2023全国一卷理科高考数学笔记

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2023年高考理科数学试卷及答案(贵州)_完整版

你若盛开，蝴蝶自来。

2023年高考理科数学试卷及答案(贵州)_完整版2023年高考理科数学试卷及答案(贵州)_完整版我带来了2023年高考理科数学试卷及答案(贵州)，数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开头已经积累了肯定的数学学问，并能应用实际问题。

下面是我为大家整理的2023年高考理科数学试卷及答案(贵州)，期望能帮忙到大家!2023年高考理科数学试卷及答案(贵州)高中数学不等式学问点总结(1)不等式恒成立问题(肯定不等式问题)可考虑值域。

f(x)(xA)的值域是[a，b]时，不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)max0，即b0;不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)min0，即a0。

f(x)(xA)的值域是(a，b)时，不等式f(x)0恒成立的充要条件是b0;不等式f(x)0恒成立的充第1页/共3页千里之行，始于足下。

要条件是a0。

(2)证明不等式f(x)0可转化为证明f(x)max0，或利用函数f(x)的单调性，转化为证明f(x)f(x0)0。

高一数学期末考试怎么复习1、回归课本、明确复习范围及重点范围本学期我们高一学习了必修1、必修4两本教材。

先把考查的内容分类整理，理清脉络，使考查的学问在心中形成网络系统，并在此基础上明确每一个考点的内涵与外延。

在建立学问系统的同时，同学们还要依据考纲要求，把握试卷结构，明确考查内容、考查的重难点及题型特点、分值安排，使学问结构与试卷结构组合成一个结构体系，并据此进一步完善自己的复习结构，使复习效果事半功倍。

2、弄懂基本概念先把你以前学过的却不懂的学问，概念，定理再结合课本、笔记复习，直到弄懂为止。

3、弄会基本方法复习课上，老师会把最基本，最重要的思想、方法再过一遍，这时候肯定仔细听(为什么有的同学似乎平常没怎么好好学，可是考试成果不错呢，就是由于他抓紧了这段时间)，当然，既然是“过”一遍，不行能还像刚开头讲课那样具体，因此课后你肯定要对老师讲的方法做针对性练习，真正把数学复习方案落实到实处。

2023河南高考理科数学试卷(答案解析版)

2023河南高考理科数学试卷（答案解析版）2023河南高考理科数学试卷（答案解析版）我整理了2023河南高考理科数学试卷答案解析版，学习是科学的大门和钥匙，学数学是令自己变的理性的一个很重要的措施，数学本身也有自身的乐趣。

下面是我为大家整理的2023河南高考理科数学试卷答案解析版，期望能帮忙到大家!2023河南高考理科数学试卷答案解析版高中数学要怎么来学课前预习一个老生常谈的话题，也是提到学习方法必将的一个，话虽老，虽旧，但仍旧是不得不提。

虽然大家都明白该这样做，但是真正能够做到课前预习的能有几人，课前预习可以使我们提前了解将要学习的学问，不至于到课上手足无措，加深我们听课时的理解，从而能够很快的汲取新学问。

记笔记这里主要指的是课堂笔记，由于每节课的时间有限，所以老师将的东西一般都是精华部分，因此很有必要把它们记录下来，一来可以加深我们的理解，好记性不如烂笔头吗，二来可以便利我们以后复习查看。

假如对课堂叙述的学问不理解的同学更应当做笔记，以便课下细细琢磨，直到理解为止。

课后复习同预习一样，是个老生常谈的话题，但也是行之有效的方法，课堂的几非常钟不足以使我们学习和消化所学学问，需要我们在课下进行大量的练习与巩固，才能真正把握所学学问。

涉猎课外习题想要在数学中有所建树，取得好成果，光靠课本上的学问是远远不够的，因此我们需要多多涉猎一些课外习题，学习它们的解题思路和方法，假如实在不能理解，可以问问老师或者同学。

学会归类总结学习数学要记得东西许多，尤其是数学公式，而且学问还很散，通常解一道题需要各种公式的协作，假如单纯的记忆每个公式，不但增加记忆量，而且简单忘，此时我们必需学会归类总结，把常常搭配使用的公式等总结在一起记忆，这样会大大的削减我们的记忆量，同时提高我们做题效率。

建立纠错本我们在学习数学的时候可能会常常由于同样一类题目而失分，自己也非常懊恼，其实有方法可以解决这个问题，就是建立纠错本，帮我们常常会出错的题目都集中在一起(当然只要是做错过得都可以记录上)，然后空闲的时候看看，考试之前再看看，这样考试的时候消失同类题目再出错的几率就降低好多。

2023年全国卷数学(理)高考真题考点分布汇总

2023年全国卷数学（理）高考真题考点分布汇总养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。

做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。

总之，在最后的复习阶段，学生们不要加大练习量。

在这个时候，学生要尽快找到适合自己的答题方式，最重要的是以平常心去面对考试。

高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。

一、备考策略务必精准高三备考的不同阶段，目标和任务各不相同，就像打仗一样，攻克不同的山头有不同的打法，只有抓住要领，才能打赢主动仗。

一是细化“作战地图”。

从现在到一模考试前，主要任务是过课本、串教材，把基础知识再夯实，为专题复习奠定坚实基础。

各学科组教师要认真学习新课程、新课标、《中国考试评价体系及说明》和近三年高考原题，把高考考点和试题变化点做成“作战地图”，平时考试、练习要对照“作战地图”进行选题，并在“作战地图”上一一标注，确保考点训练无死角、考点覆盖无遗漏。

二是组织集体攻坚。

发挥学科组集体备考的优势，学科组内任务分解、责任到人，每次考试变式训练的预测由组长把关。

学科组坚持“一课一研”、“一考一研”，新老教师步调一致，节奏有序，充分发挥分工协作的集体教研智慧。

三是找准学科增分点。

认真研究本省、本市、本校近年来的高考数据，细化到每一个知识点的得失分情况，找准突破点和增分点，有目的进行专项训练和突破提升。

英语的阅读理解和小作文、语文的古文分析和作文、理科的做题速度、文科的答题思路等，都要制定详细的训练方案和突破的方法策略，在实践中调整提升，打破制约瓶颈，找到质量提升的突破口。

二、课堂教学务必高效。

课堂是教育教学是主阵地。

高三年级教学时间紧，教学任务重，更要切实发挥课堂40分钟的作用。

新高考全国1卷2023年最新真题试题及答案解析

新高考全国1卷2023年最新真题试题及答案解析新高考全国1卷2023年最新真题试题及答案解析我们在学习高中数学的时候，除了上课认真听老师讲解外，也要注重一定的学习方法，以下是小编整理的一些新高考全国1卷2023年最新真题试题及答案，欢迎阅读参考。

新高考全国1卷2023年最新真题试题及答案高考数学主要知识点第一，函数与导数。

主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。

这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。

第三，数列及其应用。

这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。

第四，不等式。

主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。

是高考的重点和难点。

第五，概率和统计。

这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。

第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。

第七，解析几何。

是高考的难点，运算量大，一般含参数。

高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。

针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。

以不变应万变。

高考数学高分学习方法1、先看笔记后做作业。

有的高中学生感到。

老师讲过的，自己已经听得明明白白了。

但是，为什么自己一做题就困难重重了呢?其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。

因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。

能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。

尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。

如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。

2、做题之后加强反思。

学生一定要明确，现在正坐着的题，一定不是考试的题目。

2023年高考全国甲卷数学(理)真题(解析版)

2023甲卷理科数学(记忆版)一、选择题1.设集合A ={x ∣x =3k +1,k ∈Z },B ={x ∣x =3k +2,k ∈Z }，U 为整数集，∁U (A ∪B )=()A.{x |x =3k ,k ∈Z }B.{x ∣x =3k -1,k ∈Z }C.{x ∣x =3k -2,k ∈Z }D.∅【答案】A 【解析】【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集Z =x |x =3k ,k ∈Z ∪x |x =3k +1,k ∈Z ∪x |x =3k +2,k ∈Z ，U =Z ，所以，∁U A ∪B =x |x =3k ,k ∈Z ．故选：A ．2.若复数a +i 1-ai =2,a ∈R ，则a =()A.-1B.0·C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【详解】因为a +i 1-ai =a -a 2i +i +a =2a +1-a 2 i =2，所以2a =21-a 2=0，解得：a =1．故选：C .3.执行下面的程序框遇，输出的B =()A.21B.34C.55D.89【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．【详解】当n =1时，判断框条件满足，第一次执行循环体，A =1+2=3，B =3+2=5，n =1+1=2；当n =2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，A =3+5=8，B =8+5=13，n =2+1=3；当n =3时，判断框条件满足，第三次执行循环体，A =8+13=21，B =21+13=34，n =3+1=4；当n =4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出B =34．故选：B .4.向量|a |=|b |=-1,|c |=2，且a +b +c =0 ，则cos ‹a -c ,b -c ›=()A.-15B.-25C.25D.45【答案】D 【解析】【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为a +b +c =0 ,所以a +b =-c,即a 2+b 2+2a ⋅b =c 2,即1+1+2a ⋅b =2,所以a ⋅b =0.如图,设OA =a ,OB =b ,OC =c,由题知,OA =OB =1,OC =2,△OAB 是等腰直角三角形,AB 边上的高OD =22,AD =22,所以CD =CO +OD =2+22=322,tan ∠ACD =AD CD =13,cos ∠ACD =310,cos ‹a -c ,b -c›=cos ∠ACB =cos2∠ACD =2cos 2∠ACD -1=2×3102-1=45.故选:D .5.已知正项等比数列a n 中，a 1=1,S n 为a n 前n 项和，S 5=5S 3-4，则S 4=()A.7B.9C.15D.30【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出关于q 的方程,计算出q ,即可求出S 4.【详解】由题知1+q +q 2+q 3+q 4=51+q +q 2 -4,即q 3+q 4=4q +4q 2,即q 3+q 2-4q -4=0,即(q -2)(q +1)(q +2)=0.由题知q >0,所以q =2.所以S4=1+2+4+8=15.故选:C.6.有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为()A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1【答案】A【解析】【分析】先算出报名两个俱乐部的人数,从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率,利用条件概率的知识求解.【详解】报名两个俱乐部的人数为50+60-70=40，记“某人报足球俱乐部”事件A,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B，则P(A)=5070=57,P(AB)=4070=47，所以P(B∣A)=P(AB)P(A)=4757=0.8.故选:A.7.“sin2α+sin2β=1”是“sinα+cosβ=0”的()A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当sin2α+sin2β=1时，例如α=π2,β=0但sinα+cosβ≠0，即sin2α+sin2β=1推不出sinα+cosβ=0；当sinα+cosβ=0时，sin2α+sin2β=(-cosβ)2+sin2β=1，即sinα+cosβ=0能推出sin2α+sin2β=1.综上可知，sin2α+sin2β=1是sinα+cosβ=0成立的必要不充分条件.故选：B8.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，其中一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A，B两点，则|AB|=()A.15B.55C.255D.455【答案】D【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由e=5，则c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=5，解得ba=2，所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x，则圆心(2,3)到渐近线的距离d =|2×2-3|22+1=55，所以弦长|AB |=2r 2-d 2=21-15=455.故选：D9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为()A.120B.60C.40D.30【答案】B 【解析】【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.【详解】不妨记五名志愿者为a ,b ,c ,d ,e ，假设a 连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A 24=12种方法，同理：b ,c ,d ,e 连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5×12=60种.故选：B .10.已知f x 为函数y =cos 2x +π6 向左平移π6个单位所得函数，则y =f x 与y =12x -12的交点个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得f x =-sin2x ，再作出f x 与y =12x -12的部分大致图像，考虑特殊点处f x 与y =12x -12的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为y =cos 2x +π6 向左平移π6个单位所得函数为y =cos 2x +π6 +π6=cos 2x +π2 =-sin2x ，所以f x =-sin2x ，而y =12x -12显然过0,-12与1,0 两点，作出f x 与y =12x -12的部分大致图像如下，考虑2x =-3π2,2x =3π2,2x =7π2，即x =-3π4,x =3π4,x =7π4处f x 与y =12x -12的大小关系，当x =-3π4时，f -3π4 =-sin -3π2 =-1，y =12×-3π4 -12=-3π+48<-1；当x=3π4时，f3π4=-sin3π2=1，y=12×3π4-12=3π-48<1；当x=7π4时，f7π4=-sin7π2=1，y=12×7π4-12=7π-48>1；所以由图可知，f x 与y=12x-12的交点个数为3.故选：C.11.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4,PC=PD=3,∠PCA=45°，则△PBC的面积为()A.22B.32C.42D.52【答案】C【解析】【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得△PDO≅△PCO，△PDB≅△PCA，从而得到PA =PB，再在△PAC中利用余弦定理求得PA=17，从而求得PB=17，由此在△PBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；法二：先在△PAC中利用余弦定理求得PA=17，cos∠PCB=13，从而求得PA⋅PC=-3，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于PB,∠BPD的方程组，从而求得PB=17，由此在△PBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.【详解】法一：连结AC,BD交于O，连结PO，则O为AC,BD的中点，如图，因为底面ABCD为正方形，AB=4，所以AC=BD=42，则DO=CO=22，又PC=PD=3，PO=OP，所以△PDO≅△PCO，则∠PDO=∠PCO，又PC=PD=3，AC=BD=42，所以△PDB≅△PCA，则PA=PB，在△PAC中，PC=3,AC=42,∠PCA=45°，则由余弦定理可得PA2=AC2+PC2-2AC⋅PC cos∠PCA=32+9-2×42×3×22=17，故PA=17，则PB=17，故在△PBC中，PC=3,PB=17,BC=4，所以cos∠PCB=PC2+BC2-PB22PC⋅BC=9+16-172×3×4=13，又0<∠PCB<π，所以sin∠PCB=1-cos2∠PCB=22 3，所以△PBC的面积为S=12PC⋅BC sin∠PCB=12×3×4×223=4 2.法二：连结AC,BD交于O，连结PO，则O为AC,BD的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，AB =4，所以AC =BD =42，在△PAC 中，PC =3,∠PCA =45°，则由余弦定理可得PA 2=AC 2+PC 2-2AC ⋅PC cos ∠PCA =32+9-2×42×3×22=17，故PA =17，所以cos ∠APC =PA 2+PC 2-AC 22PA ⋅PC =17+9-322×17×3=-1717，则PA ⋅PC =PA PC cos ∠APC =17×3×-1717=-3，不妨记PB =m ,∠BPD =θ，因为PO =12PA +PC =12PB+PD ，所以PA +PC 2=PB +PD 2，即PA 2+PC 2+2PA ⋅PC =PB 2+PD 2+2PB ⋅PD ，则17+9+2×-3 =m 2+9+2×3×m cos θ，整理得m 2+6m cos θ-11=0①，又在△PBD 中，BD 2=PB 2+PD 2-2PB ⋅PD cos ∠BPD ，即32=m 2+9-6m cos θ，则m 2-6m cos θ-23=0②，两式相加得2m 2-34=0，故PB =m =17，故在△PBC 中，PC =3,PB =17,BC =4，所以cos ∠PCB =PC 2+BC 2-PB 22PC ⋅BC=9+16-172×3×4=13，又0<∠PCB <π，所以sin ∠PCB =1-cos 2∠PCB =223，所以△PBC 的面积为S =12PC ⋅BC sin ∠PCB =12×3×4×223=4 2.故选：C .12.己知椭圆x 29+y 26=1，F 1,F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos ∠F 1PF 2=35，则|PO |=()A.25B.302C.35D.352【答案】B 【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△PF 1F 2面积，即可得到点P 的坐标，从而得出OP的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出PF 1 PF 2 ,PF 1 2+PF 2 2，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出PF 1 2+PF 2 2，即可根据中线定理求出．【详解】方法一：设∠F 1PF 2=2θ,0<θ<π2，所以S △PF 1F 2=b 2tan ∠F 1PF 22=b 2tan θ，由cos ∠F 1PF 2=cos2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=35，解得：tan θ=12，由椭圆方程可知，a 2=9,b 2=6,c 2=a 2-b 2=3，所以，S △PF 1F 2=12×F 1F 2 ×y p =12×23×y p =6×12，解得：y 2p =3，即x 2p =9×1-36 =92，因此OP =x 2p +y 2p=3+92=302．故选：B ．方法二：因为PF 1 +PF 2 =2a =6①，PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2 ∠F 1PF 2=F 1F 2 2，即PF 1 2+PF 2 2-65PF 1 PF 2 =12②，联立①②，解得：PF 1 PF 2 =152,PF 1 2+PF 2 2=21，而PO =12PF 1 +PF 2 ，所以OP =PO =12PF 1 +PF 2 ，即PO =12PF 1 +PF 2 =12PF 1 2+2PF 1 ⋅PF 2+PF 2 2=1221+2×35×152=302．故选：B ．方法三：因为PF 1 +PF 2 =2a =6①，PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2 ∠F 1PF 2=F 1F 2 2，即PF 1 2+PF 2 2-65PF 1 PF 2 =12②，联立①②，解得：PF 1 2+PF 2 2=21，由中线定理可知，2OP 2+F 1F 2 2=2PF 1 2+PF 2 2=42，易知F 1F 2 =23，解得：OP =302．故选：B ．【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．二、填空题13.若y =(x -1)2+ax +sin x +π2为偶函数，则a =．【答案】2【解析】【分析】利用偶函数的性质得到f -π2=f π2 ，从而求得a =2，再检验即可得解.【详解】因为y =f x =x -1 2+ax +sin x +π2=x -1 2+ax +cos x 为偶函数，定义域为R ，所以f -π2 =f π2 ，即-π2-1 2-π2a +cos -π2 =π2-1 2+π2a +cos π2，则πa =π2+1 2-π2-1 2=2π，故a =2，此时f x =x -1 2+2x +cos x =x 2+1+cos x ，所以f -x =-x 2+1+cos -x =x 2+1+cos x =f x ，又定义域为R ，故f x 为偶函数，所以a =2.故答案为：2.14.设x ，y 满足约束条件-2x +3y ≤33x -2y ≤3x +y ≥1，设z =3x +2y ，则z 的最大值为．【答案】15【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数y =-32x +z 2过点A 时，z 有最大值，由-2x +3y =33x -2y =3 可得x =3y =3 ，即A (3,3),所以z max =3×3+2×3=15.故答案为：1515.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CD ，A 1B 1的中点，则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为．【答案】12【解析】【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.【详解】不妨设正方体棱长为2，EF 中点为O ，取AB ，BB 1中点G ,M ，侧面BB 1C 1C 的中心为N ，连接FG ,EG ,OM ,ON ,MN ，如图，由题意可知，O为球心，在正方体中，EF=FG2+EG2=22+22=22，即R=2，则球心O到BB1的距离为OM=ON2+MN2=12+12=2，所以球O与棱BB1相切，球面与棱BB1只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.故答案为：1216.在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°,BC=6，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD=．【答案】2【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出AC，再根据等面积法求出AD；方法二：利用余弦定理求出AC，再根据正弦定理求出B,C，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记AB=c,AC=b,BC=a，方法一：由余弦定理可得，22+b2-2×2×b×cos60°=6，因为b>0，解得：b=1+3，由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得，1 2×2×b×sin60°=12×2×AD×sin30°+12×AD×b×sin30°，解得：AD=3b1+b2=231+33+3=2．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22+b2-2×2×b×cos60°=6，因为b>0，解得：b=1+3，由正弦定理可得，6sin60°=b sin B =2sin C ，解得：sin B =6+24，sin C =22，因为1+3>6>2，所以C =45°，B =180°-60°-45°=75°，又∠BAD =30°，所以∠ADB =75°，即AD =AB =2．故答案为：2．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．三、解答题17.已知数列a n 中，a 2=1，设S n 为a n 前n 项和，2S n =na n ．(1)求a n 的通项公式；(2)求数列a n +12n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =n -1(2)T n =2-2+n 12n【解析】【分析】(1)根据a n =S 1,n =1S n -S n -1,n ≥2即可求出；(2)根据错位相减法即可解出．【小问1详解】因为2S n =na n ，当n =1时，2a 1=a 1，即a 1=0；当n =3时，21+a 3 =3a 3，即a 3=2，当n ≥2时，2S n -1=n -1 a n -1，所以2S n -S n -1 =na n -n -1 a n -1=2a n ，化简得：n -2 a n =n -1 a n -1，当n ≥3时，an n -1=a n -1n -2=⋯=a 32=1，即a n =n -1，当n =1,2,3时都满足上式，所以a n =n -1n ∈N * ．【小问2详解】因为a n +12n =n 2n ，所以T n =1×12 1+2×12 2+3×12 3+⋯+n ×12 n，12T n =1×12 2+2×12 3+⋯+(n -1)×12 n +n ×12 n +1，两式相减得，12T n =121+122+123+⋯+12n-n ×12n +1=12×1-12 n1-12-n ×12n +1，=1-1+n 2 12n，即T n =2-2+n 12n，n ∈N *．18.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1=2，A 1C ⊥底面ABC ，∠ACB =90°，A 1到平面BCC 1B 1的距离为1．(1)求证：AC=A1C；(2)若直线AA1与BB1距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)1313【解析】【分析】(1)根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得A1O⊥平面BCC1B1，再由勾股定理求出O为中点，即可得证；(2)利用直角三角形求出AB1的长及点A到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.【小问1详解】如图，∵A1C⊥底面ABC，BC⊂面ABC，∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C,AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC=C,∴BC⊥平面ACC1A1，又BC⊂平面BCC1B1，∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，过A1作A1O⊥CC1交CC1于O，又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1，A1O⊂平面ACC1A1，∴A1O⊥平面BCC1B1∵A1到平面BCC1B1的距离为1，∴A1O=1，在Rt△A1CC1中，A1C⊥A1C1,CC1=AA1=2，设CO=x，则C1O=2-x，∵△A1OC,△A1OC1,△A1CC1为直角三角形，且CC1=2，CO2+A1O2=A1C2，A1O2+OC21=C1A21，A1C2+A1C21=C1C2，∴1+x2+1+(2-x)2=4，解得x=1，∴AC=A1C=A1C1=2，∴AC=A1C【小问2详解】∵AC=A1C1,BC⊥A1C,BC⊥AC，∴Rt△ACB≌Rt△A1CB∴BA=BA1，过B作BD⊥AA1，交AA1于D，则D为AA1中点，由直线AA1与BB1距离为2，所以BD=2∵A1D=1，BD=2，∴A1B=AB=5，在Rt△ABC，∴BC=AB2-AC2=3，延长AC，使AC=CM，连接C1M，由CM∥A1C1,CM=A1C1知四边形A1CMC1为平行四边形，∴C1M∥A1C，∴C1M⊥平面ABC，又AM⊂平面ABC，∴C1M⊥AM则在Rt△AC1M中，AM=2AC,C1M=A1C，∴AC1=(2AC)2+A1C2，在Rt△AB1C1中，AC1=(2AC)2+A1C2，B1C1=BC=3，∴AB1=(22)2+(2)2+(3)2=13,又A到平面BCC1B1距离也为1，所以AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为113=1313.19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物)．(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X，求X的分布列和数学期望；(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3实验组：5.4 6.6 6.8 6.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0(i)求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：<m≥m对照组实验组(ii)根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．参考数据：k00.100.050.010P k2≥k02.7063.841 6.635【答案】(1)分布列见解析，E(X)=1(2)(i)m=23.4；列联表见解析，(ii)能【解析】【分析】(1)利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；(2)(i)根所中位数的定义即可求得m=23.4，从而求得列联表；(ii)依用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【小问1详解】依题意，X 的可能取值为0,1,2，则P (X =0)=C 020C 220C 240=1978，P (X =1)=C 120C 120C 240=2039，P (X =2)=C 220C 020C 240=1978，所以X 的分布列为：X012P 197820391978故E (X )=0×1978+1×2039+2×1978=1.【小问2详解】(i )依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,⋯，故第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以m =23.2+23.62=23.4，故列联表为：<m≥m 合计对照组61420实验组14620合计202040(ii )由(i )可得，K =40×(6×6-14×14)220×20×20×20=6.400>3.841，所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.20.设抛物线C :y 2=2px (p >0)，直线x -2y +1=0与C 交于A ，B 两点，且|AB |=415．(1)求p ；(2)设C 的焦点为F ，M ，N 为C 上两点，MF ⋅NF =0，求△MNF 面积的最小值．【答案】(1)p =2(2)12-82【解析】【分析】(1)利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p ；(2)设直线MN ：x =my +n ，M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,利用MF ⋅NF =0，找到m ,n 的关系，以及△MNF 的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设A x A ,y A ,B x B ,y B ，由x -2y +1=0y 2=2px可得，y 2-4py +2p =0，所以y A +y B =4p ,y A y B =2p ，所以AB =x A -x B 2+y A -y B 2=5y A -y B =5×y A +y B 2-4y A y B =415，即2p 2-p -6=0，因为p >0，解得：p =2．【小问2详解】因为F 1,0 ，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线MN ：x =my +n ，M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，由y 2=4x x =my +n可得，y 2-4my -4n =0，所以，y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4n ，Δ=16m 2+16n >0⇒m 2+n >0，因为MF ⋅NF =0，所以x 1-1 x 2-1 +y 1y 2=0，即my 1+n -1 my 2+n -1 +y 1y 2=0，亦即m 2+1 y 1y 2+m n -1 y 1+y 2 +n -1 2=0，将y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4n 代入得，4m 2=n 2-6n +1，4m 2+n =n -1 2>0，所以n ≠1，且n 2-6n +1≥0，解得n ≥3+22或n ≤3-22．设点F 到直线MN 的距离为d ，所以d =n -1 1+m2，MN =x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=1+m 2y 1-y 2 =1+m 216m 2+16n=21+m 24n 2-6n +1 +16n =21+m 2n -1 ，所以△MNF 的面积S =12×MN ×d =12×n -1 1+m2×21+m 2n -1 =n -1 2，而n ≥3+22或n ≤3-22，所以，当n =3-22时，△MNF 的面积S min =2-22 2=12-82．【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到m ,n 的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.21.已知f (x )=ax -sin x cos 3x,x ∈0,π2 (1)若a =8，讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )<sin2x 恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析.(2)(-∞,3]【解析】【分析】(1)求导,然后令t =cos 2x ,讨论导数的符号即可;(2)构造g (x )=f (x )-sin2x ,计算g (x )的最大值,然后与0比较大小,得出a 的分界点,再对a 讨论即可.【小问1详解】f(x )=a -cos x cos 3x +3sin x cos 2x sin x cos 6x=a -cos 2x +3sin 2x cos 4x =a -3-2cos 2x cos 4x令cos 2x =t ,则t ∈(0,1)则f(x )=g (t )=a -3-2t t 2=at 2+2t -3t 2当a =8,f (x )=g (t )=8t 2+2t -3t 2=(2t -1)(4t +3)t 2当t ∈0,12 ,即x ∈π4,π2 ,f (x )<0.当t ∈12,1 ,即x ∈0,π4 ,f (x )>0.所以f (x )在0,π4 上单调递增,在π4,π2上单调递减【小问2详解】设g (x )=f (x )-sin2xg (x )=f (x )-2cos2x =g (t )-22cos 2x -1 =at 2+2t -3t 2-2(2t -1)=a +2-4t +2t -3t 2设φ(t )=a +2-4t +2t -3t2φ (t )=-4-2t2+6t 3=-4t 3-2t +6t 3=-2(t -1)(2t 2+2t +3)t 3>0所以φ(t )<φ(1)=a -3.1°若a ∈(-∞,3],g (x )=φ(t )<a -3≤0即g (x )在0,π2上单调递减,所以g (x )<g (0)=0.所以当a ∈(-∞,3],f (x )<sin2x ,符合题意.2°若a ∈(3,+∞)当t →0,2t -3t2=-31t -13 2+13→-∞,所以φ(t )→-∞.φ(1)=a -3>0.所以∃t 0∈(0,1),使得φt 0 =0,即∃x 0∈0,π2,使得g x 0 =0.当t ∈t 0,1 ,φ(t )>0,即当x ∈0,x 0 ,g (x )>0,g (x )单调递增.所以当x ∈0,x 0 ,g (x )>g (0)=0,不合题意.综上,a 的取值范围为(-∞,3].【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性t =cos x 在定义域内是减函数,若t 0=cos x 0,当t ∈t 0,1 ,φ(t )>0,对应当x ∈0,x 0 ,g (x )>0.四、选做题22.已知P (2,1)，直线l :x =2+t cos αy =1+t sin α(t 为参数)，l 与x 轴，y 轴正半轴交于A ，B 两点，|PA |⋅|PB |=4．(1)求α的值；(2)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【答案】(1)3π4(2)ρcos α+ρsin α-3=0【解析】【分析】(1)根据t 的几何意义即可解出；(2)求出直线l 的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于A ,B 两点，所以π2<α<π，令x =0，t 1=-2cos α，令y =0，t 2=-1sin α，所以PA PB =t 2t 1 =2sin αcos α =4sin2α=4，所以sin2α=±1，即2α=π2+k π，解得α=π4+12k π,k ∈Z ，因为π2<α<π，所以α=3π4．【小问2详解】由(1)可知，直线l的斜率为tanα=-1，且过点2,1，所以直线l的普通方程为：y-1=-x-2，即x+y-3=0，由x=ρcosα,y=ρsinα可得直线l的极坐标方程为ρcosα+ρsinα-3=0．23.已知f(x)=2|x-a|-a,a>0．(1)解不等式f(x)<x(2)若y=f(x)与坐标轴围成面积为2，求a．【答案】(1)a3,3a(2)263【解析】【分析】(1)分x≤a和x>a讨论即可;(2)写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.【小问1详解】若x≤a,则f(x)=2a-2x-a<x,即3x>a,解得x>a3,即a3<x≤a,若x>a,则f(x)=2x-2a-a<x,解得x<3a,即a<x<3a,综上,不等式的解集为a3,3a .【小问2详解】f(x)=-2x+a,x≤a 2x-3a,x>a .画出f(x)的草图,则f(x)与坐标轴围成△ADO与△ABC△ABC的高为a,D(0,a),A a2,0,B3a2,0,所以|AB|=a所以S△OAD+S△ABC=12OA⋅a+12AB⋅a=34a2=2,解得a=263。

2023年高考全国甲卷数学(理)真题(解析版)

2023甲卷理科数学（记忆版）一、选择题1.设集合{31,},{32,}A xx k k Z B x x k k Z ∣∣，U 为整数集，()A BU ð（）A.{|3,}x x k k Z B.{31,}xx k k Z ∣C.{32,}xx k k Z ∣ D.【答案】A 【解析】【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集 |3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k Z Z Z Z ，U Z ，所以， |3,U A B x x k k Z ð．故选：A ．2.若复数 i 1i 2,R a a a ，则 a （）A.-1 B.0·C.1D.2【答案】C 【解析】【详解】因为22i 1i i i 21i 2a a a a a a a ，所以22210a a，解得：1a ．故选：C.3.执行下面的程序框遇，输出的B （）A.21B.34C.55D.89【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．【详解】当1n 时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A ，325B ，112n ；当2n 时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A ，8513B ，213n ；当3n 时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A ，211334B ，314n ；当4n 时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B ．故选：B.4.向量||||1,||a b c0a b c，则cos ,a c b c（）A.15B.25C.25 D.45【答案】D 【解析】【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为0a b c,所以a b c +=-rrr,即2222a b a b c,即1122a b rr ,所以0a b.如图,设,,OA a OB b OC c,由题知,1,OA OB OC OAB 是等腰直角三角形,AB 边上的高,22OD AD,所以23222CD CO OD,1tan ,cos3AD ACD ACD CD,2cos ,cos cos 22cos 1a c b c ACB ACD ACD24215 .故选:D.5.已知正项等比数列 n a 中，11,n a S 为 n a 前n 项和，5354S S ，则4S （）A.7B.9C.15D.30【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出关于q 的方程,计算出q ,即可求出4S .【详解】由题知23421514q q q q q q,即34244q q q q ,即32440q q q ,即(2)(1)(2)0q q q .由题知0q ,所以2q =.所以4124815S .故选:C.6.有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1【答案】A 【解析】【分析】先算出报名两个俱乐部的人数,从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率,利用条件概率的知识求解.【详解】报名两个俱乐部的人数为50607040 ，记“某人报足球俱乐部”为事件A ,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B ，则505404(),()707707P A P AB ，所以4()7()0.85()7P AB P BA P A ∣.故选:A .7.“22sin sin 1 ”是“sin cos 0 ”的（）A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当22sin sin 1 时，例如π,02但sin cos 0 ，即22sin sin 1 推不出sin cos 0 ；当sin cos 0 时，2222sin sin (cos )sin 1 ，即sin cos 0 能推出22sin sin 1 .综上可知，22sin sin 1 是sin cos 0 成立的必要不充分条件.故选：B8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b22(2)(3)1x y 交于A ，B 两点，则||AB （）A.15B.5C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由e ，则222222215c a b b a a a，解得2ba，所以双曲线的一条渐近线不妨取2y x ，则圆心(2,3)到渐近线的距离5d，所以弦长45||5AB.故选：D9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A.120B.60C.40D.30【答案】B 【解析】【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.【详解】不妨记五名志愿者为,,,,a b c d e ，假设a 连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有24A 12 种方法，同理：,,,b c d e 连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有51260 种.故选：B.10.已知 f x 为函数πcos 26y x向左平移π6个单位所得函数，则 y f x 与1122y x 的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得 sin 2f x x ，再作出 f x 与1122y x 的部分大致图像，考虑特殊点处 f x 与1122y x的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos 26y x向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x，所以 sin 2f x x ，而1122y x显然过10,2与 1,0两点，作出 f x 与1122y x的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x，即3π3π7π,,444x x x处 f x 与1122y x 的大小关系，当3π4x时，3π3πsin 142f，13π1π4284312y ；当3π4x时，3π3πsin 142f，13π13π412428y ；当7π4x时，7π7πsin 142f，17π17π412428y ；所以由图可知， f x 与1122y x 的交点个数为3.故选：C.11.在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为正方形，4,3,45AB PC PD PCA ，则PBC 的面积为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得PDO PCO ，PDB PCA ，从而得到PA PB ，再在PAC △中利用余弦定理求得PA ，从而求得PB PBC 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；法二：先在PAC △中利用余弦定理求得PA ，1cos 3PCB，从而求得3PA PC ，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于,PB BPD 的方程组，从而求得PB 由此在PBC 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.【详解】法一：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则O 为,AC BD 的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，4AB ，所以AC BD ，则DO CO ，又3PC PD ，PO OP ，所以PDO PCO ，则PDO PCO ，又3PC PD ，AC BD PDB PCA ，则PA PB ，在PAC △中，3,45PC AC PCA ，则由余弦定理可得2222cos 32923172PA AC PC AC PC PCA ，故PA ，则PB故在PBC 中，43,P PB C C B ，所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC ，又0πPCB，所以sin 3PCB，所以PBC的面积为11sin 34223S PC BC PCB .法二：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则O 为,AC BD的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，4AB，所以AC BD ，在PAC △中，3,45PC PCA ，则由余弦定理可得2222cos 32923172PA AC PC AC PC PCA，故PA ，所以222cos 217PA PC AC APC PA PC，则cos 3317PA PC PA PC APC，不妨记,PB m BPD ，因为1122PO PA PC PB PD ，所以22PA PCPB PD，即222222PA PC PA PC PB PD PB PD，则 217923923cos m m ，整理得26cos 110m m ①，又在PBD △中，2222cos BD PB PD PB PD BPD ，即23296cos m m ，则26cos 230m m ②，两式相加得22340m ，故PB m ，故在PBC 中，43,P PB C C B ，所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC ，又0πPCB ，所以sin 3PCB，所以PBC 的面积为11sin 34223S PC BC PCB .故选：C.12.己知椭圆22196x y ，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ，则||PO（）A.25B.302C.35D.352【答案】B 【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出12PF F △的面积，即可得到点P 的坐标，从而得出OP 的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出221212,PF PF PF PF ，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出2212PF PF ，即可根据中线定理求出．【详解】方法一：设12π2,02F PF，所以122212tan tan 2PF F F PF S b b ，由22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos +sin 1tan 5F PF，解得：1tan 2 ，由椭圆方程可知，222229,6,3a b c a b ，所以，12121116222PF F p p S F F y y，解得：23p y ，即2399162p x，因此2OP ．故选：B ．方法二：因为1226PF PF a ①，222121212122PF PF PF PF F PF F F ，即2212126125PF PF PF PF②，联立①②，解得：22121215,212PF PF PF PF ，而1212PO PF PF ，所以1212OP PO PF PF ，即12122PO PF PF．故选：B ．方法三：因为1226PF PF a ①，222121212122PF PF PF PF F PF F F ，即2212126125PF PF PF PF②，联立①②，解得：221221PF PF ，由中线定理可知，222212122242OP F F PF PF ，易知12F F2OP．故选：B ．【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．二、填空题13.若2π(1)sin 2y x ax x为偶函数，则 a ________．【答案】2【解析】【分析】利用偶函数的性质得到ππ22f f，从而求得2a ，再检验即可得解.【详解】因为 22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x为偶函数，定义域为R ，所以ππ22f f ，即22ππππππ222222s a a，则22πππ2π1212a，故2a ，此时 2212cos 1cos f x x x x x x ，所以 221cos s 1co f x x x x x f x ，又定义域为R ，故 f x 为偶函数，所以2a .故答案为：2.14.设x ，y 满足约束条件2333231x y x y x y，设32z x y ，则z 的最大值为____________．【答案】15【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数322zy x 过点A 时，z 有最大值，由233323x y x y可得33x y ，即(3,3)A ,所以max 332315z .故答案为：1515.在正方体1111ABCD A B C D 中，E ，F 分别为CD ，11A B 的中点，则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．【答案】12【解析】【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.【详解】不妨设正方体棱长为2，EF 中点为O ，取AB ，1BB 中点,G M ，侧面11BB C C 的中心为N ，连接,,,,FG EG OM ON MN ，如图，由题意可知，O 为球心，在正方体中，EF ，即R，则球心O 到1BB 的距离为OM ，所以球O 与棱1BB 相切，球面与棱1BB 只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.故答案为：1216.在ABC 中，2AB ，60,BAC BC，D 为BC 上一点，AD 为BAC 的平分线，则AD _________．【答案】2【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出AD ；方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出,B C ，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ，方法一：由余弦定理可得，22222cos 606b b ，因为0b，解得：1b 由ABC ABD ACD S S S 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ，解得：1212AD b ．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos 606b b ，因为0b ，解得：1b由正弦定理可得，2sin 60sin sin b B C，解得：sin 4B ，sin 2C，因为145C ，180604575B ，又30BAD o ，所以75ADB ，即2AD AB ．故答案为：2．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．三、解答题17.已知数列 n a 中，21a ，设n S 为 n a 前n 项和，2n n S na ．（1）求 n a 的通项公式；（2）求数列12n na的前n 项和n T ．【答案】（1）1n a n （2） 1222nn T n【解析】【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n即可求出；（2）根据错位相减法即可解出．【小问1详解】因为2n n S na ，当1n 时，112a a ，即10a ；当3n 时， 33213a a ，即32a ，当2n 时， 1121n n S n a ，所以 11221n n n n n S S a na n a ，化简得： 121n n n a n a ，当3n 时，131122n n a a an n ，即1n a n ，当1,2,3n 时都满足上式，所以 *1N a n n ．【小问2详解】因为122n n n a n ，所以12311111232222nn T n ，2311111112(1)22222nn n T n n，两式相减得，123111111111222222111222211n n nn n n n T，11122n n，即 1222nn T n，*N n ．18.在三棱柱111ABC A B C -中，12AA ，1A C 底面ABC ，90ACB ，1A 到平面11BCC B 的距离为1．（1）求证：1AC AC ；（2）若直线1AA 与1BB 距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得1A O 平面11BCC B ，再由勾股定理求出O 为中点，即可得证；（2）利用直角三角形求出1AB 的长及点A 到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.【小问1详解】如图，1AC ∵底面ABC ，BC 面ABC ，1AC BC ，又BC AC ，1,AC AC 平面11ACC A ，1AC AC C ,BC 平面ACC 1A 1，又BC 平面11BCC B ，平面11ACC A 平面11BCC B ，过1A 作11A O CC 交1CC 于O ，又平面11ACC A ∩平面111BCC B CC ，1AO 平面11ACC A ，1AO 平面11BCC B 1A ∵到平面11BCC B 的距离为1，11 AO ，在11Rt A CC △中，111112,AC AC CC AA ，设CO x ，则12C O x ，11111,,AOC AOC ACC ∵△△△为直角三角形，且12CC ，22211CO A O A C ，2221111A O OC C A ，2221111A C A C C C ，2211(2)4x x ，解得1x ，111AC AC AC 1AC A C【小问2详解】111,,AC AC BC AC BC AC ∵，1Rt Rt ACB ACB △≌△1BA BA ，过B 作1BD AA ，交1AA 于D ，则D 为1AA 中点，由直线1AA 与1BB 距离为2，所以2BD11A D ∵，2BD ，1A B AB ，在Rt ABC △，BC，延长AC ，使AC CM ，连接1C M ，由1111,CM AC CM AC ∥知四边形11ACMC 为平行四边形，11C M AC ∥，1C M 平面ABC ，又AM 平面ABC ，1C M AM则在1Rt AC M △中，112,AM AC C M A C ，1AC在11Rt AB C △中，1AC，11B C BC1AB 又A 到平面11BCC B 距离也为1，所以1AB 与平面11BCC B 1313.19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g ）：（已按从小到大排好）对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3实验组：5.46.66.8 6.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（i ）求40只小鼠体重的中位数m ，并完成下面2×2列联表：（ii ）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．参考数据：k 0.100.050.01020P k k 2.7063.8416.635【答案】（1）分布列见解析，()1E X （2）（i ）23.4m ；列联表见解析，（ii ）能【解析】【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；（2）（i ）根所中位数的定义即可求得23.4m ，从而求得列联表；（ii ）依用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【小问1详解】依题意，X 的可能取值为0,1,2，则022020240C C 19(0)C 78P X ，120224010C C 20(1)C 39P X ，202020240C C 19(2)C 78P X ，所以X 的分布列为：X12P197820391978故192019()0121783978E X.【小问2详解】（i ）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6, ，故第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以23.223.623.42m，故列联表为：mm合计对照组61420实验组14620合计202040（ii ）由（i ）可得，240(661414) 6.400 3.84120202020K ，所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.20.设抛物线2:2(0)C y px p ，直线 2 10x y 与C 交于A ，B 两点，且||AB ．（1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，M ，N 为C 上两点，0MF NF，求MNF 面积的最小值．【答案】（1）2p（2）12 【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p ；（2）设直线MN ：x my n ， 1122,,,,M x y N x y 利用0MF NF，找到,m n 的关系，以及MNF 的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设 ,,,A A B B A x y B x y ，由22102x y y px可得，2420y py p ，所以4,2A B A B y y p y y p ，所以A B AB y即2260p p ，因为0p ，解得：2p ．【小问2详解】因为 1,0F ，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线MN ：x my n ， 1122,,,M x y N x y ，由24y x x my n可得，2440y my n ，所以，12124,4y y m y y n ，22161600m n m n ，因为0MF NF，所以 1212110x x y y ，即 1212110my n my n y y ，亦即2212121110m y y m n y y n ，将12124,4y y m y y n 代入得，22461m n n ， 22410m n n ，所以1n ，且2610n n ，解得3n 3n ．设点F 到直线MN 的距离为d，所以d12MN y y1 ，所以MNF的面积2111122S MN d n，而3n 3n ，所以，当3nMNF的面积 2min 212S 【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到,m n 的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.21.已知3sin π(),0,cos 2x f x ax x x（1）若8a ，讨论()f x 的单调性；（2）若()sin 2f x x 恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析.（2）(,3] 【解析】【分析】（1）求导,然后令2cos t x ,讨论导数的符号即可;（2）构造()()sin 2g x f x x ,计算()g x 的最大值,然后与0比较大小,得出a 的分界点,再对a 讨论即可.【小问1详解】326cos cos 3sin cos sin ()cos x x x x xf x a x22244cos 3sin 32cos cos cos x x x a a x x令2cos x t ,则(0,1)t 则2223223()()t at t f x g t a t t当222823(21)(43)8,()()t t t t a f x g t t t 当10,2t,即ππ,,()042x f x.当1,12t ,即π0,,()04x f x.所以()f x 在π0,4 上单调递增,在ππ,42上单调递减【小问2详解】设()()sin 2g x f x x22222323()()2cos 2()22cos 12(21)24at t g x f x x g t x t a t t t t 设223()24t a t t t 322333264262(1)(22+3)()40t t t t t t t t t t 所以()(1)3t a .1 若(,3]a ,()()0g x t a 即()g x 在0,2上单调递减,所以()(0)0g x g .所以当(,3],()sin 2a f x x ,符合题意.2 若(3,)a 当22231110,333t t t t ,所以()t .(1)30a .所以0(0,1)t ,使得 00t ,即00,2x,使得 00g x .当 0,1,()0t t t ,即当 00,,()0,()x x g x g x 单调递增.所以当 00,,()(0)0x x g x g ,不合题意.综上,a 的取值范围为(,3] .【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性cos t x 在定义域内是减函数,若00cos t x ,当 0,1,()0t t t ,对应当 00,,()0x x g x.四、选做题22.已知(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t （t 为参数），l 与x 轴，y 轴正半轴交于A ，B 两点，||||4PA PB ．（1）求的值；（2）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【答案】（1）3π4（2）cos sin 30【解析】【分析】（1）根据t 的几何意义即可解出；（2）求出直线l 的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以ππ2，令0x ，12cos t ，令0y ，21sin t ，所以21244sin cos sin 2PA PB t t，所以sin 21 ，即π2π2k ，解得π1π,42k k Z ，因为ππ2 ，所以3π4．【小问2详解】由（1）可知，直线l 的斜率为tan 1 ，且过点 2,1，所以直线l 的普通方程为： 12y x ，即30x y ，由cos ,sin x y 可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30 ．23.已知()2||, 0 f x x a a a ．（1）解不等式()f x x（2）若()y f x 与坐标轴围成的面积为2，求a ．【答案】（1）,33a a （2）263【解析】【分析】（1）分x a 和x a 讨论即可;（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.【小问1详解】若x a ,则()22f x a x a x ,即3x a ,解得3a x ,即3a x a ,若x a ,则()22f x x a a x ,解得3x a ,即3a x a ,综上,不等式的解集为,33a a.【小问2详解】2,()23,x a x a f x x a x a.画出()f x 的草图,则()f x 与坐标轴围成ADO △与ABCABC 的高为3,(0,),,0,,022a a a D a A B,所以|| AB a 所以21132224OAD ABC S S OA a AB a a ,解得263a第25页/共25页。

2023年高考全国甲卷理科数学+答案解析

2023年高考理科数学(全国甲卷)一、选择题1.设集合{31,},{32,}A x x k k Z B x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，U 为整数集，()A B =U ð（）A.{|3,}x x k k =∈ZB.{31,}x x k k Z =-∈∣C.{32,}xx k k Z =-∈∣ D.∅2.若复数()()i 1i 2,R a a a +-=∈，则=a （）A.-1 B.0·C.1D.23.执行下面的程序框遇，输出的B =（）A.21B.34C.55D.894.向量||||1,||a b c ==-=，且0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉= （）A.15-B.25-C.25D.455.已知正项等比数列{}n a 中，11,n a S =为{}n a 前n 项和，5354S S =-，则4S =（）A.7B.9C.15D.306.有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）A.0.8B.0.4C.0.2D.0.17.“22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（）A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为，其中一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A.15B.5C.5D.59.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A.120B.60C.40D.3010.已知()f x 为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数，则() y f x =与1122y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.411.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，4,3,45AB PC PD PCA ===∠=︒，则PBC 的面积为（）A.B.C. D.12.己知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则||PO =（）A.25B.302C.35D.352二、填空题13.若2π(1)sin 2y x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ________．14.设x ，y 满足约束条件2333231x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，设32z x y =+，则z 的最大值为____________．15.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为CD ，11A B 的中点，则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．16.在ABC 中，2AB =，60,BAC BC ∠=︒=，D 为BC 上一点，AD 为BAC ∠的平分线，则AD =_________．三、解答题17.已知数列{}n a 中，21a =，设n S 为{}n a 前n 项和，2n n S na =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18.在三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1A C ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，1A 到平面11BCC B 的距离为1．（1）求证：1AC A C =；（2）若直线1AA 与1BB 距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g ）：（已按从小到大排好）对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（i ）求40只小鼠体重的中位数m ，并完成下面2×2列联表：m<m≥对照组实验组（ii ）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．参考数据：k 0.100.050.010()20P k k ≥ 2.7063.8416.63520.设抛物线2:2(0)C y px p =>，直线 2 10x y -+=与C 交于A ，B 两点，且||AB =．（1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，M ，N 为C 上两点，0MF NF ⋅=，求MNF 面积的最小值．21.已知3sin π(),0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭（1）若8a =，讨论()f x 的单调性；（2）若()sin 2f x x <恒成立，求a 的取值范围．四、选做题22.已知(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），l 与x 轴，y 轴正半轴交于A ，B 两点，||||4PA PB ⋅=．（1）求α的值；（2）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．23.已知()2||, 0 f x x a a a =-->．（1）解不等式()f x x<（2）若()y f x =与坐标轴围成的面积为2，求a ．2023年高考理科数学(全国甲卷)答案解析一、选择题1.A 因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z ，U Z =，所以，(){}|3,U A B x x k k ==∈Z ð．故选：A ．2.C因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=，所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =．故选：C.3.B当1n =时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A =+=，325B =+=，112n =+=；当2n =时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A =+=，8513B =+=，213n =+=；当3n =时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A =+=，211334B =+=，314n =+=；当4n =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =．故选：B.4.D 因为0a b c ++= ，所以a b c +=-r r r ，即2222a b a b c ++⋅= ，即1122a b ++⋅=rr ，所以0a b ⋅=.如图，设,,OA a OB b OC c === ,由题知，1,OA OB OC OAB === 是等腰直角三角形,AB 边上的高22,22OD AD ==,所以23222CD CO OD =+=+=,1tan ,cos 3AD ACD ACD CD ∠==∠=,2cos ,cos cos 22cos 1a cbc ACB ACD ACD 〈--〉=∠=∠=∠-24215=⨯-=.故选:D.5.C由题知()23421514q q q q q q ++++=++-,即34244q q q q +=+,即32440q q q +--=,即(2)(1)(2)0q q q -++=.由题知0q >,所以2q =.所以4124815S =+++=.故选:C.6.A 报名两个俱乐部的人数为50607040+-=，记“某人报足球俱乐部”为事件A ,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B ，则505404(),()707707P A P AB ====，所以4()7()0.85()7P AB P BA P A ===∣.故选:A .7.B当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件.故选：B8.D 由e =，则222222215c a b b a a a +==+=，解得2ba=，所以双曲线的一条渐近线不妨取2y x =，则圆心(2,3)到渐近线的距离55d ==，所以弦长45||5AB ===.故选：D 9.B记五名志愿者为,,,,a b c d e ，假设a 连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有24A 12=种方法，同理：,,,b c d e 连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有51260⨯=种.故选：B.10.C因为πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3.故选：C.11.C 法一：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则O 为,AC BD 的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，4AB =，所以AC BD ==DO CO ==，又3PC PD ==，PO OP =，所以PDO PCO ≅ ，则PDO PCO ∠=∠，又3PC PD ==，AC BD ==PDB PCA ≅ ，则PA PB =，在PAC △中，3,45PC AC PCA ==∠=︒，则由余弦定理可得22222cos 32923172PA AC PC AC PC PCA =+-⋅∠=+-⨯⨯=，故PA =，则PB =，故在PBC 中，43,P PB C C B ===，所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC +-+-∠===⋅⨯⨯，又0πPCB <∠<，所以22sin 3PCB ∠=，所以PBC的面积为1122sin 34223S PC BC PCB =⋅∠=⨯⨯⨯=法二：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则O 为,AC BD的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，4AB =，所以AC BD ==在PAC △中，3,45PC PCA =∠=︒，则由余弦定理可得2222cos 32923172PA AC PC AC PC PCA =+-⋅∠=+-⨯⨯=，故PA =，所以22217cos 217PA PC AC APC PA PC +-∠==-⋅，则17cos 3317PA PC PA PC APC ⎛⎫⋅=∠=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，不妨记,PB m BPD θ=∠=，因为()()1122PO PA PC PB PD =+=+ ，所以()()22PA PCPB PD +=+ ，即222222PA PC PA PC PB PD PB PD ++⋅=++⋅ ，则()217923923cos m m θ++⨯-=++⨯⨯，整理得26cos 110m m θ+-=①，又在PBD △中，2222cos BD PB PD PB PD BPD =+-⋅∠，即23296cos m m θ=+-，则26cos 230m m θ--=②，两式相加得22340m -=，故PB m ==故在PBC 中，43,P PB C C B ===，所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC +-+-∠===⋅⨯⨯，又0πPCB <∠<，所以22sin 3PCB ∠=，所以PBC 的面积为11sin 34223S PC BC PCB =⋅∠=⨯⨯⨯=故选：C.12.B方法一：设12π2,02F PF θθ∠=<<，所以122212tan tan 2PF F F PF S b b θ∠== ，由22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos +sin 1tan 5F PF θθθθθθθ--∠====+，解得：1tan 2θ=，由椭圆方程可知，222229,6,3a b c a b ===-=，所以，12121116222PF F p p S F F y y =⨯⨯=⨯=⨯ ，解得：23p y =，即2399162p x ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，因此302OP ==．故选：B ．方法二：因为1226PF PF a +==①，222121212122PF PF PF PF F PF F F +-∠=，即2212126125PF PF PF PF +-=②，联立①②，解得：22121215,212PF PF PF PF =+=，而()1212PO PF PF =+ ，所以1212OP PO PF PF ==+ ，即1213022PO PF PF =+=．故选：B ．方法三：因为1226PF PF a +==①，222121212122PF PF PF PF F PF F F +-∠=，即2212126125PF PF PF PF +-=②，联立①②，解得：221221PF PF +=，由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，易知12F F=，解得：302OP =．故选：B ．二、填空题13.【答案】2【解析】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ，所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππππππ222222s a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝+⎭，则22πππ2π1212a -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝，故2a =，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++，所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x -=-++++-==，又定义域为R ，故()f x 为偶函数，所以2a =.故答案为：2.14.【答案】15【解析】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数322z y x =-+过点A 时，z 有最大值，由233323x y x y -+=⎧⎨-=⎩可得33x y =⎧⎨=⎩，即(3,3)A ,所以max 332315z =⨯+⨯=.故答案为：1515.【答案】12【解析】设正方体棱长为2，EF 中点为O ，取AB ，1BB 中点,G M ，侧面11BB C C 的中心为N ，连接,,,,FG EG OM ON MN ，如图，由题意可知，O 为球心，在正方体中，2222222EF FG EG =++=，即2R =，则球心O 到1BB的距离为OM ==，所以球O 与棱1BB 相切，球面与棱1BB 只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.故答案为：1216.【答案】2【解析】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =由ABC ABD ACD S S S =+ 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ，解得：13212AD b +===+．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =由正弦定理可得，62sin 60sin sin b B C==，解得：62sin 4B =，2sin 2C =，因为1>>45C = ，180604575B =--= ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠= ，即2AD AB ==．故答案为：2．三、解答题17.【答案】（1）1n a n =-（2）()1222nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为2n n S na =，当1n =时，112a a =，即10a =；当3n =时，()33213a a +=，即32a =，当2n ≥时，()1121n n S n a --=-，所以()()11221n n n n n S S a na n a ---==--，化简得：()()121n n n a n a --=-，当3n ≥时，131122n n a a an n -====-- ，即1n a n =-，当1,2,3n =时都满足上式，所以()*1N n a n n =-∈．（2）因为122n n n a n +=，所以12311111232222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，2311111112(1)22222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得，123111111111222222111222211n n nn n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+-⎝=-⎭⨯-⨯ ，11122nn ⎛⎫⎛⎫=-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()1222nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，*N n ∈．18.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】（1）如图，1AC ⊥ 底面ABC ，BC ⊂面ABC ，1A C BC ∴⊥，又BC AC ⊥，1,A C AC ⊂平面11ACC A ，1AC AC C ⋂=,BC ∴⊥平面ACC 1A 1，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，过1A 作11A O CC ⊥交1CC 于O ，又平面11ACC A 平面111BCC B CC =，1A O ⊂平面11ACC A ，1A O ∴⊥平面11BCC B 1A 到平面11BCC B 的距离为1，11∴=A O ，在11Rt A CC △中，111112,AC AC CC AA ⊥==，设CO x =，则12C O x =-，11111,,AOC AOC ACC △△△为直角三角形，且12CC =，22211CO A O A C +=，2221111A O OC C A +=，2221111A C A C C C +=，2211(2)4x x ∴+++-=，解得1x =，111AC A C A C ∴===1AC AC ∴=（2）111,,AC A C BC A C BC AC =⊥⊥ ，1Rt Rt ACB ACB ∴△≌△1BA BA ∴=，过B 作1BD AA ⊥，交1AA 于D ，则D 为1AA 中点，由直线1AA 与1BB 距离为2，所以2BD =11A D = ，2BD =，1A B AB ∴==，在Rt ABC △，BC ∴==，延长AC ，使AC CM =，连接1C M ，由1111,CM A C CM A C =∥知四边形11A CMC 为平行四边形，11C M A C ∴∥，1C M ∴⊥平面ABC ，又AM ⊂平面ABC ，1C M AM∴⊥则在1Rt AC M △中，112,AM AC C M AC ==，1AC ∴=，在11Rt AB C △中，1AC =，11B C BC ==1AB ∴==又A 到平面11BCC B 距离也为1，所以1AB 与平面11BCC B1313=.19.【答案】（1）分布列见解析，()1E X =（2）（i ）23.4m =；列联表见解析，（ii ）能【解析】（1）依题意，X 的可能取值为0,1,2，则022020240C C 19(0)C 78P X ===，120224010C C 20(1)C 39P X ===，202020240C C 19(2)C 78P X ===，X12P197820391978所以X 的分布列为：故192019()0121783978E X =⨯+⨯+⨯=.（2）（i ）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6, ，故第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以23.223.623.42m +==，故列联表为：m<m ≥合计对照组61420实验组14620合计202040（ii ）由（i ）可得，240(661414) 6.400 3.84120202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.20.【答案】（1）2p =（2）12-【解析】（1）设()(),,,A A B B A x y B x y ，由22102x y y px-+=⎧⎨=⎩可得，2420y py p -+=，所以4,2A B A B y y p y y p +==，所以A B AB y ==-==，即2260p p --=，因为0p >，解得：2p =．（2）因为()1,0F ，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线MN ：x my n =+，()()1122,,,M x y N x y ，由24y x x my n ⎧=⎨=+⎩可得，2440y my n --=，所以，12124,4y y m y y n +==-，22161600m n m n ∆=+>⇒+>，因为0MF NF ⋅=，所以()()1212110x x y y --+=，即()()1212110my n my n y y +-+-+=，亦即()()()()2212121110m y y m n y y n ++-++-=，将12124,4y y m y y n +==-代入得，22461m n n =-+，()()22410m n n +=->，所以1n ≠，且2610n n -+≥，解得3n ≥+或3n ≤-．设点F 到直线MN 的距离为d，所以d =12MN y y ==-=1==-，所以MNF的面积()2111122S MN d n =⨯⨯=-=-，而3n ≥+或3n≤-，所以，当3n =-时，MNF的面积(2min 212S =-=-21.【答案】（1）答案见解析.（2）(,3]-∞【解析】（1）326cos cos 3sin cos sin ()cos x x x x xf x a x'+=-22244cos 3sin 32cos cos cos x x x a a x x+-=-=-令2cos x t =,则(0,1)t ∈则2223223()()t at t f x g t a t t '-+-==-=当222823(21)(43)8,()()t t t t a f x g t t t '+--+====当10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即ππ,,()042x f x '⎛⎫∈< ⎪⎝⎭.当1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即π0,,()04x f x '⎛⎫∈> ⎪⎝⎭.所以()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减（2）设()()sin 2g x f x x=-()22222323()()2cos 2()22cos 12(21)24at t g x f x x g t x t a t t t t''+-=-=--=-=+-+-设223()24t a t t tϕ=+-+-322333264262(1)(22+3)()40t t t t t t t t t tϕ'--+-+=--+==->所以()(1)3t a ϕϕ<=-.1︒若(,3]a ∈-∞,()()30g x t a ϕ'=<-≤即()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,所以()(0)0g x g <=.所以当(,3],()sin 2a f x x ∈-∞<,符合题意.2︒若(3,)a ∈+∞当22231110,333t t t t ⎛⎫→-=--+→-∞ ⎪⎝⎭,所以()t ϕ→-∞.(1)30a ϕ=->.所以0(0,1)t ∃∈,使得()00t ϕ=,即00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使得()00g x '=.当()0,1,()0t t t ϕ∈>,即当()00,,()0,()x x g x g x '∈>单调递增.所以当()00,,()(0)0x x g x g ∈>=,不合题意.综上,a 的取值范围为(,3]-∞.四、选做题22.【答案】（1）3π4（2）cos sin 30ραρα+-=【解析】（1）因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以ππ2α<<，令0x =，12cos t α=-，令0y =，21sin t α=-，所以21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====，所以sin 21α=±，即π2π2k α=+，解得π1π,42k k α=+∈Z ，因为ππ2α<<，所以3π4α=．（2）由（1）可知，直线l 的斜率为tan 1α=-，且过点()2,1，所以直线l 的普通方程为：()12y x -=--，即30x y +-=，由cos ,sin x y ραρα==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ραρα+-=．23.【答案】（1）,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）263【解析】（1）若x a ≤,则()22f x a x a x =--<,即3x a >,解得3a x >,即3a x a <≤,若x a >,则()22f x x a a x =--<,解得3x a <,即3a x a <<,综上,不等式的解集为,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）2,()23,x a x a f x x a x a -+≤⎧=⎨->⎩.画出()f x 的草图,则()f x 与坐标轴围成ADO △与ABCABC 的高为3,(0,),,0,,022a a a D a A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以||=AB a 所以21132224OAD ABC S S OA a AB a a +=⋅+⋅== ,解得263a =。

2023年新高考一卷数学试卷与解析

2023年新高考一卷数学试卷与解析一、选择题（每题3分，共15分）已知函数f(x) = log₃(x - 2)，则函数f(x) 的定义域为（）A. (2, +∞)B. (-∞, 2)C. [2, +∞)D. (-∞, 2]复数z = 1 + i (i 为虚数单位) 的共轭复数为（）A. 1 - iB. -1 + iC. -1 - iD. 1 + 2i已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, 1)，则向量a与向量b的夹角为（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°设等差数列{a_n} 的前n 项和为S_n，若a_1 = -2，S_4 = 0，则a_5 = （）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5下列命题中，真命题是（）A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，c > d，则ac > bdC. 若a, b ∈ℝ，则a + b > 2√(ab)D. 若a, b, m ∈ℝ，且a < b，则am < bm二、填空题（每题4分，共16分）已知函数f(x) = x^2 - 2x + 3，则f(x) 的最小值为_______。

已知函数g(x) = sin(2x + π/6)，则g(x) 的单调递减区间为_______。

已知向量m = (cosθ, sinθ)，向量n = (√3, -1)，且m ⊥ n，则tanθ = _______。

已知直线l 经过点P(1, 2) 且与直线2x - y + 3 = 0 垂直，则直线l 的方程为_______。

三、解答题（共69分）（本题12分）已知函数f(x) = e^x - ax - 1。

(1) 若a = 1，求f(x) 的单调区间；(2) 若f(x) ≥ 0 对任意x ∈ℝ恒成立，求实数a 的取值范围。

（本题12分）已知等比数列{a_n} 的前n 项和为S_n，且a_1 = 1，q = 2。

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2023全国一卷理科高考数学笔记
随着高考的临近，许多学生开始进行最后的冲刺备考，而数学作为高
考的一门重要科目，也备受考生们的关注。

下面将结合2023年全国一卷理科数学考试的特点，为大家总结一些备考要点和注意事项，希望
可以对广大考生有所帮助。

一、考试内容梳理
2023年全国一卷理科数学考试将会继续延续高考数学试题的特点，考查学生的数学知识运用能力和综合分析问题的能力。

主要考点包括：
数与式、函数与方程、几何与三角、统计与概率等。

1.1 数与式
在数与式的考点中，会考察学生对数的认识、数的性质、整数、有理数、实数、复数等内容，同时也会考查学生对一元一次方程及不等式、一元二次方程与不等式、二元一次方程组与不等组等内容的理解和运
用能力。

1.2 函数与方程
函数与方程作为数学考试的必考内容，涉及到函数的概念与性质、函
数的运算、初等函数、反函数、方程的解法等，考生需要熟练掌握相
关知识点，并能够灵活运用于解题中。

1.3 几何与三角
几何与三角的内容既包括平面几何又包括立体几何，其中平面几何主
要涉及到几何图形的性质、相似与全等、三角形的性质等，而立体几
何则主要考查对立体图形的认识及相关计算方法。

而三角的部分主要
包括三角函数的概念及性质、三角函数的图像与性质、三角函数的应
用等。

1.4 统计与概率
统计与概率作为数学的新兴分支，在高考数学中也有所体现。

主要考
查学生对统计学的基本概念、数据的收集与整理、统计图的绘制及解读，以及概率的概念、概率事件的计算、概率分布、随机变量等方面
的知识点。

二、备考方法建议
2.1 系统学习
在备考过程中，考生首先要对高考数学知识点进行系统的学习和复习，包括梳理各个知识点的要点和难点，确保自己对数学知识的掌握程度
达到一个基本要求。

2.2 刷题巩固
通过刷题可以帮助考生巩固所学的知识，并且能够帮助考生熟悉和掌
握解题的方法和技巧。

在刷题的过程中，考生要注重对错题的总结和
归纳，找出解题的薄弱环节，有针对性地进行专项练习。

2.3 模拟考试
在备考的最后阶段，考生要多进行模拟考试，以检验自己的备考效果。

模拟考试不仅可以帮助考生熟悉考试规则和节奏，还可以帮助考生总
结复习过程中存在的问题和不足，及时调整备考计划。

2.4 保持良好状态
备考期间，考生要注重合理安排时间，保证充足的睡眠和适量的锻炼，保持良好的心态和体魄。

三、题型解析及解题技巧
3.1 单选题
在单选题的解题过程中，考生要仔细阅读题目，理清题意，注意选择
题干中的关键信息，熟练掌握一些解题技巧，如代数法、图解法、逻
辑推理法等。

3.2 解答题
在解答题的解答过程中，考生要注重逻辑性，认真阅读题目要求，明
确解题思路，合理组织答案结构，简洁清晰地表达解题过程和结果，
注意符号使用和步骤说明。

3.3 证明题
在证明题的解答过程中，考生要梳理证明思路，注意书写规范，论证严谨，合理使用定理和公式，不放过任何细节。

四、备考注意事项
4.1 计算器使用
在备考和考试中，考生要熟练掌握计算器的使用，包括计算器的各类功能，合理使用计算器来辅助解题。

4.2 答题卡填涂
在考试中，考生要注意填涂答题卡的规范性，确保填涂无误，避免因填涂错误导致成绩损失。

4.3 时间分配
在考试过程中，要合理安排时间，注意掌握做题的节奏和时间分配，避免因时间不合理分配而导致部分题目无法作答。

2023年全国一卷理科高考数学考试是一个考查学生综合能力的考试，备考复习要认真系统，注重巩固和提高解题能力，保持良好状态，严格执行考试纪律。

希望每一位考生在备考过程中都能有所收获，取得理想的成绩！。