中山大学信息光学习题课后答案习题234章作业

习题2

把下列函数表示成指数傅里叶级数，并画出频谱。 (1) ()rect(2)n f x x n ∞=-∞

=

-∑ (2) ()tri(2)n g x x n ∞

=-∞

=-∑

证明下列傅里叶变换关系式：

(1)

{rect()rect()}sinc()sinc()

F x y ξη=; (2)

22{()()}sinc ()sinc ()

F x y ξηΛΛ=;

(3)

{1}(,)

F δξη=;

(4)

11{sgn()sgn()}i πi πF x y ξη????

= ???

????

;

(5) {(sin )}F n nx δ; (6) {}222

π()/e x y a F -+。

求x 和(2)xf x 的傅里叶变换。

求下列函数的傅里叶逆变换，画出函数及其逆变换式的图形。

()tri(1)tri(1)H ξξξ=+-- ()rect(/3)rect()G ξξξ=- 证明下列傅里叶变换定理： (1)

在

所

在

(,)

f x y 连续的点上

11{(,)}{(,)}(,)

FF f x y F F f x y f x y --==--；

(2) {(,)(,){(,)}*((,)}F f x y h x y F f x y F g x y =。

证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式： (1)

若

0()()

r f r r r δ=-，则

000{()}2πJ (2π)

r B f r r r ρ=;

(2) 若1

a r ≤≤时

()1

r f r =，而在其他地方为零，则11J (2π)J (2π)

{()}r a a B f r ρρρ

-=

;

(3) 若{()}()r B f r F ρ=，则21{()}r B f r a a ρ??=

???

;

(4) 2

2

ππ{e }e r B ρ--=

设(,)g r θ在极坐标中可分离变量。证明若i (,)()e m r f r f r θ

θ=，则： i {(,)}(i)e H {()}m m m r F f r f r φ

θ=-

其中H {}m 为m 阶汉克尔变换：0

{()}2π

()J (2π)d m r r m H f r rf r r r ρ∞

=?

。而(,)ρφ空间频率中的极坐

标。(提示：i sin i e

J ()e a x

kx k k a ∞

=-∞=∑)

计算下列各式的一维卷积。

(1) 1rect *(23)2x x δ-??-

??? (2) 3rect *(4)*(1)2x x x δδ+??

-- ??? (3) 1rect *comb()2x x -??

??? (4) πsin rect()2x x ??

* ???

试用卷积定理计算下列各式。

(1) sinc()*sinc()x x (2) {sinc()sinc(2)}F x x 用宽度为a 的狭缝，对平面上强度分布 0()2cos(2π)f x x ξ=+

扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出强度分布。

利用梳状函数与矩形函数的卷积表示光栅的透过率。假定缝宽为a ，光栅常数为d ，缝数为N 。 计算下面函数的相关。

(1) 1rect 2x +??

???★1rect 2x -??

???

(2) ()tri 21x -★()tri 21x -

应用傅里叶定理求下面积分。

(1)

2

πe

cos(2π)d x ax x ∞

--∞

?

(2)

2sinc ()sin(π)d x x x ∞

-∞

?

求函数()rect()f x x =和()tri()f x x =的一阶和二阶导数。 试求下图所示函数的一维自相关。

试计算函数()rect(3)f x x =-的一阶矩。

证明实函数(,)f x y 的自相关是实的偶函数，即：(,)(,)ff ff R x y R x y =--。 求下列广义函数的傅里叶变换。

(1) step()x (2) sgn()x (3) 0sin(2π)x ν 求下列函数的傅里叶逆变换，并画出函数及其逆变换式的图形。

(1) ()tri(1)tri(1)H x x x =+-- (2) ()rect(/3)rect()G x x x =- 表达式

(,)(,)*comb comb x y p x y g x y X Y ??????=

? ?????????

定义了一个周期函数，它在x 方向上的周期为X ，它在y 方向上的周期为Y 。 (a) 证明p 的傅里叶变换可以写为： (,),,n m n m n m P G X Y X Y ξηδξη∞∞

=-∞=-∞

???

?=

-- ? ?????∑∑

其中G 是g 的傅里叶变换。 (b) 当(,)rect 2

rect 2x

y g x y X Y ????= ? ?????

时，画出函数(,)p x y 的图形，并求出对应的傅里叶变换(,)P ξη。

习题3

设在一线性系统上加一个正弦输入：(,)cos[2π()]g x y x y ξη=+，在什么充分条件下，输出是一个空

间频率与输入相同的实数值正弦函数？用系统适当的特征表示出输出的振幅和相位。

证明零阶贝塞尔函数002J (2π)r ρ是任何具有圆对称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。对应的本征

值是什么？

傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换，因此它满足本章把提出的关系系统的定义。试问： (a) 这个系统是线性的吗？

(b) 你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数？如果能够，它是什么？如果不能，为什么不能？ 某一成像系统的输入是复数值的物场分布o (,)U x y ，其空间频率含量是无限的，而系统的输出是像场分

布i (,)U x y 。可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器，其传递函数在频域上的区间

||x B ξ≤，||y B η≤之外恒等于零。证明，存在一个由点源的方形阵列所构成的“等效”物体o

(,)U x y '，它与真实物体o U 产生完全一样的像i U ，并且等产供效物体的场分布可写成：

o 0(,)(,)sinc(2)sinc(2)d d ,22X Y n m X Y n m

U x y U n B m B x y B B ξηξηξηδ∞∞

∞

=-∞=-∞-∞????

'=----

?? ??

?

??∑∑?? 定义：

1(,)d d (0,0)xy f x y x y f ∞-∞?=??, 1

(,)d d (0,0)F F ξηξηξη∞

-∞

?=?? 分别为原函数(,)f x y 及其频谱函数(,)F ξη的“等效面积”和“等效带宽”，试证明： 1xy ξη??=

上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比，称为傅里叶变换反比定理，亦称面积计算定理。 已知线性不变系统的输入为：()comb()f x x =。系统的传递函数为rect(/)b ξ。当1b =和3b =时，求

系统的输出()g x ，并画出函数及其频谱。 对一个线性不变系统，脉冲响应为： ()7sinc(7)h x x =

用频率域方法对下列的每一个输入()i f x ，求其输出()i g x (必要时，可取合理近似)： (1) 1()cos 4πf x x = (2) 2()cos(4π)rect(/75)f x x x =

(3) 3()[1cos(8π)]rect(/75)f x x x =+ (4) 4()comb()*rect(2)f x x x = 给定正实常数0ξ和实常数a 和b ，求证： (1) 若01||2b ξ<

，则

001

sinc(/)*cos(2π)cos(2π)||x b x x b ξξ= (2) 若01||2b ξ>

，则

01

sinc(/)*cos(2π)0||

x b x b ξ= (3) 若||||b a <，则sinc(/)*sinc(/)||sinc(/)x b x a b x a =

(4) 若||||2

a b <

，则22

sinc(/)*sinc (/)||sinc (/)x b x a b x a = 若限带函数()f x 的傅里叶变换在带宽w 之外恒为零，(1) 如果1

||a w

<，证明：

1sinc(/)*()()||x a f x f x a = (2) 如果1

||a w

>，上面的等式还成立吗？ 给定一个线性系统，输入为有限延伸的矩形波： 1

()comb(/3)rect(/100)*rect()3g x x x x ??=????

若系统脉冲响应：()rect(1)h x x =-。求系统的输出，并绘出传递函数、脉冲响应、输出及其频谱的图形。

给定一线性不变系统，输入函数为有限延伸的三角波 1()comb(/2)rect(/50)*tri()2g x x x x ??=????

对下列传递函数利用图解方法确定系统的输出：

(1) ()rect(/2)H ξξ= (2) ()rect(/4)rect(/2)H ξξξ=- 若对函数：2

()sinc ()h x a ax =抽样，求允许的最大抽样间隔。

证明在频率平面上一个半径为B 的圆之外没有非零的频谱分量的函数，遵从下述抽样定

理：

22

122J [2π(/2)(/2)]π(,),2242π(/2)(/2)n m B x n B y m B n m g x y g B B B x n B y m B ∞

∞=-∞=-∞?

-+-???=? ???-+-??∑∑

习 题 4

尺寸为a b ?的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上透射

光场的角谱。

采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径

轴上的强度分布：

(1) 2

20000

(,)circ()t x y x y =+ (2) 2200001,1(,)0,a x y t x y ??≤+≤=???其它

余弦型振幅光栅的复振幅透过率为： 00()cos(2/)t x a b x d π=+

式中，d 为光栅的周期，0a b >>。观察平面与光栅相距z 。当z 分别取下述值时，确定

单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。

(1) 2

2r d z z λ== (2) 22r z d z λ== (3) 2

42r z d z λ

==

参看下图，用向P 点会聚的单色球面波照明孔径∑。P 点位于孔径后面距离为z 的观察平面

上，坐标为(0,)b 。假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以P 点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。

方向余弦为cos ,cos αβ，振幅为A 的倾斜单色平面波照明一个半径为a 的圆孔。观察平面位

于夫琅禾费区，也孔径相距为z 。求衍射图样的强度分布。 环形孔径的外径为2a ，内径为2a ε(01)ε<<。其透射率可以表示为：

001,()0,a r a

t r ε≤≤?=??其他

用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求距离为z 的观察屏上夫琅禾费衍射图样的强

度分布。

下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。它们的半径都为a ，中心距离为d ()d a >>。采用单

位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布并画出沿y 方向截面图。

参看下图，边长为2a 的正方形孔径内再放置一个边长为a 的正方形掩模，其中心落在(,)

ξη点。采用单位振幅的单色平面波垂直照射，求出与它相距为z 的观察平面上夫琅禾费射图样的光场分布。画出0x y ''==时，孔径频谱在x 方向上的截面图。

下图所示孔径由两个相同的矩孔构成，它们的宽度为a ，长度为b ，中心相距d 。采用单位

振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。假定4b a =及 1.5d a =，画出沿x 和y 方向上强度分布的截面图。

下图所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可以用阶跃函数表示，即： 00()step()t x x =

采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图

样的复振幅分布。画出沿x 方向的振幅分布曲线。

下图所示为宽度为a 的单狭缝，它的两半部分之间通过相位介质引入位相差π。采用单位振

幅的单色平面波垂直照明，求相距为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样强度分布。画出沿x 方向的截面图。

线光栅的缝宽为a ，光栅常数为d ，光栅整体孔径是边长L 的正方形。试对下述条件，分别

确定a 和d 之间的关系：

(1) 光栅的夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级。 (2) 光栅的夫琅禾费衍射图样中第三级为极小。 衍射屏由两个错开的网络构成，其透过率可以表示为：

000000(,)comb(/)comb(/)comb[(0.1)/)]comb(/)t x y x a y b x a a y b =+-

采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强

度分布。画出沿x 方向的截面图。

如下图所示为透射式锯齿形位相光栅。其折射率为n ，齿宽为a ，齿形角为α，光栅的整体

孔径为边长为L 的正方形。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距光栅为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。若使用衍射图样中某个一级谱幅值最大，α角应如何选择？

衍射零是由m n ?个圆孔构成的方形列阵，它们的半径都为a ，其中心在0x 方向间距为x d ，

在0y 方向间距为y d ，采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为z 的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。

在透明玻璃板上有大量(N)无规则分布的不透明小圆颗粒，它们的半径都是a。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。