第十四单元 统计与概率第41课时 概率初步
2019版高考数学一轮复习第十四单元概率学案文
第十四单元 概率 教材复习课“概率”相关基础知识一课过[小题速通]1．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A ．对立事件B ．互斥但不对立事件C ．不可能事件D ．以上都不对 解析：选B 由于每人分得一张牌，故“甲分得红牌”意味着“乙分得红牌”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选B.2．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是( ) A.56B.23C.12D.13解析：选A 乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为12＋13＝56. 3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一件是正品(甲级品)的概率为( )A ．0.92B ．0.95C ．0.97D ．0.08解析：选A 记事件A ：“生产的产品为甲级品”，B ：“生产的产品为乙级品”，C ：“生产的产品为丙级品”，则P (B )＝0.05，P (C )＝0.03，且事件A ，B ，C 两两互斥，P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1，所以P (A )＝0.92.[清易错]易忽视互斥事件与对立事件的关系而致误互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ∪B 与C 是互斥事件，也是对立事件B ．B ∪C 与D 是互斥事件，也是对立事件C ．A ∪C 与B ∪D 是互斥事件，但不是对立事件D ．A 与B ∪C ∪D 是互斥事件，也是对立事件解析：选D 由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ∪B ∪C ∪D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．1．特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．(2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．2．古典概型概率公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数. [小题速通]1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有9种，其中，甲、乙参加同一小组的情况有3种．故甲、乙参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13. 2．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出2张卡片上数字之和为偶数的概率为( )A.35B.25C.34D.23解析：选B 从这5张卡片中随机抽取2张的所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中取出2张卡片上数字之和为偶数的基本事件为(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4个，所以从这5张卡片中随机抽取2张，取出2张卡片上数字之和为偶数的概率为410＝25. 3．小明忘记了微信登陆密码的后两位，只记得最后一位是字母A ，a ，B ，b 中的一个，另一位是数字4,5,6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是________．解析：开机密码有(4，A )，(4，a )，(4，B )，(4，b )，(5，A )，(5，a )，(5，B )，(5，b )，(6，A )，(6，a )，(6，B )，(6，b )，共12种可能，所以小明输入一次密码能够成功登陆的概率是112. 答案：112[清易错]1．在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是否是等可能的．2．概率的一般加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0.1．一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个，这6个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球中至少有1个是红球的概率是( )A.13B.25C.815D.35解析：选D 由题意知，摸出2个球的事件数共15个，至少有1个是红球的对立事件为两个均不是红球，事件个数为6个，设两个均不是红球为事件A ，则P (A )＝615＝25，所以其对立事件2个球中至少有1个是红球的概率P ＝1－25＝35. 2．从一副混合后的扑克牌(除去大、小王52张)中，随机抽取1张．事件A 为“抽到红桃K ”，事件B 为“抽到黑桃”，则P (A ∪B )＝________(结果用最简分数表示)．解析：∵P (A )＝152，P (B )＝1352， ∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝152＋1352＝1452＝726. 答案：726几何概型[过双基]1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．特点：(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能的．3．公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积. [小题速通]1．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56，136上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 13(x ＋1)≤1”不发生的概率为( )A.89B.23C.13D.19解析：选 D 因为－1≤log 13(x ＋1)≤1，所以－23≤x ≤2，所以所求事件的概率为1－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23136－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＝19. 2．已知点P ，Q 为圆C ：x 2＋y 2＝25上的任意两点，且|PQ |＜6，若PQ 中点组成的区域为M ，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )A.35B.925C.1625D.25解析：选B PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示，那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为25π－16π25π＝925. 3．(2018·西宁复习检测)已知球O 内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为________．解析：由题意知球的半径为1，其体积为V 球＝4π3，正方体的体积为V 正方体＝23＝8， 则这一点不在球内的概率P ＝1－4π38＝1－π6. 答案：1－π64．数轴上有四个间隔为1的点依次为A ，B ，C ，D ，在线段AD 上随机取一点E ，则E 点到B ，C 两点的距离之和小于2的概率为________．解析：如图，数轴上AD ＝3，而到B ，C 两点的距离之和小于2的点E 在线段MN 内，且MN ＝52－12＝2，所以E 点到B ，C 两点的距离之和小于2的概率P ＝MN AD ＝23.答案：23一、选择题1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有1个白球，都是红球B ．至少有1个白球，至多有1个红球C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至多有1个白球，都是红球解析：选C 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球共有三种可能：两个白球、两个红球、一个白球和一个红球，三者互斥，“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件，“至少有1个白球”和“至多有1个红球”不互斥，“恰有1个白球”和“恰有2个白球”互斥不对立，故选C.2．一批产品次品率为4%，正品中一等品率为75%.现从这批产品中任取一件，恰好取到一等品的概率为( )A ．0.75B ．0.71C ．0.72D ．0.3解析：选C 由题意可知，正品率为96%，因为正品中一等品率为75%，所以一等品率为96%×75%＝72%，所以任取一件产品，恰好是一等品的概率为0.72.3．如图，在一不规则区域内，有一边长为1 m 的正方形，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375，以此试验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为( )A.83m 2 B ．2 m 2 C.163m 2 D ．3 m 2解析：选A 由几何概型的概率计算公式及题意可近似得到S 正方形S 不规则图形＝3751 000，所以该不规则图形的面积大约为1 000375＝83 (m 2)． 4．抛掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于( )A.118B.19C.16D.536解析：选B 由题意抛掷两颗质地均匀的骰子，向上的点数所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种情况，其中点数之积为6的情况为(1,6)，(2,3)，(3,2)，(6,1)，共4种情况，故所求概率为P ＝436＝19. 5．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.827B.127C.2627D.1527解析：选B 依题意，小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心且棱长为1的小正方体内，这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为33＝27，故根据几何概型得安全飞行的概率为P ＝127. 6．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．1解析：选C 标记5件产品中的次品为1,2，合格品为3,4,5.从这5件产品中任取2件，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，即基本事件的总数为10.“从这5件产品中任取2件，恰有一件次品”的取法有：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，共6种取法，所以恰有一件次品的概率P ＝610＝0.6. 7．将一枚骰子连续抛掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为( )A.13B.12C.1936D.25解析：选C 将一枚骰子连续抛掷两次共有36种结果．方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根，则Δ＝b 2－4c ≥0，即b ≥2c ，其包含的结果有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(5,6)，(6,6)，共19种，由古典概型的概率计算公式可得P ＝1936. 8．设实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2≤1，则x －y ＋2≤0的概率为( )A.14B.π4C.π－24πD.4π－24π 解析：选C 如图，x 2＋(y －1)2≤1表示圆心为(0,1)，半径为1的圆面，面积为π；同时，x －y ＋2≤0表示圆面内在x －y ＋2＝0左上方的点构成的平面区域，连接CB ，则CA ⊥CB ，阴影部分的面积为π4－12×1×1＝π4－12，由几何概型的概率公式得P ＝π－24π. 二、填空题9．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．解析：如图，可设AB 与AB ′的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是23. 答案：2310．在圆x 2＋y 2＝4所围成的区域内随机取一个点P (x ，y )，则|x |＋|y |≤2的概率为________．解析：不等式|x |＋|y |≤2表示的平面区域如图中的阴影部分所示，则|x |＋|y |≤2的概率为P ＝22π×22＝2π. 答案：2π11．在一个不透明的空袋子里，放入仅颜色不同的2个红球和1个白球，从中随机摸出1个球后不放回，再从中随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率为________．解析：画树状图为：红红白 红白红 白红红共有6种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为2，则随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率为13. 答案：1312．高一年级某班有63名学生，现要选一名学生标兵，每名学生被选中是等可能的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的1011，则这个班的男生人数为________．解析：根据题意，设该班的男生人数为x ，则女生人数为63－x ，因为每名学生被选中是等可能的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是63－x 63，“选出的标兵是男生”的概率是x 63，故63－x 63＝1011×x 63，解得x ＝33，故这个班的男生人数为33. 答案：33三、解答题13．如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由题意知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，用频率估计相应的概率约为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，由调查结果得：(3)A1，A2分别表示甲选择L1，L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1，L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B2)>P(B1)，∴乙应选择L2.14．在某高校自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A.在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．解：(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10 0.25＝40(人)，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.(2)由图知，“数学与逻辑”科目的成绩为D的频率为1－0.2－0.375－0.25－0.075＝0.1，故该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1×0.2＋2×0.1＋3×0.375＋4×0.25＋5×0.075＝2.9.(3)因为两科考试中，共有6个得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P(B)＝16.高考研究课(一)古典概型命题2类型——简单问题、交汇问题[全国卷5年命题分析][典例] (1)则所取三条线段能构成一个三角形的概率为( )A.110B.310C.12D.710(2)(2017·山东高考)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．①若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；②若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．[解] (1)由题意，从这五条线段中任取三条，有10种不同的取法，其中所取三条线段能构成一个三角形的取法有：(3,5,7)，(3,7,9)，(5,7,9)，共有3种不同的取法，所以所取三条线段能构成一个三角形的概率为310.答案：B(2)①由题意知，从6个国家中任选2个国家，其所有可能的结果组成的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个．则所求事件的概率为P ＝315＝15.②从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其所有可能的结果组成的基本事件有： {A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，共9个．包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个， 则所求事件的概率为P ＝29.[方法技巧]计算古典概型的概率可分三步： (1)算出基本事件的总个数n ；(2)求出事件A 所包含的基本事件个数m ；(3)代入公式求出概率P .解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树状图法． [即时演练]1．袋中装有大小、形状完全相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析：从袋中一次摸出两个球，总的事件个数为6.摸出两个相同颜色球只有两个黄球，所以2只球颜色相同的概率为16，所以这2只球颜色不同的概率为1－16＝56.答案：562．一所学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩(百分制)的茎叶图如图所示.(1)根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩； (2)这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为s 21，s 22，试比较s 21与s 22的大小(只需直接写出结果)；(3)若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．(注：成绩大于等于75分为优良)．解：(1)设这10名同学中男、女生的平均成绩分别为x 1，x 2. 则x 1＝64＋76＋77＋784＝73.75，x 2＝56＋79＋76＋70＋88＋876＝76，故该班男、女生国学素养测试的平均成绩分别为73.75,76. (2)s 21<s 22.(3)设“两名同学的成绩均为优良”为事件A ， 男生按成绩由低到高依次编号为a 1，a 2，a 3，a 4， 女生按成绩由低到高依次编号为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6， 则从10名学生中随机选取一男一女两名同学的取法有： (a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 1，b 5)，(a 1，b 6)， (a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，(a 2，b 5)，(a 2，b 6)， (a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3)，(a 3，b 4)，(a 3，b 5)，(a 3，b 6)， (a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(a 4，b 3)，(a 4，b 4)，(a 4，b 5)，(a 4，b 6)， 共24种．其中两名同学均为优良的取法有：(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，(a 2，b 5)，(a 2，b 6)，(a 3，b 3)，(a 3，b 4)，(a 3，b 5)，(a 3，b 6)，(a 4，b 3)，(a 4，b 4)，(a 4，b 5)，(a 4，b 6)，共12种，所以P (A )＝1224＝12，即两名同学成绩均为优良的概率为12.常见的命题角度有：古典概型与平面向量相结合； 古典概型与直线、圆相结合； 古典概型与函数相结合；古典概型与统计相结合. 角度一：古典概型与平面向量相结合1．(2018·威海调研)从集合{}2，3，4，5中随机抽取一个数a ，从集合{}1，3，5中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )A.16B.13C.14D.12解析：选A 由题意可知m ＝(a ，b )有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．因为m ⊥n ，即m ·n ＝0，所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ， 满足条件的有(3,3)，(5,5)，共2种情况， 故所求的概率为16.角度二：古典概型与直线、圆相结合2．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为________．解析：∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6＝36种结果， 满足条件的事件是以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上， 则(x ，y )为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共有3种结果，∴根据古典概型的概率公式得以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率P ＝336＝112. 答案：112角度三：古典概型与函数相结合3．已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解：(1)由题意知，总的基本事件的个数是3×5＝15.∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2b a，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a 时．若a ＝1，则b ＝－1； 若a ＝2，则b ＝－1,1； 若a ＝3，则b ＝－1,1.∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5， ∴所求事件的概率P ＝515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ，b⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0，a >0，b >0，即△OAB 部分；构成所求事件的区域为△OAC 部分．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，a －2b ＝0.得交点坐标C ⎝ ⎛⎭⎪⎫163，83，∴由几何概型概率公式得所求事件的概率 P ＝12×8×8312×8×8＝13. 角度四：古典概型与统计相结合4．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率． 解：(1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a ＝0.006. (2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3； 受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B 1，B 2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B 1，B 2}，故所求的概率为110.[方法技巧]解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．1．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A.110B.15C.310D.25解析：选D 记两次取得卡片上的数字依次为a ，b ，则一共有25个不同的数组(a ，b )，其中满足a ＞b 的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P ＝1025＝25.2．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130解析：选C ∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.3．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.120解析：选C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.4．(2014·全国卷Ⅱ)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．解析：甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P ＝39＝13.答案：135．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100. 所以Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.一、选择题1．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45 B.35 C.25D.15解析：选C 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P ＝410＝25.2．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为( ) A.112 B.16 C.14D.13解析：选C 骰子的点数为1,2,3,4,5,6，先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设基本事件为(x ，y )，共有6×6＝36个，记两次点数之积为奇数的事件为A ，有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9个，所以两次朝上的点数之积为奇数的概率为P (A )＝936＝14.3．(2018·豫东名校联考)在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为( )A.12 B.13 C.34D.25解析：选B 点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13.4．(2018·泉州质检)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a ＞b ，b ＜c 时，称该三位自然数为“凹数”(如213,312等)，若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )A.16B.524C.13D.724解析：选C 由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有4×6＝24个．当b ＝1时，有214,213,312,314,412,413，共6个“凹数”；当b ＝2时，有324,423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率P ＝6＋224＝13. 5．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A.13B.512C.12D.712解析：选A 设2名男生记为A 1，A 2,2名女生记为B 1，B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，A 2A 1，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1 12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2 4种情况，则发生的概率为P ＝412＝13.6．甲盒子装有分别标有数字1,2,3,4的4张卡片，乙盒子装有分别标有数字2,5的2张卡片，若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字为相邻数字的概率为( )A.78B.38C.14D.18解析：选B 从两个盒子中各随机地取出1张卡片，有(1,2)，(1,5)，(2,2)，(2,5)，(3,2)，(3,5)，(4,2)，(4,5)，共8种不同的取法，其中数字为相邻数字的取法有(1,2)，(3,2)，(4,5)，共3种不同的取法，所以所求概率P ＝38.7．抛掷质地均匀的甲、乙两颗骰子，设出现的点数分别为a ，b ，则a2<|b －a 2|<6－a 成立的概率为( )A.1336B.518C.736D.536解析：选C 由题意知(a ，b )的所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，设“a2<|b －a 2|<6－a 成立”为事件A ，则事件A 包括(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,6)，共7种，故P (A )＝736.8．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A.79B.13C.59D.23解析：选D 对函数f (x )求导可得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要满足题意需x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个不等实根， 即Δ＝4(a 2－b 2)>0，即a >b .又(a ，b )的取法共有9种，其中满足a >b 的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P ＝69＝23.二、填空题9．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子落地后面朝上的点数分别为x ，y ，则log 2x y ＝1的概率为________．解析：根据题意，每枚骰子朝上的点数都有6种情况，则(x ，y )的情况有6×6＝36(种)．若log 2x y ＝1，则y ＝2x ，其情况有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3种，所以log 2x y ＝1的概率P ＝336＝112. 答案：11210．从－1,0,1,3,4这五个数中任选一个数记为a ，则使曲线y ＝7－3ax的图象在第一、三象限，且满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3>9，x －a <0无解的概率为________．解析：曲线y ＝7－3ax 的图象在第一、三象限，且满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3>9，x －a <0无解，即7－3a >0且a ≤3，所以a <73，所以a 可取－1,0,1，由古典概型的概率公式，得P ＝35.答案：3511．从x 2m －y 2n＝1(其中m ，n ∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为________．解析：当方程x 2m －y 2n ＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m ＜0，n ＞0，所以方程x 2m －y 2n＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m ，n )有(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(－1，－1)，共7种，其中表示焦点在x 轴上的双曲线时，m ＞0，n ＞0，有(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，共4种，所以所求概率P ＝47.。
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专题41 概率解答题2022中考真题精选（原卷版）专题诠释：中考数学必考内容：概率。
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1．（2022•青岛）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享．游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．2．（2022•朝阳）某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．（1）王明被安排到A小区进行服务的概率是 ．（2）请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．3．（2022•鞍山）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用A，B表示）和八年级的两名学生（用C，D表示）获得优秀奖．（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是 ．（2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．5．（2022•沈阳）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是 ；（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．4．（2022•菏泽）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）本次共调查了 名学生；并将条形统计图补充完整；（2）C组所对应的扇形圆心角为 度；（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是 ；（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．6．（2022•常州）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y＝x；②函数表达式为y＝x2；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是 ；（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．7．（2022•淮安）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．（1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 ；（2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．8．（2022•内蒙古）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4．（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）；（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表或画树状图法，求由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的图象上的概率．9．（2022•淄博）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：（1）共有 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；（2）补全调查结果条形统计图；（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．10．（2022•巴中）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．参加四个社团活动人数统计表社团活动舞蹈篮球围棋足球人数503080请根据以上信息，回答下列问题：（1）抽取的学生共有 人，其中参加围棋社的有 人；（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．11．（2022•徐州）如图，将下列3张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上．（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 ；（2）从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法，求抽得2张扑克牌的数字不同的概率．12．（2022•镇江）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于 ；（2）搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求2次都摸到红球的概率．13．（2022•东营）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．14．（2022•黄石）某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：等级一般较好良好优秀阅读量/本3456频数12a144频率0.240.40b c请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查一共随机抽取了 名学生；表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；（2）求所抽查学生阅读量的众数和平均数；（3）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率．15．（2022•资阳）某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．16．（2022•锦州）小华同学从一副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各1张放入不透明的甲盒中，再从这副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各1张放入不透明的乙盒中．（1）小华同学从甲盒中随机抽取1张，抽到扑克牌花色为“红心”的概率为 ；（2）小华同学从甲、乙两个盒中各随机抽取1张扑克牌．请用画树状图或列表的方法，求抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的概率．17．（2022•丹东）为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t（单位：h）划分为A：t＜2，B：2≤t＜3，C：3≤t＜4，D：t≥4四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：（1）这次抽样调查共抽取 人，条形统计图中的m＝ ；（2）在扇形统计图中，求B组所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；（3）已知该校有960名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有多少人？（4）学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．18．（2022•黔西南州）神舟十四号载人飞船的成功发射，再次引发校园科技热．光明中学准备举办“我的航天梦”科技活动周，在全校范围内邀请有兴趣的学生参加以下四项活动，A：航模制作；B：航天资料收集；C：航天知识竞赛；D：参观科学馆．为了了解学生对这四项活动的参与意愿，学校随机调查了该校有兴趣的m名学生（每名学生必选一项且只能选择一项），并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）m＝ ，n＝ ；并补全条形统计图；（2）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人选择参观科学馆；（3）在选择A项活动的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划把这10名学生平均分成两组进行培训，每组各有两名女生，则甲、乙被分在同一组的概率是多少？19．（2022•南通）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 ；（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率．20．（2022•鄂尔多斯）为了调查九年级学生寒假期间平均每天观看冬奥会时长情况，随机抽取部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图“平均每天观看冬奥会时长”频数分布表频数（人）频率观看时长（分）0＜x≤1520.0560.1515＜x≤3018a30＜x≤450.2545＜x≤6040.160＜x≤75（1）频数分布表中，a＝ ，请将频数分布直方图补充完整；（2）九年级共有520名学生，请你根据频数分布表，估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的有 人；（3）校学生会拟在甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学做“我与冬奥”主题演讲，请用树状图或列表法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．21．（2022•日照）今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a 表示），其中60≤a＜70记为“较差”，70≤a＜80记为“一般”，80≤a＜90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．请根据统计图提供的信息，回答如下问题：（1）x＝ ，y＝ ，并将直方图补充完整；（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是 ，众数是 ；（3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．22．（2022•荆门）为了了解学生对“新冠疫情防护知识”的应知应会程度，某校随机选取了20名学生“新冠疫情防护知识”的测评成绩，数据如表：成绩/分888990919596979899学生人数21a321321数据表中有一个数因模糊不清用字母a表示．（1）试确定a的值及测评成绩的平均数x，并补全条形图；（2）记测评成绩为x，学校规定：80≤x＜90时，成绩为合格；90≤x＜97时，成绩为良好；97≤x≤100时，成绩为优秀．求扇形统计图中m和n的值；（3）从成绩为优秀的学生中随机抽取2人，求恰好1人得97分、1人得98分的概率．23．（2022•西宁）“青绣”是我省非遗项目，其中土族盘绣、湟中堆绣、贵南藏绣、河湟刺绣等先后列入国家级、省级非物质文化遗产代表作名录．（1）省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是 （填“全面调查”或“抽样调查”）；（2）为了增进我省青少年对“青绣”文化的了解，在一次社会实践活动中设置了转盘游戏．如图所示，一个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4个扇形，并在每个扇形区域分别标上A，B，C，D（A代表土族盘绣、B代表湟中堆绣、C代表贵南藏绣、D代表河湟刺绣）．游戏规则：每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域就获得相应的绣品（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止）．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两名同学获得同一种绣品的概率，并列出所有等可能的结果．24．（2022•盐城）某社区举行新冠疫情防控核酸检测大演练，卫生防疫部门在该社区设置了三个核酸检测点A、B、C，甲、乙两人任意选择一个检测点参加检测．求甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率．（用画树状图或列表的方法求解）25．（2022•青海）为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．（1）填空：a＝ ，b＝ ；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．七、八年级抽取学生的测试成绩统计表年级七年级八年级平均数88众数a7中位数8b优秀率80%60%26．（2022•柳州）在习近平总书记视察广西、亲临柳州视察指导一周年之际，某校开展“紧跟伟大复兴领航人踔厉笃行”主题演讲比赛，演讲的题目有：《同甘共苦民族情》《民族团结一家亲，一起向未来》《画出最美同心圆》．赛前采用抽签的方式确定各班演讲题目，将演讲题目制成编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同）．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片C的概率为 ；（2）若七（1）班从3张卡片中随机抽取1张，记下题目后放回洗匀，再由七（2）班从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班抽到不同卡片的概率．（这3张卡片分别用它们的编号A，B，C 表示）27．（2022•河池）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查的样本容量是 ，圆心角β＝ 度；（2）补全条形统计图；（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？（4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率．28．（2022•盘锦）某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、国画鉴赏、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，完成下列问题：（1）本次调查共抽取了 名学生；（2）补全条形统计图；（3）计算扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数；（4）若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数；（5）在经典诵读课前展示中，甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到A 《出师表》的概率．29．（2022•通辽）如图，一个圆环被4条线段分成4个区域，现有2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”各一个，将这两个吉祥物放在任意两个区域内：（1）求：吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率 ；（2）求：吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率．（用树状图或列表法表示）30．（2022•长春）抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”，正面朝上记2分，反面朝上记1分．小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图（或列表）的方法，求两次分数之和不大于3的概率．31．（2022•郴州）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）①此次调查一共随机抽取了 名学生；②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；③扇形统计图中圆心角α＝ 度；（2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；（3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．32．（2022•深圳）某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．（1）本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ；（4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ．33．（2022•营口）为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣”“戏剧之雅”四组（依次记为A，B，C，D）．小雨和莉莉两名同学参加比赛，其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．（1）小雨抽到A组题目的概率是；（2）请用列表法或画树状图的方法，求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率．34．（2022•百色）学校举行“爱我中华，朗诵经典”班级朗诵比赛，黄老师收集了所有参赛班级的成绩后，把成绩x（满分100分）分成四个等级（A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70）进行统计，并绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．根据信息作答：（1）参赛班级总数有 个；m＝ ；（2）补全条形统计图；（3）统计发现D等级中七年级、八年级各有两个班，为了提高D等级班级的朗诵水平，语文组老师计划从D等级班级中任选两个班进行首轮培训，求选中两个班恰好是同一个年级的概率（用画树状图或列表法把所有可能结果表示出来）．35．（2022•广安）某校在开展线上教学期间，为了解七年级学生每天在家进行体育活动的时间（单位：h），随机调查了该年级的部分学生．根据调查结果，绘制出如下的扇形统计图1和条形统计图2，请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次随机调查的学生共有 人，图1中m的值为 ．（2）请补全条形统计图．（3）体育活动时间不足1小时的四人中有3名女生A1、A2、A3和1名男生B．为了解他们在家体育活动的实际情况，从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用列表法或画树状图法，求恰好抽到两名女生的概率，36．（2022•辽宁）学校开展“阳光体育”运动，根据实际情况，决定开设篮球、健美操、跳绳、毽球四个运动项目，为了解学生最喜爱哪一个运动项目，学校从不同年级随机抽取部分学生进行调查，每人必须选择且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有 人；（2）在扇形统计图中，求健美操项目所对应的扇形圆心角的度数；并把条形统计图补充完整；（3）在最喜爱健美操项目的学生中，八年一班和八年二班各有2名同学有健美操基础，学校准备从这4人中随机抽取2人作为健美操领操员，请用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是同一个班级的概率．37．（2022•恩施州）2022年4月29日，湖北日报联合夏风教室发起“劳动最光荣，加油好少年”主题活动．某校学生积极参与本次主题活动，为了解该校学生参与本次主题活动的情况，随机抽取该校部分学生进行调查．根据调查结果绘制如下不完整的统计图（如图）．请结合图中信息解答下列问题：（1）本次共调查了 名学生，并补全条形统计图．（2）若该校共有1200名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校“洗衣服”的学生约有多少名？（3）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳动感受．请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率．38．（2022•遵义）如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是﹣6，﹣1，8，转盘乙上的数字分别是﹣4，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．（1）转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是 ；转盘乙指针指向正数的概率是 ．（2）若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表法或树状图法求满足a+b＜0的概率．39．（2022•吉林）长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去长白山的概率．。
鲁教版五四制七年级下册 学期备课和各单元备课
七年级第二学期数学教学计划一、教材分析本册教材包括五个单元内容，第七章二元一次方程组，共10课时；第八章平行线的有关证明，共11课时，第九章概率初步，共8课时；第十章三角形的有关证明，共15课时；第十一章一元一次不等式与一元一次不等式组，共12课时，综合与实践，“哪一款套餐更合适”，“生活中的一次模型”各1课时，全册共58课时。
教材让每个学生都能够在数学学习过程中获得最适合自己的发展，教科书提供了大量数学活动的线索，成为供所有学生从事数学学习的出发点，目的是使学生能够在教科书所提供的学习情境中，通过探索与交流等活动，获得必要的发展，以实现课程目标。
数学知识的学习，都力求从学生实际出发，以他们熟悉的或感兴趣的问题情境引入学习主题，并提供了众多有趣而富有数学含义的问题，以展开数学探究，突出“数学化”的过程。
教科书在提供学习素材的基础之上，还依据学生已有的知识背景和活动经验，提供了大量的操作、思考与交流的机会，如课本中的“试一试”、“做一做”、“想一想”等栏目，以使学生通过自主探索与合作交流，形成新的知识。
同时，每章最后的回顾与思考以及总复习也以问题的形式出现，以帮助学生通过思考与交流，梳理所学的知识，建立符合个体认知特点的知识结构。
教科书在保证基本要求的同时，也为有更多数学学习需求的学生提供了有效的途径。
教科书中的习题分为两类：一类面向全体学生，为他们熟悉和巩固新学的内容，加深对相关知识与方法的理解所设；另一类面向有更多数学学习需求的学生，即“试一试”中的题目，不要求全体学生都去尝试完成。
二、学情分析本级学生学生，大部分学生水平偏低，基础较差，特别是他们的数学计算能力更是非常的不理想，特别是上学期的期末检测，与外校相比，无论是优秀率还是合格率，都比较低，这就要求我们老师要付出很大的艰辛与努力，耐心去辅导、帮助学生把学习成绩提上一个新台阶。
另外，在今后的教学中，要端正学生的学习态度，形成正确的学习习惯，培养浓厚的学习兴趣，抓好基础知识，拓展能力促进学生全面发展，是今后教学工作的重点。
高考数学一轮总复习 第七章 概率与统计 第41讲 古典概
考点集训(四十一) 第41讲 古典概型与几何概型1．袋中装有大小、形状完全相同的标有1，2，3，4，5，6的六个球，若有放回地随机摸取2次，则摸出的两球上的标号之和为4的概率为A.115B.110C.112D.1182．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为A.15B.25C.35D.453．(2015福建)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于A.16B.14C.38D.124．已知A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，则AA ′的长度小于半径的概率是A.12B.32C.14D.135．在边长为a 的正方形ABCD 内随机取一点P ，则∠APB >90°的概率是__________．6．已知关于x 的一次函数y ＝kx ＋b (x ∈R )．(1)设集合P ＝{－1，1，2，3}，从集合P 中随机取一个数作为k ，求函数y ＝kx ＋b 是递减函数的概率；(2)实数对(k ，b )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b －1≤0，0<k <1，－1≤b ≤1.求函数y ＝kx ＋b 的图象不．经过第四象限的概率．7．已知向量a＝(2，1)，b＝(x，y)．(1)若x∈{－1，0，1，2}，y∈{－1，0，1}，求向量a∥b的概率；(2)若x∈[－1，2]，y∈[－1，1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．第41讲 古典概型与几何概型【夯实基础】【考点集训】1．C 2.B 3.B 4.D5.π8 6．【解析】(1)从集合P 中随机取一个数作为k 的所有可能结果有4种，满足函数y ＝kx ＋b 是递减函数的情形是k ＝－1，则所求概率P ＝14. (2)因k >0，函数y ＝kx ＋b 的图象不经过第四象限的条件是b ≥0.作出(k ，b )对应的平面区域如下图中的梯形ABCD ，其面积是S 1＝（1＋2）·12＝32， 符合限制条件的(k ，b )对应的平面区域如图中的三角形BOC ，其面积是S 2＝12，故所求概率是P ＝S 2S 1＝13. 7．【解析】(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件有(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)共12个．符合条件的有(0，0)，(2，1)2个，则概率P (A )＝212＝16. (2)设“a 、b 的夹角是钝角”为事件B .由题意a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2－1≤y ≤1，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2－1≤y ≤12x ＋y <0x ≠2y . 区域图如下图：则P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32×23×2＝13.。
高考数学考点41 随机事件的概率、古典概型、几何概型
温馨提示：考点41 随机事件的概率、古典概型、几何概型一、选择题1.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 ( ) A.13B .12C .23D.34【解析】选B.如图所示,画出时间轴:小明到达的时间会随机地落在图中线段AB 中,而当他到达时间落在线段AC 或DB 时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型,所求概率P=101040 =12. 2.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T3)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 ( ) A.13B .12C .23D.56【解析】选C.将4种颜色的花任选2种种在花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,有6种种法,其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有4种,故概率为23.3.(2016·全国卷Ⅱ理科·T10)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1,x 2,…,x n ,y 1,y 2,…,y n ,构成n 个数对(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 ( ) A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n【解题指南】x i ∈[0,1],y i ∈[0,1],i=1,2,3,…,n,故数对(x i ,y i )(i=1,2,3,…,n)在以1为边长的正方形内,两数的平方和小于1的数对在以1为半径的41圆内,利用几何概型公式进行估计π的值. 【解析】选C.由题意得:(x i ,y i )(i=1,2,…,n)在如图所示的正方形中,而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中,由几何概型概率计算公式知πm4=1n,所以π=4m n. 4.(2016·全国卷Ⅱ文科·T8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 ( ) A.710B.58 C .38D.310【解题指南】本题为几何概型中的长度比,利用相应公式进行计算. 【解析】选B.至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155=408. 5.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T5)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N 中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 ( ) A.815B.18 C .115D.130【解题指南】根据基本事件的情况结合古典概型求解.【解析】选C.根据题意可以知道,所输入密码所有可能发生的情况如下:M1,M2,M3,M4,M5,I1,I2,I3,I4,I5,N1,N2,N3,N4,N5共15种情况,而正确的情况只有其中一种,所以输入一次密码能够成功开机的概率是115.6.(2016·天津高考文科·T2)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是12,甲获胜的概率是13,则甲不输的概率为()A.56B.25C.16D. 13【解题指南】利用并事件的概率公式求解.【解析】选A.P(甲不输)=P(和棋)+P(甲获胜)=115236+=.7.(2016·北京高考文科·T6)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为()A.15B.错误！未找到引用源。
专题14统计与概率篇(原卷版)
专题14 统计与概率1. 频数与频率：①频数：落在每一个小组的数据个数叫做每一组的频数。
②频率：频数与总数的比值叫做频率。
2. 相关计算：①各部分具体数量等于总体数量乘以各部分所占百分比。
②各部分在扇形中所占圆心角度数等于360°乘以百分比。
3. 画直方图的步骤：第一步：计算数据的极差。
即一组数据中的最大值减去最小值。
第二步：决定组数与组距。
①组数：通常自己决定，合理组数即可。
②组距：组距≥组数总数。
第三步：决定分组分点。
第四步：画频数分布表。
第五步：画频数分布直方图。
4. 平均数：①算术平均数：对于n 个数n x x x x ，，，...321，则()n x x x x nx ++++=-...1321表示这一组数据的平均数。
②加权平均数：对于n 个数n x x x x ，，，...321的权重分别是n w w w w ，，，，...321，则()n n w x w x w x w x nx ++++=-...1332211表示这一组数数据的加权平均数。
权重的表示一半用比的形式或者百分比占比的形式。
5. 中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
6. 众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。
7. 极差：一组数据的最大值减去最小值。
8. 方差：若一组数是n x x x x ，，，...321，他们的平均数是-x ，则这组数据的方差为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---222212...1x x x x x x n s n 。
方差表示这组数据的波动情况，方差越大，数据越波动，方差越小，数据越稳定。
9. 概率的计算 ①列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。
学课标说教材
学课标说教材陈文红说课标、说教材流程主要分为三个部分，一是说课标（1、课程标准，2、内容标准），二是说教材（1、编写特点，2、编写体例，3、内容结构，4、立体式整合），三是说建议（1、教学建议，2、评价建议，3、课程开发与利用建议）。
一、说课标（一）课程目标三年级属于第一学段，依据第一学段课标制订本单元目标如下：●知识与技能：经历从现实生活中抽象出时间的过程；认识时间单位时、分、秒，知道１分＝６０秒，掌握一些有关时间的简单计算。
●数学思考：结合学生的实际经验，让学生在情境中初步建立时、分、秒的时间观念。
● 解决问题：能在教师的指导下，从日常生活中发现和提出简单的数学问题，并尝试解决。
● 情感与态度：体会数学的特点，了解数字可以描述生活中的一些现象，感受数学与生活有密切联系，养成遵守和爱惜时间的意识和习惯。
（二）内容标准内容标准分为四个领域：数与代数λ1、初步认识简单的分数（分母小于１０），会读、写分数并知道各部分的名称，初步认识分数的大小，会计算简单的同分母分数的加减法。
2、能计算三位数的加减法，一位数乘三位数，并会进行估算，能熟练地计算除数和商是一位数的有余数除法。
3、认识时间单位秒初步建立分、秒的时间观念，知道１分＝６０秒，会进行一些有关时间的简单计算。
图形与几何1、在实践活动中，体会千米的含义，知道分米、毫米，会进行简单的单位换算，会恰当地选择长度单位。
2、指出并测量具体图形的周长，探索并掌握长方形、正方形的周长公式。
统计与概率λ1、初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的。
2、知道事件发生的可能性是有大有小的。
综合与实践经历观察、操作、实验、调查、推理等实践活动，在合作与交流的过程中，获得良好的情感体验。
我所交流的内容是“数与代数”领域中的“时、分、秒”这部分知识，将帮助学生初步建立时、分、秒的时间观念，让学生在亲身实践中体会时、分、秒的实际意义，会进行一些有关时间的简单计算。
二、说教材（一）教材编写特点：特点一：联系生活实际，重视学生的感受和体验。
苏教版五年级数学下册单元分析
3．使学生在他人的鼓励和帮助下，努力克服学习过程中遇到的困难，体验数学问题的探索性和挑战性，获得成功的体验。
教学重难点
单元教学重点：探索简单图形沿一个方向进行平移后覆盖次数的规律。
单元教学难点：能根据把图形平移的次数推算被该图形覆盖的总次数，解决相应的简单实际问题。
3、使学生认识真分数和假分数的概念，能判别一个分数是真分数还是假分数。
4、培养学生的观察、比较和分析、推理等思维能力。
教学重难点
单元教学重点：知识的迁移
单元教学难点：知识的迁移
课时安排
4课时
单元分析
教学目标
1．使学生结合具体情境，用平移的方法探索并发现简单图形覆盖现象中的规律，能根据把图形平移的次数推算被该图形覆盖的总次数，解决相应的简单实际问题。
课时安排
2课时
单元分析
教学目标
1、进一步理解分数的基本性质；并能初步运用分数的基本性质进行约分。
2、掌握约分的含义和约分的一般方法，学会约分的书写形式，认识最简分数。
3、在知识的运用中体验数学价值。
教学重难点
单元教学重点：掌握约分的方法已经约分的书写形式。约分时通常约成最简分数。
单元教学难点：约成最简分数
课时安排
5课时
单元分析
教学目标
1、使学生经历用复式折线统计图描述数据的过程，了解复式折线统计图的特点和作用；能看懂复式折线统计图所表示的信息，能根据要求完成复式折线统计图。
2．使学生能根据复式折线统计图中的信息，进行简单的分析、比较和判断、推理，进一步增强统计观念，提高统计能力。
3．使学生进一步体会统计与现实生活的联系，增强参与统计活动的兴趣，以及与他人合作交流的意识。
五年级下册北京版数学
五年级下册北京版数学五年级下册北京版数学共有17个单元，包括了数的拆分、数的认识、数的读写、数的排序、代数与方程、面积、几何图形、体积等内容。
以下将分别对每个单元进行详细介绍。
第一单元：数的拆分。
此单元主要讲解了如何将一个数拆分成几个部分的方法。
例如，给出一个数20，可以将其拆分为10＋10、15＋5、6＋14等。
第二单元：数的认识。
此单元主要讲解了数的命名方式，包括个位、十位、百位等，并且介绍了数的大小比较、顺序数、倒序数等相关概念。
第三单元：数的读写。
此单元主要学习了数的读写方法。
通过练习读写各种整数，培养学生对数的理解和认知。
第四单元：数的排序。
此单元主要讲解了数的排序方法。
通过一些实际问题，教会学生按照大小顺序进行排序，并且认识不同的排序规则。
第五单元：代数与方程。
此单元主要介绍了代数与方程的基本概念。
学生可以通过一些简单的方程式的解题，初步了解代数的运算方法。
第六单元：计数。
此单元主要讲解了计数的方法。
通过实际例子，教会学生运用计数的技巧解决问题。
第七单元：四则运算的认识与练习。
此单元从认识四则运算开始，逐渐深入学习四则运算，并通过实例进行练习，提高学生的计算能力。
第八单元：整数的认识与练习。
此单元主要学习了整数的概念、性质和运算法则，帮助学生进一步巩固四则运算的能力。
第九单元：几何图形。
此单元主要学习了几何图形的基本特征和名称，包括点、线、线段、直线、射线、角等，并通过实例来学习几何图形的性质和判断。
第十单元：平移、翻转与旋转。
此单元主要学习了平移、翻转和旋转的概念和操作方法，并通过实例来巩固学生的理解。
第十一单元：单位换算。
此单元主要学习了长度、质量、时间等常用的单位换算方法，通过实例来进行练习，帮助学生掌握换算规则。
第十二单元：面积。
此单元主要学习了面积的概念和求解方法，包括矩形、正方形、三角形等常见图形的面积计算。
第十三单元：容量。
此单元主要学习了容量的概念和计算方法，包括升、毫升等单位的换算，帮助学生理解容量的大小比较和换算规则。
人教版统编新教材初中数学九年级下册目录
人教版统编新教材初中数学九年级下册目
录
本文档提供了人教版统编材初中数学九年级下册的目录。
以下是目录的简要概述：
1. 第一单元：函数与方程
- 第一章：一次函数
- 第二章：二次函数
- 第三章：一元一次方程与一次不等式
- 第四章：一元二次方程与一元二次不等式
- 第五章：图象与函数的关系
2. 第二单元：集合与函数
- 第六章：集合的基本关系与运算
- 第七章：集合与实际问题
- 第八章：函数简介与函数的运算
3. 第三单元：线性方程组与矩阵
- 第九章：线性方程组的解
- 第十章：线性方程组应用
- 第十一章：矩阵的基本概念
- 第十二章：矩阵的运算
4. 第四单元：函数与图像
- 第十三章：反函数与一对一映射- 第十四章：函数及其变换
- 第十五章：函数的综合运用
5. 第五单元：统计与概率
- 第十六章：统计量的分析与运用- 第十七章：概率的初步研究
- 第十八章：统计调查与统计图编制
6. 第六单元：三角函数
- 第十九章：三角函数
- 第二十章：解三角形
- 第二十一章：三角函数的应用
以上是初中数学九年级下册的目录内容。
文档提供了课程的整体结构和各个单元的主题概述，供教师、学生和家长参考使用。