山东省聊城市外国语学校2015年高一数学暑假假期作业二：正弦定理(2)

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高中数学每日一题之快乐暑假第15天利用正、余弦定理判断三角形的形状理新人教A版

第15天利用正、余弦定理判断三角形的形状高考频度：★★★☆☆难易程度：★★★☆☆典例在线（1）在中,分别为角的对边),则的形状为A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形（2）已知的三个内角满足，则是A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形（3）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则是A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【参考答案】（1）A；（2）D；（3）D．（2）由正弦定理可得，令，则为最长的边，故角最大，由余弦定理可得，所以角为钝角，故是钝角三角形．故选D．（3）由余弦定理，可得，所以，又，所以，所以是等腰直角三角形．故选D．【解题必备】判断三角形的形状有以下几种思路：①转化为三角形的边来判断；②转化为角的三角函数（值）来判断．可简记为“化角为边”、“化边为角”．学霸推荐1．在中，已知三边，，，则是A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定2．在中,=,则三角形的形状为A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形3．在中,为的中点,满足,则的形状一定是A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形4．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.若sin B＋sin C＝1，则是____________三角形.1．【答案】C【解析】因为角C最大，且，所以角C为钝角，从而是钝角三角形，选C．2．【答案】D【解析】由正弦定理,可化为,由二倍角公式可得sin2A=sin2B,则2A=2B或2A+2B=2,所以A=B或A+B=,所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.3．【答案】D4．【答案】等腰钝角【解析】根据正弦定理得，即a2＝b2＋c2＋bc ①．由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故cos A＝，A＝120°．因为sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin B sin C，sin B＋sin C＝1，所以sin B＝sin C＝，因为，0°<C<90°，故B＝C.所以是等腰钝角三角形．。

2015高考数学一轮配套课件：4-6正弦定理和余弦定理

审题路线 (1)把 2asin B＝ 3b 变形为 2a＝sin3bB⇒利用正弦定理
a sin
A＝sinb
B⇒得到
sin
A＝？⇒A
为锐角，得出
A＝？
(2)由(1)知 cos A 的值⇒利用余弦定理⇒又 b＋c＝8，求 bc 的值
⇒利用三角形面积公式 S＝12bcsin A 求得．
诊断·基础知识
突破·高频第考二十点四页，编辑于培星养期五·解：十题四点能四力分。
诊断·基础知识
突破·高频第考二十点一页，编辑于培星养期五·解：十题四点能四力分。
(2)由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，
得 b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]，
即 b2sin Acos B＝a2cos Asin B，
即 sin2 Bsin Acos B＝sin2 Acos Asin B，
施边、角转换.
诊断·基础知识
突破·高频第考十页点，编辑于星期培五养：十·解四点题四分能。力
考点一利用正弦、余弦定理解三角形【例 1】 (1)(2013·湖南卷改编)在锐角△ABC 中，角 A，B 所对
的边长分别为 a，b.若 2asin B＝ 3b，则角 A 等于______． (2)(2014·杭州模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a＝1，c＝4 2，B＝45°，则 sin C＝________.
所以 sin 2B＝sin 2A，由于 A，B 是三角形的内角，
故 0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.
故只可能 2A＝2B 或 2A＝π－2B，
即 A＝B 或 A＋B＝π2.
故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．

高中数学必修二 6 4 正、余弦定理(精练)(含答案)

6.4.2 正、余弦定理(精练)【题组一正余弦的定理的选择】1．(2021·全国·高一课时练习)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，则下列等式正确的是( ) A ．a=b cos C+c cos B B ．a=b cos C-c cos B C ．a=b sin C+c sin B D ．a=b sin C-c sin B【答案】A【解析】b cos C+c cos B=b ·222-2a b c ab ++c ·2222-222a c b a ac a+==a ，所以A 正确、B 错误； a=b sin C+c sin B sin sin sin sin sin 2sin sin A B C C B B C ⇒=+=，显然不恒成立，故C 错误；a=b sin C- c sin B sin sin sin sin sin 0A B C C B ⇒=-=，故D 错误.故选：A2．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若a =b =π4A =，则角B =( ) A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π3【答案】D【解析】在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a b A B=，所以sin sin b A B a === 因为b a >，所以B A >，因为0πB <<，所以B =π3或2π3，故选：D. 3．(2021·全国·高一课时练习)在△ABC 中，已知a ＝1，bA ＝30°，则B 等于( ) A ．60° B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°【答案】B【解析】因为1,30a b A ===︒，由正弦定理得：sin sin a b A B =，即1sin 30︒=sin B =，因为(0,180)B ∈︒︒，所以60B ︒=或120︒，故选：B.4(2021·贵州师大附中高一月考)在ABC 中，1a =，b =60B =︒，则A =( ) A ．30° B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°【答案】A【解析】因为在ABC 中，1a =，b =60B =︒，所以由正弦定理得，1sin A =1sin 2A =，因为a b <，所以A 为锐角，所以30A =︒，故选：A5．(2021·贵州大学附属中学高一月考)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且45B =︒，60C =︒，b =c 等于( )ABC ．2 D【答案】B【解析】ABC 中，∵45B =︒，60C =︒，b = ∴由正弦定理sin sin b cB C=得：c =故选：B 6．(2021·贵州·镇远县文德民族中学校高一月考)在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若45A =，30B =，a =b =( ) AB．CD ．3【答案】D【解析】由正弦定理sin sin a bA B=得1sin 3sin a B b A ===.故选：D.7．(2021·全国·高一课时练习)ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若2,,6a A c π===则b =___________. 【答案】2或4【解析】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2680b b -+=，解得2b =或4.故答案为：2或4. 8．(2021·贵州大学附属中学高一月考)在ABC 中，60A =︒，3AC =，2AB =，那么BC 的长度为______．【解析】∵在ABC 中，60A =︒，3AC =，2AB =，∴由余弦定理可得：2222cos 94232cos607BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=°．∴BC =9．(2021·北京·中国农业大学附属中学高一期末)在ABC中，若6,6a b A π===，则B 的大小为__________．【答案】3π或23π【解析】由正弦定理得sin sin a bA B =，∴6sin sin sin b A B a π== ∵b a >，∴B A >，∴3B π=或23π故答案为：π3或2π310．(2021·贵州·镇远县文德民族中学校高一月考)在ABC 中，已知6a =，b =30A =，则B =______. 【答案】60或120【解析】由正弦定理sin sin a b A B=可得1sin 2sin 6b A B a === 因为30A =，则0150B <<，故60B =或120.故答案为：60或120. 【题组二边角互换】1．(2021·江西·九江一中高一月考)在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a b ab c +-=，则C =( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C【解析】由题意，222222a b ab c a b c ab ⇒+-=+-=，由余弦定理，2221cos 22a b c C ab +-==，∵0C π<<，∴3C π=.故选：C.2．(2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，则A =( )A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，由正弦定理可得()()()a b a b c b c -+=-，整理可得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，()0,A π∈，3A π∴=.故选：B. 3．(2021·广东高州·高一期末)在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2cos 3A =，2B A =．则ba=( ) A ．43B ．54C ．32D ．65【答案】A【解析】由正弦定理可得，sin sin 22sin cos 42cos sin sin sin 3b B A A A A a A A A =====.故选：A. 4．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3,4,6a b c ===，则cos cos cos bc A ac B ab C ++的值是___________.【答案】612【解析】因为222222222cos cos cos 222b c a a c b a b c bc A ac B ab C +-+-+-++=++2226122a b c ++==,故答案为：612.5．(2021·广东·中山市第二中学高一月考)在ABC 中，若sin :sin :sin 4:5A B C =，则角A 的大小是___________．【答案】3π【解析】由正弦定理可得：::4:5a b c =设,4,5a b k c k ===，0k >由余弦定理可得2221625211cos 2402b c a A bc +-+-===，又()0,A π∈，所以3A π=．故答案为：3π．6．(2021·广东·铁一中学高一月考)在①cos cos )cos 0(C A A B +=，②cos23sin()1B A C -+=，③cos sin b C B a +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，问题：在ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a ，b 、c ，若1a c +=，________，求角B 的值和b 的最小值．【答案】答案不唯一，见解析.【解析】若选择①：在ABC 中，有A B C π++=，则由题可得：cos[()](cos )cos 0A B A A B π-++-=，cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=，sin sin cos 0A B A B =，又sin 0A ≠∴ sin B B =，∴ tan B = 又∵(0,)B π∈，∴ 3B π=因为1a c +=，所以1c a =-且(0,1)∈a由余弦定理得：2222222112cos (1)(1)331324b a c ac B a a a a a a a ⎛⎫=+-=+---=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴ 当12a =时，2b 取最小值，()2min 14b =， ∴ b 的最小值为12若选②，在ABC 中，A B C π++=，则由题可得222cos 13cos()2cos 3cos 11B B B B π---=+-= ∴1cos 2B =或cos 2B =-(舍去)，又∵(0,)B π∈， ∴ 3B π=．(剩下同①)若选③，由正弦定理可将已知条件转化为sin cos sin sin B C C B A +=，又sin sin[()]sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+，∴sin cos sin C B B C =，又sin 0C ≠，∴ sin B B =，∴tan B 又∵(0,)B π∈， ∴ 3B π=，(剩下同①)【题组三三角形的面积】1．(2021·浙江省兰溪市第三中学高一月考)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =1，B =45°，其面积为2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．B ．C ．4D ．5【答案】B【解析】∵1sin 21122ABCSac B c ⨯⨯===，∴c =2222cos b a c ac B =+-，∴(22212125b =+-⨯⨯=，可得5b =. 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2sin bR B=，∴52sin 45R ==︒.故选：B.2．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若π6A =，1b =，sin C B =，则ABC 的面积S =__.【解析】因为sin C B =，由正弦定理化角为边可得：c == 所以ABC的面积111sin 1222S bc A ==⨯⨯=3．(2021·全国·高一课时练习)已知三角形的一边长为7，这条边所对的角为60︒，另两边长之比为3∶2，则这个三角形的面积是___________.【解析】依题意，设三角形另两边长分别为3,2(0)k k k >，由余弦定理得：2227(3)(2)232cos 60k k k k =+-⋅⋅，解得27k =，于是得三角形面积213332sin 6022S k k =⋅⋅==4．(2021·全国·高一课时练习)已知在ABC 中边a，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且23ac C π===，则ABC 的面积S =___________.【解析】由正弦定理知sin 1sin 2a C A c===.由a c <，得A C <，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6A π=，所以ππ6B AC ，所以11sin 226S ac B π==-=5．(2021·福建·泉州科技中学高一月考)在ABC 中，三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若ABCS =7a b +=，3C π=，则边c =______．【解析】3C π=，1sin 2ABCSab C =，∴解得12ab =，7a b +=，∴由余弦定理可得c6．(2021·广东·惠来县第一中学高一月考)在ABC 中，60A =︒，1b =，则sin sin sina b cA B C_______．【解析】依题意1sin 2ABCSbc A =，1142c c ⨯⨯==，由余弦定理得22214214cos6013a =+-⨯⨯⨯︒=，a =由正弦定理得13239sin sin sin sin 33a b ca A B CA. 【题组四判断三角形的形状】1．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，lg(sin sin )2lgsin lg(sin sin )A C B C A +=--，则ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】因lg(sin sin )2lgsin lg(sin sin )A C B C A +=--，则有222lg(sin sin )lg sin C A B -=，即有222sin sin sin C A B -=，于是得222sin sin sin C A B =+，在ABC 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得：222c a b =+，所以ABC 是直角三角形. 故选：B2．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，若22,sin sin sin a b c A B C =+=⋅，则ABC 一定是( ) A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．非等腰三角形【答案】B【解析】在ABC 中，由正弦定理及2sin sin sin A B C =⋅得：2a bc =，因2a b c =+，则有2222()()4(2)40b c b c bc a a -=+-=-=，即b c =，因此得a b c ==，所以ABC 是等边三角形. 故选：B3．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，已知cos bA c=(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C 【解析】因为cos b A c=，所以sin cos sin B A C =，即()sin cos sin sin cos cos sin C A A C A C A C =+=+，所以sin cos 0A C =，所以sin 0A =或cos 0C =，又因(),0,A C π∈，所以cos 0C =，则2C π=，所以ABC 为直角三角形.故选：C.4．(2021·河北张家口·高一期末)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos a C c A c +=，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】由正弦定理得：sin cos sin cos sin A C C A C +=，sin()sin A C C ∴+=， sin sin B C ∴=，三角形内角和等于180°，B C ∴=，故选：C.5．(2021·江西·南昌市新建区第一中学高一月考)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2cos22A b c b+=，则ABC 的形状是( )． A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形【答案】C 【解析】21cos (1cos )222A b c A b +=+=，1cos 1b c c A b b +∴+==+，即cos c A b=，又222cos 2b c a A bc +-=，∴2222b c a cbc b +-=，整理得222a c b +=，所以ABC 为直角三角形．故选： C.6．(2021·贵州师大附中高一月考)在ABC 中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】在ABC 中，cos cos a A b B =，∴由正弦定理2sin sin a bR A B==，得2sin a R A =，2sin b R B =， sin cos sin cos A A B B ∴=，∴11sin 2sin 222A B =，sin 2sin 2A B ∴=，22A B ∴=或22A B π=-，A B ∴=或2A B π+=，ABC ∴为等腰三角形或直角三角形，故选：D【题组五三角形个数的判断】1．(2021·山东胶州·)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若60B =︒，b 2c =，则ABC 解的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定【答案】B【解析】由正弦定理得2sin sin sin sin c b c B C C B b=⇒===，由于b c >所以C 为锐角，所以45C =︒，故三角形有唯一解. 故选：B2．(2021·福建福州·)在ABC 中，5a =，8b =，6A π=，则此三角形( )A ．有两解B ．有一解C ．无解D ．解的个数不确定【答案】A【解析】因为8b =，6A π=，所以顶点C 到AB 的距离sin 8sin 46d b A π===，因为5a =，所以d a b <<，所以以C 为圆心，5a =为半径画弧与AB 有两个交点，所以三角形有两解，故选：A3．(2021·浙江绍兴·)若满足30ACB ∠=︒，2BC =的ABC 有且只有一个，则边AB 的取值范围是( ) A ．[)1,2 B ．{}[)12,+∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞【答案】B【解析】由题意得，sin30AB BC =︒或AB BC ≥时满足题意的ABC 有且只有一个，则1AB =或2AB ≥. 故选:B4．(2021·安徽·东至县第二中学)已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6B π=，10c =，8b =，则ABC 的解的情况为( ) A ．无解 B ．有一解C ．有两解D ．有三解【答案】C 【解析】因为6B π=，10c =，8b =，所以1sin 1058102c B b c =⨯=<=<=，所以角C 可能是锐角也可能是钝角，所以ABC 有两解，故选:C ．5．(2021·江西·贵溪市实验中学)不解三角形，下列三角形中有两解的是( ) A ．2,3,105a b B ===︒ B ．2,3,35a b B ===︒ C ．2,3,90a b A ===︒D ．3,2,35a b B ===︒【答案】D【解析】对A ,,a b < B 为钝角，只有一解；对B , ,,a b < B 为锐角，只有一解；对C , ,,a b < A 为直角，只有一解；对D , ,,a b > B 为锐角，A 有两解；故选：D6．(2021·上海·)在ABC 中，1,45a b A ===︒，则满足此条件的三角形的个数是( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．无数个【答案】A【解析】在ABC 中，145a b A ︒===，，由正弦定理sin sin a b A B=可得：sin 2sin 11b A B a ===>，这与sin (01]B ∈，矛盾，所以满足此条件的三角形不存在，即个数为0.故选：A7．(2021·全国·)已知a ，b ，c 分别是ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若60A =，6c =，6a =，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解【答案】B【解析】在ABC 中，由正弦定理可得sin sin c a C A = 因为6a =，6c =，60A =所以sin C 60C =或120C =(舍) 由三角形的内角和可得：180606060B =--=，所以此三角形为正三角形，有唯一解.故选：B.8．(2019·江苏·苏州大学附属中学)在ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，若2,1,29a b B ===︒，则此三角形解的情况是( )A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．有无数解【答案】C 【解析】由正弦定理可得，sin 2sin 29sin 2sin 292sin 3011a B Ab ⨯===⨯<⨯=, a b >， A B ∴>，由于B 为锐角，角A 可以为锐角，也可以为钝角,即三角形的解有2个. 故选：C.9．(2021·江西省南丰县第二中学)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a =1b =，120A =︒，则此三角形解的情况为( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定【答案】B【解析】因为a =1b =，120A =︒，所以由正弦定理可得，sin 1sin 2b AB a ==，所以30B =︒或150B =︒，当30B =︒时，30C =︒，满足题意；当150B =︒时，180A B +>︒，不能构成三角形，舍去.综上，30B =︒，即三角形的解只有一个.故选：B ．10．(2021·福建·厦门双十中学)在ABC 中，100a =，80b =，45A =︒，则此三角形解的情况是( )A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解【答案】A 【解析】根据正弦定理有sin sin abA B =，则sin 22sin 5b A B a ，a b >，A B ∴>，∴这样的B 只有一个，即此三角形有一个解.故选：A.【题组六最值】1．(2021·全国·高一课时练习)在△ABC 中，a=2，c=1，则角C 的取值范围是( )A ．()π02， B ．ππ63⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．ππ62⎛⎫⎪⎝⎭， D ．π06⎛⎤⎥⎝⎦，【答案】D 【解析】在△ABC 中，a=2，c=1，由正弦定理sin sin ac A C =，得21sin sin A C =，∴sin C=12sin A.∵A ∈(0，π)，∴0<sin A ≤1，∴sin C ∈102⎛⎤⎥⎝⎦，.结合函数y=sin x 的图象可得C ∈π5π0π66⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，.∵a>c ，∴角C 是锐角，∴C ∈π06⎛⎤⎥⎝⎦，.故选：D .2．(2021·吉林·延边二中高一月考)已知ABC 三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin 0A a C +=，若角A 的平分线交BC 于D 点，且1AD =，则b c +的最小值为( )A ．4B ．6C ．3D ．5【答案】Acos sin 0A a C +=cos sin sin 0C A A C +=，因为()0,180C ∈︒，sin 0C ≠，sin 0A A +=，即tan A =因为()0,180A ∈︒，所以120A =︒.如图，ABC ABD ACD S S S =+，所以111sin1201sin 601sin 60222bc c b ⋅︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒，所以bc b c =+，即111b c +=，所以11()224b c b c b c c b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当c b =，bc b c =+，即2c b ==时，等号成立，所以b c +的最小值为4.故选：A.3．(2021·重庆第二外国语学校高一月考)在ABC 中，内角A ，B ，C 及其所对的边a ，b ，c ，且cos sin 0a C C b c --=(1)求A ；(2)若a =b c +的取值范围.【答案】(1)3A π=；(2).【解析】(1)由cos sin 0a C C b c --=，以及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=，由于B A C π=--即sin cos sin sin()sin A C A C A C C +=++，sin cos sin sin A C A C C -=，又sin 0C >cos 1A A -=，由辅助角公式可得1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由于0A π<<，可得5666A πππ-<-<，所以66A ππ-=，即3A π=.(2)由(1)知3A π=，又a = 所以22sin a R A==且23B C π+=，由正弦定理，22b c Rsin B RsinC +=+2sin 2sin B C =+22sin 2sin 3B B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭3sin B B =1cos 2B B ⎫=+⎪⎪⎭6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又203B π<<，所以5666B πππ<+<，所以1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭6B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭综上所述b c +的取值范围为3.4．(2021·陕西·绥德中学高一月考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222a ab b c -+=.(1)求角C 的大小；(2)若c =2，求△ABC 面积的最大值.【答案】(1)3π；【解析】(1)因为222a ab b c -+=，所以222a b c ab +-=，所以由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，因为0C π<<，所以3C π=. (2)因为3C π=，所以2222cos c a b ab C =+-，即2242a b ab ab ab ab =+-≥-=，当且仅当a b =时等号成立.所以1sin 42ABC S ab C ==≤=所以△ABC 5．(2021·四川巴中·高一期末(理))在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos cos cos a C b C c B -=．(1)求角C ；(2)若2a b +=，求c 的取值范围．【答案】(1)π3C =；(2)[)1,2. 【解析】(1)由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，即2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+，2sin cos sin()sin(π)sin A C B C A A =+=-=，因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 2C =，又因为(0,π)C ∈，所以π3C =； (2)由2a b +=得2b a =-，且02a <<由(1)知：π3C =，由余弦定理得： 222222cos (2)(2)c a b ab C a a a a =+-=+---223643(1)1a a a =-+=-+当02a <<时，由二次函数的性质知：23(1)1y a =-+的值域为[)1,4，当且仅当1a =时取等号，此时1b =，所以214c ≤<，即12c ≤<所以c 的取值范围为[)1,2．。

正余弦定理

正余弦定理第一篇：正余弦定理正弦、余弦定理一.填空1．在∆ABC中，BC=a，AC=b，S∆ABC=ab，则BC、AC两边的夹角等于____．2.∠A=60°，∠B=30°，a=3, 则b=,c=,∠C=3.∠A=45°，∠B=75°，b=8, 则a=,c=,∠C=.4．在∆ABC中，a=8，B=60ο，C=75ο，则b=________．5.在∆ABC中，a2+b2=c2,则∆ABC是6.在∆ABC中，a2+b2>c2, a2+c2>b2，c2+b2>a2则∆ABC是三角形。

7.在∆ABC中，a2+b28.在∆ABC中，a∶b∶c=5∶12∶13则∆ABC是9．在∆ABC中，sin2A+sin2B=sin2C，则∠C=___________．10．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则∠ABC的余弦值为___________．11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b6，B＝120°，则a＝________________.12．△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知A=π46,a=3，b=4则角二.选择题1．在∆ABC中，b=10，c=15，C=30ο，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．无解D．无法确定2．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．300或600B．450或600C．1200或600D．300或15003．在∆ABC中，a=6，B=30ο，C=120ο，则∆ABC的面积是（）A．9B．18C．9D．18 4．在∆ABC中，若sinAcosBa=b，则B的值为（）A．30οB．45οC．60οD．90ο5．在∆ABC中，AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（）A．(0,π]B．(0,π]C．(π,ππ6362]D．[6,π)6．在∆ABC中，a=，b=1，B=30ο，则∆ABC的面积为是（）A．32B．34C．32或3D．32或47．在∆ABC中，下列命题中正确的是（）A．若sinA=112，则A=30οB若cosA=ο，则A=60C．a=80，b=100，A=45ο的三角形有一解D．a=18，b=20，A=150ο的三角形一定存在8．如果满足∠ABC=60ο，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（）A．k=8B．0<k≤12C．k≥12D．0<k≤12或k=83 9．在∆ABC中，(sinA+sinB+sinC)2=3(sin2A+sin2B+sin2C)，则这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形D．等边三角形三解答题1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a2+c2-b2=ac.求cosB的值；2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，又A=60°，sinB:sinC=2:3.（1）求bc的值；（2）若△ABC的AB边上的高为33，求a的值.第二篇：正余弦定理正余弦定理1、正弦定理：在∆AB C中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为∆AB C的外接圆的半径，则有abc===2R．sin A sin B sinC2、正弦定理的变形公式：①a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2RsinC； abc，sin B=，sinC=；③a:b:c=sin A:sin B:sinC； 2R2R2Ra+b+cabc===④．sin A+sin B+sinCsin A sin B sinC②sin A=（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

精选推荐018高中数学每日一题之快乐暑假第15天利用正、余弦定理判断三角形的形状理新人教A版

2015届高考数学一轮复习正弦定理和余弦定理的应用举例达标练习新人教A版必修5

必修Ⅴ达标练习（2）
正弦定理和余弦定理的应用举例
1、选择题： ABC 00（1）在中，已知 a=8，B=60，C =75，则b 的值是( )
32 A 、 42 B、 43 C 、 46 D 、 3
ABC ABC 0（2）在中，已知 a=5，b=7，A=30，则有( )
A 、一解
B 、二解
C 、无解
D 、不能确定
2、填空题：
（1）ABC ABC 0在中，已知 A=60，b=16，S =2203，则c=__________。

（2）2ABC 0在中，已知 c=，b=6，B=120 ，则a=__________。

3、解答题：
（1）ABC ABC 0
在中，A=30，a=40，b=50，这样的有几个？
（2）ABC ABC 在中，已知 bcosA=acosB，试判断的形状。

ABC ABC 0(3)在中，已知 a=33，B=150，c=2，求边b 的长及的面积。

（4）ABC ABC 0
在中，已知 b=83，A=30，a=8，求的面积。

（5）海中有一个小岛，周围3.8海里内有暗礁.海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东750.航行8海里以后，望见这岛在北偏东600.如果这艘海轮不改变航行方向继续前进，有没有触礁的危险？。

正弦定理(高考题)

正弦定理链接高考1.(2013北京,5,5分,★☆☆)在△ABC中,a=3,b=5,sin A=,则sin B=()A. B. C. D.12.(2013湖南,5,5分,★☆☆)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=b,则角A等于()A. B. C. D.3.(2015福建,14,4分,★☆☆)若△ABC中,AC=,A=45°,C=75°,则BC=________.4.(2015广东,11,5分,★☆☆)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=________.5.(2014广东,12,5分,★☆☆)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则=________.6.(2015辽宁锦州月考,★☆☆)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,若ccos A=b,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上皆有可能7.(2015山东青岛检测,★☆☆)在△ABC中,如果a2sin B=b2sin A,则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形8.(2013陕西,9,5分,★☆☆)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定9.(2016福建厦门双十中学期中,★☆☆)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=ccos B,且b=csin A,则△ABC的形状是________.10.(2016华中师大附中期中,★★☆)在△ABC中,已知A=30°,a=8,b=8,则三角形的面积为()A.32B.16C.32或16D.32或1611.(2015山东日照月考,★☆☆)已知△ABC中,sin B=2sin A,C=,S△ABC=2,则a=()A.4B.2C.2D.412.(2013课标全国Ⅱ,4,5分,★★☆)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为()A.2+2B.+1C.2-2D.-113.(2014福建,12,4分,★☆☆)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于________.14.(2012浙江,18,14分,★★☆)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cos A=,sin B=cos C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.三年模拟1.(2016河南郑州一模,★☆☆)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=,则cos B=()A.-B.C.-D.2.(2016福建厦门双十中学期中,★☆☆)在△ABC中,下列关系一定成立的是()A.a>bsin AB.a=bsin AC.a≤bsin AD.a≥bsin A3.(2016山东实验中学诊断,★★☆)△ABC中,A=,BC=3,则△ABC的周长为()A.4sin+3B.4sin+3C.6sin+3D.6sin+34.(2015山东潍坊一中月考,★☆☆)在△ABC中,已知a=8,∠B=60°,∠C=75°,则b 等于()A.4B.4C.4D.5.(2014广东珠海六校联考,★☆☆)△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin B=1,向量p=(a,b),q=(1,2),若p∥q,则角A的大小为()A. B. C. D.π6.(2014广东珠海期末,★☆☆)在△ABC中,A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=()A.1∶2∶3B.3∶2∶1C.1∶∶2D.2∶∶17.(2016湖南师大附中期中,★☆☆)△ABC中,B=,b=,a=1,则A等于________.8.(2016山东实验中学诊断,★★☆)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且a=15,b=10,A=60°,则cos B=________.9.(2015广东六校联盟联考,★☆☆)在△ABC中,A=45°,B=75°,c=2,则此三角形的最短边的长度是________.10.(2015河南郑州月考,★☆☆)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=,A=30°,c=3,则△ABC的面积为________.11.(2016山东淄博摸底,★☆☆)已知函数f(x)=2sin·sin,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)在△ABC中,若A=,f=,求的值.12.(2014广东期末,★☆☆)已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x+(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,b=1,f=,求sin B的值.。

2015届高三数学(理,山东版)一轮课件：第3章第8节正弦定理、余弦定理的应用举例

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【解】由题意知 AB＝5(3＋ 3)海里， ∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB 中，由正弦定理，得sin∠DBDAB＝sin∠ABADB， ∴DB＝ABsi·nsi∠n∠ADDBAB＝53＋sin310·s5in°45°
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实际问题中的有关概念 1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_上__方__的角叫仰角，在水平线_下__方___的角叫俯角(如图 3－8－1①)．
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图 3－8－1
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1．从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，
则 α，β 之间的关系是( )
A．α＞β
B．α＝β
C．α＋β＝90°
D．α＋β＝180°
【解析】如图所示，由图可知α＝β.
【答案】 B
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2．方位角和方向角 (1)方位角：从指北方向__顺__时__针___转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α(如图 3－8－1②)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30°等． 3．坡度与坡比坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比．
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1. 1 正弦定理（二）
一．学习目标：
通过数形两方面，进一步讨论已知两边和一边对角的三角形解的情况，熟记正弦定理2sin sin sin a b c R A B C
===（R 为ABC ∆的外接圆的半径）及其变形形式。

能初步应用正弦定理解决关于三角形形状和面积的问题.
学习重点：正弦定理和三角形面积公式及其应用
学习难点：正弦定理的灵活运用
二. 课前知多少？
1．解三角形时，经常用到的平面几何的定理是：
，， .
2．利用正弦定理主要解决两类解三角形的问题：
一类是，另一类是 .
3．弦定理内容：
文字叙述：
式子表示：
正弦定理的变形：
（1）.sin 2,sin 2,sin 2C R c B R b A R a ===
（2）R
c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===
；（3）三角形的面积公式:S = S = 由（1）（2）可以实现三角形中边与角之间的相互转化，这是正弦定理除了求边，求角之外的另一重要功能。

三．合作探究问题解决
问题1：已知两边a,b 和一边对角A ，如何解三角形.
例题1. 当角A 为锐角时，解下列三角形.
(1)在△ABC 中，已知 a=2,2=
b ，045=A ，求角B
（2）已知在△ABC 中，5=a ，3
310=
b ，060=A ，求角B 和边c
（3）已知在△ABC 中，3=a ，33=b ，030=A ，求角,,C B 和边c
(4) 已知在△ABC 中，4=a ，3
310=b ，060=A ，求解三角形.
思考：
1．察分析以上各题，你能归纳出什么结论？
2．能画图表示上面解的情况吗？
例题2．角A 为钝角时，解下列三角形.
在△ABC 中，已知b=22,322=a , 0120=A ，求角B
归纳：根据三角形的大边对大角的性质：
若已知A b a ,,，且A 是钝角或直角，则边b a ,必须满足时才能有解，此时有几个解？否则 .
问题2：初步应用正弦定理解决关于三角形形状和面积的问题.
例3. 已知在ABC ∆中，sin sin b B c C =且222sin sin sin A B C =+，试判断三角形的形状.
例4. 在ABC ∆中，,3tan ,2tan ,4,22===
=B A C c π试求,a b 及此三角形的面积.
四．巩固练习
1．已知在ABC ∆中， 43,2,30b c C === 那么解此三角形可得（）
A ．一解
B ．解
C ．解
D ．的个数不确定
2．在ABC ∆中，20,53ABC bc S ∆==，ABC ∆的外接圆半径为3，则a =
3．不解三角形，确定下列判断中正确的是（）
A ． 7,14,30,a b A === 有两解
B ．30,25,150,a b A === 有一解
C ．6,9,45,a b A === 有两解
D ．9.10,60,b c B === 无解
4．在ABC ∆中， ,3,45,a b A λλ=== 则满足此条件的三角形的个数是（）
A ．0
B ．1
C ． 2
D ．无数个
5．已知在ABC ∆中，,2,45a x b B === 若三角形有两解，则x 的取值范围（）
A ．2x >
B ．2x <
C ．222x <<
D ．223x <<
6．在ABC ∆中，,15,105,32 ===C B a 则此三角形的最大边的长为
7．已知ABC ∆中， 30,23, 2.B AB AC === ABC ∆的面积为
8．判断三角形是否有解，有解的作出解答。

（1）7,8,105a b A ===
（2）10,56,60b c C ===
（3）030,10,25===A c a
9．已知ABC ∆中，B b A a cos cos = ，试判断△ABC 的形状.
五．学后反思。