椭圆典型例题整理

椭圆典型例题

一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例1:已知椭圆的焦点是 F i （0，— 1）、F 2（0,1） , P 是椭圆上一点，并且PF i + PF ?= 2F 1F 2,求椭圆 的标准方程。

、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例：1.椭圆的一个顶点为 A 2,0 ,其长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程 分析：题目没有指出焦点的位置 ，要考虑两种位置? 解：（1）当A 2,0为长轴端点时，a = 2 , b = 1,

2

2

椭圆的标准方程为：—=1 ；

4

1

（2）当A 2,0为短轴端点时，b = 2 , a = 4, 2 2

椭圆的标准方程为：—1;

4 16

三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出

，求椭圆的标准方程。

x 2 y 2

例?求过点（一3,2）且与椭圆—+一= 1有相同焦点的椭圆的标准方程

?

9 4

x 2 y 2

9

解：因为C 2 = 9— 4 = 5 ,所以设所求椭圆的标准方程为 2+ 2 — = 1.由点（—3,2）在椭圆上知-

a 2 a 2 — 5 a 2

4

x 2 y 2

+ — = 1 ,所以a 2= 15.所以所求椭圆的标准方程为 +一= 1. a 2— 5

15 10

解: 由 PF-i + PF 2 = 2F 1F 2= 2 X2 = 4,得 2a = 4.又 c = 1 ,所以 b 2 = 3.

y 2 x 2

所以椭圆的标准方程是 + = 1.

4 3

2 .已知椭圆的两个焦点为 F i （— 1,0）, F 2（1,0）,且2a = 10,求椭圆的标准方

程

2 2

x y

c = 1 ,「?b = ■ 52 — 1 =■ 24. ??椭圆的标准方程为 解：由椭圆定义知 +

—= 1. 25 24

四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。

例：已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x ? y-1 =0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.

2

解：由题意，设椭圆方程为冷 y 2 = 1,

a

x y -仁 0

x 2

2 ，得 1 a 2x 2 -2a 2

x =0 ,

~2

y 1

a

五、求椭圆的离心率问题

2 2

-^3

?-3c a , ? e — 一 J3 3 1

=1的离心率e ，求k 的值.

2

解：当椭圆的焦点在 x 轴上时，a^k 8 , b 2 =9，得c 2=k -1. 当椭圆的焦点在 y 轴上时，a 2 =9 , b 2=k ，8 ,得c 2 =1-k .

, 1 /口1—k 1 5 由e ，得

，即k =

2

9

4

4

???满足条件的k =4或k = - 5 .

4

六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题

例：1?若△ ABC 的两个顶点坐标 A (— 4,0), B (4,0), △ ABC 的周长为18,求顶点C 的轨迹方 程。

解：顶点C 到两个定点A , B 的距离之和为定值10,且大于两定点间的距离，因此 顶点C 的轨迹为椭圆,并且2a 二10 ,所以a = 5,2c = 8,所以c = 4, x 2 y 2

所以b 2 = a 2— c 2= 9,故顶点C 的轨迹方程为—+ 一二1?又A 、B 、C

25 9

??X M

y M

X M

1 - a 2

1a 2'

1

, ? a 2 =4 , 4

2

??? x_ 4

y 2 =1为所求. 例一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分

，求椭圆的离心率

細

a

1

解：：2c 2 -

c 3 2 2

例已知椭圆一J 上~

k +8 9

.专业.专注.

2

x 2 y 2 x 2 y 2

三点构成三角形 ，所以円.所以顶点C 的轨迹万程为25

+G =

1（y

和）答案：怎=

x 2 y 2

2 .已知椭圆的标准方程是

^十=1（a >5）,它的两焦点分别是

F i , F 2,且F 1F 2 = 8,弦AB 过点F i ,求厶

a 2 25

ABF 2的周长.

因为F i F 2 = 8,即即所以2c = 8,即c = 4,所以a 2 = 25 + 16 = 41,即a 41 ,所以

△ ABF 2的周长为4a = 4 41.

2

2

x y

3 .设F 1、F 2是椭圆—+一= 1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1 PE>= 2 ：,求厶PF 1F 2的面

9 4 积.

c = ：5,：PF 1 + PF 2 = 2a = 6.又 PF 1 PF ?= 2 : 可知△ PF 1F 2是直角三角形,故厶PF 1F 2的面

1 1

积为尹1旺=产X 4 = 4.

七、直线与椭圆的位置问题

=1 ,求过点P 1 ,丄 且被P 平分的弦所在的直线方程 <2 2；

分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ,利用条件求k .

1 （门

解法一：设所求直线的斜率为 k ,则直线方程为y-—=k X -一 I.代入椭圆方程，并整理得

2 I 2丿 1 2k 2 x 2 _ 2k 2 _2k x 」k 2 _k

3 =0 .

2 2 2k 2 -2k

由韦达定理得为* X 2「仝学.

1 2

1+2k 2

1

???P 是弦中点，??? x 1 x 2 =1 .故得k 二

2

例已知椭圆—y 2

2

解析：由椭圆方程, 1 ,?丹1 = 4, PF 2= 2,由

解法二：设过P |的直线与椭圆交于 A （x i , y i ）、B （X 2, y ）,则由题意得

X i - X 2 2

所求直线方程为

? 八、椭圆中的最值问题

2 2 例椭圆 —= 1的右

焦点为F —过点A （1,—3 ），点M 在椭圆上—当AM +

2 MF 为最小

16 12

值时—求点M 的坐标?

1

解：由已知：a = 4 — c = 2 ?所以e —右准线I : x =8 ?

2

过A 作AQ _ I —垂足为Q —交椭圆于M —

AQ —即M 为所求点—因此y M = J3，且M 在椭圆上

?故X M

双曲线典型例题

一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型

。

2 2

例1讨论-上

y

1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征?

25 -k 9 - k

分析：由于k = 9 — k = 25 —则k 的取值范围为 k < 9 — 9 k 25 — k 25 —分别进行讨 论. 解：（1 ）当k <9时，25 - k ? 0 — 9 - k ? 0 —所给方程表示椭圆

—此时a 2 = 25 - k —

2 2 2 2

b =9-k —

c 二a -b =16 —这些椭圆有共同的焦点

（一4 — 0）, （ 4 — 0）?

所以所求直线方程为 2x ? 4y 一 3 = 0 ?

（1 1、 ............ ..

f 2

X 1 2彳 ■_ +

Y1 =1

, 2

①

2

* 专+y ；=〔, ②

% +x 2 =1, ③

y +y 2

④

2 2

①②得X1 _X 2 +y ；

2

_ y 2 = o ? ⑤

将③、④代入⑤得丘

_y

2 -

1

—即直线的斜率为

1 故MQ|=2MF ?显然AM +2MF 的最小值为

2、3 ?所以 M 2、3, 3 ?

2

， <2 2丿

（2）当9 :k :25时—25-k 0, 9-1：：0,所给方程表示双曲线—此时，a2=25-k,

『=9 -k , c^a 2 b 2 =16 ,这些双曲线也有共同的焦点 (一4, 0),)( 4, 0). (3) k : 25, k=9 , k=25时，所

给方程没有轨迹.

说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线 ，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其 图形，体会一下几何图形所带给人们的美感

.

、根据已知条件，求双曲线的标准方程

f

15 过点 P 3,— |, Q I 4丿

C 二?、6 ,经过点(一5, 2),焦点在x 轴上. 2 2

与双曲线— —=1有相同焦点，且经过点 3?2,2

16 4

2 2

解：(1 )设双曲线方程为—=1

m n

?/ P 、Q 两点在双曲线上， 9+逻=1

? m 16n 解得」

256 丄 25 ,

----- +——=1 i9m n

例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.

16 、、

一16 , i 且焦点在坐标轴上.

I 3丿

(1)

(2) (3) 2 2

丄1=1

16 9

说明：采取以上 巧设”可以避免分两种情况讨论，得 巧求”的目的. c = ? 6 , x 2 y 2

1 (其中 0 ：：'：：： 6)

6 - ■■-

25 4

, 1

6 _

???所求双曲线方程为 (2)：焦点在x 轴上， ?设所求双曲线方程为

???双曲线经过点(一5, 2), ??5或

1 _

30 (舍去)

2

???所求双曲线方程是—-y 2

5

说明：以上简单易行的方法给我们以明快

2

x

(3)设所求双曲线方程为

、简捷的感觉.

2

y

=1 0 ：：： ' ：： 16