1.7.2定积分在物理中的应用教学设计
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我们知道,作变速直线运动的物体所经过的路程s ,等于其速度函数)(t v v = (0)(≥t v ) 在时间区间[a,b]上的定积分,即⎰
=
b
a
dt t v s )(。试回答下面的问题:
问题1:当0)(≥t v 时,路程和位移是否相同?能否直接用定积分来求? 问题2:当0)( a dt t v )(表示的是路程吗?如果不是, 那它表示的是什么? 问题3:如果定积分 ⎰b a dt t v )(表示的不是路程,应该怎么求路程? 问题4:如果在区间[a,b]上,速度有正有负,比如,当],[c a t ∈ 时,0)(≥t v ;当],[b c t ∈时,0)( 又应该怎么求路程? 情境二:通过以上的探索,你是如何认识变速直线运动的路程和位移这两个物理量的?(小组讨论,最后形成结论后,由小组代表阐述本组最终观点,跟其它各组比较,体会相互沟通、交流的乐趣和必要性) 问题1:用定积分解决变速直线运动的路程和位移问题时的关键是什么?(分清物体的运动状态,明确运动状态改变的“节点”) 总结:求变速直线运动的路程s 和位移1s 的方法: (1)若)(0)(b t a t v ≤≤≥,则⎰ ==b a dt t v s s )(1; (2)若)(0)(b t a t v ≤≤≤,则⎰ - =b a dt t v s )(;⎰=b a dt t v s )(1。 (3)若在区间],[c a 上0)(≥t v ,在区间],[b c 上0)( -= b c c a dt t v dt t v s )()(,⎰=b a dt t v s )(1 对于给出速度—时间曲线的问题,关键是由图像得到速度的解析式及积分的上、下限,若是分段函数,则需要先分别求出各段上的路程,然后再求和。 例1:一辆汽车的速度—时间曲线如图所示,求汽车在这1分钟内行驶的路程。 情境三: 变力作功 一物体在恒力F (单位:N )的作用下做直线运动,如果物体沿着与F 相同的方向移(单位:m),则力F 所作的功为W=Fs .如果物体在变力 F(x )的作用下做直线运动,并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a 与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样,可以用“四步曲”解决变力做功的问题。可以得到 ⎰=b a dx x F W )( 例2:如图,在弹性限度内,将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处,求克服弹力所 作的功. 解:在弹性限度内,拉伸(或压缩)弹簧所需的力 F ( x )与弹簧拉伸(或压缩)的长度 x 成正比,即 F ( x )= kx , 其中常数 k 是比例系数.由变力作功公式,得到 22 0011|()22 l l W kxdx x kl J == =⎰ 答:克服弹力所作的功为2 12kl J . 总结: (1)求变力做功,要根据物理学的实际意义,求出变力F 的表达式,这是求功的关键。 (2)由功的物理意义,已知物体在变力)(x F 的作用下,沿力)(x F 的方向做直线运动,使物体从a x =移到b x = (b a <)。因此,求功之前还应求出位移的起始位置和终止位置。 (3)根据变力做功公式⎰= b a dx x F W )( 即可求出变力)(x F 所做的功。 情境四:定积分在物理上的综合应用 【课堂练习】: 1.A 、B 两站相距7.2km ,一辆电车从A 站B 开往站,电车开出ts 后到达途中C 点,这一段的速度为1.2t(m/s),到C 点的速度为24m/s ,从C 点到B 点前的D 点以等速行驶,从D 点开始刹车,经ts 后,速度为(24-1.2t )m/s ,在B 点恰好停车,试求:(1)A 、C 间的距离;(2)B 、D 间的距离;(3)电车从A 站到B 站所需时间。 t/s v(m/s) O A B C 10 40 60 50 20 30 30 20 10 2.直径为20cm ,高为80cn 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2 的蒸气,设温度保持不变,要使蒸气的体积缩小为原来的一斗,求需要做多少功? 习题设计: 1.一质点沿直线以23+=t v (t 的单位:s ;v 的单位:m/s )的速度运动,则该质点在第3a 到第6s 间的运动路程为( )A.46m B.46.5m C.87m D.47m (知识点1,易) 2.一物体在力523)(2 +-=x x x F (力的单位:N ;位移的单位:m )作用下沿与力)(x F 相同的方向由m x 5=直线运动到m x 10=处,作用力)(x F 所做的功为( ) A.925J B.850J C.825J D.800J (知识点2,易) 3.一物体以)/(83)(2 s m t t t v +-=的速度运动,则其在前30s 内的平均速度为 (知识点3,中) 4.有一动点P 沿x 轴运动,在时间t 时的速度为2 28)(t t t v -=(速度的正方向与x 轴的正方向一致)求:(1)点P 从原点出发,当6=t 时,求点P 离开原点的路程和位移; (2)点P 从原点出发经时间t 后又返回原点时的t 值。 (知识点1,中) 5.一物体在力2 315)(x x F -=(力的单位:N ;位移的单位:m )作用下沿与力)(x F 成 30角的方向由1=x 直线运动到2=x 处,作用力)(x F 所做的功为( ) (知识点2,难) A. J 3 B. J 32 C. J 34 D. J 2 3