中考数学 初中数学 旋转综合试题及答案
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中考数学初中数学旋转综合试题及答案
一、旋转
1.(操作发现)
(1)如图1,△ABC为等边三角形,先将三角板中的60°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=30°,连接AF,EF.
①求∠EAF的度数;
②DE与EF相等吗?请说明理由;
(类比探究)
(2)如图2,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,先将三角板的90°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=45°,连接AF,EF.请直接写出探究结果:
①∠EAF的度数;
②线段AE,ED,DB之间的数量关系.
【答案】(1)①120°②DE=EF;(2)①90°②AE2+DB2=DE2
【解析】
试题分析:(1)①由等边三角形的性质得出AC=BC,∠BAC=∠B=60°,求出
∠ACF=∠BCD,证明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=60°,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°;
②证出∠DCE=∠FCE,由SAS证明△DCE≌△FCE,得出DE=EF即可;
(2)①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC,∠BAC=∠B=45°,证出∠ACF=∠BCD,由SAS证明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=45°,AF=DB,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°;
②证出∠DCE=∠FCE,由SAS证明△DCE≌△FCE,得出DE=EF;在Rt△AEF中,由勾股定理得出AE2+AF2=EF2,即可得出结论.
试题解析:解:(1)①∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,
∠BAC=∠B=60°.∵∠DCF=60°,∴∠ACF=∠BCD.
在△ACF和△BCD中,∵AC=BC,∠ACF=∠BCD,CF=CD,∴△ACF≌△BCD(SAS),
∴∠CAF=∠B=60°,∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°;
②DE=EF.理由如下:
∵∠DCF=60°,∠DCE=30°,∴∠FCE=60°﹣30°=30°,∴∠DCE=∠FCE.在△DCE和△FCE 中,∵CD=CF,∠DCE=∠FCE,CE=CE,∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=EF;
(2)①∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴AC=BC,
∠BAC=∠B=45°.∵∠DCF=90°,∴∠ACF=∠BCD.在△ACF和△BCD中,∵AC=BC,
∠ACF=∠BCD,CF=CD,∴△ACF≌△BCD(SAS),∴∠CAF=∠B=45°,AF=DB,
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°;
②AE2+DB2=DE2,理由如下:
∵∠DCF=90°,∠DCE=45°,∴∠FCE=90°﹣45°=45°,∴∠DCE=∠FCE.在△DCE和△FCE 中,∵CD=CF,∠DCE=∠FCE,CE=CE,∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=EF.在Rt△AEF 中,AE2+AF2=EF2,又∵AF=DB,∴AE2+DB2=DE2.
2.在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点O(0,0),点A(5,0),点B(0,3).以点A为中心,顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分别为D,E,F.
(1)如图①,当点D落在BC边上时,求点D的坐标;
(2)如图②,当点D落在线段BE上时,AD与BC交于点H.
①求证△ADB≌△AOB;
②求点H的坐标.
(3)记K为矩形AOBC对角线的交点,S为△KDE的面积,求S的取值范围(直接写出结果即可).
【答案】(1)D(1,3);(2)①详见解析;②H(17
5
,3);(3)
30334
-
≤S 30334
+
【解析】
【分析】
(1)如图①,在Rt△ACD中求出CD即可解决问题;
(2)①根据HL证明即可;
②,设AH=BH=m,则HC=BC-BH=5-m,在Rt△AHC中,根据AH2=HC2+AC2,构建方程求出m即可解决问题;
(3)如图③中,当点D在线段BK上时,△DEK的面积最小,当点D在BA的延长线上时,△D′E′K的面积最大,求出面积的最小值以及最大值即可解决问题;
【详解】
(1)如图①中,
∵A(5,0),B(0,3),
∴OA=5,OB=3,
∵四边形AOBC是矩形,
∴AC=OB=3,OA=BC=5,∠OBC=∠C=90°,
∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到,
∴AD=AO=5,
在Rt△ADC中,CD=22
=4,
AD AC
∴BD=BC-CD=1,
∴D(1,3).
(2)①如图②中,
由四边形ADEF是矩形,得到∠ADE=90°,
∵点D在线段BE上,
∴∠ADB=90°,
由(1)可知,AD=AO,又AB=AB,∠AOB=90°,
∴Rt△ADB≌Rt△AOB(HL).
②如图②中,由△ADB≌△AOB,得到∠BAD=∠BAO,又在矩形AOBC中,OA∥BC,
∴∠CBA=∠OAB,
∴∠BAD=∠CBA,
∴BH=AH,设AH=BH=m,则HC=BC-BH=5-m,
在Rt△AHC中,∵AH2=HC2+AC2,
∴m2=32+(5-m)2,
∴m=17
,
5