14.1.2函数陈彦游
第二章 第1讲 函数的概念及其表示-2025年高考数学备考
第二章函数第1讲函数的概念及其表示课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.2.了解简单的分段函数，并能简单应用.求函数的定义域2022北京T11本讲是函数部分的基础，命题热点为分段函数的求值、含参和解不等式问题，题型以选择题、填空题为主，难度中等偏易.在2025年高考的备考中，要掌握函数的三要素和以分段函数为载体的有关应用.求函数的解析式分段函数2022浙江T14；2021浙江T12学生用书P0181.函数的概念及表示函数的定义一般地，设A ，B 是①非空的实数集，如果对于集合A 中的②任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有③唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f （x ），x ∈A .三要素④定义域，⑤对应关系，⑥值域.定义域自变量x 的取值范围A .值域函数值的集合{f （x ）｜x ∈A }，是集合B 的⑦子集.相等函数⑧定义域相同，⑨对应关系完全一致.函数的表示法⑩解析法，⑪列表法，⑫图象法.注意（1）与x 轴垂直的直线和函数图象最多有一个交点；（2）解决函数问题时，优先考虑定义域.常用结论求函数的定义域时常用的结论（1）分式型1（）要满足f （x ）≠0；（2）偶次根式型2（）（n ∈N *）要满足f （x ）≥0；（3）[f （x ）]0要满足f （x ）≠0；（4）对数型log a f （x ）（a ＞0，且a ≠1）要满足f（x）＞0；（5）正切型tan f（x）要满足f（x）≠π2＋kπ，k∈Z.2.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.注意（1）分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数；（2）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集.1.下列f（x）与g（x）表示同一个函数的是（B）A.f（x）＝2－1与g（x）＝－1·+1B.f（x）＝x与g（x）＝3＋2+1C.f（x）＝x与g（x）＝（）2D.f（x）＝2与g（x）＝332.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是（D）A.y＝xB.y＝lg xC.y＝2xD.y3.[教材改编]已知函数f（x 1，≤1，>1，则f（f（－2））＝（B）A.8B.12C.－34D.－109解析因为f（x）1，≤1，>1，所以f（－2）＝（－2）2－1＝3，所以f（f（－2））＝f（3）＝13－1＝12，故选B.4.已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为{－1，1，3，5，7}.学生用书P019命题点1求函数的定义域例1（1）[2022北京高考]函数f（x）＝1＋1－的定义域是（－∞，0）∪（0，1].解析因为f（x）＝1＋1－，所以x≠0，1－x≥0，解得x∈（－∞，0）∪（0，1].（2）若函数f（1－2x）的定义域为[－1，2]，则函数f（x）的定义域为[－3，3].解析因为函数f（1－2x）的定义域为[－1，2]，所以－1≤x≤2，所以－3≤1－2x≤3.所以函数f（x）的定义域为[－3，3].命题拓展若函数f（x）的定义域为[－1，2]，则函数f（1－2x）的定义域为[－12，1].解析由－1≤1－2x≤2，得－12≤x≤1，所以函数f（1－2x）的定义域为[－12，1].方法技巧1.求具体函数的定义域的策略根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式（组），求解不等式（组）即可；对实际问题，既要使函数解析式有意义，又要使实际问题有意义.2.求抽象函数的定义域的策略（1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出；（2）若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在[a，b]上的值域.注意无论函数的形式如何，定义域均是指其中的自变量x的取值集合.训练1（1）[2024浙江省宁波市余姚中学一检]已知函数y＝f（x）的定义域是[－2，3]，则函数y＝（2r1）r1的定义域是（A）A.[－32，－1）∪（－1，1]B.[－3，－1）∪（－1，7]C.（－1，7]D.[－32，－1）解析因为函数y＝f（x）的定义域是[－2，3]，所以－2≤2x＋1≤3，且x＋1≠0，解得x∈[－32，－1）∪（－1，1].故选A.（2）[2024江苏省镇江市丹阳市模拟]函数f（x）＝3－2＋（x－4）0的定义域为[23，4）∪（4，＋∞）.解析要使函数f（x）＝3－2＋（x－4）0有意义，则有3－2≥0，－4≠0，解得x≥23且x≠4，所以函数f（x）＝3－2＋（x－4）0的定义域为[23，4）∪（4，＋∞）.命题点2求函数的解析式例2（1）[2024河南省内乡高中模拟]已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝16x－25，则f（x）＝4x－5或－4x＋253.解析设f（x）＝kx＋b（k≠0），则f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，∴2=16，B＋＝－25，∴=4，＝－5或＝－4，＝253，∴f（x）＝4x－5或f（x）＝－4x＋253.（2）已知f（x）满足2f（x）＋f（1）＝3x－1，则f（x）＝2x－1－13.解析已知2f（x）＋f（1）＝3x－1①，以1代替①中的x（x≠0），得2f（1）＋f（x）＝3－1②，①×2－②，得3f（x）＝6x－3－1，故f（x）＝2x－1－13.方法技巧求函数解析式的常用方法（1）待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数等），则可用待定系数法求解.（2）换元法：若已知复合函数f（g（x））的解析式求解函数f（x）的解析式，可令g（x）＝t，解出x，然后代入f（g（x））中即可求得f（t），从而求得f（x）.此时要注意新元的取值范围.（3）配凑法：配凑法是将函数f（g（x））的解析式配凑成关于g（x）的形式，进而求出函数f（x）的解析式.（4）构造方程组法（消元法）：若已知f（x）与f（1），f（－x）等的表达式，则可通过赋值（如令x为1，－x等）构造出另一个等式，通过解方程组求出f（x）.注意求函数解析式时，若定义域不是R，一定要注明函数定义域.训练2（1）已知f（x2＋12）＝x4＋14，则f（x）的解析式为f（x）＝x2－2，x∈[2，＋∞）.解析因为f （x 2＋12）＝（x 2＋12）2－2，所以f （x ）＝x 2－2，x ∈[2，＋∞）.（2）[2024安徽淮南模拟]已知f （x ）是二次函数，且f （x ＋1）＋f （x －1）＝2x 2－4x ＋4，则f （x ）＝x 2－2x ＋1.解析因为f （x ）是二次函数，所以设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），则有a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c ＋a （x －1）2＋b （x －1）＋c ＝2x 2－4x ＋4，即2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2－4x＋4，所以2=2，2＝－4，2+2=4，所以=1，＝－2，=1，所以f （x ）＝x 2－2x ＋1.（3）[2024湖北省钟祥市第一中学模拟]已知f （x ）满足3f （x ）＋2f （1－x ）＝4x ，则f （x ）的解析式为f （x ）＝4x －85.解析3f （x ）＋2f （1－x ）＝4x①，用1－x 代替①中的x 可得3f （1－x ）＋2f （x ）＝4（1－x ）②，由3×①－2×②可得f （x ）＝4x －85.命题点3分段函数角度1分段函数的求值（求参）问题例3（1）[山东高考]设f （x ）＝，0<<1，2（－1),≥1.若f （a ）＝f （a ＋1），则f （1）＝（C）A.2B.4C.6D.8解析作出f （x ）的图象，如图所示，因为a ＜a ＋1，所以要使f （a ）＝f （a ＋1），则有＝2（a ＋1－1），0＜a ＜1，所以解得a ＝14，所以f （1）＝f （4）＝6.（2）[2022浙江高考]已知函数f （x ）＝－2+2，≤1，＋1－1，>1，则f （f （12））＝3728；若当x ∈[a ，b ]时，1≤f （x ）≤3，则b －a 的最大值是3＋3.解析由题意知f （12）＝－（12）2＋2＝74，则f （f （12））＝f （74）＝74＋174－1＝74＋47－1＝3728.作出函数f （x ）的大致图象，如图所示，结合图象，令－x 2＋2＝1，解得x ＝±1；令x ＋1－1＝3，解得x ＝2±3，又x ＞1，所以x ＝2＋3.所以（b －a ）max ＝2＋3－（－1）＝3＋3.角度2分段函数的解不等式问题例4[全国卷Ⅰ]设函数f （x ）＝2－，≤0，1，>0，则满足f （x ＋1）＜f （2x ）的x 的取值范围是（D）A.（－∞，－1]B.（0，＋∞）C.（－1，0）D.（－∞，0）解析解法一当x ≤0时，函数f （x ）＝2－x 是减函数，则f （x ）≥f （0）＝1.作出f （x ）的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f （x ＋1）＜f （2x ），则需+1<0，2<0，2＜+1或+1≥0，2<0，所以x ＜0，故选D.解法二当x ＝－12时，f （x ＋1）＝f （12）＝1，f （2x ）＝f （－1）＝2－（－1）＝2，满足f （x ＋1）＜f （2x ），排除A ，B ；当x ＝－1时，f （x ＋1）＝f （0）＝20＝1，f （2x ）＝f （－2）＝22＝4，满足f （x ＋1）＜f （2x ），排除C.故选D.方法技巧1.解分段函数的求值问题的思路：一般根据自变量所在区间代入相应的函数解析式求解，当出现f （f （a ））形式时，一般由内向外逐层求值.2.解分段函数的解不等式问题的思路：（1）若图象易画，可画出函数图象，数形结合求解；（2）根据分段函数的不同段分类讨论，最后取各段结果的并集.注意解得值或范围后，要注意检验其是否符合相应段的自变量的范围.训练3（1）[2024河南郑州外国语模拟]已知实数a ＜0，函数f （x ）＝2＋，<1，－－2，≥1，若f （1－a ）＝f （1＋a ），则a 的值为（A ）A.－34B.－32C.－35D.－1解析因为a＜0，所以1－a＞1，1＋a＜1.因为f（1－a）＝f（1＋a），所以－（1－a）－2a＝2（1＋a）＋a，解得a＝－34.故选A.（2）[2024四川达州外国语模拟]已知函数f（x）＝e－1，≤2，2（－2),>2，则f（7）＝8.解析由题意得f（7）＝2f（5）＝2×2f（3）＝4×2f（1）＝8e1－1＝8.（3）[2023江苏南通模拟]已知函数f（x）＝max{1－x，2x}，其中max{a，b}表示a，b中的较大者.则不等式f（x）＞4的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）.解析作出f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知f（x）＝1－，≤0，2，>0.当x≤0时，由1－x＞4，得x＜－3.当x＞0时，由2x＞4，得x＞2，所以f（x）＞4的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）.1.[命题点1/2023黑龙江省齐齐哈尔市恒昌中学模拟]函数f（x－log3（1－2）的定义域是（A）A.[0，12）B.（－∞，12）C.（－∞，12]D.（－∞，1）解析由题意得1－>0，－log3（1－2）≥0，1－2>0，解得0≤x＜12，所以函数f（x）的定义域是[0，12），故选A.2.[命题点2]定义在（－1，1）上的函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），则f（x）＝23lg（x＋1）＋13lg（1－x），x∈（－1，1）.解析当x∈（－1，1）时，有2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1）①.以－x代替x得，2f（－x）－f（x）＝lg（－x＋1）②.由①②消去f（－x）得，f（x）＝23lg（x＋1）＋13lg（1－x），x∈（－1，1）.3.[命题点3角度1]设函数f（x，≤1，>1，则满足2f（f（a））＝f（a）的a的取值范围是（D）A.（－∞，0]B.[0，2]C.[2，＋∞）D.（－∞，0]∪[2，＋∞）解析作出f（x）的图象（图略），可得f（x）的最小值为12，令t＝f（a），则t≥12，考虑f（t）＝2的解，作出y＝f（t）与y＝2在[12，＋∞）上的图象，如图1中实线所示，由图可知，当t≥1时，f（t）＝2，故t≥1.下面考虑f（a）≥1的解集，作出y＝f（a）与y＝1的图象如图2所示，由图可得a≤0或a≥2.故选D.图1图24.[命题点3角度2/2023山东济南模拟]已知函数f（x）＝－2+2B－2，≤，－，＞，若f（a2－4）＞f（3a），则实数a的取值范围是（B）A.（－1，4）B.（－∞，－1）∪（4，＋∞）C.（－4，1）D.（－∞，－4）∪（1，＋∞）解析由题意知f（x）＝－（－）2，≤，－，＞，易知函数f（x）在（m，＋∞），（－∞，m]上单调递增，且m－m＝－（m－m）2，所以函数f（x）在R上单调递增.则由f（a2－4）＞f（3a），得a2－4＞3a，解得a＞4或a＜－1，所以实数a的取值范围是（－∞，－1）∪（4，＋∞），故选B.学生用书·练习帮P2641.函数f（x）＝3－1＋1ln（2－）的定义域为（C）A.[13，1）∪（1，＋∞）B.[13，2）C.[13，1）∪（1，2）D.（0，2）解析要使函数f（x）＝3－1＋1ln（2－）有意义，则3－1≥0，2－>0，2－≠1，解得≥13，<2，≠1，故函数的定义域为[13，1）∪（1，2）.故选C.2.下列各组函数表示相同函数的是（C）A.f（x）＝2和g（x）＝（）2B.f（x）＝1和g（x）＝x0C.f（x）＝｜x｜和g（x）＝，≥0，－，<0D.f（x）＝e ln x和g（x）＝lg10x解析对于选项A，f（x）＝2＝｜x｜的定义域为R，g（x）＝（）2＝x的定义域为[0，＋∞），两个函数的定义域不相同，不是相同函数；对于选项B，f（x）＝1的定义域为R，g（x）＝x0＝1的定义域为{x｜x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；对于选项C，f（x）＝｜x｜＝，≥0，－，＜0，函数f（x），g（x）的定义域都是R，且对应法则相同，是相同函数；对于选项D，f（x）＝e ln x的定义域为（0，＋∞），g（x）＝lg10x的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是相同函数.故选C.3.[2023重庆模拟]已知函数f（＋1）＝x＋2，则f（x）的解析式为（C）A.f（x）＝x2－1B.f（x）＝x2－1，x∈（1，＋∞）C.f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞）D.f（x）＝x2－1，x∈[0，＋∞）解析解法一（配凑法）f（＋1）＝x＋2＝（＋1）2－1，令t＝＋1（t≥1），则f（t）＝t2－1，t∈[1，＋∞），所以f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞），故选C.解法二（换元法）令t＝＋1（t≥1），则＝t－1（t≥1），f（t）＝（t－1）2＋2（t －1）＝t2－1，t∈[1，＋∞），所以f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞），故选C.4.已知函数f（x）＝ln，≥1，0，0≤<1，，<0，若f（2a－1）－1≤0，则实数a的取值范围是（D）A.[e+12，＋∞）B.（－∞，－12]∪[0，e+12]C.[0，e+12]D.（－∞，e+12]解析因为f（2a－1）－1≤0，所以f（2a－1）≤1.作出函数y＝f（x）及y＝1的图象，如图所示，设两函数图象交于点P，则由图可知，2a－1≤x P＝e，所以a≤e+12，即a的取值范围是（－∞，r12]，故选D.5.[2024广东名校联考]已知函数f（x）的定义域是[0，4]，则函数y 的定义域是（2，5].解析由题意知0≤－1≤4，－2>0，解得2＜x≤5，即y2，5].6.[2024山东省部分学校阶段监测]已知函数f（x）＝3，≤0，l4，>0，则f（f（116））＝19.解析因为f（x）＝3，≤0，log4，>0，所以f（116）＝log4116＝－2，f（－2）＝3－2＝19，所以f（f（116））＝19.7.[2024惠州市一调]已知函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）＋2，则f（x）的解析式可以是f（x）＝2x（答案不唯一）.（写出满足条件的一个解析式即可）解析由f（x＋1）＝f（x）＋2知，函数f（x）的图象上移2个单位长度后得到的图象，与左移1个单位长度后得到的图象重合，f（x）＝2x＋k（其中k可取任意实数）满足要求.本题为开放题，答案可为f（x）＝2x，f（x）＝2x＋1等.8.[2024浙江名校联考]已知函数f（x）＝（12），∈（－∞，1),log4，∈（1，＋∞),则f（x）＞1的解集为（－∞，0）∪（4，＋∞）.解析由题意可得，f（0）＝（12）0＝1，结合指数函数y＝（12）x在定义域内单调递减可知，当x＜1时，f（x）＞1的解集为（－∞，0）；f（4）＝log44＝1，结合对数函数y＝log4x在定义域内单调递增可知，当x＞1时，f（x）＞1的解集为（4，＋∞）.所以不等式f（x）＞1的解集为（－∞，0）∪（4，＋∞）.9.[2023福建漳州联考]已知函数f（x）＝log2，>0，2+4+1，≤0，若实数a满足f（f（a））＝1，则实数a的所有取值的和为（C）A.1B.1716－5C.－1516－5D.－2解析作出y＝f（x）及y＝1的部分图象，如图所示，易得y＝f（x）与y＝1的图象有三个交点，设这三个交点分别为A，B，C，则易得x A＝－4，x B＝0，x C＝2.令f（a）＝－4，则由图可得log2a＝－4，解得a＝2－4＝116；令f（a）＝0，则由图可得a2＋4a＋1＝0或log2a＝0，解得a＝－2－3或a＝－2＋3或a＝1；令f（a）＝2，则由图可得a2＋4a＋1＝2（a≤0）或log2a＝2，解得a＝－2－5或a＝22＝4.所以实数a的所有取值的和为116＋（－2－3）＋（－2＋3）＋1＋（－2－5）＋4＝－1516－5，故选C.10.[2023西北工业大学附属中学模拟]设函数f（x）＝，0<<1，eln，≥1，若f（a）＝f（e a），则f（1）＝解析根据题意作出函数f（x）的图象，如图所示.由f（x）的定义域知，a＞0，所以e a＞1.易知y＝e x的图象与y＝x的图象无交点，所以e a≠a，所以要使f（a）＝f（e a），则0＜a＜1＜e a，所以＝e ln e a，变形可得＝e a，解得a＝1e，则f（1）＝f（e）＝e ln e＝e.11.[情境创新]德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一.函数f（x）＝1，为有理数，0，为无理数被称为狄利克雷函数，则关于函数f（x），下列说法正确的是（D）A.f（x）的定义域为{0，1}B.f（x）的值域为[0，1]C.∃x∈R，f（f（x））＝0D.对于任意一个非零有理数T，f（x＋T）＝f（x）对任意x∈R恒成立解析由题意知f（x）的定义域为R，值域为{0，1}，故A，B错误；因为f（x）＝0或f（x）＝1，所以当f（x）＝0时，f（f（x））＝f（0）＝1，当f（x）＝1时，f（f（x））＝f（1）＝1，故C错误；对于任意一个非零有理数T，若x为有理数，则x＋T也为有理数，则f（x）＝f（x＋T）＝1，若x为无理数，则x＋T也为无理数，则f（x＋T）＝f（x）＝0，综上可得，对于任意一个非零有理数T，f（x＋T）＝f（x）对任意x∈R恒成立，故D正确.故选D.12.[探索创新/多选/2024江西名校联考]若存在M，使得f（x）≥M对任意x∈D恒成立，则函数f（x）在D上有下界，其中M为函数f（x）的一个下界，若存在N，使得f（x）≤N对任意x∈D恒成立，则函数f（x）在D上有上界，其中N为函数f（x）的一个上界，如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界，则下列说法正确的是（ABD）A.2是y＝x＋1（x∈（2，＋∞））的一个下界B.y＝ln有上界无下界C.y＝x e x有上界无下界D.y＝cos2+1有界解析对选项A，y＝x＋1在（2，＋∞）上单调递增，故y＞2＋12＝52≥2，A正确；对选项B，y＝ln，则y'＝1－ln2，当x∈（0，e）时，y'＞0，函数单调递增，当x∈（e，＋∞）时，y'＜0，函数单调递减，故函数在x＝e时有最大值为1e，无最小值，即y≤1e恒成立，B正确；对选项C，当x趋近于＋∞时，y＝x e x趋近于＋∞，C错误；对选项D，y＝Hs2+1，则｜y｜＝｜Hs｜2+1≤12+1≤1，即－1≤y≤1恒成立，D正确.故选ABD.。
函数的概念 省优质课
函数的概念河南师大附中 司艳鸽【教学目标】一、知识与技能通过丰富实例，引导学生进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，学习用集合与对应的语言来刻画函数，感悟对应关系在刻画函数概念中的作用，正确理解函数的概念.二、过程与方法让学生经历函数概念由特殊到一般的抽象归纳过程，体会运用函数的思想探索现实世界中某些变化的规律，学会运用数学语言进行表达和交流，提高学生的归纳总结能力. 三、情感与态度学生通过主动探究、合作学习、相互交流，培养刻苦钻研、勇于探索的优秀品质，领会“数学源于实践、服务于实践”的本质.通过体验成功，提高学习数学的兴趣， 树立学好数学的信心，养成锲而不舍的钻研精神和科学态度.【教学内容】一、学情分析在初中，学生已经学习过函数的概念,并且了解函数是变量之间的相互依赖关系.高一学生已初步具备对数学问题的合作探究能力，但是学生分析概括能力、逻辑思维能力尚有不足，这些因素造成了部分学生学习数学兴趣不高，信心不足. 二、地位和作用函数是中学数学的核心内容，函数的概念在高中数学中，起着承上启下的作用，它是对初中所学概念的完善与深化.在初中，从变量的物理背景入手，用函数表示两个变量之间的依赖关系，而高中，是用集合与对应的语言进一步刻画函数.这是对函数本质特征的再认识，也是学生在函数认识上的一次飞跃. 三、重点难点重点：用集合与对应的语言刻画函数的概念，正确理解函数的概念. 难点：函数的概念及符号()y f x =的理解.【教学过程】一、准备环节分发导学案，通过导学案引导学生回顾初中函数的定义及相关知识，并预习新知. 二、学习环节1.联系生活 引入新课 实例1：一枚炮弹发射后，经26s 落到地面击中目标，炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度h (单位: m )随时间t (单位: s )变化的规律是21305h t t =-. 实例2：近几十年来，大气中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979~2001年的变化情况：510S /106k m 2t /年实例3：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明，“八五”计划以来我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.于生活”的本质，体现数学的应用性.同时这三个例子用三种不同的方法来表示函数，也为下一节课的学习做好铺垫.2.自主探究 合作交流⑴以上三个实例中，每个实例都涉及到了几个变化的量？ ⑵每个实例中变量的取值集合分别是什么？⑶归纳以上三个实例，变量之间的关系有什么共同特点？设计意图：用集合与对应的语言描述两个变量之间的关系，进而概括出函数的概念.函数的概念：设A 、B 是非空数集，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：()y f x =，x A ∈.解读：⑴A 、B 均是非空数集;⑵对于集合A 中的任意一个数,集合B 中都有唯一确定的数和它对应;⑶由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，三者缺一不可; ⑷若函数的值域记作集合C ，则集合C 是集合B 的子集. 设计意图：进一步加深对函数概念的理解.理解.3.联合对抗 巅峰对决设计意图：为了延伸课堂教学，巩固提升所学知识，充分调动学生学习的积极性和主动性，彰显新课改的理念，将学生分成北斗七星小组，小组交流，小组协作，代表展示，采用必答和抢答的形式，设计了以下两个环节.【联合对抗】是不是是-{}2(1){|0}:||(2):(3)11{0}:0.A R B x x f x y x A Z B Z f x y x A x x B f x y ==>→===→==≤≤=→=，，；，，；，，下列对应是否为从集合到集合的一个函数？B A 分析：判断一个对应关系是否是函数要从以下几个方面去判断：①、是否都是非空数集；②中任一元素在中是否有元素和它对应；③中任一元素在.A B A B A B 21243431x ()f x 12434321x ()g x 已知集合，设都是从集合到集合的函数，其对应关系如下表：()f x g x 、A A 则与的值相等的是（）()().1A g f ()().2B g f ()().3C g f ()().4D g fA {1234A =，，，()()1f g 设集合，给出四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是（）{}{}0202M x x N y y=≤≤=≤≤，M N CB ③④⑧下列图形中可作为函数图象的是_________①③的值；⎫⎝已知函数，⑴求函数的定义域；⑵求⑶当时，求的值.()2f x x +()233f f ⎛- ⎪⎭，0a >()()1f a f a -，⑵()31f -=-；2338f ⎛⎫= ⎪⎝⎭⑶()12f a a +；()11.1f a a -+已知a 且，则的值为_________________.()21f x x =-()2543f a --=a x a 分析：()()()22221542541356016f x f a a a a a a =-∴--=---=∴--=∴=-或16-或 x 下列函数中哪个函数与函数相等？()()()()221 2 34y y xy y ==；；y x =不相等不相等相等不相等设计意图：从函数的定义域、对应关系、值域等方面对函数的概念进行了考查，强化函数的概念，正确理解函数概念的本质内涵.【巅峰对决】3.已知函数的定义域为，在同一坐标系下，函数的图象与直线的交点个数为______;()f x {}15x x -≤≤()y f x =2x =11.求下列函数的定义域:⑴;()147f x x =+x ⑵.()1f =-74x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭{}31x x -≤≤⑵求的值.()()()()f a f a f a f a -+-，，22--解：⑴()()()()2822820f f f f ==-+=，，()()()()3332320f a a a f a a a f a f a =+-=---+=，，⑵x 2.已知函数，⑴求的值；()332f x x =+()()()()2222f f f f -+-，，三、反思环节1.通过课堂小结，培养了学生的归纳概括能力，实现教与学的同步.2.推荐作业：巩固知识、提高能力和拓展视野.设计意图：巩固所学内容并进行自我检验与评价，作业的布置既面向全体学生，又实现了分层教学.【教学资源】利用多媒体辅助教学已经成为现代教育的一个重要内容.为了充分调动学生学习的积极性和主动性，引发学生学习的兴趣，创设生动活泼的教学氛围，本节课将采用PPT 课件作为多媒体辅助教学手段.从而实现高效课堂，有效教学.【教学效果】整个教学过程，实现了学生积极参与的主体作用和教师引导探索的主导作用.通过学生直观感知，分组探究，交流展示，互评互学，从而实现高效课堂，有效教学.这既体现了新课程的教学理念，又保证了学生在轻松愉快的氛围中掌握了本节课的知识.。
12.1 函数 教案-2024-2025学年沪科版八年级数学上册
《 12.1 函数》教学设计教学内容分析本节课是在学习了函数的表示方法的基础上学习的，让学生学会观察、分析函数图象信息，并能利用获取的信息解决实际问题，感受数形结合的数学思想，能在利用函数图象解决实际问题的过程中，获得自主观察、分析的能力，提高读图能力。
学习者分析学生已经学习了函数的表示法，对从图象中获得信息有一定的基础，有观察，分析，读图的能力，本节课的学习还是比较轻松的。
教学目标 1.能从函数图象中获取与函数有关的信息,解决函数中的问题；2.能通过函数间变量的关系,理解图象中的点或线段代表的实际意义；3.体会数形结合思想,提高解决问题的能力.教学重点学会观察、分析函数图象信息.教学难点利用从图象中获取的信息解决实际问题.学习活动设计教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T随时间t的变化而变化的情况.图象中包括了很多信息，比如一天中的最低温度与最高温度，你还能从中得到哪些信息？比如，温度呈下降趋势的时间段，温度呈上升趋势的时间段.本节课，我们一起来学习怎样从图象中获取信息. 学生活动1：学生动脑回忆思考，并积极回答.活动意图说明：引导学生观察图象，从图象中获得信息，调动学生学习的积极性，并通过提问激发学生的好奇心和求知欲,引出新课.环节二：从函数图象中获取信息教师活动2：思考1 如图是记录某人在24ｈ内的体温变化情况的图象．图中纵轴上0～35一段省略了.（1）图中有哪两个变化的量？哪个变量是自变量？哪个变量是因变量？（2）在这天中此人的最高体温与最低体温各是多少？分别是在什么时刻达到的？（3）21:00时此人的体温是多少？（4）这天体温达到36.2℃时是在什么时刻？（5）此人体温在哪几段时间上升？在哪几段时间下降？在哪几段时间变化最小？解：（1）时间t与温度T，其中t是自变量，T 是因变量（2）最高温度为36.7℃，在18:00达到，最低温度为35.9℃，在4:00达到.（3）36.3℃学生活动2：学生观察图象，思考回答.（4）6:00或23:00.（5）体温上升的时间段：4:00~7:00、8:00~9:00、10:00~11:00、12:00~14:00、15:00~16:00、17:00~18:00.体温下降的时间段：2:00~4:00、7:00~8:00、9:00~10:00、11:00~12:00、14:00~15:00、16:00~17:00、18:00~24:00 .体温变化最小的时间段：0:00~2:00、9:00~11:00.函数关系用图象表示，直观、形象，容易从中了解函数的一些变化情况.横轴表示自变量，纵轴是因变量.最高点表示因变量的最大值，最低点表示因变量的最小值.水平线部分表示函数在相应区间内函数值不变.不同区间表示的函数意义不同.思考2 一艘轮船在甲港与乙港之间往返运输学生小组交流思考后，回答问题.［左图］，只行驶一个来回，中间经过丙港，右图是这艘轮船离开甲港的距离随时间的变化曲线.（１）观察曲线回答下列问题：①从甲港（Ｏ）出发到达丙港（Ａ），需用多长时间？②由丙港（Ａ）到达乙港（Ｃ），需用多长时间？③图中ＣＤ段表示什么情况，船在乙港停留多长时间？返回时，多长时间到达丙港（Ｂ）？④从丙港（Ｂ）返回到出发点甲港（Ｅ），用多长时间？（２）你知道轮船从甲港前往乙港的平均行驶速度快，还是轮船返回的平均速度快呢？（３）如果轮船往返的机器速度是一样的，那么从甲港到乙港是顺水还是逆水？解：（1）①从甲港(O)出发到达丙港(A)用去1 h；②从丙港(A)出发到达乙港(C)用去2 h；③图中CD段表示船在乙港停留1 h，返回时4 h到达丙港(B)；④从丙港(B)返回到甲港(E)用了2 h.（2）轮船往返行驶的路程一样，用的时间越少则平均速度越快.（3）若轮船往返的机器速度一样，那么顺水时速度快，逆水时速度慢.如何从图象中获得有用信息：1.明确“两轴”的含义通常横轴表示自变量，纵轴表示函数值．通过图象可明确自变量、函数值以及它们的取值范围．2.明确图象上的点的意义学生在教师的引导下总结.过一点分别向横轴和纵轴作垂线，两个垂足分别所表示的数就是自变量与函数值的一对对应值．3.弄清上升线、下降线和水平线上升(下降)线表示函数值随自变量的增大而增大(减小)，水平线表示随自变量的变化函数值不变．活动意图说明：通过熟悉的例子，让学生认识函数图象的实际意义，并通过观察从函数图象中获取需要的信息，培养学生自主观察、分析的能力，提高读图能力.通过归纳明确如何从图象中获取有用的信息，培养学生的归纳概括能力.板书设计课题：12.1.4函数如何从图象中获得有用信息：（1）明确“两轴”的含义（2）明确图象上的点的意义（3）弄清上升线、下降线和水平线课堂练习【知识技能类作业】必做题：1.甲、乙两人进行慢跑练习，慢跑路程y（米）与所用时间t（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ D ）A.前2分钟，乙的平均速度比甲快B.5分钟两人都跑了500米C.甲跑完800米的平均速度为100米/分D.甲乙两人8分钟各跑了800米2.某天早晨7:00,小明从家骑自行车去上学,途中因自行车发生故障,就地修车耽误了一段时间,修好车后继续骑行,7:30赶到了学校.如图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程.结合图象,判断下列结论正确的是( A )A.小明修车花了15 minB.小明家距离学校1 100 mC.小明修好车后花了30 min到达学校D.小明修好车后骑行到学校的平均速度是3 m/s3.小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程s(m)与时间t(min)之间的函数关系.已知小明购物用时30min,返回速度是去商场的速度的1.2倍,则a的值为( D )A.46B.48C.50D.524.汽车在行驶过程中，速度往往是变化的，下图表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况.观察图象回答:(1)汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？(2)汽车在哪些时间段匀速行驶？时速分别是多少？(3)出发后8分到10分之间可能发生了什么？(4)用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况.解:(1)24分钟，最高时速是90千米/时.(2)2~6分钟匀速行驶，时速为30千米/时，18~22分钟匀速行驶，时速为90千米/时.(3)汽车停下了.(4)汽车从0~2分钟加速，从2~6分钟匀速行驶，6~8分钟减速行驶，8~10停下了，10~18分又加速行驶，18~22分匀速行驶，22~24减速到停止.选做题：5. 向一个容器内均匀地注入水，液面升高的高度y与注水时间x满足如图所示的图象，则符合图象条件的容器为(A)6.如图,四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系,请按图象顺序将下面四种情景与之对应,正确的排序为__③②④①__ . (填序号)①一辆汽车在公路.上匀速行驶(汽车行驶的路程与时间的关系);②向锥形瓶(上小下大)中匀速注水(水面的高度与注水时间的关系);③将常温下的温度计插入一杯热水中(温度计的读数与时间的关系);④一杯越来越凉的水(水温与时间的关系).【综合拓展类作业】7.小红帮弟弟荡秋千(如图①),秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图②所示.结合图象回答:(1)当t=0.7时,h的值是多少?并说明它的实际意义;(2)将秋千向后拉到最高点然后松开,秋千向前摆动,再向后返回到最高点,这叫做一个周期,秋千摆第二个周期需要多少时间?解:(1)由函数图象可知,当t=0. 7时,h=0. 5,它的实际意义是秋千摆动0.7 s时,离地面的高度是0.5 m;(2)从图象看,第一个周期用时2.8 s,后一个周期.用时5.4-2.8=2.6(s),故秋千摆第二个周期需要2.6 s.课堂总结如何从图象中获得有用信息：（1）明确“两轴”的含义（2）明确图象上的点的意义（3）弄清上升线、下降线和水平线作业设计【知识技能类作业】必做题：1.小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（B ）2.如图所示的折线图描述了某地某日的气温变化情况.根据图中信息,下列说法错误的是（D ）A.4:00气温最低B.6:00气温为24 CC.14:00气温最高D.气温是30 C的时刻为16:003.如图是某汽车行驶的路程s(km)与时间t(min)的函数图象,汽车在前9min内的平均速度是80 km/h,汽车在中途停了7 min.选做题：4．如图所示的函数图象反映如下过程：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家.其中x表示时间，y表示小徐离家的距离，读图可知菜地离小徐家的距离为（ A ）A. 1.1千米B. 2千米C. 15千米D. 37千米5．甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离开出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的函数关系如图所示.根据图中提供的信息，有下列说法:(1)他们都行驶了18千米；(2)甲在途中停留了0.5小时；(3)乙比甲晚出发了0.5小时；(4)甲乙两人同时到达目的地.其中符合图象描述的说法有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个【综合拓展类作业】6.如图是小明从学校到家里行进的路程s(m)与时间t(min)的函数图象.观察图象,从中得到如下信息:①学校离小明家1000m;②小明用了20min到家;③小明前10min走了路程的一-半;④小明后10min比前10min走得快.其中,正确的有①②④ .(填序号)教学反思在这个信息充斥的时代,我们身边有很多信息载体,本节课带领学生去读信息，获取、分析图象上的信息，让学生去想问题和答案,调动学生的积极性,锻炼学生的分析能力和语言表达能力.。
(新课标)高考数学一轮复习 第二章 第4讲 知能训练轻松闯关
（新课标）高考数学一轮复习第二章第4讲知能训练轻松闯关【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第二章第4讲知能训练轻松闯关1．(2014·高考湖南卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A．f(x)＝1x2B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x解析：选A．A中f(x)＝1x2是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A满足题意．B中f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C中f(x)＝x3是奇函数．D中f(x)＝2－x是非奇非偶函数．故B，C，D都不满足题意．2．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图象，则f(2 014)＋f(2 015)＝( )A．3 B．2C．1 D．0解析：选A．因为f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 014)＋f(2 015)＝f(671×3＋1)＋f(672×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图象可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2 014)＋f(2 015)＝1＋2＝3．3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C．A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，∴h(x)是奇函数，C正确．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．4．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析：选A ．由题意知x ∈[0，＋∞)时，f (x )为减函数且当x ∈R 时，f (x )的图象关于直线x ＝0对称，所以f (1)>f (－2)>f (3)，故选A ．5．(2015·山东威海模拟)函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{x |x >2或x <－2}B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4} 解析：选C ．由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)·(ax ＋b )，(2a －b )·x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ．则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0．f (2－x )>0，即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4．故选C ．6．f (x )＝k ·2x ＋2－x为偶函数，则k ＝________，为奇函数，则k ＝________． 解析：f (x )为偶函数时，f (－1)＝f (1)， 即k 2＋2＝2k ＋12，解得k ＝1．f (x )为奇函数时，f (0)＝0，即k ＋1＝0，∴k ＝－1(或f (－1)＝－f (1)， 即k 2＋2＝－2k －12，解得k ＝－1)． 答案：1 －17．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)f (x )＝1，若f (1)＝－5，则f (－5)＝________．解析：由f (x ＋2)f (x )＝1，得f (x ＋2)＝1f （x ），进而得f (x ＋4)＝f (x )，所以f (－5)＝f (－5＋4)＝f (－1)＝1f （－1＋2）＝1f （1）＝－15．答案：－158．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0．若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3．答案：(－1，3)9．设函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )．若f (3)＝1，且f (a )>f (a －1)＋2，求实数a 的取值范围．解：因为f (xy )＝f (x )＋f (y )，且f (3)＝1，所以2＝2f (3)＝f (3)＋f (3)＝f (9)． 又f (a )>f (a －1)＋2，所以f (a )>f (a －1)＋f (9)，再由f (xy )＝f (x )＋f (y )，可知f (a )>f (9(a －1))．因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a >09（a －1）>0a >9（a －1），解得1<a <98．故实数a 的取值范围为(1，98)．10．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ． (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调区间． 解：(1)∵由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4． (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4． (3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1，4k ＋1](k ∈Z )，单调递减区间为[4k ＋1，4k ＋3](k ∈Z )．1．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( )A ．(1，3)B ．(－1，1)C ．(－1，0)∪(1，3)D ．(－1，0)∪(0，1) 解析：选C ．f (x )的图象如图．当x ∈(－1，0)时，由xf (x )>0，得x ∈(－1，0)； 当x ∈(0，1)时，由xf (x )<0，得x ∈∅；当x ∈(1，3)时，由xf (x )>0，得x ∈(1，3)． 故x ∈(－1，0)∪(1，3)．2．(2015·皖北协作区联考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意x 、y ∈R ，x＋y ≠0，都有f （x ）＋f （y ）x ＋y>0，若x >2y ，则( )A ．f (x )>f (2y )B ．f (x )≥f (2y )C ．f (x )<f (2y )D ．f (x )≤f (2y )解析：选A ．因为f （x ）＋f （y ）x ＋y>0，令x ＝x 1，y ＝－x 2， 则f （x 1）＋f （－x 2）x 1－x 2>0．又函数f (x )是奇函数，所以f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，即函数f (x )是定义在R 上的增函数．因为x >2y ，所以f (x )>f (2y )，故选A ．3．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是____________．解析：在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x．解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1) 4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．解析：∵f (x )为奇函数并且f (x －4)＝－f (x )．∴f (x －4)＝－f (4－x )＝－f (x )，即f (4－x )＝f (x )，且f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )， 即y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称，并且是周期为8的周期函数． ∵f (x )在[0，2]上是增函数，∴f (x )在[－2，2]上是增函数，在[2，6]上为减函数，据此可画出y ＝f (x )的图象．其图象也关于x ＝－6对称， ∴x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4， ∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8． 答案：－85．已知函数f (x )＝2|x －2|＋ax (x ∈R )有最小值． (1)求实数a 的取值范围；(2)设g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝f (x )，求g (x )的解析式．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）x －4，x ≥2，（a －2）x ＋4，x <2，要使函数f (x )有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥0，a －2≤0，∴－2≤a ≤2，故a 的取值范围为[－2，2]．(2)∵g (x )为定义在R 上的奇函数，∴g (－0)＝－g (0)，∴g (0)＝0．设x >0，则－x <0． ∴g (x )＝－g (－x )＝(a －2)x －4，∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x －4，x >0，0，x ＝0，（a －2）x ＋4，x <0.6．(选做题)(2015·山东菏泽模拟)已知函数y ＝f (x )在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数．(1)求证：对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0；(2)若f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：若x 1＋x 2＝0，显然不等式成立． 若x 1＋x 2＜0，则－1≤x 1＜－x 2≤1，∵f (x )在[－1，1]上是减函数且为奇函数，∴f (x 1)＞f (－x 2)＝－f (x 2)，∴f (x 1)＋f (x 2)＞0． ∴[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立． 若x 1＋x 2＞0，则1≥x 1＞－x 2≥－1， 同理可证f (x 1)＋f (x 2)＜0．∴[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．综上得证，对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0恒成立．(2)∵f (1－a )＋f (1－a 2)＜0⇔f (1－a 2)＜－f (1－a )＝f (a －1)，∴由f (x )在定义域[－1，1]上是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－a 2≤1，－1≤a －1≤1，1－a 2＞a －1，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a 2≤2，0≤a ≤2，a 2＋a －2＜0，解得0≤a ＜1． 故所求实数a 的取值范围是[0，1)．。
高中数学第四届全国高中青年数学教师优秀课观摩大赛函数性质的应用教案说明 必修1
函数性质的应用教案说明一、授课内容的数学本质与教学目标定位以函数性质为载体，培养学生获取新知识能力，信息收集处理的能力，交流协作的能力，创新和实践能力、分析解决问题的能力，进而发展学生的思维能力。
1．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终，而函数性质又在函数中起着统领的作用，乃重中之重；2．高中学生在这一年龄段特点是求知欲强，开发潜力大。
他们的观察力、注意力、感知能力和思维能力和初中相比都有明显提高，他们观察事物更富有目的性，更加全面和深刻，而且能比较持久地学习、研究理论方面的问题，思维的独立性和批判性也大大提高。
从这些年龄特征来考虑，应尽力凸显学生这一时期的发展水平和发展可能。
函数性质的应用这节课蕴含着丰富的思维方法和策略，利用函数性质掌握好解决函数问题的策略不仅有助于学生掌握高中数学解题的基本思维方法，而且有助于他们自身问题解决能力和数学素质的提高。
3．从情感上来看，本节课由浅入深的安排函数性质的应用，环环相扣，能极大的激发学生学习的兴趣，并随着问题的逐个自行解决，进而树立学生学好数学的信心。
二、学习本内容的基础以及今后有何用处1．本内容是在高中数学人教社B版必修1讲完2．1函数的单调性和奇偶性之后，安排的一节专题研究课，是有关抽象函数性质研究的第一节课。
这节课承接前面所研究的函数的定义、表示方法、单调性、奇偶性，是这些内容的深化、提高，并且是在研究完具体初等函数的性质之后再进行的，从感性认识提高到理性认识。
另一方面，可以通过对抽象函数性质的研究的学习，为后面学习指数函数、对数函数、及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值、导数等等都有着紧密的联系，同时它对后面的函数的进一步学习在思维上起着进一步深化、拓展的作用。
2．本节课在函数中是由具体到抽象的一个重要过渡，它对后面利用函数性质的进一步研究抽象函数问题起着重要的铺垫、引领作用。
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人教版中职数学教材基础模块上册全册教案目录第三章函数 (1)3.1.1 函数的概念 (1)3.1.2 函数的表示方法 (5)3.1.3 函数的单调性 (8)3.1.4 函数的奇偶性 (13)3.2.1 一次、二次问题 (17)3.2.2 一次函数模型 (20)3.2.3 二次函数模型 (24)3.3 函数的应用 (29)第四章指数函数与对数函数 (32)4.1.1 有理指数(一) (32)4.1.1 有理指数(二) (36)4.1.2 幂函数举例 (40)4.1.3 指数函数 (43)4.2.1 对数 (48)4.2.2 积、商、幂的对数 (51)4.2.3 换底公式与自然对数 (55)4.2.4 对数函数 (57)4.3 指数、对数函数的应用 (60)第五章三角函数 (63)5.1.1 角的概念的推广 (63)5.1.2 弧度制 (67)5.2.1 任意角三角函数的定义 (71)5.2.2 同角三角函数的基本关系式 (76)5.2.3 诱导公式 (80)5.3.1 正弦函数的图象和性质 (85)5.3.2 余弦函数的图象和性质 (89)5.3.3 已知三角函数值求角 (92)第三章函数3.1.1函数的概念【教学目标】1. 理解函数的概念，会求简单函数的定义域．2. 理解函数符号y＝f (x)的意义，会求函数在x＝a处的函数值．3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．【教学重点】函数的概念及两要素，会求函数在x＝a处的函数值，求简单函数的定义域．【教学难点】用集合的观点理解函数的概念．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．运用现代化教学手段，通过两个实例，分析抽象出函数概念，使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素．然后通过求函数值与定义域的两类题目，深化对函数概念的理解．3.1.2函数的表示方法【教学目标】1. 了解函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法．2. 已知函数解析式会用描点法作简单函数的图象．3. 培养学生数形结合、分类讨论的数学思想方法，通过小组合作培养学生的协作能力．【教学重点】函数的三种表示方法；作函数图象．【教学难点】作函数图象．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组讨论教学法．本节课先借助一个实例，简要介绍函数的三种表示方法，进一步刻画函数概念；然后通过两个例题，使学生初步感知如何由解析式分析函数性质以指导画图，避免画图的盲目性．通过本节教学，使学生初步了解数形结合研究函数的方法，为下面学习函数的单调性和奇偶性做铺垫．【教学过程】新课3．针对上面的例子，思考并回答下列问题：(1) 在上例描点时，是怎样确定一个点的位置的？哪个变量作为点的横坐标？哪个变量作为点的纵坐标？(2) 函数的定义域是什么？(3) s的值能大于200吗？能是负值吗？为什么？函数的值域是什么？(4) 距离s 随行驶时间t 的增大有怎样的变化？4．例1作函数y＝x3 的图象．解列表画图5．结合例1完成下列问题：(1) 函数y＝x3 的定义域、值域是什么？(2) 函数值y随x的增大有怎样的变化？(3) f(a)与f(－a)相等吗？有怎样的关系？(4) 函数图象是轴对称图形还是中心对称图教师引导学生利用函数图象分析回答函数的性质．师：由上例可以看出，我们在列表、作图时，要认真分析函数，避免盲目列表计算．函数的图象有利于我们研究函数的性质，如本例中函数的定义域、值域以及y随x增大而增大等性质．教师引导学生分析：函数y＝x3 的定义域是R，当x＞0时，y＞0，这时函数的图象在第一象限，y 的值随着x 的值增大而增大；当x＜0时，y＜0，这时函数的图象在第三象限，y 的值随着x 的值减小而减小．教师引导学生完成列表、描点及连线，完成函数图象．师生合作完成例1，让学生体会取值前如何分析研究函数式的特点．学生分组讨论完成，从讨论中掌握分析函数性质的方法．力．本题的设置起到了承上启下的作用．为突破本节课难点而设计．问题(4)为下节引入函数的单调性做准备．让学生在作图过程中体会函数的性质，从做中学．尽可能把主动权交给学生，使学生在自主探索中发现问题解决问题．问题(3)(4)的设置是为引入函数的奇偶性作准备．新课形？6．例2作函数y＝1x2的图象．解列表画图7．结合例2解答下列问题：(1) 函数y＝1x2的定义域、值域是什么？(2) 在第一象限中，函数值y随x的增大有怎样的变化？在第二象限中呢？(3) f (a)与f (－a)相等吗？有怎样的关系？(4) 函数图象是轴对称图形还是中心对称图形？学生小组合作分析课本例2如何取值．学生作出例2图象，教师针对出现的情况进行点评或让学生互评．教师强调自变量的取值，即{x | x≠0}．学生分组讨论完成，从讨论中掌握分析函数性质的方法．避免为作图象而作图象，让学生在画图的过程中学习．让学生进一步掌握分析函数性质的方法．并为下一步学习函数的单调性与奇偶性做准备．小结1. 函数的三种表示方法．2. 作函数图象．学生畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．作业教材P65 ，练习A组第3题；练习B 组第2题．巩固拓展．3.1.3函数的单调性【教学目标】1．理解函数单调性的概念，掌握判断函数的单调性的方法．2．通过教学，使学生领会数形结合的数学方法；培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3．体验数学的严谨性，渗透由一般到特殊的辩证唯物主义观点．【教学重点】函数单调性的概念；学会运用图象法观察函数的单调性和用定义法证明一些函数的单调性．【教学难点】利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性．【教学方法】这节课主要采用类比教学法和分组教学法．教师用问题引导学生从函数图象的变化趋势类比得出增减函数的概念，然后对图象进行代数分析，得出用定义证明函数单调性的步骤．从形的直观感知到严密的代数分析，使学生领会数形结合研究函数的方法．借助两个证明题，深化学生对单调性概念的理解．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入从常见的美丽的建筑物图片入手，让学生感知数学的美，激发学生的学习兴趣．师：播放动画，师生共同欣赏后，引导学生观察部分曲线的变化趋势，引入课题．联系实际，激发兴趣．新课1．课件展示下列函数图象师：提出问题，引导观察思考：1．观察图象的变化趋势怎样？2．你能看出当自变量增大或减少时函数值如何变化吗？生：观察动画，思考回答．从图象直观感知函数的单调性．新课2．增函数与减函数的定义：增函数：在给定的区间上自变量增大(减少)时，函数值也随着增大(减少)．减函数：在给定的区间上自变量增大(减少)时，函数值也随着减少(增大)．3．例1给出函数y＝f (x)的图象，如图所示，根据图象指出这个函数在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？解函数y＝f (x)在区间[－1，0]，[2，3]上是减函数；在区间[0，1]，[3，4]上是增函数．4．练习1(1) 观察教材P64 例1的函数图象，说出函数在(－∞，＋∞)上是增函数还是减函数；(2) 观察教材P65 例2的函数图象，分别说出函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数还是减函数．5．设y＝f (x)，在给定的区间教师引导学生归纳增函数与减函数的定义．学生观察图象完成此题，掌握用图象来判断函数单调性的方法．教师强调，在说明函数单调性时，要指出明确的区间．学生回答，教师点评．教师带领学生结合增函数图象分析如何利通过观察函数图象直接给出增函数、减函数的定义，符合学生的特点，容易被学生接受．从观察直观图象入手，加深对单调性定义的理解，掌握用图象法判定函数单调性的方法，使学过的知识及时得到应用．通过练习1，让学生进一步掌握利用函数的图象来判断函数单调性的方法，从而提高学生的读图能力，并与前面学过的知识结合，对学过的函数有更新的认识．新在此图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记∆x＝x2－x1，∆y＝y2－y1．6．例2 证明函数f (x)＝3 x＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数．证明设x1，x2是任意两个不相等的实数，则∆x＝x2－x1用函数的解析式来判断一个函数是增函数．学生类比分析如何利用函数的解析式来判断一个函数是减函数．教师指出利用函数图象判断单调性的局限性，引导学生从函数解析式入手证明单调性的思路与步骤．教师讲解例题2，板书详细的解题过程．将增函数、减函数定义中的定性说明转化为定量分析．从而给出利用函数解析式来判断函数单调性的方法．启发学生思考，完成从直观到抽象、从感性思维到理性思维的升华．在板书例题的过程中，突出解题思路与步骤．通过例题解答，加深对函数单调性定义的理解，并自然而然地将定义运用到判定函数单调性中，理论与实践相辅相成．课新课∆y＝f (x2)－f (x1)＝(3 x2＋2)－(3 x1＋2)＝3(x2－x1)，∆y∆x＝3(x2－x1)x2－x1＞0．因此，函数f (x)＝3 x＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数．7．总结由函数的解析式判定函数单调性的步骤：S1 计算∆x和∆y；S2 计算k＝∆y∆x．当k＞0时，函数在这个区间上是增函数；当k＜0时，函数在这个区间上是减函数．8．例3证明函数f (x)＝1x在区间(0，＋∞)上是减函数．证明：设x1，x2是任意两个不相等的正实数．因为∆x＝x2－x1，∆y＝f(x2)－f(x1)＝1x2－1x1＝2121xxxx-＝－2112xxxx-＝－21xxx∆．又因为x1 x2＞0，所以∆y∆x＝－211xx＜0．因此，函数f (x)＝x1在区间(0，＋∞)上是减函数．9．练习2证明函数f (x)＝3x在区间(－∞，0)上是减函数．教师引导学生总结解题步骤，可简记为：一设、二求、三判定．学生讨论并试解例题．老师点拨、解答学生疑难．学生模仿练习．突出重点，深化证明步骤，分解难点．通过学生讨论、老师点拨，顺利帮助学生判断∆y∆x的正负．巩固用函数解析式来判定单调性的思路和步骤．巩固理解，形成技能．小结1. 函数单调性的定义；2. 判定函数单调性的方法．学生阅读课本P66～68，畅谈本节课的收获．老师引导梳理，总结本节课的知识点．梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．作业教材P 69，练习A组第2题；练习B组第1、2题．巩固拓展．3.1.4函数的奇偶性【教学目标】1. 理解奇函数、偶函数的概念；掌握奇函数、偶函数的图象特征．2. 掌握判断函数奇偶性的方法．3. 通过教学，渗透数形结合思想，培养学生类比推理的能力，体会由具体到抽象、由特殊到一般的辩证唯物主义思想．【教学重点】奇偶性概念与函数奇偶性的判断．【教学难点】理解奇偶性概念与奇函数、偶函数的定义域．【教学方法】这节课主要采用类比教学法．先由两个具体的函数入手，引导学生发现函数f(x)在x与在－x的函数值之间的关系，由特殊到一般引出奇函数的定义，再由点的对称关系得出奇函数的图象特征．然后由学生自主探索，类比得出偶函数定义．结合定义与例题总结出判断函数奇偶性的步骤，在解题过程中深化对概念的理解．【教学过程】3.2.1一次、二次问题【教学目标】1. 通过实际问题感知一次、二次函数在实际生活中的应用．2. 培养学生从实际问题中抽象出数学模型并应用模型去解决实际问题的能力．3. 通过教学，培养学生应用数学的意识，提高学生分析问题、解决问题的能力．【教学重点】从实际问题中抽象简单的数学模型．【教学难点】从实际问题中抽象简单的数学模型．【教学方法】这节课主要采用问题解决法．教师引导学生对实际问题先用列表计算与画图的方法来直观感知，然后抽象成一次函数和二次函数来研究，通过教学，培养学生从实际问题中抽象出一次、二次函数模型并应用模型去解决实际问题的能力．【教学过程】3.2.2一次函数模型【教学目标】1. 掌握正比例函数和一次函数的关系；理解并掌握一次函数的性质．2. 培养学生数形结合研究函数性质的能力，渗透平移变换的数学思想．3. 体验数学的严谨性，培养学生理性分析问题的良好习惯．【教学重点】一次函数的性质．【教学难点】对正比例函数和直线的关系的理解．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．先定义一次函数，对特殊的一次函数——正比例函数，则采用由曲线与方程的角度来描述正比例函数与直线的关系，然后再考察一次函数与正比例函数的关系，从而得出一次函数的图象也是一条直线的结论，并结合函数的单调性深入分析一次函数的性质，将学生初中对具体的一次函数的认识上升到一般的理性结论.【教学过程】3.2.3二次函数模型【教学目标】1. 理解并掌握二次函数的图象和性质；了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系；2. 通过教学，使学生初步掌握数形结合研究二次函数的方法；3. 渗透数形结合思想，渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生观察分析、类比抽象的能力．【教学难点】函数对称性的分析与数形结合研究二次函数的方法．【教学方法】这节课主要采用启发式教学法和讲练结合法．本节课通过对例题中的二次三项式进行代数分析，探究二次函数性质的由来，使学生从初中对二次函数的直观感知上升到理性认识的高度．更重要的是在学习函数的一般通性之后，以二次函数为载体较系统地呈现数形结合研究函数的方法，为后面学习其它函数的性质奠定基础．【教学过程】新课观察图象并完成填空函数y＝a x2的图象，当a＞0时开口．当a＜0时开口，对称轴是，顶点坐标是．函数是函数（用奇或偶填空）．| a | 越大，开口越．例1研讨二次函数f (x)＝12x2＋4 x＋6的性质与图象．解(1) 因为f (x)＝12x2＋4 x＋6＝12(x2＋8 x＋12)＝12(x＋4)2－2．由于对任意实数x，都有12(x＋4)2≥0，所以 f (x)≥－2，并且，当x＝－4时取等号，即f(－4)＝－2．得出性质：x＝－4时，取得最小值－2．记为y min＝－2．点(－4，－2)是这个图象的顶点．(2) 当y＝0时，12x2＋4 x＋6＝0，x2＋8 x＋12＝0，解得x1＝－6，x2＝－2．生：观察图象，小组合作讨论．然后每组选一名代表汇报各组的交流结果，最后师生一起汇总得出结论．师生共同解决例1，教师详细板书解题过程，带领学生仔细分析各个性质的由来．教师引导学生观察图象可得出：函数的对称轴是直线x＝－4．师:这个结论是否是正确的呢？教师通过问题1、2，引导学生证明上述结论正确．通过对例1中二次三项式的代数分析，使学生对二次函数的直观感知上升到理性认识的高度，更重要的是使学生掌握数形结合研究函数的方法，初步培养学生的画图、识图能力．分析图象与x轴的交点，一方面为描点作图，另一方面为下节研究函数与方程，不等式的关系做铺垫．对称性的教学设计是为了启发学生完成从直观到抽象、从感性思维到理性思维的升华．教师让学生经历“观察—发现—验证—归纳”四2xy=2xy-=22xy=23xy=22xy-=23xy-=新课故该函数图象与x 轴交于两点(－6，0)，(－2，0)．(3) 列表作图．以x＝－4为中间值，取x 的一些值，列出这个函数的对应值表然后画出函数的图象．观察上表或图形回答：1．关于x＝－4对称的两个自变量的值对应的函数值有什么特点？答：相同．2．－4－h 与－4＋h (h＞0) 关于x＝－4对称吗？分别计算－4－h与－4＋h的函数值，你能发现什么？答：f (－4－h)＝f (－4＋h)．得出性质：直线x＝－4为该函数的对称轴．函数在(－∞，－4]上是减函数，在[－4，＋∞)上是增函数．小结例2中的函数性质：1．开口．2．最值．3．顶点．4．对称轴．5．单调性．练习2(课本例3)用配方法求函数f (x)＝3 x2＋2 x＋1的最小值和图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数？解：f (x)＝3 x2＋2 x＋1＝3(x2＋23x)＋1＝3(x2＋23x＋19－19)＋1＝3(x＋13)2＋23学生模仿练习．老师巡回观察点拨、解答学生疑难．例2是二次函数中a＜0的类型，学生可类比例1，自己得出图象与性质．例1与例2分别是二次函数中a＞0，a＜0的两种类型，教师引导学生填表，自己总结出二次函数的性质表格，对比记忆．个过程，感受数学的严密性、科学性．小结函数性质，将例1的分析条理化．通过练习2，进一步练习配方法以及巩固二次函数的性质．以表格的形式整理二次函数性质，使知识结构一目了然．y-2-6 O x-4-2新课所以y＝f(－13)＝23，函数图象的对称轴是直线x＝－13，在(－∞，－13]上是减函数，在[－13，＋∞)上是增函数．例2 研讨二次函数f (x)＝－x2－4x＋3的性质与图象．小结二次函数的性质．(表格见课件)例3 已知二次函数y＝x2－x－6说出：(1) x 取哪些值时，y＝0；(2) x 取哪些值时，y＞0，x 取哪些值时，y＜0．解 (1)求使y＝0的x 的值，即求二次方程x2－x－6＝0的所有根．方程的判别式∆＝(－1)2－4×1×(－6)＝25＞0，解得：x1＝－2，x2＝3．(2)画出简图，函数的开口向上．从图象上可以看出，它与x轴相交于两点(－2，0)，(3，0)，这两点把x轴分成三段．所以当x∈(－2，3)时，y＜0．当x∈(－∞，－2)∪(3，＋∞)时，y＞0．练习3 下列函数自变量在什么范围内取值时，函数值大于0、小于0或等于0．(1) y＝x2＋7 x－8；(2) y＝－x2＋2 x＋8．例3板书详细的解题过程．通过此例题，教师总结一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的关系：求二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，就是求二次函数：y＝a x2＋bx＋c(a≠0)的根；求不等式 a x2＋b x＋c＜0的解集，就是求使二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0 )的函数值小于0的自变量的取值范围；求不等式 a x2＋b x＋c＞0的解集，就是求使二次函数y＝a x2＋b x＋c(a≠0)的函数值大于0的自变量的取值范围．学生模仿练习．老师巡回观察点拨、解答学生疑难．本例题有两种方法，方法一：在图象中用区间分析法，方法二；求一元二次方程或一元二次不等式的解集的方法．教师在讲解时可根据学生的实际情况进行讲解和拓展．方法一：在图象中用区间分析法是比较简单的一种方法，通过此法可进一步培养学生的读图，识图能力，培养学生数形结合的思想．巩固用图象法解一元二次不等式的步骤．利用表格总结，使所学知识系统化．ｏ-2 3-6yx3.3函数的应用【教学目标】1. 会应用一次函数和二次函数解决有关简单实际问题．2. 培养学生建立简单的数学模型及应用模型去解决实际问题的能力．3. 通过教学，培养学生应用数学的意识，提高学生分析问题、解决问题的能力．【教学重点】应用函数知识解决一些简单的实际问题．【教学难点】从实际问题中抽象出函数模型．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．教师将四个例题与练习穿插在一起，教师引导与学生主动参与相结合，培养学生的审题能力，以及从实际问题中抽象出数学模型并应用模型去解决实际问题的能力．【教学过程】第四章指数函数与对数函数4.1.1有理指数(一)【教学目标】1. 理解整数指数幂及其运算律，并会进行有关运算．2. 培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养学生合作交流等良好品质．【教学重点】零指数幂、负整指数幂的定义．【教学难点】零指数幂及负整指数幂的定义过程，整数指数幂的运算．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．在引入指数幂时，以在国际象棋棋盘上放米粒为导入素材，既体现数学的应用价值，也能引起学生的学习兴趣．从正整指数的运算法则中的a mm-n (m＞n，a ≠ 0)a n＝a这一法则出发，通过取消m＞n的限制引入了零指数幂和负整指数幂的定义，从而把正整指数幂推广到整数指数幂．在本节教学中，要以取消m＞n这一条件为出发点，让学生积极大胆地猜想，以此增强学生的参与意识，从而提高学生的学习兴趣．4.1.1有理指数(二)【教学目标】1. 了解根式的概念和性质；理解分数指数幂的概念；掌握有理数指数幂的运算性质．2. 会对根式、分数指数幂进行互化．培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．3. 培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题．【教学重点】分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质．【教学难点】对分数指数幂概念的理解．【教学方法】这节课主要采用问题解决教学法．在引入分数指数幂时，先讲方根的概念，根据方根的定义，得到根式具有的性质．在利用根式的运算性质对根式的化简过程中，引导学生注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律．在对根式的性质进行练习以后，为了解决运算的合理性，引入了分数指数幂的概念，从而将指数幂推广到了有理数范围．在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，将有理指数幂推广到实数指数幂．考虑到职校学生的实际情况，并没有给出严格的推证．【教学过程】4.1.2 幂函数举例【教学目标】1. 了解幂函数的概念，会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象．2. 培养学生用数形结合的方法解决问题．注重培养学生的作图、读图的能力．3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质． 【教学重点】 幂函数的定义． 【教学难点】会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象． 【教学方法】这节课主要采用启发式和讲练结合的教学方法．从函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x 等导入，通过观察这类函数的解析式，归纳其共性，引入幂函数的概念．在例1求函数的定义域中，对于分数指数及负整指数的幂函数要转化为分式或根式的形式，讲解时，注意引导，让学生在解答问题的过程中自己归纳总结规律．函数图象是研究函数性质的有利工具，教师在讲授例2时，可以采用分组的方式，让学生一起合作完成函数的图象，并从本例中找出幂函数的某些性质．【教学过程】24.1.3指数函数【教学目标】1. 掌握指数函数的定义、图象、性质及其简单的应用．2. 培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养独立思考等良好的个性品质．【教学重点】指数函数的图象与性质．【教学难点】指数函数的图象性质与底数a的关系．【教学方法】这节课主要采用讲练结合和小组合作的教学方法．本节课由生活中的真实例子导入新课，引入指数函数的定义，并通过一组练习深化指数函数的定义．先通过列表——描点——连线得到指数函数的图象，然后在教师的启发下，充分利用函数的图象来研究函数的性质．为了加强学生对函数性质的应用，增加了一道求函数定义域的例题，然后安排一定数量的练习，体现练为主线，讲练结合的教学方法．【教学过程】4.2.1对数【教学目标】1. 理解对数的概念，掌握对数式与指数式的互化．2. 培养学生的类比、分析、转化能力，提高理解和运用数学符号的能力．3. 通过对数概念的建立，明确事物的辩证发展和矛盾转化的观点，培养学生科学严谨的治学态度．【教学重点】对数的概念，对数式与指数式的相互转化．【教学难点】对数概念及性质的理解掌握．【教学方法】这节课主要采用启发式和分组合作教学法．在教学过程中遵循学生是教学的主体的精神，要给学生提供各种可能的参与机会，调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动．利用多媒体辅助教学，引导学生从实例出发，认识对数的模型，体会引入对数的必要性．在教学重难点上，步步设问、启发学生积极思维，通过课堂练习、学生讨论的方式来加深理解重点，更好地突破难点和提高教学效率．让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权．。
用待定系数法求一次函数解析式(超赞)名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
1
5 2 x
3k 6k b 4
b解得k b
1 3 4
一次函数因 k旳为解正此析负题式，中且为没一有次明函确
数y=kx+b(k≠0)只有 在k＞0时，y随x旳
当k30时， 把(3,2),(6,5)分别代入y
得：
2 5
3k 6k b
b解得k b
1 3
3
增 0时k大x，而y增随b中大x旳，，增在大k＜而
b=6 4k+b=7.2 解得
k=0.3 b=6
所以一次函数旳解析式为:y=0.3x+6
Page 20
一次函数y=kx+b(k≠0)旳自变量旳取值范围是-
3≤x≤6，相应函数值旳范围是-5≤y≤-2,求这个函数旳解 析式.
解： 当k0时， 把(3,5),(6,2)分别代入y kx b中，
得：
y
解：设过A，B两点旳直线旳体现式为y=kx+b．
由题意可知， 1 3k b,
2 0 b,
∴
k 1, b 2.
∴过A，B两点旳直线旳体现式为y=x-2．
∵当x=4时，y=4-2=2．
∴点C（4，2）在直线y=x-2上．
∴三点A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在同一条直线上．
Page 22
请写出 y 与x之间旳关系式，并求当所挂物
体旳质量为4公斤时弹簧旳长度。
Page 18
在某个范围内,某产品旳购置量y(单位:kg)与单价x(单 位:元)之间满足一次函数,若购置1000kg,单价为800元;若 购置2023kg,单价为700元.若一客户购置400kg,单价是多 少?
解:设购置量y与单价x旳函数解析式为y=kx+b
让研学成为学生的“行走”方式——课题研究示范课“函数周期性拓展探究”回眸
程 中经 常 听学 生说 ： 只要 听老 师 说 这 个 条 件 可 以 确 定周 期 ， 我就 会解 这道 题 了 ， 但 是 自己在 做题 时 却 怎么 也想 不 到如何 去分 析． 究其原因， 是学 生对 函数 周 期性 的本 质 理 解 不 到 位． 教 材在《 三 角 函 数》 一章 通过 对 三 角 函数 周 期 的研究 抽 象 出周 期 函数 定 义 ． 从 形 的角 度 看—— 周 而 复 始 、 重复 出 现， 从数 的角 度看— — 一般 地 ， 对 于 函数 ｆ （ ｘ） ， 若 ］Ｔ≠ ０ ， 使得 Ｖ Ｅ Ｄ（ 定 义域 ） 都 有 ｆ（ ｘ－ ｔ － Ｔ）
一
函数定 义 ， 要 使 ｆ（ ｘ＋ ｎ ｔ ） 一－ 厂 （ ） 恒 成立 ， 则 一
１ ． 当 为奇数 时 ， 尼 一１ ； 当 为偶 数 时 ， 尼 一± １ ． 所
以有 以下 结论 ：
（ １ ） 尼一 １ ，ｂ 一 ０时 ， ｆ （ ｘ＋ ￡ ） 一ｆ（ ｘ） 对 Ｅ
究” 示 范课 “ 函数周 期性 拓展 探究 ” 时感慨 良多 ， 记 述如下 ， 与 同行 共 同探讨 ．
１ 设 计 缘 起
师： 一 般地 ， 当ｆ （ ｘ＋ ￡ ） 一ｋ ｆ（ ｚ） ＋６ （ 志≠ ０ ，
最 ， ｂ Ｅ Ｒ， ｔ ＞０ ） 在 Ｅ Ｒ上 恒成 立 时 ， 忌 ， ｂ满足
２ ０ １ ４年第 ３期
中学数 学 月刊
・ ３ ７ ・
让研学成为 学生 的“ 行走” 方式
— —
课 题 研 究 示 范课 “ 函数 周 期 性 拓 展 探 究’ ’ 回眸
施 建新 （ 江 苏省如 东高级 中学 ２ ２ ６ ４ ０ ０ ）
陕西省石泉县后柳中学八年级数学下册教案：19.1.2函数图像3
一、教学内容
陕西省石泉县后柳中学八年级数学下册教案：19.1.2函数图像3。本节课我们将深入学习以下内容：
1.掌握一次函数、反比例函数的图像及其性质；
2.学会通过图像判断一次函数、反比例函数的增减性；
3.理解并掌握二次函数图像的对称性；
4.能够根据给定条件绘制一次函数、反比例函数及二次函数的图像；
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了函数图像3这一章节，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思和总结。
首先，我发现同学们在理解一次函数、反比例函数及二次函数图像的性质时，普遍存在一些困难。在讲授过程中，我尽量用简单明了的语言解释，并通过实例演示，帮助他们理解和掌握。但在实际操作中，还是有一些同学对图像的绘制和性质把握不够熟练。针对这个问题，我考虑在接下来的课程中增加一些互动环节，如让同学们自己上台演示，或者分组讨论，以提高他们的实际操作能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数的增减性和二次函数的对称性这两个重点。对于难点部分，如反比例函数图像的特点，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与函数图像相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如绘制一次函数和二次函数图像。这个操作将演示函数图像的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“函数图像在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第2章 §2.1 函数的概念及其表示
3.已知 f(x3)＝lg x，则 f(10)的值为
A.1
B.3 10
√C.13
1
令x3＝10，则x＝103.
1 D. 3 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）
第二章 函 数
§2.1 函数的概念及其表示
考试要求
1.了解函数的含义. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)
表示函数. 3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
教材改编题
y＝x－2 1与 v＝t－2 1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相 同，所以是同一个函数，故选项 D 正确.
教材改编题
3.已知函数 f(x)＝lenx，x，x≤x>00，，
则函数
f
f
13等于
A.3
B.－3
√C.13
D.－13
由题意可知，f 13＝ln 13＝－ln 3，
思维升华
(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其 中的x的取值集合； (2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出； (3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在 [a，b]上的值域.
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的概念 一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意 一个数x， 按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 唯一确定 的数y和它对应，那 么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素： 定义域 、 对应关系 、 值域 . (2)如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，则这两个函 数为同一个函数.
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八年级 数学
第十四章 一次函数
14.1.2 函数 例2 一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不 再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行 驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗 油量为0.1L/km。 （1）写出表示y与x的函数关系的式子。 （2）指出自变量x的取值范围 （3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？ 解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x (2) 由x≥0及50－0.1x ≥0 得 0 ≤ x ≤ 500 ∴自变量的取值范围是: 0 ≤ x ≤ 500 (3)当 x = 200时,函数 y 的值为:y=50－0.1×200=30 因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L
4．会求函数值．
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第十四章 一次函数
14.1.2 函数
1．课本第106页第2～4题 ２．生活中许多问题的变量之 间都存在函数关系，利用课余 时间收集一些例子．
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第十四章 一次函数
14.1.2 函数
+ 0 5
5 101 207
=
问题：显示的数y是x的函数吗？数
变式：在计算器上按照下面的程序进行操作：
下表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算 结果： x -2 -1 0 1 2 3
y -5 -2 1 4 7
10
上面操作程序中所按的第三个键和第四个 1 键 应是 + .
注意：(1)函数不是一个数，而是反映两个变量之间的
一种对应关系； (2) 一个变量会随着另一个变量的变化而变化； (3) 自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的．
函数的概念：
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第十四章 一次函数
14.1.2 函数 1.写出下列各问题中的关系式，并指出其中的自 变量与函数。
（1）正方形的面积S 随边长 x 的变化而变化
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14.1.2 函数
人教版八年级上数学
兴国县第五中学 陈彦游
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第十四章 一次函数
14.1.2 函数
观察:下图是自动测温仪记录的一个图,你能从 图中得到哪些信息？
4 -3
7
14
24
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14.1.2 函数
1、汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶
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已知等腰三角形的一个底角为x°,顶角为y°. (1)求顶角y随底角x变化的函数解析式．并求自变
量的取值范围．
(2)当底角为50°时,顶角是多少度?
0°﹤x﹤90° (2)当x=50°时，y=180－2×50=80° 变式：已知等腰三角形的一个顶角为x°，底 角为y°．求底角y随顶角x变化的函数解析式．并求
里程为s千米，行驶时间为t小时，先填写下表， 再试着用含t的式子表示s. t/时 s /千米 1
60
2
120
3
180
4
240
5
300
用含t的式子表示s:
s = 60t
问题：这个问题中有几个变量，当t取定一个值时， s有几个值和它对应？
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2、如果弹簧原长10cm。每1kg重物使弹簧伸 长0.5cm，怎样用含重物质量(单位：kg)的式子表 示受力后的弹簧长度(单位：cm)？
S=x2
自变量是x,
S是x的函数。
（2）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均耕 地面积y随着人数的变化而变化
10 6 y x
自变量是x, y是x的函数。
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14.1.2 函数 2、下列各曲线中， y不是 x 的函数的是（ C ）
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14.1.2 函数
7
14
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问题：这个问题中有几个变量，当t取定一个值时， T有几个值和它对应？
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4、下面的我国人口数统计表中,年份与人口数 可以记作两个变量x与y。
问题：这个问题中有几个变量，当x取定一个值时， y有几个值和它对应？
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共同特征：
1、都有两个变量； 2、其中的一个变量取定一个值，
另一个变量的值也唯一确定。
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在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y ， 并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯 一确定的值 与其对应， 那么我们就说x是 自变量，y是x的函数 ． 如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量x的值为a时 y的函数值 ．
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例1 说出下列函数解析式中自变量的取值范围． 任意实数 (1) y=x－2 自变量x的取值范围是 x任意实数． 1 y 分母不能为 0 (2) x- 2 自变量x的取值范围是 x≠2 ． 算术平方根的被开方数 (3) y= x-2 要大于或等于0 自变量x的取值范围是 x≥2 ． 1 同时满足(2) 、(3)的条件 (4) y= x-2 自变量x的取值范围是 x﹥2 ．
3.下列关系中，y不是x的函数的是（ D ）
x 2 A. y B. y x C. y x D. y x 2
错误,请再想想。
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在计算器上按照下面的程序进行操作： 输入x（任意一个数）
按 × 键 显示y（计算结果）
x y 1 7 3 11
2 －4 －3
例如：S = 60t 时间t是： 自变量
．s是t的 函数 当t＝１时，函数值s＝ 60 ； 当t＝２时，函数值s＝ ．
函数的概念：
120 ．
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第十四章 一次函数
14.1.2 函数
在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y ， 并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯 一确定的值 与其对应， 那么我们就说x是 自变量，y是x的函数 ． 如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量x的值为a时 y的函数值 ．
自变量的取值范围．
解：(1) y=180－2x
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第十四章 一次函数
14.1.2 函数
这节课你有什么收获？
1．函数的概念． 注意： (1)函数不是一个数，而是反映两个变量之间
一种对应关系； (2) 一个变量变化会随着另一个变量变化而变化； (3) 自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的．
2．会根据实际问题列函数解析式． 3．会确定自变量的取值范围．
悬挂重物的质量(kg) 弹簧长度 (cm)
1
10.5
2
11
3
11.5
4
12
5
12.5
用含x的式子表示L:
L=10+0.5 x
问题：这个问题中有几个变量，当x取定一个值时， L有几个值和它对应？
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3、下图是自动测温仪记录的图,气温T随时间t 的变化图
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