等腰三角形经典练习题

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等腰三角形练习

知识梳理

知识点1：等腰三角形的性质定理1

（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （2）符号语言：如图，在△ABC 中，因为AB=AC ，所以∠B=∠C （3）证明：取BC 的中点D ，连接AD 在△ABD 和△ACD 中 ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）

∴∠B=∠C （全等三角形对应角相等）

（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。 知识点2：等腰三角形性质定理2

（1） 文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线， 底边上的高，互相重合（简称“三线合一”） （2）符号语言：

∵AB=AC ，∠1=∠2 ∵AB=AC ，AD ⊥BC ∵AB=AC ，BD=DC ∴AD ⊥BC ，BD=DC ∴∠1=∠2，BD=DC ∴∠1=∠2，AD ⊥BC （3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。

说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互

相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。 知识3：等腰三角形的判定定理

（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等

角对等边”）

（2）符号语言：在△ABC 中,∵∠B=∠C ∴AB=AC （3）证明：过A 作AD ⊥BC 于D ，则∠ADB=∠ADC=90°。 在△ABD 和△ACD 中

∴△ABD ≌△ACD （AAS ） ∴AB=AC

（4）定理的作用：等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重

要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。

说明：①本定理的证明用的是作底边上的高，还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。

②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义 2、利用定理。

知识点4：等腰三角形的推论

1. 推论：推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 知识点5： 等腰三角形中常用的辅助线

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 一、知识点回顾 等腰三角形的性质：

△ABC 中，AB=AC ．点D 在BC 边上

（1）∵AB=AC ， ∴∠_____=∠______；（即性质1）

（2）∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ，∴_______=________；________⊥_________；（即性质2） （3）∵AB=AC ，AD 是中线，∴∠______=∠______；________⊥________；（即性质2）

（4）∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴∠________=∠_______；_______=_______．（即性质2） 等腰三角形的判定：△ABC 中，∵∠B=∠C ∴_____=_____． 二、基础题

第1题. 已知等腰三角形的一个内角为80°，则它的另两角为________________．

第2题. 在△ABC 中， ∠ABC =∠C =2∠A ，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC ，则图中等腰三角形的个数是（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

第3题. 如图1，△MNP 中， ∠P =60°，MN =NP ，MQ ⊥PN ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取NG=NQ ，若△MNP 的周长为12，MQ =a ，则△MGQ 周长是（ ）

图1 图2

图3 图4

A ．8+2a

B ．8+a

C ．6+a

D ．6+2a 第4题. 如图2，O 是△ABC 中∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，OD ∥AB 交BC 于D ，O

E ∥AC 交BC 于E 点，若BC =10cm ，那么△ODE 的周长为（ ） A ．8cm B ．9cm C ．10cm D ．11cm

第5题. 如图

3，已知: P ，Q 是△ABC 边上BC 上的两点，且BP =PQ =QC =AP =AQ ，求∠BAC 的度数． 第6题. 等腰三角形底边中点与一腰的距离为6，则腰上的高为______．

第7题. 如图4，DE 是线段BC 垂直平分线上两点，连DB 、DC 、EB 、EC ，则∠DBC 与∠DCB 的关系是________，∠DBE 与∠DCE 的关系是________．

第8题. 等腰三角形底角的外角比顶角的外角大30°，则这个三角形各内角度数是________．

A O C

B E D

P Q M N G

E D

B C

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第9题. 等腰三角形有一个角是50°，那么其他两个角的度数是____________． 第10题. 如图5，AB =AC ，FD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若∠AFD=145°，则∠EDF =______． 图5 图6

第11题. 如图6，,ABC 是等腰三角形，D 为BC 上一点，DE ∥AB 且交AC 于E ，请判断△EDC 是什么三角形?并说明理由．

第12题. 如图7，已知AE 平分∠DAC ，AE ∥BC ，那么AB =AC 吗?请简要说明理由．

图7 图8 图9 第13题. 如图8，PQ 为Rt △MPN 斜边上的高， ∠M =45°，则图中等腰三角形的个数是（ ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

第14题. 等腰三角形的两边长为3和6，则这个三角形的周长为（ ）

A ．9

B ．12

C ．15

D ．12或1

第15题. 如图9，在△ABC 中，AB =AC ， ∠A =50°，P 是△ABC 内一点， ∠PCB =∠PCA ，且∠PBC =∠PBA ，则∠BPC 度数为（ ） A ．115°

B ．100°

C ．130°

D ．140°

第16题. 下列命题正确的个数是（ ）

①如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边;②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段，那么延长线段的两个端点与顶点距离相等;③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等;④等腰三角形高上一点到底边的两端点距离相等． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

第17题. 等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ） A ．42° B ．60° C ． 36° D ． 46°

第18题. 等边三角形两条角平分线所夹锐角的度数是（ ）

A ．120°

B ． 150°

C ．60°

D ．90°

第19题. 如图10，∠ABC 中，AD ⊥BC ，AB =AC ， ∠BAD =30°，且AD =AE ，则∠EDC 等于（ ） A ．10° B ．12．5° C ．15° D ． 20°

图10 图11 图12

第20题. 如图11，△ABC 中，点D 在AC 上，且AB =AD ， ∠ABC =∠C +30°，则∠CBD 等于（ ） A ．15° B ． 18°

C ． 20°

D ． 22.5°

第21题. 已知:如图12，AB =AC ，BD ⊥AC ，请探索∠DBC 与∠A 的关系并说明理由．

第22题. 如果一个三角形的一条边上的中点到其他两边的距离相等，那么它一定是（ ）

A ．等边三角形

B ．等腰三角形

C ．不等边三角形

D ．不等腰钝角三角形

第23题. 如下图，在△ABC 中，AB =AC ， ∠A =36°，BD 、CE 分别

是∠ABC 、∠ACB 的平分线，则图中等腰三角形的个数为（ ） A ．12 B ．10 C ．9

D ．8

第24题. 一个等腰三角形的一个内角为90°，那么这个等腰三角形的一个底角为（ ） A ．90° B ． 45° C ． 50° D ． 22.5°

第25题. 等腰三角形的两条边长分别为15cm 和7cm ，则它的周长为（ ） A ．37cm

B ．29cm

C ．37cm 或29cm

D ．无法确定 第26题. △ABC 中，∠ACB =90°，D

E 是AB 的

垂直平分线，且∠BAD ∶∠CAB =1∶3，则∠B 等于_______度． 第27题. 已知Rt △ABC 是轴对称图形，且∠C ＝90°， 那么∠B ＝_____度，∠A ＝______度；点A 的对应点是______， 点C 的对应点是_______．

第28题. 在△ABC 中，边AB 、BC 的垂直平分线相交于点P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是_________ 第29题. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是BC 边上的两点， 且满足AD ＝AE =BD =CE ，则图中与∠B 相等的角有________个角，

分别是________________________． 图中全等的三角形有___对，分别是_____________________________

第30题. 已知线段a ，b （a >2b ），以a 、b 为边作等腰三角形，则（ ） A ．只能作以a 为底边的等腰三角形 B ．只能作以b 为底边的等腰三角形 C ．可以作分别以a 、b 为底的等腰三角形 D ．不能作符合条件的等腰三角形

第31题. 如图，在△ABC 中，BC =5 cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD ∥AB ，PE ∥

AC ，则△PDE 的周长是___________ cm.

第32题如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，则对△ADE 的形状最准备的判 断（ ）

A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．不等边三角形

D ．不能确定形状

二、解答题

1．如图，已知AB=AC ，E 、D 分别在AB 、AC 上，BD 与CE 交于点F ，?且∠ABD=?∠ACE ，

求证：BF=CF ．

2．如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，?

求证：△DBE 是等腰三角形．

3. 如图, 已知：点D,E 在△ABC 的边BC 上,AB=AC,AD=AE.求证：BD=CE

4. 如图：△ABC 中,AB=AC,PB=PC ．求证：AD ⊥BC

5. 已知：如图,BE 和CF 是△ABC 的高线,BE=CF,H 是CF 、BE 的交点．求证：HB=HC

A D

E C

B

O

A

B C

D

E

A D

C

B

E

P

A

C

B

E D C

A B

F