2021年大一高数第一章复习总结及相关习题
高等数学第一章精讲习题
2
,
2
内至少有一个根。
证明： 记 f x sin x x 1
则
f
x
在
2
,
2
上连续
f
2
2
2
0
f
2
2
0
由零点定理知至少存在一个
2
,
2
使
f
0
题目得证。
高等数学
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x2 sin 2
(1) lim
x
(2) limsin5x cot 3x
x0 tan x
x0
或者
高等数学
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e3x ex ln 1 2x
例8 求 lim
x0
1 cos x
解：
ex
原式 lim
x0
e2x 1 2x 1 x2
lim
x0
2x 1
2 x2
x
8
2
2
例9 求
lim
x0
1 x3
x
x2 sin 2
x
1.
解：
1 x x2
原式 lim 2
x0 x3 2x
3.利用两个重要极限（适于 ）
例5 解：
求原式lnim2lnnimsinsi2nxxn2.xn
x
x
2n
例5‘求
lim
x
sin x
. tan x
e 解：原式
2
lim
x
1
1 tan xsin x1
sin x 1 sin x1
lim sin x1 tan x
x 2
2
x t
2
高数第一章知识点总结
高数第一章知识点总结希望同学们在准备考研数学高数的复习过程中能够适当结合真题与模拟题，下面是精心收集的高数第一章知识点总结，希望能对你有所帮助。
篇一：高数第一章知识点总结高等数学是考研数学的重中之重，所占的比重较大，在数学一、三中占56%，数学二中占78%，重点难点较多。
具体说来，大家需要重点掌握的知识点有几以下几点：1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。
3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。
4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。
此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。
数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。
6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。
差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法由于微积分的知识是一个完整的体系，考试的题目往往带有很强的综合性，跨章节的题目很多，需要考生对整个学科有一个完整而系统的把握。
最后凯程考研名师预祝大家都能取得好成绩。
高数第一章复习资料
⾼数第⼀章复习资料第⼀章预备知识⼀、定义域1.已知得定义域为,求得定义域。
答案:2.求得连续区间。
提⽰:任何初等函数在定义域范围内都就是连续得。
答案:⼆、判断两个函数就是否相同？1., 就是否表⽰同⼀函数？答案:否2.下列各题中, 与就是否相同？答案:都不相同三、奇偶性1.判断得奇偶性。
答案:奇函数四、有界性,使,则在上有界。
有界函数既有上界,⼜有下界。
1.在内就是否有界？答案:⽆界2.就是否有界？答案:有界,因为五、周期性1.下列哪个不就是周期函数(C)。
A. B. C. D.注意: 就是周期函数,但它没有最⼩正周期。
六、复合函数1.已知,求例:已知,求解1:解2:令, , ,2.设,求提⽰:3.设,求提⽰:先求出4.设,求提⽰:七、函数图形熟记得函数图形。
第⼆章极限与连续⼋、重要概念1.收敛数列必有界。
2.有界数列不⼀定收敛。
3.⽆界数列必发散。
4.单调有界数列极限⼀定存在。
5.极限存在得充要条件就是左、右极限存在并且相等。
九、⽆穷⼩得⽐较1.时,下列哪个与就是等价⽆穷⼩(A)。
A. B. C. D.⼗、求极限1.⽆穷⼩与有界量得乘积仍就是⽆穷⼩。
, , , ,2.⾃变量趋于⽆穷⼤,分⼦、分母为多项式例如: 提⽰:分⼦、分母同除未知量得最⾼次幂。
3.出现根号,⾸先想到有理化补充练习:(1) (2)(3) (4)(5)4.出现三⾓函数、反三⾓函数,⾸先想到第⼀个重要极限例:作业:P49 7 (1)~(3)5.出现指数函数、对数函数、幂指函数,⾸先想到第⼆个重要极限例:作业:P49 7 (4)~(6)6.、、、、、、,可以使⽤洛必达法则作业:P99 5 (1)~(8)7.分⼦或分母出现变上限函数提⽰:洛必达法则+变上限函数得导数等于被积函数例:补充练习:(1) (2)(3) (4)⼗⼀、连续与间断任何初等函数在其定义域范围内都就是连续得。
分段函数可能得间断点就是区间得分界点。
若,则在处连续,否则间断。
高等数学第一章的总结-PPT
n
1
lim
n
n2 n2
lim n1
1
n2
1
lim n
n
1
n2
n2
1
2
n2
1
n
1
例:
lim
1
1
(e n
2
en
n
en
)
n n
1
e
x
d
x
e 1
0
1
n
1
解：原式
lim
n
1 n
e
n
(1
e
1
n
)
(1
e) lim
n
n
1
1en
1en
1
(1 e) lim ln(1 u) (1 e) lim ln(1 u) u e 1.
)x
e
两个重要极限
(1) lim sin 1
0
(2) lim ( 1 1 ) e
1
或 lim(1 ) e
0
注: 代表相同的表达式
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ;
x x
3. lim xsin 1 _0___ ;
x0
x
2. lim xsin 1 __1__ ;
从此时刻以后 0 x x0 0 x x0
f (x)
f (x) A
x x0
x x0 0
思考题
x
sin
1 x
,
试问函数 f ( x) 10,
5
x2,
x0 x 0在x 0处
x0
的左、右极限是否存在？当 x 0 时， f ( x) 的
大一高数知识点例题总结
大一高数知识点例题总结在大一的高等数学学习中，知识点的理解和应用是非常重要的。
通过解题可以更好地巩固和运用所学知识，提高数学能力。
下面是一些常见的高等数学知识点和例题总结，希望对你的学习有所帮助。
一、极限和连续函数1. 极限的定义和性质例题：计算lim（n→∞）(1+1/n)^n解析：利用极限的性质，将(1+1/n)^n转化为自然对数的形式，然后利用极限的运算法则求解。
2. 连续函数的定义和性质例题：已知函数f(x)=sin(x)，g(x)=x^2，在区间[0,π]上讨论f(x)与g(x)的连续性。
解析：分别讨论sin(x)和x^2在[0,π]上的连续性，并结合数列极限的常识判断f(x)和g(x)的连续性。
二、导数和微分1. 导数的定义和性质例题：求函数f(x)=3x^2-4x+1的导数f'(x)。
解析：根据导数的定义求解，利用导数的性质进行简化计算。
2. 微分的定义和性质例题：求函数f(x)=e^x的微分df。
解析：根据微分的定义求解，利用微分的性质简化计算过程。
三、积分1. 定积分的定义和性质例题：求∫(0 to π/2) sin(x)dx。
解析：利用定积分的定义求解，应用积分的性质进行计算。
2. 不定积分的定义和性质例题：求∫(x^2+3x-2)dx。
解析：根据不定积分的定义求解，应用积分的性质进行简化计算。
四、级数1. 数项级数的定义和性质例题：判断级数∑(n=1 to ∞) 1/n^2是否收敛。
解析：利用数项级数的收敛定理判断级数的敛散性。
2. 幂级数的定义和性质例题：判断幂级数∑(n=0 to ∞) x^n是否收敛，并求其收敛域。
解析：利用幂级数的收敛定理判断幂级数的敛散性，并结合比值判别法求解收敛域。
以上是一些大一高等数学中常见的知识点和例题总结。
通过对这些知识点的理解和掌握，相信能够更好地应对高等数学的学习和应用。
希望这些例题总结对你的学习有所帮助！。
大一高数第一章知识点笔记
大一高数第一章知识点笔记
大一高数第一章主要讲解了函数的基本概念和性质，包括函数的定义、分类、表达式、图像等。
首先，函数是一种数学模型，它描述了自变量与因变量之间的关系。
其中，自变量是函数的输入，因变量是函数的输出。
函数的定义可以用规则、集合、表达式等来表示。
函数可以分为一元函数和多元函数。
一元函数只有一个自变量，如y = 2x+1。
多元函数有多个自变量，如 z = 2x+3y。
函数的表达式可以用数学符号表示，如 y = 2x+1。
这里的y是因变量，x是
自变量，2和1是常数。
函数的表达式可以用图像来表示，在平面直角坐标系中，把自变量x作为横坐标，因变量y作为纵坐标，函数图像就是一条曲线。
函数还有其他性质，如单调性、导函数、单调递增/递减等。
其中单调性指函
数图像是单调递增或递减的，导函数是函数的导数，可以用来研究函数的变化率。
在学习本章内容时，需要注意基本概念和定义的理解，并结合练习题练习掌握相关知识。
同时，也要注意对相关定理和公式的掌握，以便在进行解题时能够灵活运用。
总之，大一高数第一章知识点是基础性且重要的，在学习这些知识时需要注重理解基本概念和定义，并结合练习题练习掌握相关知识。
此外，还要注意对相关定理和公式的掌握，以便在进行解题时能够灵活运用。
在学习过程中，可以通过分析例题和做习题来巩固所学知识。
在理解这些知识点后，就可以通过解决相关应用问题来检验自己的学习效果。
高数大一上第一章习题
反之不然.
例如 f (x ) = x cos x 在(− ∞,+∞ ) 无界, 而当 x → +∞时, f ( x ) 不是无穷大. M ∀M > 0, 取x1 = 2kπ ∈ (− ∞,+∞ ), k ∈ N , k > , 2π f ( x1 ) = 2kπ cos 2kπ = 2kπ > M . 故无界. 若取 x = 2kπ +
2. lim f ( x ) = f ( x 0 );
x → x0
3.ε − δ 形式: ∀ε > 0, ∃δ > 0,当 x − x 0 < δ时 , 恒有 f ( x ) − f ( x0 ) < ε .
（三）间断点及其分类 满足以下三条之一 x0 为 f ( x ) 的间断点: （1）在x0 处没有定义; lim f ( x ) 不存在; （2） x →x
∞ (1 1.幂指函数 未定式)
+ [ ]) = e . 第二个重要极限 [lim(1 ]→ 0
1 []
2.代入法 3.等价无穷小替换 4.无穷小的运算性质 5.极限四则运算法则
(往往需要先作某些恒等式的变形或化简， 需要先作某些恒等式的变形或化简，比如使用某些求和公式， 比如使用某些求和公式，求
积公式， 积公式，公式的约分或通分， 公式的约分或通分，分子分母有理化， 分子分母有理化，三角函数的恒等 变形以及适当的变量代换等)
3.解 原式 = lim
x →∞
( x + 1 − x − 1)( x + 1 + x − 1) x +1 + x −1 1 x2 + 1 + x2 −1 =0
2 2
高等数学1知识点总结大一
高等数学1知识点总结大一高等数学1知识点总结高等数学是大学数学的一门重要课程，是为了培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力而设置的。
在学习高等数学1的过程中，我们接触到了许多重要的知识点。
本文将对这些知识点进行总结和归纳，以便于大一学生回顾和加深理解。
一、数列与数学归纳法1. 等差数列与等差数列的通项公式等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列与等比数列的通项公式等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 等差数列与等差数列的求和公式等差数列的求和公式为Sn = (n/2)*(a1 + an)，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
4. 等比数列与等比数列的求和公式等比数列的求和公式为Sn = (a1(1-r^n))/(1-r)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
5. 数学归纳法的原理与应用数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，包括基本步骤和归纳假设两个关键步骤。
二、函数与极限1. 函数的定义与性质函数是具有特定关系的两个集合之间的对应关系，包括定义域、值域、单调性等性质。
2. 极限的定义与性质极限是函数趋近于某一值的特性，包括极限存在性、左右极限、无穷极限等。
3. 极限的基本运算法则包括四则运算法则、复合函数极限法则、函数极限与数列极限的关系等。
4. 连续与间断连续是函数在某一点处无间断，间断是函数在某一点处存在断裂等特性。
5. 导数的定义与性质导数是函数变化率的一种表征，包括导数定义、导数的四则运算、导数在几何上的应用等。
6. 函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性与拐点揭示了函数曲线的形状和变化趋势。
三、微分与应用1. 微分的定义与性质微分是函数在某一点附近的线性近似，包括微分的定义、微分运算法则等。
2. 高阶导数与泰勒展开式高阶导数描述了函数变化的更多细节，泰勒展开式将函数用多项式逼近。
3. 极值与最值问题极值和最值是函数在一定范围内的最大值和最小值。
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大一高数第一章复习总结及相关习题
第一章函数与极限习题课
一、主要内容
（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念一）函数
函数的定义函数的分类
函数的性质有界、单调、奇偶、周期反函数隐函数
基本初等函数复合函数初等函数
双曲函数与反双曲函数（二）极限
1、极限的定义"N"定义""定义"X"定义单侧极限极限存在的条件2、无穷小与无穷大
无穷小；无穷大；无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质3、极限的性质四则运算、复
合函数的极限4、求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极
限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限；f.利用等价无穷小；g.
利用重要极限
5、判定极限存在的准则夹逼定理、单调有界原理6、两个重要极限
(1)limsinx1x0x某过程limsin1;
1x(2)1xlim(1)exx1lim(1x)x0e
某过程
7、无穷小的比较
8、等价无穷小的替换性质
9、极限的唯一性、局部有界性、保号性（三）连续
1、连续的定义单侧连续连续的充要条件闭区间的连续性
lim(1)e.2、间断点的定义间断点的分类第一类、第二类
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3、初等函数的连续性连续性的运算性质反函数、复合函数的连续性
4、闭区间上连续函数的性质最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理二、例题例当
x1时,
242n求lim(1x)(1x)(1x)(1x).n解将分子、分母同乘以因子(1-x),则
n(1x)(1x)(1x2)(1x4)(1x2)原式limn1x
2242n(1x)(1x)(1x)(1x)limn1x
n22n2n11(1x)(1x)1xn(当x1时,limx20.)limlimnn1xn1x1x1例1tanxx3求
lim().x01sinx111tanxtanxsinx33xx解原式lim[1(1)]lim[1]x0x01sinx1sinx
1tanxsinx1limsinx(1cosx)1limsinx1cosx1lim3x0x0xx2(1sinx)cosx211sinxx
3x0(1sinx)cosxx
原式ep(x)x3例xx2p(x)lim1,求p(x).x0x
p(x)x32,解limxx2
可设p(x)x32x2axb(其中a,b为待定系数)
p(x)又lim1,
x0x32p(x)x2xaxb~x(x0)
从而得b0,a故p(x)x32x2x
x1,x1例6讨论f(x)的连续性.x
cos,x12将f(x)改写成解1x,x1xf(x)cos,1x12x1,x1
设p(x)是多项式,且lim2,显然f(x)在(,1),(1,1),(1,)内连续.当x1时,
x1limf(x)lim(1x)x1x1x1x1limf(x)limf(x)coslimf(x)xlim1x20.故f(x)在
x1间断.当x1
时,x1limf(x)limcosx1x20.f(x)limf(x)limf(x)lim(x1)limx1x1x1x1
故f(x)在x1连续.f(x)在(,1)(1,)连续.
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[0,1]上连续,且f(0)f(1),例设f(x)在闭区间1证明必有一点[0,1]使得
f()f().211令F(x)f(x)f(x),则F(x)在[0,]上连续.证明
22111F(0)f()f(0),F()f(1)f(),222讨论:1f(0)f(0);若F(0)0,则0,211111若
F()0,则,f()f();222221若F(0)0,F()0,则2例证
即xn单调减，有下界
xn存在故由单调有界原理得limn1a设x10,证明xn1(xn)有极限
(a0)2xn1ax(x)an1n显然xn02xn21aax1nxn1xn(xn)02xn2xn1a1aA(A)设limxnA，
则A0在xn1(xn)两边取极限得n2A2xn解得Aa,Aa（舍去）12sinxxcos例求
xlimx0(1cosx)ln(1x)
解sinx1xcos101xx原式limx0ln(1x)212(1cosx)x例求
令ux1则x1u解3n(1u1)(1u1)(1u1)由(1u)1~u得Ilimu0un1111uuu1
lim23n1nu0n!u
(x1)(3x1)(nx1)limx1(x1)n1xxxcoscos,(x0)例.求极限2nn222
xxxxcoscos2cosn2sinn
2222解原式limnx2sin
2n
xxxxcoscoscos2sinn1n12422limnx22sin2nx
nsinxsinx2limlimnnxxnsinx2sinnn22
limcossinxxxxc设lim例4，求cxxcxc2ccxx2c2c2c2climxc11limlim1xxcxc
解一xxcxxc
e2c42c2ln2得cln2
x解二c1xxxceclime2climxcxxcexc1x
limnn1例证明n
n(n1)2n(n1)22nhn1hn证首先nn1记nn1hnn(1hn)1nhn2!2!
220hn
nlimhn0limnn1由夹逼定理知nn
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xb例确定a,b的值，使f(x)有无穷(xa)(x1)
间断点x0,，有可去间断点x解因f(x)在x=0处为无穷间断，即limf(x)x0
xa1(xa)(x1)lim0limlimx0xbx0f(x)x0xb
又x=1为可去间断，故limf(x)存在例解
x1a0,b01blim(xb)lim[f(x)(xa)(x1)]limf(x)lim(xa)(x1)0x1x1x1x1b11f(x)s
in2x12,求limf(x)x0x0e3x11f(x)sin2x1由lim23xx0e1而
lim(e3x1)0lim(1f(x)sin2x1)已知
limx0x0limx0x01f(x)sin2x13x(e1)201*xe1f(x)sin2x0lim1f(x)sin2x1limx0
从而由等价无穷小的代换性质得
1f(x)sin2x1sin2x1f(x)sin2x12limf(x)2limlim3x3x02xx0x0e13xsin2xf(x)
存在，且limf(x)6由lim1limx0x0x02xnn1例利用介值定理证明，当n为奇数时，方程
a0xa1x至少有一实根
证令f(x)axnaxn1axa0,01n1n
an1anf(x)a1limlim(a)a000xxnxxxn1xn
故由函数极限的保号性质可知
an1xan0,(a00)又n是奇数，所以
x)nX00,使当|x|X0时f(n与a0同号，亦即，当|x|X0时，f(x)与a0x同号
xf(2X0)f(2X0)0a(2X)n与a(2X)n异号0000
即a0xna1xn1an1xan0至少有一实根
和差化积积化和差
sinθ+sinφ=2sin*(θ+φ)/2+cos*(θ-φ)/2+sinαsinβ=*cos(α+β)-cos(α-
β)+/2sinθ-sinφ=2cos*(θ+φ)/2+sin*(θ-φ)/2+cosαcosβ=*cos(α+β)+cos(α-
β)+/2cosθ+cosφ=2cos*(θ+φ)/2+cos*(θ-φ)/2+sinαcosβ=*sin(α+β)+sin(α-
β)+/2cosθ-cosφ=-2sin*(θ+φ)/2+sin*(θ-φ)/2+cosαsinβ=*sin(α+β)-sin(α-
β)+/2
而f(x)在[2X0,2X0]上连续故由零点定理知(2X0,2X0)，使f()
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