2021年全国高考文科数学试题及答案

绝密★启封并利用完毕前2021年一般高等学校招生全国统一考试（全国卷1）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真查对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是不是一致。

2. 第Ⅰ卷每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必需用0.5毫米黑色签字笔书写作答.假设在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试终止，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,12,14},那么集合A ⋂B中元素的个数为（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（2）已知点A（0,1），B（3,2），向量AC=（-4，-3），那么向量BC=（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1，4）（3）已知复数z知足（z-1）i=i+1，那么z=（A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i（4）若是3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，那么称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，那么3个数组成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110（D）120（5）已知椭圆E的中心在座标原点，离心率为12，E的右核心与抛物线C：y²=8x的核心重合，A，B是C的准线与E的两个核心，那么|AB|=（A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰硕的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和。

则S8=4S4，a10=（A）172（B）192（C）10 （D）12（8）函数f(x)=cos(ωx+φ)的部份图像如下图，那么f(x)的单调递减区间为（A）（kπ−-14, kπ+-34）,kϵZ（A）（2kπ−-14, 2kπ+-34）,kϵZ（A）（k−-14, k+-34）,kϵZ（A）（2k−-14, 2k+-34）,kϵZ（9）执行右面的程序框图，若是输入的t=0.01，那么输出的n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（10）已知函数f(x)={2x−1−2,x≤1−log2(x+1),x>1，且f（a）=-3，那么f（6-a）=（A）-74（B）-54（C）-34（D）-14（11）圆柱被一个平面截去一部份后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如下图，假设该几何体的表面积为16+20π，那么r=（A）1(B) 2(C) 4(D) 8（12）设函数y=f（x）的图像关于直线y=-x对称，且f（-2）+f（-4）=1，那么a=（A）-1 （B）1 （C）2 （D）4第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

假设在试卷上作答，答案无效。

本卷包括必考题和选考题两部份。

第13题~第21题为必考题，每一个试题考生都必需作答。

第22题~ 第24题为选考题，考生依照要求做答。

二.填空题：本大题共4小题，每题5分（13）在数列{a n }中， a 1=2,a n+1=2a n , S n 为{a n }的前n 项和。

假设-S n =126，那么n=.（14）已知函数f(x)=ax 3+x+1的图像在点（1，f(1)）处的切线过点（2,7），那么a= . （15）x,y 知足约束条件，那么z=3x+y 的最大值为. （16）已知F 是双曲线C ：x 2-82y =1的右核心，P 是C 的左支上一点，A （0,66）.当△APF 周长最小是，该三角形的面积为三.解答题：解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤（17）（本小题总分值12分）已知a ，b ，c 别离为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC（Ⅰ）假设a=b ，求cosB ；（Ⅱ）设B=90°，且a=2，求△ABC 的面积（18）（本小题总分值12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD.（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（Ⅱ）假设∠ABC=120°，AE ⊥EC ，三棱锥—ACD 的体积为36，求该三棱锥的侧面积 （19）（本小题总分值12分） 某公司为确信下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的阻碍，对近8年的年宣传费x 1和年销售量y 1（i=1,2，···，8）数据作了初步处置，取得下面的散点图及一些统计量的值。

x y w 821()i i x x =-∑ 821()i i w w =-∑ 81()()i i i x x y y =--∑ 81()()i i i w w y y =--∑ 46.6 563 6.8 289.81.6 1469 108.8表中w 1 x ，w =1881i w =∑1 （Ⅰ）依照散点图判定，y a bx =+与y c x =+哪个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判定即可，没必要说明理由）（Ⅱ）依照（Ⅰ）的判定结果及表中数据，成立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x 。

依照（Ⅱ）的结果回答以下问题：（i ） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii ） 年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：关于一组数据（u 1 v 1）,（u 2 v 2）…….. （u n v n ）,其回归线v=αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估量别离为：（20）（本小题总分值12分）已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N 两点.（1） 求K 的取值范围；（2） 若OM ·ON =12，其中0为坐标原点，求︱MN ︱.（21）.（本小题总分值12分）设函数x 。

（Ⅰ）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数；（Ⅱ）证明：当0a >时，2()2ln f x a a a ≥+。

请考生在第2二、23、24题中任选一题作答，若是多做，那么安所做的第一题计分。

作答时请写清题号。

（22）（本小题总分值10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E 。

（Ⅰ）假设D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；（Ⅱ）假设CA=3CE ，求∠ACB 的大小。

（23）（本小题总分值10分）选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中。

直线1C :2x =-，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系。

（I ） 求1C ，2C 的极坐标方程；（II ） 假设直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积（24）（本小题总分值10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->.（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）假设()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围参考答案一．选择题（1）D（2）A （3）C （4）C （5）B （6）B （7）B（8）D （9）C （10）A （11）B （12）C二．填空题（13）6 （14）1 （15）4 （16）三．解答题（17）解：（Ⅰ）由题设及正弦定理可得22b ac =又a b =，可得2,2b c a c == 由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==…………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知22b ac =因为90B =，由勾股定理得222a c b +=故222a c ac +=，得c a ==因此ABC 的面积为1…………………………………………………………12分（18）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为菱形，因此AC BD ⊥因为BE ⊥平面ABCD ，因此AC BE ⊥，故AC ⊥平面BED又AC ⊂平面AEC ，因此平面AEC ⊥平面BED …………………………5分（Ⅱ）设AB x =，在菱形ABCD 中，由120ABC ∠=，可得,22x AG GC x GB GD ====因为AE EC ⊥，因此在Rt AEC 中，可得EG x =由BE ⊥平面ABCD ，知EBG 为直角三角形，可得BE x =由已知得，三棱锥E ACD -的体积311632E ACD V AC GD BE x -=⨯==故2x =…………………………………………………………………………9分从而可得AE EC ED ===因此EAC 的面积为3，EAD 的面积与ECD故三棱锥E ACD -的侧面积为3+12分（19）解：（Ⅰ）由散点图能够判定，y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型………………2分（Ⅱ）令w =y 关于w 的线性回归方程，由于8^1821()()108.8681.6()i ii ii w w y y d w w ==--===-∑∑ ^^56368 6.8100.6c y d w =-=-⨯=因此y 关于w 的线性回归方程为^100.668y w =+，因此y 关于x 的线性回归方程^100.6y =+6分（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销售量y 的预报值^100.6576.6y =+=年利润z 的预报值 ^576.60.24966.32z =⨯-=…………………………………9分（ⅱ）依照（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值^0.2(100.620.12z x x =+-=-+13.6 6.82==，即46.24x =时，^z 取得最大值， 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大……………12分（20）解：（Ⅰ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+因为l 与C1<解得4747k -+<< 因此k 的取值范围为4747(,)-+……………………………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y将1y kx =+代入方程22(2)(3)1x y -+-=，整理得 22(1)4(1)70k x k x +-++=因此1212224(1)7,11k x x x x k k ++==++…………………………………………7分 1212OM ON x x y y =+21212(1)()1k x x k x x =++++24(1)81k k k +=++ 由题设可得24(1)8121k k k ++=+，解得1k =，因此l 的方程为1y x =+ 故圆心C 在l 上，因此||2MN =…………………………………………………12分（21）解：（Ⅰ）()f x 的概念域为(0,)+∞，2()2(0)x a f x e x x'=-> 当0a ≤时，()0f x '>，()f x '没有零点；当0a >时，因为2x e 单调递增，a x -单调递增，因此()f x '在(0,)+∞单调递增，又()0f a '>，当b 知足04a b <<且14b <时，()0f b '<，故当0a >时，()f x '存在唯一零点………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），可设()f x '在(0,)+∞的唯一零点为0x ，当0(0,)x x ∈时，()0f x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>故()f x 在0(0,)x 单调递减，在0(,)x +∞单调递增，因此当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x 由于02020x a e x -=，因此00022()2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a=++≥+ 故当0a >时，2()2lnf x a a a≥+……………………………………………12分 （22）解： （Ⅰ）连结AE ，由已知得，,AE BC AC AB ⊥⊥在Rt AEC 中，由已知得，DE DC =，故DEC DCE ∠=∠连结OE ，那么OBE OEB ∠=∠又90ACB ABC ∠+∠=，因此90DEC OEB ∠+∠=，故90OED ∠=，DE 是O 的切线……………………………………5分（Ⅱ）设1,CE AE x ==，由已知得AB BE ==由射影定理可得，2AE CE BE =，因此2x =，即42120x x +-=可得x =60ACB ∠=……………………………10分（23）解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，因此1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=……………………………5分 （Ⅱ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得12ρρ==，故12ρρ-=||MN =由于2C 的半径为1，因此2C MN 的面积为12………………………10分 （24）解： （Ⅰ）当1a =时，()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<因此()1f x >的解集为2{|2}3x x <<…………………5分 （Ⅱ）由题设可得，12,1,()312,1,12,.x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩因此函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个极点别离为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,1)C a a +，ABC 的面积为22(1)3a + 由题设得22(1)63a +>，故2a > 因此a 的取值范围为(2,)+∞………………………………10分。