高中数学第1章三角函数1.3.2.1正弦、余弦函数的图象学案苏教版必修4

1 第1课时 正弦、余弦函数的图象 1．了解正弦函数、余弦函数的图象． 2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．(重点) 3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质．(重点、难点)

[基础·初探] 教材整理 正弦曲线、余弦曲线 阅读教材P26～P28图1­3­3以上的部分，完成下列问题． 1．正弦曲线、余弦曲线 正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象分别叫正弦曲线和余弦曲线．

图1­3­3 2．“五点法”画图

画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，π2，1，(π，0)，

3π2，－1，(2π，0)．

画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，π2，0，(π，－1)，2

3π2，0，(2π，1)．

3．正弦、余弦曲线的联系 依据诱导公式cos x＝sinx＋π2，要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象

向左平移π2个单位长度即可．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦曲线的图象向左右无限延展．( ) (2)y＝sin x与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同．( )

(3)余弦曲线向右平移π2个单位得到正弦曲线．( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

[小组合作型] 利用“五点法”作简图 用“五点法”作出下列函数的图象． (1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]． (2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]． (3)y＝－1－cos x，x∈[0,2π]． 【精彩点拨】 先分别取出相应函数在[0,2π]上的五个关键点，再描点连线． 【自主解答】 (1)列表如下：

x 0 π2 π 32π 2π

sin x 0 1 0 －1 0 3

sin x－1 －1 0 －1 －2 －1 描点连线，如图(1)所示．

图(1) (2)列表如下：

x 0 π2 π 32π 2π

cos x 1 0 －1 0 1 2＋cos x 3 2 1 2 3 描点连线，如图(2)所示．

图(2) (3)列表：

x 0 π2 π 3π2 2π

cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x －2 －1 0 －1 －2 描点作图，如图(3)所示：

图(3) 1．“五点法”中的五点即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法． 2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节． 4

[再练一题] 1．用“五点法”作出函数y＝3＋2cos x在一个周期内的图象. 【导学号：06460021】 【解】 按五个关键点列表；描点并将它们用光滑的曲线连接起来．

x 0 π2 π 3π2 2π

cos x 1 0 －1 0 1 3＋2cos x 5 3 1 3 5

利用正、余弦曲线解三角不等式 利用正弦曲线，求满足12＜sin x≤32的x的集合． 【精彩点拨】 作出正弦函数y＝sin x在一个周期内的图象，然后借助图象求解． 【自主解答】 首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象，如图所示，

作直线y＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y＝32，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3.观察图象可知，在[0,2π]上，当π6＜x≤π3，或2π3≤x＜5π6时，不等式12＜sin x≤32成立， 所以12＜sin x≤32的解集为 x π6＋2kπ＜x≤π3＋2kπ或2π3＋2kπ≤x＜5π6＋2kπ，k∈Z. 5

利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤为： 画出正弦函数y＝sin x或余弦函数y＝cos x在[0，2π]上的图象； 写出适合不等式的在区间[0，2π]上的解集； 把此解集推广到整个定义域上去.

[再练一题] 2．求函数y＝log21sin x－1的定义域． 【解】 为使函数有意义，需满足

 log21sin x－1≥0，sin x＞0，即 sin x≤12，

sin x＞0. 正弦函数图象如图所示，

∴定义域为x 2kπ＜x≤2kπ＋π6，k∈Z∪ x

 2kπ＋5π6≤x＜2kπ＋π，k∈Z.

[探究共研型] 正、余弦函数图象的应用 探究1 你能借助图象的变换作出y＝|sin x|的图象吗？试画出其图象． 【提示】 先画出y＝sin x的图象，然后将其x轴下方的对称到x轴的上方(x轴上方的保持不变)即可得到y＝|sin x|的图象，如图．

探究2 方程|sin x|＝a，a∈R在[0,2π]上有几解？ 【提示】 当a＜0时，方程|sin x|＝a无解； 当a＝0时，方程|sin x|有三解； 6

当0＜a＜1时，方程|sin x|＝a有四解； 当a＝1时，方程|sin x|＝a有两解； 当a＞1时，方程|sin x|＝a无解． 在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数． 【精彩点拨】 作图―→看图―→交点个数 ―→sin x＝lg x解的个数 【自主解答】 建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象．

描出点110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连结得到y＝lg x的图象，如图所示．

由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个． 利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数或两函数图象的交点个数求参数的范围问题.

[再练一题] 3．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．

【解】 f(x)＝ 3sin x，0≤x≤π，－sin x，π＜x≤2π的图象如图所示，故由图象知1＜k＜3.

[构建·体系] 7

1．函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图象关于________对称． 【解析】 在同一坐标系中画出函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图象，可知它们关于x轴对称． 【答案】 x轴

2．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－12的交点有________个. 【导学号：06460022】 【解析】 如图，函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－12有两个交点．

【答案】 2 3．函数y＝cos x＋4，x∈[0,2π]与直线y＝4的交点坐标为________． 【解析】 作出函数y＝cos x＋4，x∈[0,2π]的图象(图略)，容易发现它与直线y＝4

的交点坐标为π2，4，3π2，4.

【答案】 π2，4，3π2，4 4．sin x＞0，x∈[0,2π]的解集是________． 【解析】 如图所示是y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，

由图可知满足sin x＞0，x∈[0,2π]的解集是(0，π)． 【答案】 (0，π) 5．用“五点法”作出y＝1－sin2x(0≤x≤2π)的简图． 【解】 y＝1－sin2x＝|cos x|(x∈[0,2π])． 列表： 8

x 0 π2 π 3π2 2π

cos x 1 0 －1 0 1 |cos x| 1 0 1 0 1 1－sin2x 1 0 1 0 1

描点作图，如图．

我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2)

学业分层测评(八) 正弦、余弦函数的图象 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、填空题 1．函数y＝－sin x的大致图象是________(填序号)．

图1­3­4 9

【解析】 y＝－sin x的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称．故选①. 【答案】 ① 2．若cos x＝1－2m，且x∈R，则m的范围是________． 【解析】 ∵cos x∈[－1,1]，∴－1≤1－2m≤1， 解得0≤m≤1. 【答案】 0≤m≤1 3．关于三角函数的图象，有下列说法： ①y＝sin|x|与y＝sin x的图象关于y轴对称； ②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同； ③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称； ④y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称． 其中正确的序号是________. 【导学号：06460023】 【解析】 对②，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos|x|＝cos x，故其图象相同；对④，y＝cos(－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称，由作图可知①③均不正确． 【答案】 ②④

4．函数y＝log12sin x的定义域是________．

【解析】 由题意可得， log12sin x≥0，sin x＞0， 即 sin x≤1，sin x＞0， ∴0＜sin x≤1， 由正弦函数图象可得{x|2kπ＜x＜(2k＋1)π，k∈Z}． 【答案】 {x|2kπ＜x＜(2k＋1)π，k∈Z} 5．函数y＝2cos x＋1的定义域是________．

【解析】 2cos x＋1≥0，cos x≥－12，结合图象知x∈2kπ－23π，2kπ＋23π，k∈Z. 【答案】 2kπ－23π，2kπ＋23π，k∈Z 6．函数y＝sin x的图象与函数y＝cos x的图象在[0,2π]内的交点坐标为________． 【解析】 在同一坐标系内画出两函数的图象，(图略)

易知，交点坐标为π4，22和5π4，－22.