2 e1 e2 e1 e2
l1与1 e1 n1 e1 n1
1与2 n1 n2 n1 n2
2019年4月29日
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8
例1、如图，OB 是平面 的一条斜线，O 为
斜足，AB ，A为垂足，CD ，且 CD OA
C1
因为 A1A AC ，所以 A1A AC 0 6 因为CM 平面ABC ，而 AB 平面ABC
M
所以CM AB，所以 CM AB 0
B
30 A 在 RtABC中，因为 BC 1, BAC 30
1 90
所以 AC 3, AB 2
C
所以
AB AC AB AC cos 30 2
z
0
所以n=(0，1，- 2)
又因为D1F
(0,
1 2
, 1)
所以D1F//n
所以 2019年4月29日
D F 平面ADE 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档 1
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课堂小结：
本节课主要研究了用向量的方法 判定空间线线、线面垂直关系。
如果要判定两条直线 a、b 垂直 ，
可以通过证明它们的方向向量 ，
所以： AB AM 0 即， A1B AM
2019年4月29日
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三种方法的比较：
证法一是几何向量法，要熟练掌握向量的加 减运算及所满足的运算律。
证法二是向量的坐标运算法，关键是要恰当 地建立空间直角坐标系，探求出各点的坐标。
证法三是几何向量法和立体几何法的综合运 用。
3.2.3 空间的角的计算 学案2 2017-2018学年高中数学选修2-1 苏教版
课堂导学三点剖析一、异面直线所成的角的求法【例1】 如右图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角的余弦为( ) A.23 B.1010C.53D.52解法：∵=1AA +A 1,+=, ∴∙=(A 1+)·(+)=∙1=21. 而||=25411=+==. 同理，||=25.如令α为所求之角，则524521==.应选D.温馨提示空间两条直线之间的夹角是不超过90°的角.因此，如果按公式计算分子的数量积为一个负数，则应当取其绝对值，使之变为正值，这样求得的角为锐角，这一说明在以后很多计算问题中经常被用到. 二、线面角的求法【例2】如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为_____________.解析：以点C 为原点，CA 为x 轴，CC 1为z 轴，与CA 垂直的直线为y 轴建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，于是A(2，0，0)，B 1(1，3，2)，D(1，0，2)，C(0，0，0)，=(1，0，2)，1CB =(1，3，2)，=(1，0，-2).又设平面B 1DC 的法向量n =(1，x,y)，则有⎩⎨⎧=++=+,0231021y x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==,210y x 则n =(1,0,-21).设n 、DA 的夹角为θ，则2552||||∙=n DA =54.因此AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为54. 答案:54. 三、二面角平面角的求法【例3】 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 中平面AB 1D 1与A 1BD 所成的角为θ(0°≤θ≤90°),求cosθ的值.解：如图，建立空间直角坐标系A-xyz,设正方体棱长为1，易得A 1=(1，0，-1)，A 1=(0，1，-1)，1AB =(1，0，1)，1(0，1，1)，设m =(x 1,y 1,z 1）、n =(x 2,y 2,z 2)分别是平面A 1BD 与AB 1D 1的法向量，由⎩⎨⎧=-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0,0,0111111z y z x A m B A m 令z 1=1,得m =(1,1,1).由⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0,0,0222211z y z x A n A n 令z 2=-1,得n =(1,1,-1), ∴cos 〈m ,n 〉=31||||=∙n m n m ,∴cosθ=31.各个击破类题演练1如右图，三棱柱OAB-O 1A 1B 1，平面OB 1⊥平面OAB ，∠O 1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO 1=2，OA=3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的大小.解：建立如题图所示的空间直角坐标系，则O （0，0，0），O 1（0，1，3），A （3，0，0），A 1（3，13），B （0，2，0）. ∴A 1=-1=（-3，1，-3）， A O 1=OA -1OO =(3,-1,-3).设异面直线所成的角为α，则71||||1111=A OB A .故异面直线A 1B 与AO 1所成的角的大小为arccos71. 变式提升1如右图，四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PA 与平面ABCD 所成的角为60°，在四边形ABCD 中，∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B 、P 的坐标； (2)求异面直线PA 与BC 所成的角；解析：建立如图所示的直角坐标系D-xyz,∵∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2, ∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0). ∴P(0,0,23).(2)解析：∵=(2,0,-23),=(-2,-3,0),∴cos 〈,〉=13131340)32()3(0)2(2-=⨯-+-⨯+-⨯. ∴PA 与BC 所成的角为arccos 1313. 类题演练2如右图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求AC 1与侧面AB 1所成的角.解析：在如题图的空间直角坐标系中，1AA =（0，0，2a).设侧面AB 1的法向量n =(λ,x,y),所以n ·=0,且n ·1AA =0,∴ax=0,且2ay=0,∴x=y=0,故n =(λ,0,0). ∵1AC =(-23a,2a,a 2). ∴cos 〈1AC ,n 〉||23||23||||11λλλλ-=∙∙-=aaAC n . ∴sinθ=|cos 〈1AC ,n 〉|=21,∴θ=30°. 类题演练3如图在棱长1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG=41CD,应用空间向量的运算办法解决下列问题. (1)求证：EF ⊥B 1C ；(2)求EF 与C 1G 所成的角的余弦；解析：如图建立空间直角坐标系O-xyz,D 为坐标原点O ，依据已知有：E(0,0,21),F(21,21,0),C(0,1,0),C 1(0,1,1),B 1(1,1,1),G(0,43,0) ①=(21,21,0)-(0,0,21)=(21,21,-21).B 1=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-1)EF ·C B 1=21×(-1)+21×0+(-21)×(-1)=0得EF ⊥C B 1 ∴EF ⊥B 1C ②G C 1=(0,43,0)-(0,1,1)=(0,-41,-1) |G C 1|=417)1()41(0222=-+-+, 由①得,||=23)21()21()21(222=-++, 且EF ·C 1=21×0+21×(-41)+(- 21)×(-1)=83 ∴cos 〈,C 1〉1751||||11=G C EF .。
2018年优课系列高中数学苏教版选修2-1课件： 3.1.2 共面向量定理 课件(31张)
答：空间共面向量定理中，当向量a，b是平面向量时，即
为平面向量基本定理.
[预习导引] 1.共面向量 能平移到同一平面内的向量 叫做共面向量. 2.共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充
要条件是 存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb ，即向量p 可以由两个不共线的向量a，b线性表示.
→ → → ∴向量MA、MB、MC共面.
(2)判断点M是否在平面ABC内.
→ → → 解 ∵向量MA、MB、MC共面且具有公共起点 M，
∴M、A、B、C共面.即点M在平面ABC内.
规律方法
利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造
有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一 个向量，得到向量共面，即四点共面.
→ → → ＝k(AD＋mAB)＝kAC，
→ → ∴AC∥EG.
→ → (3)OG＝kOC.
证明 → → → → → 由(2)知OG＝EG－EO＝kAC－kAO
解 分别连结PE，PF，PG，PH并延长，交对边 于点M，N，Q，R，连结MN，NQ，QR，RM. ∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心， → 2 → → 2→ ∴M，N，Q，R 是所在边的中点，且PE＝3PM，PE＝3PN，
→ 2 → → 2→ PG＝3PQ，PH＝3PR. 由题意知四边形MNQR是平面四边形，
规律方法
选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通
过向量运算得出几何元素之间的关系，这是解决立体几 何常用的方法.
跟踪演练 3
已知 O、A、B、C、D、E、F、G、H 为空间
→ → → → → → 的 9 个点(如图所示)， 并且OE＝kOA， OF＝kOB， OH＝kOD， → → → → → → AC＝AD＋mAB，EG＝EH＋mEF.
苏教版高中数学选修2-13.2.3 空间角的计算.docx
3.2.3空间角的计算双基达标(限时20分钟)1．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ等于______．解析 由cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a||b|＝6－λ35＋λ2＝89，化简得55λ2＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或255.答案 －2或2552．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为________．解析 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (1，0，0)，M (1， 12，1)，C (0，1，0)，N (1，1，12)． ∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1，0，12)．∴AM →·CN →＝12，|AM →|＝52＝|CN →|.∴cos 〈AM →，CN →〉＝1252×52＝25. 答案 253．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是棱AD的中点，则二面角A 1－BD 1－P 的正弦值为______．解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长 为1.容易求得平面A 1B 1D 的一个法向量为n 1＝(－1，0，1)， 平面PB 1D 的一个法向量为n 2＝(0，－1，1)所以 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝12，且二面角A 1－BD 1－P 是锐二面角，所以其正弦值为32. 答案324．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角D 1－AC －D 的正切值为______．解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1.容易求得平面ACD 1的一 个法向量为n1＝(1，－1，1)，平面ACD 的一个法向量为 n 2＝(0，0，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝33，且二面角D 1－AC －D是锐二面角，所以其正弦值为63，余弦值为33，正切值 为 2. 答案25.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．解析 建立如图所示的坐标系，设正三棱柱的棱长为1，则 B (32，－12，0)，M (32，12，12)，B 1(32，－12，1)，因此AB 1→＝(32，－12，1)，BM →＝(0，1，12)，设异面直线AB 1与BM 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈AB 1→，BM →〉|＝|0－12＋12||AB 1→|·|BM →|＝0，∴θ＝90°. 答案 90°6．已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)证明：平面P AD ⊥平面PCD ； (2)求AC 与PB 所成的角的余弦值；(3)求平面AMC 与平面BMC 所成二面角的余弦值．解 因为P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，AD ⊥AB ，故以A 为坐标原 点AD 长为单位长度，建立如图空间直角坐标系，则各点 的坐标为A (0，0，0)，B (0，2，0)，C (1，1，0)，D (1，0， 0)，P (0，0，1)，M (0，1，12)．(1)证明：因为AP →＝(0，0，1)，DC →＝(0，1，0)， 故AP →·DC →＝0，所以AP ⊥DC .又由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线，故由此得DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ，故平面P AD ⊥平面PCD . (2)因AC →＝(1，1，0)，PB →＝(0，2，－1)， 故|AC →|＝2，|PB →|＝5，AC →·PB →＝2， 所以cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →||PB →|＝105.由此得AC 与PB 所成的角的余弦值为105. (3)在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ，使NC →＝λMC →. 因为NC →＝(1－x ，1－y ，1－z )，MC →＝(1，0，－12)，所以x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ.要使AN ⊥MC ，只需AN →·MC →＝0即x －12z ＝0，解得λ＝45.可知，当λ＝45时，N 点的坐标为(15，1，25)，能使AN →·MC →＝0.此时，AN →＝(15，1，25)，BN →＝(15，－1，25)，有BN →·MC →＝0.由AN →·MC →＝0，BN →·MC →＝0，得AN ⊥MC ，BN ⊥MC ， 所以∠ANB 为所求二面角的平面角．因为|AN →|＝305，|BN →|＝305，AN →·BN →＝－45，所以cos 〈AN →，BN →〉＝AN →·BN →|AN →||BN →|＝－23.又平面AMC 与平面BMC 所成的二面角是钝二面角， 所以平面AMC 与平面BMC 所成的二面角的余弦值为－23.综合提高（限时25分钟）7．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为棱AB 的中点，则直线D 1E 与平面BC 1D 所成角的余弦值为______．解析 建立空间直角坐标系，如图，则A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，A 1(2，0，2)，B 1(2，2，2)，D 1(0， 0，2)，E (2，1，0)，所以A 1C →＝(－2，2，－2)，D 1E →＝(2，1，－2)，AB →＝(0， 2，0)，BB 1→＝(0，0，2)．不难证明A 1C →为平面BC 1D 的法向量． 因为cos 〈A 1C →，D 1E →〉＝A 1C →·D 1E →|A 1C →||D 1E →|＝39，所以D 1E 与平面BC 1D 所成的角的余弦值为789. 答案7898．如图，在直三棱柱ABC －A1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线的交点为D ，则平面B 1BD 与平面CBD 所成二面角的余弦值等于______． 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则B (2，0，0)，A (0， 1，0)，B 1(2，0，1)，D (22，12，12)，所以CD →＝(22，12，12)，CB →＝(2，0，0)，BA →＝(－2，1，0)，BB 1→＝(0，0，1)．设平面CBD 和平面B 1BD 的一个法向量分别为n 1，n 2，易求 得n 1＝(0，1，－1)，n 2＝(1，2，0)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝33，且n 1，n 2“方向相同”，所以平面B 1BD 与平面CBD 所成二面角的平面角与〈n 1，n 2〉 互补，即平面B 1BD 与平面CBD 所成二面角的余弦值等于－33. 答案 －339．若P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝2，则二面角A －PB －C 的余弦值为______． 解析 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，1，0)，C (0，1，0)．P (0，0，1)，AP →＝(0，0，1)，AB →＝(2，1，0)，CB →＝(2，0， 0)，CP →＝(0，－1，1)，设平面P AB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP →＝0，m ·AB →＝0⇒⎩⎨⎧（x ，y ，z ）·（0，0，1）＝0，（x ，y ，z ）·（2，1，0）＝0⇒⎩⎨⎧y ＝－2x ，z ＝0，令x ＝1，则m ＝(1，－2，0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0，n ·CP →＝0⇒⎩⎨⎧（x ′，y ′，z ′）·（2，0，0）＝0（x ′，y ′，z ′）·（0，－1，1）＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝0，y ′＝z ′.令y ′＝－1，则n ＝(0，－1，－1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝33.∴二面角A －PB －C 的余弦值为33. 答案3310．在底面是直角梯形的四棱锥S －ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，则面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值为______．解析 建立如图所示空间直角坐标系，则A (0，0，0)、D (12，0，0)、C (1，1，0)、S (0，0，1)，面SAB 的一个法向量是AD →＝(12，0，0)，设n ＝(x ，y ，z )是面SCD 的一个法向量，则n ⊥DC →， n ⊥DS →，n ·DC →＝0，n ·DS →＝0， 又DC →＝(12，1，0)，DS →＝(－12，0，1)∴12x ＋y ＝0且－12x ＋z ＝0， ∴y ＝－12x 且z ＝12x ，∴n ＝(x ，－x 2，x 2)，取x ＝1，得n ＝(1，－12，12)．∴cos 〈AD →，n 〉＝AD →·n |AD →||n|＝1212×1＋14＋14＝63. 设二面角为θ，即cos θ＝63.∴tan θ＝22. 答案2211．已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，且AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．(1)证明 设P A ＝1，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直 线分别为x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系如图所示， 则P (0，0，1)，C (0，1，0)，B (2，0，0)，M (1，0，12)，N (12，0，0)，S (1，12，0)． 所以CM →＝(1，－1，12)，SN →＝(－12，－12，0)．因为CM →·SN →＝－12＋12＋0＝0，所以CM ⊥SN.(2)解 NC →＝(－12，1，0)，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧a ·CM →＝0，a ·NC →＝0，即⎩⎨⎧x －y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0.令x ＝2，得 a ＝(2，1，－2)．因为|cos 〈a ，SN →〉|＝|a ·SN →|a||SN →||＝|－1－123×22|＝22，所以SN 与平面CMN 所成的角为45°.12．如图，矩形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，∠BCF ＝90°，BE ∥CF ，CE ⊥EF ，AD ＝3，EF ＝2.(1)求异面直线AD 与EF 所成角的大小；(2)当AB 的长为何值时，二面角A －EF －C 的大小为45°？ 解 如图，以点C 为坐标原点，以CB ，CF 和CD 所在直线分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C － xyz .设AB ＝a ，BE ＝b ，CF ＝c (b ＜c )，则C (0，0，0)，A (3，0，a )，B (3，0，0)，E (3，b ， 0)，F (0，c ，0)，D (0，0，a )．(1)DA →＝(3，0，0)，CB →＝(3，0，0)，FE →＝(3，b －c ， 0)．由|FE →|＝2，得3＋(b －c )2＝4， 所以b －c ＝－1.所以FE →＝(3，－1，0)．所以cos 〈DA →，FE →〉＝DA →·FE →|DA →||FE →|＝33×2＝32，所以异面直线AD 与EF 成30°角． (2)设n ＝(1，y ，z )为平面AEF 的法向量， 则n ·AE →＝0，n ·EF →＝0.结合|BC →|2＋|BE →|2＝|CF →|2－|EF →|2， 解得n ＝(1，3，33a)． 又因为BA ⊥平面BEFC ，BA →＝(0，0，a )， 所以cos 〈n ，BA →〉＝n ·BA →|n||BA →|＝33a a 4a 2＋27＝22，得到a ＝332.所以当AB 的长度为332时，二面角A －EF －C 的大小为45°.13．(创新拓展)如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，F 是棱CD 上的动点(非C 、D 两点)，设二面角C 1－EF －C 的大小为θ.试确定F 点的位置，使得cos θ＝13.解 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(0，0，1)，C 1(1，1，1)，E (1，12，0)．设F (x ，1，0)(0＜x ＜1)．易知C 1E →＝(0，－12，－1)，EF →＝(x －1，12，0)．设v ＝(a ，b ，c )是平面C 1EF 的一个法向量，则⎩⎨⎧v ·C 1E →＝－12b －c ＝0，v ·EF →＝（x －1）a ＋12b ＝0.令c ＝1，则v ＝(1x －1，－2，1)．又AA 1→＝(0，0，1)是平面ABCD 的一个法向量， 所以cos 〈v ，AA 1→〉＝v ·AA 1→|v ||AA 1→|＝1（1x －1）2＋5.结合条件知可取cos θ＝cos 〈v ，AA 1→〉， 故1（1x －1）2＋5＝13， 解得x ＝12或x ＝32(舍)．故当F 是CD 的中点时，cos θ＝13.。
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a1b1 a2b2 a3b3
| a | | b | a12 a22 a32 b12 b22 b32
2.若A(x1, y1, z1), B(x2 , y2 , z2 )，则：
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
2019年4月29日
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3.2.3 利用向量解决
空间角问题
2019年4月29日
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1
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空间向量的引入为代数方法处理立体几 何问题提供了一种重要的工具和方法，解题 时，可用定量的计算代替定性的分析，从而 避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距 离是立体几何的一类重要的问题，也是高考 的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向 量的办法解决空间角问题。
15
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例3：在正方体ABCD A1B1C1D1中， 求二面角A1 BD C1D的大小
D1
C1
A1
B1
2019年4月29日
D A
C E
B
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16
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例4：已知E, F分别是正方体ABCD A1B1C1D1 的棱BC和CD的中点，求：
（1）A1D与EF所成角的大小
D0,0,0,
x
图3.1 17
F1 0,
1 4
,1 ,
所以BE1
1,
3 4
,1
1,1,0
0,
1 4
,1 ,
DF1
0,
1 4
,1
0,0,0
0,
1 4
,1 ,
2019年4月29日
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与面SBA所成二面角的余弦值.
S
B
C
2019年4月29日
A D 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专 业文档
18
例三 如所示， A B C D 是一直角梯形，A B C = 900,
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 ,求面SCD
与面SBA所成二面角的余弦值.
2
25
cos AD, A1D 5
AD与平面ANM 所成角的正弦值是
xB
25
5
D1 C1
Dy
C
2019年4月29日
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13
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题型二：线面角
练习： 正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1.
求B1C1与面AB1C所成的角.
A1
B1
D1 C1
A B
D C
2019年4月29日
3
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题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
思考：
A D1 B
CD, AB 与的关系？
DC, AB 与的关系？
结论： cos | cos CD, AB |
2019年4月29日
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4
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题型一：线线角
2019年4月29日
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2
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1.若a (a1, a2, a3)，b (b1,b2,b3),则：
数量积： a b | a | | b | cos a, b
a1b1 a2b2 a3b3
夹角公式：cos a b a b
AF1
所眼成皮蹦角跳跳的专业余文档弦眼皮值蹦跳为跳专 业文档
30 10
9
练习： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB= 5，AD 8,
AA1 4, M为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM .
z
A1
B1 M
D1 N
例1 如图3.117,在正方 形 ABCD A1B1C1D1 中, E1, F1分别是A1B1 , C1D1的一个 四等分点,求 BE1 与DF1 所
z
D1 A1
F1 E1
C1 B1
D AO
Cy B
成角的余弦值.
x
分析 BE1与DF1所成的角
图3.1 17
就是BE1与DF1所成的角.因
此,我们可以通过BE1, DF1的坐标表示,计算出 它 们 的 数 量 积 与 模, 进 而 求 出 它 们 所 成 角 的
2
An
思考：
B O
n, BA 与的关系？
结论： sin | cos n, AB |
直线AB与平面α所成的角θ可
看成是向量与平面α
的法向量所成的锐角 sin cos AB,n
的余角，所以有
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AB n
AB n 11
C1
A(0, 0, 0), A1(0, 0, 4),D(0,8,0), M (5, 2, 4)
A
AM (5, 2, 4), A1D (0,8, 4), x B
AM A1D＝0 A1D AM .
Dy
C
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题型二：线面角
直线与平面所成角的范围： [0, ]
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通过上例，你能说出用坐标法解决立体几 何中问题的一般步骤吗？
步骤如下：
1.建立适当的空间直角坐标系；
2.写出相关点的坐标及向量的坐标；
3.进行相关的计算；
4写出几何意义下的结论.
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小结：ห้องสมุดไป่ตู้
C
D
1.异面直线所成角：
设N为AC中点，则N ( 3 ，1，0) 连接
z
22
BN，∵△ABC为正三角形，
E
∴BN⊥AC，∵EC⊥平面ABC,
D
∴BN⊥EC,又AC∩EC=C, ∴BN ⊥
C
平面ACE.因此可取向量 BN 为平面
By
N
ACE的法向量.那么 BN (
3 3x , , 0).
A
22
设平面ADE的法向量为n=(1,y,z),则
余 弦 值. 2019年4月29日
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解 如图3.1 17,不妨设
z
正方体的棱长为1, 分别以 DA, DC , DD1 为单位正交
D1 A1
F1 E1
C1 B1
基底建立空间直角坐标系
D
Cy
Oxyz ,则
AO
B
B1,1,0
,
E1
1,
3 4
,1
,
即所求二面角得余弦值是 6 3
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立体几何中的向量方法——坐标法
例四：已知：△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC,
且EC,DB在平面ABC同侧，CE=CA=2BD.求证：
平面ADE⊥平面ACE.
z
E
⑴怎样建立适当的空间直角坐标系？
⑵怎样证明平面ADE⊥平面ACE？
例2：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，F是BC的中点，点E1在D1C1上，
且D1E1
1 4
D1C1，试求直线E1F 与平面D1 AC所成角的大小。
D1
E1
C1
A1
B1
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D A
C
F B
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题型二：线面角
探究二：在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB= 5，AD 8,
（2）A1F与平面B1EB所成角的大小 D1
（3）二面角C D1B1 B的大小
A1
C1 B1
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D A
F
C
E
B
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题型三：二面角
探究三:如所示，A B C D 是一直角梯形，A B C = 900,
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 ,求面SCD 2
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设平面SCD的法向量n2 (x, y, z), 由n2 CD, n2 SD,得：
x y 2
yz 2
0 0
x
z
y 2 y 2
任取n2 (1, 2,1)
cos
n1, n2
|
n1 n2 n1 || n2
|
6 3
所以cos BE1, DF1 BE1 DF1 | BE1 | | DF1 |
15 16
15
17 4 17 4 17 .
因此, BE1与DF1所成角的余弦值是1175 .
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探究1：Rt ABC中，BCA 900,现将 ABC沿着
cos |cos CD, AB |
2.直线与平面所成角：
sin | cos n, AB |
A D1