北邮离散数学期末复习题[1]1
离散数学期末复习题
第一章集合论
一、判断题
(1)空集是任何集合的真子集. ( 错 )
(2){}φ是空集. ( 错 )
(3){}{}a a a },{∈ ( 对 )
(4)设集合{}
{}{}{}A A 22,1,2,1,2,1?=则. ( 对 ) (5)如果B A a ??,则A a ?或B a ?. ( 错 )
解 B A a ??则B A B A a ?=?∈,即A a ∈且B a ∈,所以A a ?且B a ?
(6)如果A ∪.,B A B B ?=则 ( 对 )
(7)设集合},,{321a a a A =,},,{321b b b B =,则
},,,,,{332211><><><=?b a b a b a B A ( 错 )
(8)设集合}1,0{=A ,则}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ是A 2到A 的关
系. ( 对 )
解 A
2}},1{},0{,{A φ=, =?A A 2}1,,0,,1},1{,0},1{,1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><><><><> (9)关系的复合运算满足交换律. ( 错 ) (10).条件具有传递性的充分必要上的关系是集合ρρρρA = ( 错 ) (11)设.~,上的传递关系也是则上的传递关系是集合A A ρρ ( 对 ) (12)集合A 上的对称关系必不是反对称的. ( 错 ) (13)设21,ρρ为集合A 上的等价关系, 则21ρρ?也是集合A 上的等价关系( 对 ) (14)设ρ是集合A 上的等价关系, 则当ρ>∈ (15)设21,ρρ为集合 A 上的等价关系, 则 ( 错 ) 二、单项选择题 (1)设R 为实数集合,下列集合中哪一个不是空集 ( A ) A. {}R x x x ∈=-且,01|2 B .{}R x x x ∈=+且,09|2 C. {}R x x x x ∈+=且,1| D. {} R x x x ∈-=且,1|2 (2)设B A ,为集合,若φ=B A \,则一定有 ( C ) A. φ=B B .φ≠B C. B A ? D. B A ? (3)下列各式中不正确的是 ( C ) A. φφ? B .{}φφ∈ C. φφ? D. {}}{,φφφ∈ (4)设{}}{,a a A =,则下列各式中错误的是 ( B ) A. {}A a 2∈ B .{}A a 2? C. {}A a 2}{∈ D. {}A a 2}{? (5)设{}2,1=A ,{}c b a B ,,=,{}d c C ,=,则)(C B A ?为 ( B ) A. {}><> C. {}><><2,,,1c c D. {}><><2,,1,c c (6)设{}b A ,0=,{}3,,1b B =,则B A 的恒等关系为 ( A ) A. {}><><><><3,3,,,1,1,0,0b b B .{}><><><3,3,1,1,0,0 C. {}><><><3,3,,,0,0b b D. {}><><><><0,3,3,,,1,1,0b b (7)设{}c b a A ,,=上的二元关系如下,则具有传递性的为 ( D ) A. {}><><><><=a b b a a c c a ,,,,,,,1ρ B . {}><><=a c c a ,,,2ρ C. {}><><><><=c b a b c c b a ,,,,,,,3ρ D. {}><=a a ,4ρ (8)设ρ为集合A 上的等价关系,对任意A a ∈,其等价类[]ρa 为 ( B ) A. 空集; B .非空集; C. 是否为空集不能确定; D. }|{A x x ∈. (9)映射的复合运算满足 ( B ) A. 交换律 B .结合律 C. 幂等律 D. 分配律 (10)设A ,B 是集合,则下列说法中( C )是正确的. A .A 到 B 的关系都是A 到B 的映射 B .A 到B 的映射都是可逆的 C .A 到B 的双射都是可逆的 D .B A ?时必不存在A 到B 的双射 (11)设A 是集合,则( B )成立. A .A A #2 2#= B .A X X A ??∈2 C .{}A 2∈φ D .{}A A 2∈ (12)设A 是有限集(n A =#),则A 上既是≤又是~的关系共有( B ). A .0个 B .1个 C .2个 D .n 个 三、填空题 1. 设}}2,1{,2,1{=A ,则=A 2____________. 填}}},2,1{,2{}},2,1{,1{},2,1{}},2,1{{},2{},1{,{2A A φ= 2.设}}{,{φφ=A ,则A 2= . 填}}},{{},{,{2A A φφφ= 3.设集合B A ,中元素的个数分别为5#=A ,7#=B ,且9)(#=?B A , 则集合B A ?中元素的个数=?)(#B A .3 4.设集合}4,1001|{Z x x x x A ∈≤≤=的倍数,是, }5,1001|{Z x x x x B ∈≤≤=的倍数,是,则B A 中元素的个数为 .40 5.设 },{b a A =, ρ 是 A 2 上的包含于关系,,则有 ρ= . },,},{,}{},{,},{,}{},{,,,}{,,}{,,,{><><><><><><><><> 6.设21,ρρ为集合 A 上的二元关系, 则=21ρρ .~1~2ρρ 7.集合A 上的二元关系ρ为传递的充分必要条件是 .ρρρ? 8. 设集合{}{}><><==0,2,2,02,1,01ρ上的关系A 及集合A 到集合{}4,2,0=B 的关系=2ρ{><><><>< 四、解答题 1. 设 A d c b a A },,,,{=上的关系 },,,,,,,,,,,,,,,{><><><><><><><><=c d d c a b b a d d c c b b a a ρ (1)写出ρ的关系矩阵; (2)验证ρ是A 上的等价关系; (3)求出A 的各元素的等价类。 解 (1)ρ的关系矩阵为 ??????? ? ?=1100110000110011ρM (2)从ρ的关系矩阵可知:ρ是自反的和对称的。 又由于 ρρρM M M ≤?????? ? ??=??????? ????????? ??=110011000011001111001100001100111100110000110011 或ρρρ= 满足ρρρ? 所以ρ是传递的。 因为ρ是自反的、对称的和传递的,所以ρ是A 上的等价关系。 (3) },{][][b a b a ==,},{][][d c d c == 2. 设集合}36,24,12,8,6,3,2,1{=A ,ρ是A 上的整除关系, (1) 写出ρ的关系矩阵ρM ; (2) 画出偏序集><ρ,A 的哈斯图; (3) 求出A 的子集}6,3,2{=B 的最小上界和最大下界。 解:(1)???????????? ? ? ?=1000000001000000 1110000001010000 111010001110110011111010 11111111ρM (2) (3)lubB=6, glbB=1 五、证明题 1. 设21,ρρ为集合A 上的等价关系, 试证21ρρ?也是集合A 上的等价关系。 证明:由于21,ρρ是自反的,所以对任意A a ∈,21,,,ρρ>∈<>∈ 21,ρρ?>∈ 若21,ρρ?>∈∈<>∈ 以21,,,ρρ>∈<>∈∈ 若2 1,,,ρρ?>∈<> 21,,,ρρ>∈<>∈ 由于21ρρ?是自反的、对称的和传递的,所以21ρρ?是等价关系。 第二章 代数系统 一、判断题 (1)集合A 上的任一运算对A 是封闭的. ( 对 ) (2)代数系统的零元是可逆元. ( 错 ) (3)设A 是集合,A A A →?: ,b b a = ,则 是可结合的. ( 对 ) (4)设b a ,是代数系统?? ,A 的元素,如果e e a b b a (== 是该代数系统的单位元),则.1b a =- ( 对 ) (5)设.)(,,,111---?=????b a b a G b a 则的元素是群 ( 错 ) (6)设>?<,G 是群.如果对于任意G b a ∈,,有 2 22)(b a b a ?=?,则>?<,G 是阿贝尔群. ( 对 ) (7)设.,,,满足幂等律 则运算是格∨∧?∨?L ( 对 ) (8)设集合},{b a A =,则>??<,},},{},{,{A b a φ是格. ( 对 ) (9)设>∧∨<,,,B 是布尔代数,则>∧∨<,,B 是格. ( 对 ) 二、单项选择题 (1)在整数集Z 上,下列哪种运算是可结合的 ( B ) A. b a b a -= B .},max{ b a b a = C. b a b a 2+= D. ||b a b a -= (2)下列定义的实数集R 上的运算 * 中可结合的是. ( C ) A .b a a b a ?+=* B .b a a b a ?+=*2 C .b b a =* D .b a b a +=* 其中,+,·,︱ ︱分别为实数的加法、乘法和取绝对值运算. (3)设集合{}10,,4,3,2,1 =A ,下面定义的哪种运算关于集合A 不是封闭的 ( D ) A. },max{y x y x = B . },min{y x y x = C. },{GCD y x y x = ,即y x ,的最大公约数 D. },{LCM y x y x = ,即y x ,的最小公倍数 (4)下列哪个集关于减法运算是封闭的 ( B ) A. N (自然数集); B .)}(|2{整数集Z x x ∈; C. }|12{Z x x ∈+; D. }|{是质数x x . (5)设Q 是有理数集,在Q 定义运算*为ab b a b a -+=*,则*,Q 的单位元 为 ( D ) A. a ; B .b ; C. 1; D. 0 (6)设代数系统?A ,·?,则下面结论成立的是. ( C ) A .如果?A ,·?是群,则?A ,·?是阿贝尔群 B .如果?A ,·?是阿贝尔群,则?A ,·?是循环群 C .如果?A ,·?是循环群,则?A ,·?是阿贝尔群 D .如果?A ,·?是阿贝尔群,则?A ,·?必不是循环群 (7)循环群+,Z 的所有生成元为 ( D ) A. 1,0 B .-1,2 C. 1,2 D. 1,-1 三、填空题 1. 设A 为非空有限集,代数系统>< ,2A 中,A 2对运算 的单位元为 ,零元 为 .填A ,φ 2.代数系统>+<,Z 中(其中Z 为整数集合,+为普通加法),对任意的I x ∈,其=-1x .填x - 3.在整数集合Z 上定义 运算为b a b a ++=2 ,则>< ,Z 的单位元为 . 解 设单位元为e ,a e a e a =++=2 ,所以2-=e , 又a a a a a a =++-=-=-++=-2)2()2(,)2(2)2( ,所以单位元为2-=e 4.在整数集合Z 上定义 运算为ab b a b a -+= ,则>< ,Z 的单位元为 . 解设单位元为e ,a ae e a e a =-+= ,0)1(=-e a ,所以0=e 5.设?,G 是群,对任意G c b a ∈,,,如果,c a b a ?=?,则 .填c b = 6.设?,G 是群,e 为单位元,若G 元素a 满足a a =2 ,则=a .填e 四、解答题 1.设 为实数集R 上的二元运算,其定义为 ab b a b a R R 2,:2++=→ ,对于任意R b a ∈, 求运算 的单位元和零元。 解:设单位元为e ,则对任意R a ∈,有a ae e a e a =++=2 , 即 0)21(=+a e ,由a 的任意性知 0=e , 又对任意R a ∈,a a a =++=000 ;a a a =++=000 所以单位元为0 设零元为θ,则对任意R a ∈,有θθθθ=++=a a a 2 , 即 0)21(=+θa ,由a 的任意性知 21- =θ 又对任意R a ∈,2121)21(-=-- =-a a a ,2121)21(-=-+-=-a a a 所以零元为 2 1- 2. 设 为集合}4,3,2,1,0{5=I 上的二元运算,其定义为 5mod )(,:52 5ab b a I I =→ ,对于任意5,I b a ∈ (1) 写出运算 的运算表; (2) 说明运算 是否满足交换律、结合律,是否有单位元和零元、如果有请指出; (3) 写出所有可逆元的逆元 解:(1)运算表为 (2)运算 满足交换律、结合律,有单位元,单位元为1,有零元,零元为0; (3)1的逆元为1,2的逆元为3,3的逆元为2,4的逆元4,0没有逆元 五、证明题 1. 设 >< ,G 是一个群,试证 G 是交换群 当且仅当对任意的G b a ∈, ,有 222)(b a b a = . 证明:充分性 若在群>< ,G 中,对任意的G b a ∈, ,有222)(b a b a = . 则 )()()()(b a b a b b a a = b a b a b b a a )()(= a b b a = 从而 >< ,G 是一个交换群。 必要性 若>< ,G 是一个交换群,对任意的G b a ∈, ,有a b b a =,则 b a b a b b a a )()(= )()()()(b a b a b b a a = 即2 22)(b a b a =. 2. 证明代数系统>< ,Z 是群,其中二元运算 定义如下: :Z Z →2,3-+=y x y x (这里,+,-分别是整数的加法与减法运算.) 证明 (1)运算满足交换律 对任意∈z y x ,,Z ,由 ,6)3()(-++=-+=z y x z y x z y x 6)3()(-++=-+=z y x z y x z y x 即得),()(z y x z y x =满足结合律; (2)有单位元 3是单位元; (3)任意元素有逆元 对任意∈x Z ,?-=-,.61所以x x Z ,? 是群. 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 第三章 图论 一、判断题 (1)n 阶完全图的任意两个不同结点的距离都为1. ( 对 ) (2)图G 的两个不同结点j i v v ,连接时一定邻接. ( 错 ) (3)图G 中连接结点.,,之间的短程的初级通路为j i j i v v v v ( 错 ) (4)在有向图中,结点i v 到结点j v 的有向短程即为j v 到i v 的有向短程. ( 错 ) (5)强连通有向图一定是单向连通的. ( 对 ) (6)不论无向图或有向图,初级回路一定是简单回路. ( 对 ) (7)设图G 是连通的,则任意指定G 的各边方向后所得的有向图是弱连通的. ( 对 ) (8)有生成树的无向图是连通的. (对) (9)下图所示的图是欧拉图. ( 错 ) (10)下图所示的图有哈密尔顿回路. ( 对 ) 二、单项选择题 (1)仅由孤立点组成的图称为 ( A ) A. 零图; B .平凡图; C. 完全图; D. 多重图. (2)仅由一个孤立点组成的图称为 ( B ) A. 零图; B .平凡图; C.多重图; D. 子图. (3)在任何图G 中必有偶数个 ( B ) A. 度数为偶数的结点; B .度数为奇数的结点; C. 入度为奇数的结点; D. 出度为奇数的结点. (4)设G 为有n 个结点的无向完全图,则G 的边数为 ( C ) A. )1(-n n B .)1(+n n C. 2)1(-n n D. 2)1(-n (5)在有n 个结点的连通图G 中,其边数 ( B ) A. 最多1-n 条; B .至少1-n 条; C. 最多n 条; D. 至少n 条. (6)任何无向图G 中结点间的连通关系是 ( B ) A. 偏序关系; B .等价关系; C. 既是偏序关系又是等价关系; D. 既不是偏序关系也不是等价关系. (7)对于无向图,下列说法中正确的是. ( B ) A .不含平行边及环的图称为完全图 B .任何两个不同结点都有边相连且无平行边及环的图称为完全图 C .具有经过每条边一次且仅一次回路的图称为哈密尔顿图 D .具有经过每个结点一次且仅一次回路的图称为欧拉图 (8)设D 是有向图,则D 强连通的充分必要条件为. ( C ) A .略去D 中各边方向后所得到的无向图是连通的 B .D 是单向连通图,且改变它的各边方向后所得到的有向图也是单向连通图 C . D 的任意两个不同的结点都可以相互到达 D .D 是完全图 (9)对于无向图G ,以下结论中不正确的是. ( A ) A .如果G 的两个不同结点是连接的,则这两个结点之间有初级回路 B .如果G 的两个不同结点是连接的,则这两个结点之间至少有一条短程 C .如果G 是树,则任何两个不同结点之间有且仅有一条初级通路 D .如果G 是欧拉图,则G 有欧拉回路 三、填空题 1. 设树T 中有7片树叶,3个3度结点,其余都是4度结点,则T 中有 个4度结点. 解 用握手定理和树的性质列出方程求解,设有x 个4度结点, )137(2497-++=++x x ,1=x 2.设>= 3.n 阶完全图的任意两个不同结点的距离都为 .1 4.图G 为n 阶无向完全图,则G 共有 条边。2/)1(-n n 5.设G 为),(m n 图,则图中结点度数的总和为 。m 2 6. 图G 为欧拉图的充分必要条件是_____________________. G 为无奇度结点的连通图 四、解答题 1. 对下图所示的图G ,求 (1)G 的邻接矩阵A ; (2)G 的结点31,v v 之间长度为3的通路; (3)G 的连接矩阵C ; (4)G 的关联矩阵M 。 解 (1) A =.000011100111011 1010101110543215 4321?? ?? ? ?? ? ??v v v v v v v v v v (2) 因为 A 2=,2112111221114221223121213???????? ?? A 3=,7???????? ???? ?? ?????? ?? ??? ?? ????? ?? 所以,结点31,v v 之间长度为3的通路共有7条,它们是 . ,,,, ,,3431323135313141312135213131v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v (3)由于图G 是连通的,所以 54321v v v v v C =.111111111111111111111111154321?? ??? ?? ? ??v v v v v (4) 7654321e e e e e e e M =.110000000110000110110 1000011000110154321?? ?? ? ?? ? ??v v v v v 2. 在下面的有向图D 中,回答下列问题 (1)写出图D 的邻接矩阵A ; (2)写出结点1v 到结点3v 的长度为3的所有有向通路; (3)写出结点5v 到自身的长度为3的所有有向回路; 解:(1)???????? ? ?=01010100000110000101 10000A (2)???????? ??=10101010101110011100 010102A ??????? ? ??=12110101011211012110101013A 所以结点1v 到结点3v 的长度为3的所有有向通路只有一条: 3251v v v v (3)结点5v 到自身的长度为3的所有有向回路只有一条:5125v v v v 3.在下面的无向图G 中,回答下列问题 a e d b c (1)写出d a ,之间的所有初级通路; (2)写出d a ,之间的所有短程,并求),(d a d ; (3)判断无向图G 是否为欧拉图并说明理由。 解(1)d a ,之间的所有初级通路共有7条,分别为 aed ,aecd ,aebcd ,abed ,abcd ,abecd ,abced (2)d a ,之间的长度最短的通路只有1条,即aed ,因而它是d a ,之间 唯一的短程,2),(=d a d (3)由于无向图G 中有两个奇度顶点3)deg(,3)deg(==c b ,所以无向图G 没有欧 拉回路,因而不是欧拉图。 第四章 数理逻辑 一、判断题 (1)“如果8+7>2,则三角形有四条边”是命题. ( 对 ) (2)设Q P ,都是命题公式,则Q P ?也是命题公式. ( 错 ) (3)命题公式Q P ,的真值分别为0,1,则Q P →的真值为0 (以上是在对Q P ,所包含的命题变元的某个赋值下). ( 错 ) (4)设:,1963:q p 年他生于他生于1964年,则命题“他生于1963年或1964年”可以符号化为.q p ∨ ( 对 ) (5)设P ,Q 都是命题公式,则.1?→?Q P Q P 的充分必要条件为( 对 ) (6)逻辑结论是正确结论. ( 错 ) (9)设C B A ,,都是命题公式,则 )()(C A C B A →→?∨∨ 也是命题公式. ( 对 ) (10)命题公式Q P ,的真值分别为0,1,则Q P ?的真值为0 (以上是在对Q P ,所包含的命题变元的某个赋值下). ( 对 ) 二、单项选择题 (1)下面哪个联结词不可交换 ( B ) A. ∧; B .→; C.∨; D.? . (2)命题公式q q p p →→∧))((是 ( C ) A. 永假式; B .非永真式的可满足式; C. 永真式; D. 等价式. (3)记:p 他懂法律,:q 他犯法,则命题“他只有懂法律,才不会犯法”可符号化为( B ). A .q p ?→ B .p q →? C .p q ?→ D .q p → (4)下列命题中假命题是( B ). A .如果雪不是白的,则太阳从西边出来 B .如果雪是白的,则太阳从西边出来 C .如果雪不是白的,则太阳从东边出来 D .只要雪不是白的,太阳就从西边出来 (5)设A ,B 都是命题公式,则A →B 为可满足式是B A ?的( B ). A .充分而非必要条件 B .必要而非充分条件 C .充分必要条件 D .既非充分又非必要条件 三、填空题 1.设:p 天气很冷,:q 老王还是来了,则命题“虽然天气很冷, 但老王还是来了”符号化为 .q p ∧ 2.设:p 天下雨,:q 我骑自行车上班,则命题“如果天不下雨, 我就骑自行车上班”符号化为 .q p →? 3. 设q p ,的真值为0,s r ,的真值为1,则命题公式)()(s q r p ∨?∧?的真值为 .0 4.设q p ,的真值为0,r 的真值为1,则命题公式)(r q p ∧∨的真值为 .0 离散数学考试试题(A 卷及答案) 一、(10分)求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解:(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、(10分)在某次研讨会的休息时间,3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断: 甲说:王教授不是苏州人,是上海人。 乙说:王教授不是上海人,是苏州人。 丙说:王教授既不是上海人,也不是杭州人。 王教授听后说:你们3人中有一个全说对了,有一人全说错了,还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人? 解 设设P :王教授是苏州人;Q :王教授是上海人;R :王教授是杭州人。则根据题意应有: 甲:?P ∧Q 乙:?Q ∧P 丙:?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以,丙至少说对了一半。因此,可得甲或乙必有一人全错了。又因为,若甲全错了,则有?Q ∧P ,因此,乙全对。同理,乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为: ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此,王教授是上海人。 三、(10分)证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系,则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系,则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )='R ,进而有tsr (R )?t ('R )='R 。 离散数学考试题(后附详细答案) 一、命题符号化(共6小题,每小题3分,共计18分) 1.用命题逻辑把下列命题符号化 a)假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。 设P表示命题“上午下雨”,Q表示命题“我去看电影”,R表示命题“在家里读书”,S表示命题“在家看报”,命题符号化为:(PQ)(PRS) b)我今天进城,除非下雨。 设P表示命题“我今天进城”,Q表示命题“天下雨”,命题符号化为:Q→P或P→Q c)仅当你走,我将留下。 设P表示命题“你走”,Q表示命题“我留下”,命题符号化为:Q→P 2.用谓词逻辑把下列命题符号化 a)有些实数不是有理数 设R(x)表示“x是实数”,Q(x)表示“x是有理数”,命题符号化为: x(R(x) Q(x)) 或x(R(x) →Q(x)) b)对于所有非零实数x,总存在y使得xy=1。 设R(x)表示“x是实数”,E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为: x(R(x) E(x,0) →y(R(y) E(f(x,y),1)))) c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B,使得f(a)=b. 设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为:F(f)a(A(a)→b(B(b) E(f(a),b) c(S(c) E(f(a),c) →E(a,b)))) 二、简答题(共6道题,共32分) 1.求命题公式(P→(Q→R))(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式,并写出所有成真赋值。 (5分) (P→(Q→R))(R→(Q→P))(PQR)(PQR) ((PQR)→(PQR)) ((PQR) →(PQR)). ((PQR)(PQR)) ((PQR) (PQR)) (PQR)(PQR) 这是主合取范式 公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为 (PQR(PQR(PQR(PQR(PQR(PQR 2.设个体域为{1,2,3},求下列命题的真值(4分) a)xy(x+y=4) b)yx (x+y=4) a) T b) F 3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。(4分) x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x)) x(F(x)→G(x))→(yF(y)→zG(z)) x(F(x)→G(x))→yz(F(y)→G(z)) xyz((F(x)→G(x))→(F(y)→G(z))) 4.判断下面命题的真假,并说明原因。(每小题2分,共4分) 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?},则-A ? = ( ),-A {?} = ( ),)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素,则A 上的二元关系有( )个,其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ,对于其上的整除关系“|”,元素( )不存在补元. 5.当n ( )时,n 阶完全无向图n K 是平面图,当当n 为( )时,n K 是欧拉图. 二.1. 若n B m A ==||,||,则=?||B A ( ),A 到B 的2元关系共有( )个,A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)},则( )是单射,( )是满射,( )是双射. 3. 下列5个命题公式中,是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(; (2))(q p p ∨→; (3))(q p p ∧→; (4)q q p p →∨∧?)(; (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合,“|”是其上的整除关系,则3的补元( ),4的补元( ),6的补元( ). 5. 设G 是(7, 15)简单平面图,则G 一定是( )图,且其每个面恰由( )条边围成,G 的面数为( ). 离散数学试题(A卷答案) 一、(10分)求(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))的主析取范式 解:(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))??(?( P∨Q))∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R) ? M∧1M ? m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m 2 二、(10分)在某次研讨会的休息时间,3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断: 甲说:王教授不是苏州人,是上海人。 乙说:王教授不是上海人,是苏州人。 丙说:王教授既不是上海人,也不是杭州人。 王教授听后说:你们3人中有一个全说对了,有一人全说错了,还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人? 解设设P:王教授是苏州人;Q:王教授是上海人;R:王教授是杭州人。则根据题意应有: 甲:?P∧Q 乙:?Q∧P 丙:?Q∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以,丙至少说对了一半。因此,可得甲或乙必有一人全错了。又因为,若甲全错了,则有?Q ∧P,因此,乙全对。同理,乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为: ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此,王教授是上海人。 三、(10分)证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系,则由定理4.19知,tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系,则由闭包的定义知r (R )?'R 。由定理4.15和由定理4.16得sr (R )?s ('R )='R ,进而有tsr (R )?t ('R )='R 。 综上可知,tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 四、(15分)集合A ={a ,b ,c ,d ,e }上的二元关系R 为R ={,,,,,,,, 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?},则-A ? = ( ),-A {?} = ( ), )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素,则A 上的二元关系有( )个,其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ,对于其上的整除关系“|”,元素( )不存在补元. 5.当n ( )时,n 阶完全无向图n K 是平面图,当当n 为( )时,n K 是欧拉图. 二.1. 若n B m A ==||,||,则=?||B A ( ),A 到B 的2元关系共有( )个,A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)},则( )是单射,( )是满射,( )是双射. 3. 下列5个命题公式中,是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(; (2))(q p p ∨→; (3))(q p p ∧→; (4)q q p p →∨∧?)(; (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合,“|”是其上的整除关系,则3的补元( ),4的补元( ),6的补元( ). 常熟理工学院20 ~20 学年第学期 《离散数学》考试试卷(试卷库01卷) 试题总分: 100 分考试时限:120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题(每题2分,共20分) 1.下列表达式正确的有( ) (A)(B)(C)(D) 2.设P:2×2=5,Q:雪是黑的,R:2×4=8,S:太阳从东方升起,下列( )命题的真值为 真。 (A)(B)(C)(D) 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={ 1.n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2.设〈L,≤〉为有界格,a为L中任意元素,如果存在元素b∈L,使,则称b是a 的补元。 3.设*,Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算,如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4.设T是一棵树,则T是一个连通且的图。 5.一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6.量词否定等价式? ("x)P(x) ?,? ($x)P(x) ?。 7.二叉树有5个度为2的结点,则它的叶子结点数为。 8.设 《离散数学》试卷(A 卷) 一、 选择题(共5 小题,每题 3 分,共15 分) 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3,则4+5=9; B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3,则4+5≠9; D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时,下列公式( C )不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质( B )。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是( D )。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题(共 5 小题,每题 3 分,共15 分) 1、设|A|=4,|P(B)|=32,|P(A ?B)|=128,则|A ?B|=??2???. 2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?,其中)(x P :x=1, )(x Q :x=2,当论域为{0,1,2}时,其真值为???1???。 4、设A ={1,2,3,4},则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ={a ,b ,c },B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题(对的填T ,错的填F ,共 10 小题,每题 1 分,共计10 分) 1、“这个语句是真的”是真命题。 ( F ) 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 ( F ) 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 ( T ) 4、)(T S R T R S R ??????。 ( F ) 5、恒等关系具有自反性,对称性,反对称性,传递性。 ( T ) 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 ( T ) 7、若g f ?是满射,则g 是满射。 ( F ) 8、若A B ?,则)()(A P B P ?。 ( T ) 9、若R 具有自反性,则1-R 也具有自反性。 ( T ) 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 (F ) 四、计算题(共 3 小题,每题 10 分,共30 分) 1、调查260个大学生,获得如下数据:64人选修数学课程,94人选修计算机课程,58人选修商贸课程,28人同时选修数学课程和商贸课程,26人同时选修数学课程和计算机课程,22人同时选修计算机课程和商贸课程,14人同时选修三门课程。问 (1)三门课程都不选的学生有多少? (2)只选修计算机课程的学生有多少? 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统,其中A={a,b,c}, 则幺元就是 ;就是否有幂等 性 ;就是否有对称性 。 6、4阶群必就是 群或 群。 7、下面偏序格就是分配格的就是 。 8、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ,欧拉图的充要条件就是 。 * a b c a b c a b c b b c c c b 二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈>∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。 离散数学期末测验试题(有几套带答案1) ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: ? 离散数学试题(A卷及答案) 一、证明题(10分) 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明:左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R)?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R?T∧R(置换)?R 2)?x(A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明:?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x))??x?A(x)∨?xB(x)???xA(x)∨?xB(x)??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分) 证明:(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?(?P∧(?Q∨?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题(10分) 1)C∨D, (C∨D)→?E, ?E→(A∧?B), (A∧?B)→(R ∨S)?R∨S 证明:(1) (C∨D)→?E (2) ?E→(A∧?B) ?? (3)(C∨D)→(A∧?B) (4) (A∧?B)→(R∨S) ?? (5) (C∨D)→(R∨S) ? (6) C∨D?? (7) R∨S 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x)),?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明(1)?xP(x) (2)P(a) (3)?x(P(x)→Q(y)∧R(x)) (4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)?x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 五、已知A、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) (15分) 证明∵x∈A-(B∪C)?x∈A∧x?(B∪C)?x∈A∧(x?B∧x?C)?(x∈A∧x?B)∧(x∈A∧x?C)?x∈(A-B)∧x∈(A-C)?x∈(A-B)∩(A-C)∴A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) 六、已知R、S是N上的关系,其定义如下:R={<x,y>| x,y∈N∧y=x2},S={ 一.判断题(共10小题,每题1分,共10分) 在各题末尾的括号内画 表示正确,画 表示错误: 1.设p、q为任意命题公式,则(p∧q)∨p ? p ( ) 2.?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3.初级回路一定是简单回路。( ) 4.自然映射是双射。( ) 5.对于给定的集合及其上的二元运算,可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6.群的运算是可交换的。( ) 7.自然数集关于数的加法和乘法 列为。 19.n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20.7阶圈的点色数是。 三、运算题(共5小题,每小题8分,共40分) 21.求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22.已知无向图G有11条边,2度和3度顶点各两个,其余为4度顶点,求G 的顶点数。 23.设A={a,b,c,d,e,f},R=I A?{,},则R是A上的等价关系。求等价类[a]R、[c]R及商集A/R。 24.求图示带权图中的最小生成树,并计算最小生成树的权。 25.设R*为正实数集,代数系统< R*,+>、< R*,·>、< R*,/>中的运算依次为普通加法、乘法和除法运算。试确定这三个代数系统是否为群?是群者,求其单位元及每个元素的逆元。 四、证明题(共3小题,共20分) 26 (8分)在自然推理系统P中构造下述推理的证明: 前题:p→(q∨r),?s→?q,p∧?s 结论:r 27 (6分)设 精品文档院术师范学广东技模拟试题 科目:离散数学 120 分钟考试时间: 考试形式:闭卷 姓名:学号:系别、班级: 2分,共10分)一.填空题(每小题__________。?x?y?P(x)∨Q(y) 1. 谓词公式的前束范式是 __)xxQ(?xP(x)????????____,,2. 设全集A?_{4,5}B =__则A∩ {2}__,,?E?1,2,3,4,55,A?21,,32,B_____ __ {1,3,4,5}??BA????b,c}} __________,则3. 设__ , b?,c,b,a,A?Ba???B(A)?)(_____Φ_______。???)(AB()?4. 在代数系统(N,+)中,其单位元是0,仅有_1___ 有逆元。 ne条边,则G有___e+2-n____个面。5.如果连通平面图G有个顶点,二.选择题(每小题2分,共10分) P?(Q?R)等价的公式是(1. 与命题公式) (A)(B)(C)(D)R?P?Q)()?R)R?(QPP?(Q?R?Q)(P??????b?b,?a,aA??a,b,cR?,不具备关系( 2. 设集合上的二元关系,A)性质 (A)(A)传递性(B)反对称性(C)对称性(D)自反性 G??V,E?中,结点总度数与边数的关系是3. 在图( ) ??E?Edeg(v)deg(v)?2deg(v)?Evdeg()?2E(A)(C)(B) (D) iiiiVv?Vv?4. 设D是有n个结点的有向完全图,则图D的边数为( ) n(n?1)n(n?1)n(n?1)/2n(n?1)/2(A)(B)(D)(C) 5. 无向图G是欧拉图,当且仅当( ) (A)G的所有结点的度数都是偶数(B)G的所有结点的度数都是奇数 精品文档. 精品文档 (C)G连通且所有结点的度数都是偶数(D) G连通且G的所有结点度数都是奇数。 三.计算题(共43分) p?q?r的主合取范式与主析取范式。(1. 求命题公式6分) 解:主合取方式:p∧q∨r?(p∨q∨r)∧(p∨?q∨r)∧(?p∨q∨r)= ∏0.2.4 主析取范式:p∧q∨r?(p∧q∧r) ∨(p∧q∧?r)∨(?p∧q∧r) ∨(?p∧?q∧r) ∨(p∧?q∧r)=∑1.3.5.6.7 1000????0111?????Md,A?a,b,c,的上的二元关集2. 设合系R关系矩阵为求 ??R0000????1000??)tR(),(RsRr()(),(),(rRsRtR),的关系图。R的关系矩阵,并画出分)10(, 离散数学试题(B卷答案1) 一、证明题(10分) 1)(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ((P∨Q)∨(Q∨P))∧R ((P∨Q)∨(P∨Q))∧R T∧R(置换)R 2) x (A(x)B(x))xA(x)xB(x) 证明:x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x)) x A(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)。 证明:(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) (P∧(Q∨R))∨(P∧Q∧R) (P∧Q)∨(P∧R))∨(P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R) m0∨m1∨m2∨m7 M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题(10分) 1)C∨D,(C∨D)E, E(A∧B),(A∧B)(R∨S)R∨S证明:(1) (C∨D) E ?P (2) E(A∧B) ??P (3) (C∨D)(A∧B) T(1)(2),I (4) (A∧B)(R∨S)??P (5) (C∨D)(R∨S) ? T(3)(4),I (6) C∨D P (7) R∨S T(5),I 2) x(P(x)Q(y)∧R(x)),xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) 证明(1)xP(x) P (2)P(a) T(1),ES (3)x(P(x)Q(y)∧R(x)) P (4)P(a)Q(y)∧R(a) T(3),US (5)Q(y)∧R(a) T(2)(4),I (6)Q(y) T(5),I (7)R(a) T(5),I (8)P(a)∧R(a) T(2)(7),I (9)x(P(x)∧R(x)) T(8),EG (10)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) T(6)(9),I 四、某班有25名学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10分)。 解:A,B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则|A|=12,|B|=6,|C|=14,|A∩C|=6,|B∩C|=5,|A∩B∩C|=2。 先求|A∩B|。 ∵6=|(A∪C)∩B|=|(A∩B)∪(B∩C)|=|(A∩B)|+|(B∩C)|-|A∩B∩C|=|(A∩B)|+5-2,∴|(A∩B)|=3。 于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20。不会打这三种球的人数25-20=5。五、已知A、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)(10分)。 证明:∵x A-(B∪C) x A∧x(B∪C) xA∧(xB∧x C) (x A∧x B)∧(x A∧xC) x(A-B)∧x(A-C) x(A-B)∩(A-C) ∴A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) 六、已知R、S是N上的关系,其定义如下:R={ 离散数学试题与答案试卷一 一、填空 20% (每小题2分) 1.设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+ x E x x B x N x x A 且且(N :自然数集,E + 正偶数) 则 =?B A 。 2.A ,B ,C 表示三个集合,文图中阴影部分的集合表达式为 。 3.设P ,Q 的真值为0,R ,S 的真值为1,则 )()))(((S R P R Q P ?∨→?∧→∨?的真值= 。 4.公式P R S R P ?∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。 5.若解释I 的论域D 仅包含一个元素,则 )()(x xP x xP ?→? 在I 下真值为 。 6.设A={1,2,3,4},A 上关系图为 则 R 2 = 。 8.图的补图为 。 二、选择 20% (每小题 2分) 1、下列是真命题的有( ) A . }}{{}{a a ?; B .}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ; C . }},{{ΦΦ∈Φ; D . }}{{}{Φ∈Φ。 2、下列集合中相等的有( ) A B C ?;B.{Φ,3,4};C.{4,Φ,3,3};D.{3,4}。 A.{4,3}Φ 3、设A={1,2,3},则A上的二元关系有()个。 A.23 ;B.32 ;C.332?;D.223?。 4、设R,S是集合A上的关系,则下列说法正确的是() Rο是自反的; A.若R,S 是自反的,则S Rο是反自反的; B.若R,S 是反自反的,则S Rο是对称的; C.若R,S 是对称的,则S Rο是传递的。 D.若R,S 是传递的,则S 5、设A={1,2,3,4},P(A)(A的幂集)上规定二元系如下 t s t s p A R= ∧ =则P(A)/ R=() < > ∈ s (| || |} {t ) , ( | , A.A ;B.P(A) ;C.{{{1}},{{1,2}},{{1,2,3}},{{1,2,3,4}}};D.{{Φ},{2},{2,3},{{2,3,4}},{A}} 7、下列函数是双射的为() A.f : I→E , f (x) = 2x ;B.f : N→N?N, f (n) = 北京工业大学经管学院期末试卷 《离散数学》(A) 学号姓名:成绩 一、单项选择题(每题2分,共18分) 1.令P:今天下雪了,Q:路滑,则命题“虽然今天下雪了,但是路不.滑”可符号化为(D)A.P→Q B.P∨Q C.P∧Q D.P∧Q p→q,蕴涵式,表示假设、条件、“如果,就”。 “→”与此题无关 2. 关于命题变元P和Q的极大项M1表示( C )。书P1520,此题换作p、q更容易理解 A.┐P∧Q B.┐P∨Q p∨┐q 01 1 M1 ∨┐Q∧┐Q 3.设R(x):x是实数;S():x小于y。用谓词表达下述命题:不存在最小的实数。其中错误的表达式是:(D) 4.在论域{}中与公式(x?)A(x)等价的不含存在量词的公式是(B) A.)b( )a( A∨ A A )a( A∧ B. )b( C. )b( )b( A→ A A )a( A→ D. )a( 5.下列命题公式为重言式的是(C) A.Q→(P∧Q)B.P→(P∧Q) C.(P∧Q)→P D.(P∨Q)→Q 牢记→真假条件,作为选择题可直接代入0、1,使选项出现1→0,排除。熟练的可直接看出C不存在1→0的情况 6. 设{1,2,3},{},下列二元关系R为A到B的函数的是( A ) A. {<1>,<2>,<3>} B. {<1>,<2>} C. {<1>,<1>,<2>,<3>} D. {<1>,<2>,<3>,<1>} 7.偏序关系具有性质(D)背 A.自反、对称、传递 B.自反、反对称 C.反自反、对称、传递 D.自反、反对称、传递 8.设R 为实数集合,映射:,R R σ→2 ()21,x x x σ=-+-则σ 是( D ). (A) 单射而非满射 (B) 满射而非单射 (C) 双射 (D) 既不是单射也不是满射. 书P96.设函数f :A→B (1)若,则f 是满射的【即值域为B 的全集,在本题中为R ,该二次函数有最高点,不满足】 (2)若对于任何的x 12∈A , x 1≠x 2,都有f(x 1)≠f(x 2),则称f 是单射的【即真正一一对应,甚至不存在一个y 对应多个x 。显然,本题为二次函数,不满足】 (3)若f 既是满射的,又是单射的,则称f 是双射的【本题中两个都不满足,既不是单射也不是满射】 二、填空题(每空2分,共22分) 1.设Q 为有理数集,笛卡尔集×Q ,*是S 上的二元运算,?, 《离散数学》期末考试试题 一、 填空题(每空2分,合计20分) 1. 设个体域为{2,3,6}D =-, ():3F x x ≤,():0G x x >。则在此解释下公式 ()(()())x F x G x ?∧的真值为______。 2. 设:p 我是大学生,:q 我喜欢数学。命题“我是喜欢数学的大学生”为可符合化 为 。 3. 设{1,2,3,4}A =,{2,4,6}B =,则A B -=________,A B ⊕=________。 4. 合式公式()Q P P ?→∧是永______式。 5. 给定集合{1,2,3,4,5}A =,在集合A 上定义两种关系: {1,3,3,4,2,2}R =<><><>, {4,2,3,1,2,3}S =<><><>, 则_______________S R =ο,_______________R S =ο。 6. 设e 是群G 上的幺元,若a G ∈且2a e =,则1a -=____ , 2a -=__________。 7. 公式))(()(S Q P Q P ?∧?∨∧∨?的对偶公式为 。 8. 设{2,3,6,12}A =, p 是A 上的整除关系,则偏序集,A <>p 的最大元是________,极小元是_ _。 9. 一棵有6个叶结点的完全二叉树,有_____个内点;而若一棵树有2个结点度数为2,一 个结点度数为3,3个结点度数为4,其余是叶结点,则该树有_____个叶结点。 10. 设图,G V E =<>, 1234{v ,v ,v ,v }V =,若G 的邻接矩阵????????????=0001001111011010A ,则1()deg v -=________, 4()deg v +=____________。 二、选择题(每题2分,合计20分) 1.下列各式中哪个不成立( )。 A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨? ; B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?; C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∧??∧?; D 、Q x xP Q x P x ∧??∧?)())((。 离散数学试题(B卷答案1) 一、证明题(10分) 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R ?T∧R(置换)?R 2) ?x (A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明:?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x)) ??x?A(x)∨?xB(x) ???xA(x)∨?xB(x) ??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)。 证明:(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?(?P∧(?Q∨?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题(10分) 1)C∨D, (C∨D)→?E,?E→(A∧?B), (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明:(1) (C∨D)→?E P (2) ?E→(A∧?B) P (3) (C∨D)→(A∧?B) T(1)(2),I (4) (A∧?B)→(R∨S) P (5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4), I (6) C∨D P (7) R∨S T(5),I 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x)),?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明(1)?xP(x) P离散数学期末试题
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中的幺元是,α的逆元是。 10.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>},B={<1,3>,<2,4>,<4,2>} = 。 = 。 三、判断题(每题1分,共10分) 1.命题公式是一个矛盾式。() 2.,若,则必有。() 3.设S为集合X上的二元关系,则S是传递的当且仅当(S S)S。() 4.任何一棵二叉树的结点可对应一个前缀码。() 5.代数系统中一个元素的左逆元一定等于该元素的右逆元。() 6.一个有限平面图,面的次数之和等于该图的边数。() 7.A′B = B′A () 8.设*定义在集合A上的一个二元运算,如果A中有关于运算*的左零元θl和右零θr,则A中 有零元。() 9.一个循环群的生成元不是唯一的。() 10.任何一个前缀码都对应一棵二叉树。() 四、解答题(5小题,共30分) 1.(5分)什么是欧拉路?如何用欧拉路判定一个图G是否可一笔画出? 2.(8分)求公式 (P∨Q)R 的主析取范式和主合取范式。离散数学期末试卷A卷及答案
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