九年级数学上册第21章《二次根式》(第5课时)二次根式的除法导学案
九年级数学二次根式教案 第21章 二次根式的乘除(3)
21.2 二次根式的乘除(3)第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1．计算（12，（3老师点评：35=155，3227=63，=2aa2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，•那么它们的传播半径的比是_________．．二、探索新知观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．老师点评：不是．2==例1．(1); (2)例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．解：因为AB2=AC2+BC2所以AB=222.56+==6.5（cm）因此AB的长为6.5cm．三、巩固练习教材P14练习2、3四、应用拓展例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=-，=从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算+）的值．BAC分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．解：原式=（2-1+3-2+4-3+……-2001）×（2002+1）=）=-1=五、归纳小结本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．六、布置作业1．教材P 15 习题21．2 3、7、10．2．选用课时作业设计．第三课时作业设计一、选择题1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）．A（y>0） B y>0） C y>0） D ．以上都不对2．把（a-1a-1）移入根号内得（ ）．A ．． 3．在下列各式中，化简正确的是（ ）A B ±12C ．4a b =a 2b D ． =x 1x -4的结果是（ ）A．B．C．D．二、填空题1．（x≥0）2．_________．三、综合提高题1．已知a若不正确，•请写出正确的解答过程：-a·1a（a-12．若x、y为实数，且，求x y x y+-的值．答案:一、1．C 2．D 3.C 4.C二、1． 2．三、1．不正确，正确解答：因为301aa⎧->⎪⎨->⎪⎩，所以a<0，2a a-a2．∵224040xx⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩∴x-4=0，∴x=±2，但∵x+2≠0，∴x=2，y=14∴.。
华东师大版九年级上册数学21.2.2二次根式的除法
课堂小结
1. 利用商的算术平方根的性质化简二根式。
2. 二次根式的除法有两种常用 方法： 1）利用公式a： a (a 0,b 0)
bb
2）把除法先写成分式的形式，再进 行分母有理
3. 在化运进算行。 分母有理化之前，可 以先观察把能化简的二次根式 先化简，再考虑如何化去分母 中的根号。
灿若寒星
课后练习
• 计算下列各式：
(1) 2 6
(2) 12 3
(3) 1000 0.1
(4) 3 2 23
(5) 24 3
灿若寒星
我思，我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。
灿若寒星
灿若寒星
观察发现
4 （2） 93
4 （2） 93
规律：a a （a 0,b 0） bb
16 （4） 49 7
16 （4） 49 7
2 2 33
2 2 55
灿若寒星
• 例1：
24 3
典例剖析
3 1 2 18
24
解析：3
24 3
82
2.
3 1 3 1 3 18 39 27 3 3 2 18 2 18 2
初中数学课件
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第21章 二次根式
21.2.2二次根 式除法 灿若寒星
课题提出
讨论：两个二次根式相除，应该如何计算呢？商的算数平方 根又等于什么？
回顾：二次根式的乘法法则，性质是积的运算等于积中各个 因式的算术平方根。
思考：二次根式的出发有没有类似的法则呢？试着举例说明。
在二次根式的运 算中， 最后结果
23 2 3 2 2 3 6
《21.1二次根式及21.2二次根式乘除》习题课教学设计及评析
《21.1二次根式及21.2二次根式乘除》习题课
教学设计
原创：旬阳县蜀河初级中学黄广明
1
教学反思：
本课是一节概念强化型习题课，通过“反思回顾、基础训练、变式运用、综合归纳、推荐作业”等五个活动展示教学流程。
在习题课教学中一定要体现出教师的教和学生的学的双边、双向活动，把讲练思三者有机的结合起来，采取“疑点启发、重点讲授、难点讨论”的方式创造条件让学生多动手、多动脑、，促使学士全方位的参与问题的解决，有效地减轻学生的“疲劳”，从而提高教学的有效性。
【练闯考】华师版九年级数学上册全章学案：第21章%E3%80%80二次根式
第21章 二次根式21．1 二次根式1.a (a ≥0)表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a (a ≥0)是一个非负数，它的平方等于a ，即有：(1)a __≥__0(a ≥0)；(2)(a )2＝__a __(a ≥0)． 2．形如a __(a ≥0)__的式子叫做二次根式．3.a 2＝|a |＝⎩⎨⎧ a （a ≥0）－a （a <0）知识点1：(a )2＝a (a ≥0) 1．计算：(2015)2＝__2015__；(53)2＝__53__． 2．把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：(1)7＝；(2)8.3＝；(3)112＝；(4)t ＝t ≥0)． 知识点2：二次根式的概念3．下列式子：①4；②12；③－5；④38；⑤（－1）2.其中二次根式的个数有( C ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．在下列式子中，一定是二次根式的有( C ) a ，－22，－x 2＋1，（－13）2，3－2，32x 2，π.A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 知识点3：二次根式有意义的条件5．(2014·武汉)若x －3在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( C ) A ．x >0 B ．x >3 C ．x ≥3 D ．x ≤3 6．(2014·巴中)要使式子m ＋1m －1有意义，则m 的取值范围是( D ) A ．m >－1 B ．m ≥－1C ．m >－1且m ≠1D ．m ≥－1且m ≠17．下列四个式子中，x 的取值范围为x ≥2的是( C )A.x －2x －2 B.1x －2C.x －2D.2－x8．使二次根式－（x －1）2有意义的x 的取值范围是__x ＝1__． 知识点4：二次根式的性质 9．计算（－3）2的结果是( B ) A ．－3 B ．3 C ．－9 D ．9 10．如果（3a －2）2＝2－3a ，则( B ) A ．a <23 B ．a ≤23C ．a >23D ．a ≥2311．化简下列各式： (1)4； 解：2 (2)49； 解：7(3)2025； 解：45(4)（－5）2； 解：5 (5)－（13）2； 解：－13(6)4×10－4. 解：2×10－212．已知－1≤a ≤1，下列是二次根式的为( C ) A.a －12B.1－1aC.1－a 2D.a13．文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若输入7，则输出的结果为( B )A ．5B ．6C ．7D ．814．实数a 在数轴上的位置如图所示，则（a －4）2＋（a －11）2化简后为( A )A ．7B ．－7C ．2a －15D ．无法确定15．已知点P (x ，y )在函数y ＝1x 2＋－x 的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．(2014·张家界)若x －1＋(y ＋2)2＝0，则(x ＋y)2014等于( B ) A ．－1 B ．1 C ．2014 D ．－2014 17．使代数式2x －13－x有意义的x 的取值范围是__x ≥12且x ≠3__．18．(2014·德州)若y ＝x －4＋4－x 2－2，则(x ＋y)y ＝__14__．19．x 取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)x ＋1－2－x ； 解：－1≤x ≤2 (2)53－2x； 解：x<32(3)41－x . 解：x ≥0且x ≠120．(1)已知x ，y 为实数，且满足1＋x －(y －1)1－y ＝0，试求x 2015－y 2015的值．(2)若a ，b 为实数，且a ＝b －7＋14－2b ＋2，求a ＋b 的平方根．解：(1)由已知得1＋x ＋(1－y )1－y ＝0，由于1＋x ≥0，1－y ≥0，故根据非负数的性质可得：1＋x ＝0，1－y ＝0，解得x ＝－1，y ＝1，代入则有x 2015－y 2015＝(－1)2015－12015＝－1－1＝－2 (2)由于b －7≥0，14－2b ≥0，则有b ≥7，b ≤7，故b ＝7，所以a ＝2，所以a ＋b 的平方根为±321．甲、乙两位同学做一道相同的题目： 化简求值：1a ＋1a 2＋a 2－2，其中a ＝15. 甲同学的解法是：原式＝1a ＋（1a －a ）2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝10－15＝495. 乙同学的解法是：原式＝1a＋（a －1a ）2＝1a ＋a －1a ＝a ＝15.请问哪位同学的解法正确？请说明理由． 解：甲同学的解法是正确的，理由如下：∵1a2＋a 2－2＝（a －1a ）2＝|1a－a|，且a＝15，即1a ＝5.∴1a >a.∴1a －a>0.∴|1a －a|＝1a －a.乙同学在去绝对值时忽略了1a 与a 的大小关系，导致错误21.2 二次根式的乘除21．2.1 二次根式的乘法 21．2.2 积的算术平方根1.a ·b ＝a __≥__0，b __≥__0)．即：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的__积__的算术平方根．2.ab ＝a __≥__0，b __≥__0)．即：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的__积__．知识点1：二次根式的乘法 1．计算：(2014·河北)8×12＝__2__；2×18＝__6__；35×16920＝__34__． 2．等式x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件是( C ) A ．x >1 B ．x <－1C ．x ≥1D ．x ≤－13．下列各等式成立的是( D )A ．45×25＝8 5B ．53×42＝20 5C ．43×32＝7 5D ．53×42＝20 6 4．计算： (1)98×2； 解：14(2)52×10； 解：5(3)36×167；解：1242(4)6a 3×3a2(a ≥0)． 解：3a 25．王老师想设计一个长方形的实验基地，便于同学们进行实地考察，为了考查一下同学们的数学应用能力，他把长方形的基地设计长为8020米，宽为345米，请同学们算出这块实验基地的面积．解：这块实验基地的面积为8020×345＝240900＝240×30＝7 200(平方米)知识点2：积的算术平方根6．化简二次根式（－3）2×6得( B ) A ．－3 6 B ．3 6 C ．±3 6 D ．67．若等式9－x2＝3－x·3＋x成立，则x的取值范围是( A )A．－3≤x≤3 B．x>－3C．x<3 D．－3<x<38．化简：(1)48＝；(2)－72＝；(3)－135＝．9．化简：(1)108；解：63(2)（－5）×（－90）；解：152(3)292－212；解：20(4)18x2yz3(x≥0，y≥0，z≥0)．解：3xz2yz10．下列化简正确的是( B )A.（－4）×（－9）＝－4×－9＝6B.12×27＝4×81＝18C.16＋4＝16＋4＝4＋2＝6D.414＝4×14＝2×12＝111．若直角三角形两条直角边的边长分别为15 cm和12 cm，那么此直角三角形斜边长是( B )A．3 2 cm B．3 3 cmC ．9 cmD ．27 cm12．设2＝a ，3＝b ，用含a ，b 的式子表示54，则下列正确的是( A ) A ．3ab B ．2ab C ．ab 2 D ．a 2b 13．已知m ＝(－33)×(－221)，则有( A ) A ．5<m <6 B ．4<m <5C ．－5<m <－4D ．－6<m <－514．若点P (x ，y )在第二象限内，化简x 2y 的结果是． 15．比较大小：(1)23__<__32；(2)－211__>__－3 5. 16．将根号外面的因数移到根号内：35＝，212＝；－656＝，a －1a＝． 17．若20n 是整数，则正整数n 的最小值是__5__． 18．计算： (1)15×60； 解：23 (2)6×1218； 解：33(3)3220×(－1215)×(－1324)． 解：15219．化简： (1)3200；解：402 (2)－21×（－28）； 解：143(3)43×92×5；解：725 (4)1327x 2y 3z 4(xy ≥0)．解：xyz 23y20．小强在计算机课上设计了一幅长140π cm ，宽35π cm 的矩形图片，他还想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助他求出该圆的半径．解：设圆的半径为r cm ，则140π×35π＝πr 2，35×4×35π2＝πr 2，∴70π＝πr 2，∴r 2＝70，∴r ＝70，即圆的半径为70 cm21．探究过程：观察下列各式及其验证过程． 338＝3＋38. 验证： 338＝32×38＝338＝33－3＋332－1＝3（32－1）＋332－1＝3（32－1）32－1＋332－1＝3＋38 同理可得：4415＝4＋415，5524＝5＋524，……通过上述探究你能猜测出：a aa 2－1＝a >1)，并验证你的结论． 解：a aa 2－1＝a ＋a a 2－1，验证：a aa 2－1＝a 2·a a 2－1＝a 3a 2－1＝a 3－a ＋aa 2－1＝a 3－a a 2－1＋aa 2－1＝a （a 2－1）a 2－1＋aa 2－1＝a ＋aa 2－121.2.3 二次根式的除法1.a b＝a __≥__0，b __>__0)．即：两个算术平方根的商，等于它们被开方数的__商__的算术平方根．2.a b ＝a __≥__，b __>__0)．即：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根与除式的算术平方根的__商__．3．被开方数中不含__分母__，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于__2__的二次根式称为最简二次根式．4．二次根式的除法，要化去分母中的根号，只要将分子，分母同乘以一个__恰当的二次根式__就可以了，这种化简过程称为分母有理化．知识点1：二次根式的除法 1．计算：10÷2＝( A ) A.5 B ．5 C.52 D.1022．菱形ABCD 的面积为27，对角线AC 的长为23，则对角线BD 的长为( D ) A.92 B ．9 C.32D ．3 3．等式x x －2＝xx －2成立的条件为__x>2__．4．计算下列各题： (1)60÷5；解：23 (2)2423；解：2 (3)45÷215； 解：6 (4)2a 2bb(a ≥0)．解：2a知识点2：商的算术平方根5．下列各式计算正确的是( C )A.－4－9＝－4－9＝－2－3＝23B.429＝213 2C.4×225＝25 2D.1249＝7126．(2014·济宁)如果ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①ab＝ab，②ab·ba＝1，③ab÷ab＝－b，其中正确的是( B )A．①②B．②③C．①③D．①②③7．化简：(1)11549；(2)6316；(3)25a481b2(b>0)．解：(1)87(2)374(3)5a29b知识点3：最简二次根式8．下列式子中，属于最简二次根式的是( B )A.9B.7C.20D.139．把下列各个二次根式化为最简二次根式．(1)8a2b3(a≥0)；解：2ab2b(2)83；解：236(3) 4.8；解：2305(4)3y32x2(x>0)．解：y 2x6y10．下列各式计算正确的是( C ) A.483＝16 B.326＝13C.3663＝22D.698＝27 11．下列二次根式中：12，12a ，30， 1.6，a 2－b 2，5a 3，a 2，a2，9x ＋18y ，最简二次根式有( B )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个12．在化简323时，甲、乙、丙三位同学化简的方法分别是：甲：原式＝3×23＝3×2×33×3＝6；乙：原式＝3×69＝3×69＝6；丙：原式＝32×23＝ 6.其中解答正确的是( D )A ．甲B ．乙C ．丙D ．都正确13．设2＝a ，3＝b ，用含a ，b 的式子表示0.24，则下列表示正确的是( B ) A ．2ab B ．0.2ab C ．0.1ab 2 D ．0.1a 2b14．计算：(1)3850＝__65__；(2)26315＝15；(3)－3227＝__3；(4)12＋13＝6．15．已知点A (x 1，－3)，B (22，y 2)都在反比例函数y ＝－32x的图象上，则x 1＝__，y 2＝__－32__．16．把(a －b )1b －a的根号外的因式移到根号内的结果是． 17．计算： (1)18÷8×272；解：946(2)30×32223÷2212； 解：32 (3)945÷212×32223. 解：54318．先化简，再求值：xx 3－2x 2÷x －2x －2，其中x ＝8. 解：原式＝1x，当x ＝8时，原式＝2419．进行二次根式化简时，有时会碰到像53，23＋1这样的式子，其实还可以将其进一步化简：53＝5×33×3＝533；23＋1＝2×（3－1）（3＋1）（3－1）＝2（3－1）（3）2－12＝3－1. 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．23＋1还可以这样化简：23＋1＝3－13＋1＝（3）2－123＋1＝（3＋1）（3－1）3＋1＝3－1.请选择适当的方法化简：(1)13－1；(2)25＋3；(3)143－7.解：(1)13－1＝3＋1（3－1）（3＋1）＝3＋12(2)25＋3＝（5）2－（3）25＋3＝（5＋3）（5－3）5＋3＝5－3(3)143－7＝43＋7（43－7）（43＋7）＝43＋7－1＝－43－721.3二次根式的加减1．几个二次根式化成最简二次根式后，如果__被开方数相同__，这几个二次根式就叫做同类二次根式．2．二次根式相加减时，先把各个二次根式__化简__，再将__同类二次根式__合并．知识点1：同类二次根式1．(2014·孝感)下列二次根式中，不能与2合并的是( C )A.12 B.8 C.12 D.182．下列各式中与3是同类二次根式的是( C )A.24B.23 C.27 D.0.33．如果最简二次根式3a－8和17－2a是同类二次根式，那么a＝__5__．知识点2：二次根式的加减4．下列计算正确的是( C )A．43－33＝1 B.2＋3＝ 5C．212＝ 2 D．3＋22＝5 25．(2014·哈尔滨)计算：12－3＝．6．计算：(1)45－1480＋515－53145；解：25(2)(30.5－613)－(218－20－2927)． 解：2－433＋25知识点3：二次根式的运算与乘法公式7．若x ＝a －b ，y ＝a ＋b ，则xy 的值是( D ) A ．2a B ．2b C ．a ＋b D ．a －b8．已知a ＝22＋3，b ＝22－3，则：(1)a ＋b ＝； (2)a －b ＝__6__； (3)ab ＝__－1__； (4)a 2＋b 2＝__34__；(5)a 2－2ab ＋b 2＝__36__． 9．计算：(1)(2＋3)(2－3)； 解：－1 (2)(2－12)2； 解：12(3)(5＋32)2. 解：23＋610知识点4：二次根式的混合运算 10．(2014·台湾)算式(6＋10×15)×3之值为何？( D ) A ．242 B ．12 5 C ．1213 D ．18 211．计算：24－18×13＝．12．计算：(1)(54－12＋1)÷3； 解：32－2＋33(2)45×35＋3(5－2)． 解：3＋1513．计算412＋313－8的结果是( B ) A.3＋2 B.3 C.33D.3－ 2 14．下列计算正确的是( D ) A ．(22－3)(2＋3)＝－1 B ．(2＋5)(2－5)＝1 C.6÷(2－3)＝3－ 2D.27－123＝9－4＝115．计算32×12＋2×5的结果估计在( A ) A ．7到8之间 B ．8到9之间 C ．9到10之间 D ．10到11之间16．已知a ＝5＋2，b ＝5－2，则a 2＋b 2＋7的值为( C ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．617．计算：(26＋5)2015×(26－5)2016＝．18．工厂因实际需要，用钢材焊制三个面积分别为2 m 2，18 m 2，32 m 2的正方形铁框，则焊工师傅需用钢材的总长度为19．计算：(1)(212－6118＋348)×52；解：806－10(2)(318＋1550－412)÷32； 解：2(3)(2014·荆门)24×13－4×18×(1－2)0. 解：220．已知a ＝7＋2，b ＝7－2，求下列代数式的值： (1)ab 2＋a 2b ；解：原式＝ab (b ＋a )．当a ＝7＋2，b ＝7－2时，原式＝67(2)a 2－2ab ＋b 2；解：原式＝(a －b )2.当a ＝7＋2，b ＝7－2时，原式＝16(3)a 2－b 2.解：原式＝(a ＋b )(a －b )．当a ＝7＋2，b ＝7－2时，原式＝8721．阅读下列解题过程：12＋1＝1×（2－1）（2＋1）（2－1）＝2－1， 13＋2＝1×（3－2）（3＋2）（3－2）＝3－ 2.请回答下面的问题：(1)观察上面的解题过程，请直接写出1n ＋n －1的值；(2)利用上面的规律计算： (11＋2＋12＋3＋13＋4＋…＋12013＋2014＋12014＋2015)×(1＋2015)． 解：(1)1n ＋n －1＝n －n －1 (2)原式＝(2－1＋3－2＋4－3＋…2014－2013＋2015－2014)×(1＋2015)＝(2015－1)(2015＋1)＝(2015)2－12＝2014综合练习 二次根式的化简与运算1．(2014·徐州)下列运算中错误的是( A ) A.2＋3＝5 B.2×3＝ 6 C.8÷2＝2 D ．(－3)2＝3 2．计算48－913的结果是( B ) A ．－ 3 B. 3 C ．－113 3 D.11333．估算50＋232的值在( C ) A ．5和6之间 B ．6和7之间 C ．7和8之间 D ．8和9之间 4．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为( C ) A ．9 B ．±3 C ．3 D ．55．等式（4－x ）2（6－x ）＝(x －4)6－x 成立的条件是( B ) A ．x ≥4 B ．4≤x ≤6 C ．x ≥6 D ．x ≤4或x ≥66．如果(2＋2)2＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，那么a ＋b 等于( D ) A ．2 B ．3 C ．8 D ．107．若a ＝3－10，则代数式a 2－6a －2的值为( C ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.108．(2014·黔南州)实数a 在数轴上的位置如图，化简（a －1）2＋a ＝__1__．9．化简：3×(2－3)－24－|6－3|＝__－6__．10．已知等腰三角形的两边长为32和45，则此等腰三角形的周长为． 11．观察下列各式：32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－1＝4×6，…，请写出满足上述规律的用n (n 为任意自然数，且n ≥3)表示的等式：__．12．计算：(1)32－212－418＋348； 解：22＋83(2)(0.5－213)－(132－75)； 解：382＋1333(3)212÷1550×1234； 解：322(4)(548＋12－627)÷3； 解：4(5)(3＋2－5)(3－2－5)． 解：6－21513．化简：18－92－3＋63＋(3－2)0＋（1－2）2.解：原式＝32－322－(1＋2)＋1＋|1－2|＝32－322－1－2＋1＋2－1＝322－114．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下：a※b＝a＋ba－b，如3※2＝3＋23－2＝5.求8※12的值．解：8※12＝8＋128－12＝20－4＝25－4＝－5215．已知x－1＝3，求代数式(x＋1)2－4(x＋1)＋4的值．解：原式＝(x＋1－2)2＝(x－1)2，当x－1＝3时，原式＝(3)2＝316．已知x，y为实数，且y＝3－x＋4x－12＋1，化简(5－x)2|y－3|－y2－8y＋16.解：∵3－x≥0，4x－12≥0，∴x＝3，y＝1，∴原式＝(5－x)(3－y)－（y－4）2＝(5－x)(3－y)－(4－y)＝(5－3)×(3－1)－(4－1)＝2×2－3＝4－3＝117．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，E点在AB上，DE＝AE＝EB＝ 5.求▱ABCD的周长和面积．解：∵DE ⊥AB ，DE ＝AE ＝5，∴AD ＝AE 2＋ED 2＝（5）2＋（5）2＝10.∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC ＝AD ＝10，DC ＝AB ＝2 5.∴▱ABCD 的周长为AD ＋DC ＋CB ＋AB ＝2(10＋25)＝210＋4 5.▱ABCD 的面积为AB ×DE ＝25×5＝1018．已知a －b ＝5＋3，b －c ＝5－ 3. (1)求a －c 的值；解：a －c ＝(a －b )＋(b －c )＝25(2)求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值．解：a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]＝1819．已知等式|a －2014|＋a －2015＝a 成立，求a －20142的值． 解：∵a －2015≥0，∴a ≥2015.∴|a －2014|＝a －2014.∴a －2014＋a －2015＝a.∴a －2015＝2014.∴a －2015＝20142.∴a －20142＝201520．已知11－1的整数部分是a ，小数部分是b ，试求(11＋a )(b ＋1)的值． 解：∵3<11<4，∴2<11－1<3，故11－1的整数部分是2，即a ＝2，∴11－1的小数部分是11－1－2＝11－3，即b ＝11－3.∴(11＋a )(b ＋1)＝(11＋2)(11－3＋1)＝第21页 (11＋2)(11－2)＝(11)2－22＝721．观察下列等式及验证过程： 12－13＝1223；12（13－14）＝1338； 13（14－15）＝14415. 验证：12－13＝222×3＝1223； 12（13－14）＝12×3×4＝32×32×4＝1338. (1)请按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想14（15－16）的变形结果及验证过程； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n 表示的等式，并验证．(n 为自然数) 解：(1)14（15－16）＝15524 验证：14（15－16）＝14×5×6＝54×52×6＝15524(2)1n （1n ＋1－1n ＋2）＝1n ＋1n ＋1（n ＋1）2－1 验证：1n （1n ＋1－1n ＋2）＝1n ·（n ＋1）（n ＋2）＝n ＋1n （n ＋1）2（n ＋2）＝1n ＋1n ＋1n （n ＋2）＝1n ＋1n ＋1（n ＋1）2－1。
秋九年级数学上册 第21章(课)二次根式的乘除 第2课时教学案(无答案) 新人教版
第 21章（课）二次根式的乘除第 2 课时教学三维目标知识与技能 1.会进行简单的二次根式的除法运算．2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算过程与方法在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算法则. 引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学问题情感态度价值观通过本节课的学习使学生认识到事物之间是相互联系的,相互作用的.教学重点会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算。
教学难点二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用．教具学具小黑板、实物投影、PPT等本节课预习作业题1.计算：（1）123（2）3128÷（3）11416÷（4）648（5）218；（6）102175÷2.化简：（1）364（2）22649ba（3）2964xy（4）25169xy(5)aba2112532÷； (6)31501000mm（说明：本节课预习作业题应在前一节导学案中体现出来）教学设计：教学环节教学活动过程思考与调整活动内容师生行为“15分钟温故、自学、群学”环节（一）学生围绕教材内容和预习作业题自学3~5分钟。
（二）分学习小组进行讨论交流：（三）教师精解点拨预习作业：（或根据生生互动交流情况灵活处理）1、教师课前检查了解学生完成预习作业情况。
2、教师布置学生自学，明确内容和要求，进行方法指导。
3、生生互动，质疑答疑。
通过再次预习和讨论交流，学生基本掌握所布置的要求和目标。
“20分钟展示交流质疑、训练点拨提高”环节一、课堂引入1.请同学们回忆abba=⋅ (a≥0，b≥0)是如何得到的?2.学生观察下面的例子，并计算：学生回忆起二次根式乘法的运算方法的推导过程.类似地，请每个同学再举一个例子，由学生总结上面两个式的关系得：类似地，请每个同学再举一个例子，然后由这些特殊的例子，得出： b aba = （a ≥0,b>0） 二、例题讲解例1.计算:（1）324; （2）18123÷自我检测：练习1 计算: （1）728÷；（2）5125；（3）3183x x ÷； （4）211632n mm ÷ 挑战逆向思维 把b a b a =反过来,就得到ba b a =（a ≥0,b >0） 利用它就可以进行二次根式的化简. 例2 化简: （1）1217;（2）22536b a (b ≥0). 练习2 化简： （1）10036.014409.0⨯⨯ （2）3312mmn 综合提高题1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为3：1，•现用直径为315cm 的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大请学生们思考为什么b 的取值范围变小了？与学生一起写清解题过程,提醒他们被开方式一定要开尽.找四名学生上黑板板演,其余学生在练习本上计算,然后再找学生指出不足.找学生口述解题过程，教师将过程写在黑板上.请学生仿照例题自己解决这两道小题,组长检查本组的学习情况.截面积是多少？ 2．计算（1）32n n m m ·（-331n m m）÷32n m （m>0，n>0）（2）-3222332m n a-÷（232m n a +）×2a m n - （a>0）“10分钟当堂检测、反馈、矫正”环节书本第11页练习1，2，3 书本第12页练习2，31、教师布置检测题，巡回查看学生答题情况，当堂批阅，统计差错及目标达成率。
人教版九年级数学二次根式总复习教学设计
第21章 二次根式总复习教学目标：1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。
2、熟练进行二次根式的乘除法运算。
3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。
4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。
教学重点：二次根式的计算和化简。
教学难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。
一、 课前热身1、下列各式是否是二次根式⑴； ⑵； ⑶； ⑷； ⑸； ⑹；2、化简下列各式：(1______=______=（3）4×9=______ 94⨯=______ （43、观察下列各组式子，哪组式子可以合并：（1）2322与 （2）32与 （3）205与 （4）1218与 4、计算：（1）_______20125_______;2712=-=+ （2）（38+）×6 （3）326324⨯-÷ 5、当x=﹣4时，的值是 。
二、课堂教学设计【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根式。
二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。
【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数取值范围的限制：被开方数a 必须是非负数。
1、使1x-2有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≠2 C ．x>2 D ．x ≠2． 2、若y=5-x +x -5+2008，则x+y= 【知识点2】二次根式的性质：（1）二次根式的非负性，)0(0≥≥a a 的最小值是0）是一个非负数，即)0(0≥≥a a 。
注：因为二次根式)0(0≥≥a a 表示a 的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如0=，则a=0,b=0；0b =，则a=0,b=0；20b =，则a=0,b=0。
（2）2a =（） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式2a =（）是逆用平方根的定义得出的结论。
九年级数学上册第21章二次根式21.2二次根式的乘除3二次根式的除法160
21.2.3 二次根式的除法 知识点 1a b ＝a b 成立的条件 1．若xx ＋1＝x x ＋1成立，则有x ________0，x ＋1________0，所以x 的取值范围是________． 2．等式－b a ＝－ba 成立的条件是( )A ．a ，b 异号B ．a >0，b >0C ．a ≥0，b ≥0D ．a >0，b ≤0知识点 2 二次根式的除法 3．计算：483＝（）（ ）＝________．4．计算：(1)183； (2)328；(3)315÷135； (4)3ab32ab 2.知识点 3 商的算术平方根5．计算：29＝（ ）（ ）＝________．6．若3＋x3－x ＝3＋x3－x 成立，则x 的取值范围是( )A ．－3≤x ＜3B ．x ＜3C ．x ＞－3D ．－3＜x ≤3 7．化简： (1)916； (2)325；(3)549； (4)－11－36.知识点 4 最简二次根式8．［2017·贵港］下列二次根式中，是最简二次根式的是() A ．－ 2 B.12 C.15 D.a 29．下列二次根式中，不是最简二次根式的有______个．①x 2； ②0.3； ③118； ④2x 2＋1. 10．化简： (1)17； (2)113；(3)510； (4)4 38.11．如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①a b ＝a b ，②a b ·b a ＝1，③ab ÷a b＝－b 中，正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③12．若 2m ＋n －2和 33m －2n ＋2都是最简二次根式，则m n ＝________．13．［教材习题21.2第2题变式］计算：(1)35×52÷47；(2)113÷223×135；(3)3 223÷12 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18 15.14．王聪学习了二次根式的除法公式a b ＝a b 后，他认为该公式逆过来a b ＝a b 也应该成立，于是这样化简了下面这道题：－27－3＝－27－3＝（－3）×9－3＝－3×9－3＝9＝3.你认为他的化简过程对吗？若不对，请说明理由，并改正．15．请先化简x －1x －1÷1x 2－x，再选取两个你喜欢的数代入化简后的式子中分别求值．16．观察下面的式子：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，…. (1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子(至少写3个)；(2)请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来，并给出证明．教师详答1．≥ > x ≥02. D3. 48 3 16 44．(1) 6 (2)2 (3) 2 (4)32 b 5.2 9 236．A7．解：(1)916＝916＝34. (2)325＝325＝35. (3)549＝499＝499＝73. (4)－11－36＝1136＝1136＝116. 8．A 9．310．解：(1)17＝77×7＝77. (2)113＝43＝4×33×3＝2 33. (3)510＝ 5 1010×10＝5 1010＝102. (4)4 38＝4 3×28×2＝4 616＝4 64＝ 6. 11． B 12． 1 13．解：(1)原式＝35×52÷47＝352×28×2＝354 2. (2)原式＝43÷83×85＝45＝4×55×5＝25 5. (3)原式＝9×83÷12 1025×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18 15 ＝－24÷102×5×158＝－2 6×1010×158 ＝－2 6×10×158＝－9004＝－152. 14．解：不对．理由：因为－27－3有意义，而－27－3中的二次根式无意义． 改正：－27－3＝273＝9＝3. 15．解：由题意得x >1,所以原式＝x －1x －1·x ()x －1 ＝()x －12x x －1＝x －1x －1 x ＝x .代入求值答案不唯一，如：当x ＝4时，原式＝2. 当x ＝9时，原式＝3.16．解：(1)答案不唯一，如4＋16＝5 16，5＋17＝6 17，6＋18＝7 18. (2)规律：n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2. 证明：n ＋1n ＋2＝n （n ＋2）＋1n ＋2＝n 2＋2n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2.。
初中数学华东师大九年级上册第21章 二次根式华师大版九上2 二次根式的意义 教案
【教学方法】启发式
实施教学过程设计
【教学过程】复习提问:
1、什么叫代数式？举出代数式的例子。
2、 是一个数吗？是一个有理数？是一个实数？
【新课讲解】
在前一章中，我们已经遇到过 ， ， 这样的式子，知道符号“ ”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。因为在实数范围内，负数没有平方根。所以被开方数只能是正数或0，也就是说，被开方数只能是非负数。
科目
数学
年级
班级
时间
课题：二次根式的意义
教学目标
1、使学生通过本章的引言了解学习的必要性，了解二次根式的概念，能根据二次根式的概念，求出二次根号下的一次式中字母的取值范围。
教材分析
【教学重点】会求出二次根号下的一次式中字母的取值范围。
【教学难点】理解二次根式的概念。
一般的，式子 ( a≥0 )叫做二次根式。
由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0。
从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件：
( 1 )必须有二次根号；
( 2 )被开方数不能小于0。
例1：x是怎样的实数时，式子 在实数范围内有意义？
解：由x－２≥0，得x≥２
当x≥２时，式子 在实数范围内有意义。
课堂练习：第5页练习1、2、3
补充例题：
例：x是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？
( 1 ) ( 2 )
解：( 1 )由 ≥0，解得：x取任意实数
∴当x取任意实数时，二次根式 在实数范围内都有意义。
( 2 )由x－1≥0，且x－1≠0解得：x＞1
∴当x＞1时，二次根式 在实数范围内都有意义。
课堂练习：
取什么实数时，下列各式有意义.
华东师大版九年级数学上册《21章 二次根式 21.2 二次根式的乘除 二次根式的乘法》公开课教案_24
1.计算 × 的结果是()
(A) (B)4(C) (D)2
2.化简 的结果是.
3.计算.
(1) ;
(2) ;
(3) ·3 ;
(4)2 .
板书设计
二次根式的乘法
积的算术平方根
1.二次根式的乘法法则: · = (a≥0,b≥0)
2.积的算术平方根: = · (a≥0,b≥0)
3.例题
教学反思
2.归纳小结:二次根式的乘法法则: · = (a≥0,b≥0).
积的算术平方根: = · (a≥0,b≥0).
3.方法规律:两个二次根式相乘,实际上就是将这两个二次根式的被开方数相乘,根指数不变.
积的算术平方根的作用是进行二次根式的化简,化简时,被开方数必须是积的形式,若是和差形式,应先分解因式再利用此公式.
课题
1.二次根式的乘法
2.积的算术平方根
课时
1课时
上课时间
教学目标
1.知识与技能
会进行简单的二次根式的乘法运算,能够利用积的算术平方根的性质进行二次根Βιβλιοθήκη 的简写运算.2.过程与方法
经历探究二次根式乘法法则以及积的算术平方根的过程,掌握应用的方法.
3.情感、态度与价值观
培养学生数感和逆向思维,感受二次根式乘法的实际应用价值,形成良好的思维品质.
(3) =|a|.
探索新知
合作探究
自学指导
1.填空.
(1) × =, =.
(2) × =, =.
(3) × =, =.
参考上述结果,用“>”“<”或“=”填空.
× ,
× ,
× .
2.利用计算器计算填空.(填入“>”“<”或“=”)
华师大版第21章二次根式教案 二次根式的乘除(2)
21．2 二次根式的乘除第二课时教学内容a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及利用它们进行运算． 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空（1）916=________=_________；（2；（3；（4．规律：916______916；______1636；416_______416；3．利用计算器计算填空:（1=_________，（2，（3=______，（4．每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评）二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．例1．计算：（1（2（3（4分析：上面4a≥0，b>0）便可直接得出答案．解：（1（2==（3）11416÷==4=2（4 例2．化简：（1 （2 （3 （4a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的．解：（1=（283b a = （3）2964x y =（4= 三、巩固练习教材P14 练习1．四、应用拓展例3．，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值．分析：a ≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．解：由题意得9060x x -≥⎧⎨->⎩，即96x x ≤⎧⎨>⎩ ∴6<x ≤9∵x 为偶数∴x=8∴原式=（1+x=（1+x=（1+x∴当x=8时，原式的值．五、归纳小结a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及其运用． 六、布置作业1．教材P 15 习题21．2 2、7、8、9．2．选用课时作业设计．第二课时作业设计一、选择题1的结果是（ ）．A ．27 B ．27 C D ．72．阅读下列运算过程： 1333333==⨯，是（ ）．A ．2B ．6C ．13 D 二、填空题1．分母有理化:(1)=_________;(2) =________;(3)2．已知x=3，y=4，z=5_______．三、综合提高题1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为1，•现用直径为的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2．计算（1·（m>0，n>0） （2）-3222332m n a -÷（）×2a m n - （a>0）答案:一、1．A 2．C二、1．(1)2==2三、1．设：矩形房梁的宽为x （cm ，依题意，）2+x 2=（2，4x 2=9×15，x=32cm ），·2=1354cm 2）．2．（1）原式＝=-22n n m m =- （2）原式=-2232a =-6a。
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二次根式的除法
一、学习目标
1.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2.熟练进行二次根式的除法运算及化简。
二、学习重点
重点： 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
难点： 进行二次根式的化简。
三、自主预习
1.计算：（1）916=______，916=_____（2）1636=______，1636=______
（3）416=______，416=________
2.根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：
916____916 1636____1636 4
16
_____416
综上所述，二次根式的除法法则： 。
当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商
的 ，被开方数之商为 。
计算下列各式：（1）123 （2）3128
自学课本内容，完成下列问题：
1.用式子表示商的算术平方根的性质：
2.化简：（1）364 （2）22649ba
小结：化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式。
四、 合作探究“分母有理化”
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探究1.阅读下列运算过程：1333333，225255555
利用上述方法化简：
(1) 26=______ （2）132=______ (3) 112= (4) 1025=
探究2.阅读下列运算过程： ，
利用上述方法化简：
（1） （2）
探究3阅读下列运算过程：
利用上述方法化简：
五、 巩固反馈
1.计算
（1）482 （2） xx823 （3）16141 （4）2964xy （5）112121335
2.化简：（1）346 （2）3227 （3）
22222121515555353
65
2
23123)23)(23()23(1231
26
3
532