2006全国数学建模竞赛易拉罐形状和尺寸的最优设计模型全国一等奖

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型

(2006年获全国一等奖)

摘 要：本文主要考虑当容积一定时，如何设计易拉罐的形状和尺寸，使得所用材料最省。首先对易拉罐进行测量，对问题二、问题三、问题四建立数学模型，并利用LINGO 软件结合所测的数据进行计算，得出最优易拉罐模型的设计。

模型一，对正圆柱体形状的易拉罐，当容积一定时，以材料体积最小为目标，建立材料体积的函数关系式，并通过求二元函数条件极值得知，当圆柱高为直径两倍时，最经济，并用容积为360 ml 进行验算，算得mm H 63.122=，mm R 58.30=与市场上净含量为355ml 的测得的数据基本接近。

模型二，对上面部分为正圆台、下面部分为正圆柱的易拉罐同样在容积量一定时，考虑所用材料最省，建立优化模型，并通过LINGO 软件仍用容积为360 ml 进行验算，算得mm R 58.30=，mm r 33.291=，mm h 94.81=，mm h 8.1112=，高之和约为直径的两倍。

模型三，考虑到罐底承受的压力，根据力学上横梁支点的受力与拱桥设计的原理，设计底部支架（环形）与一定弧度的拱面，同时利用黄金分割，将直径与高之比设为0.618，建立容积量一定时材料最省的优化模型，再将有关数据代入计算，得到结论，现行易拉罐的设计从某种意义上不乏是最优设计。 关键词：优化模型 易拉罐 非线性规划 正圆柱 正圆台

一、问题重述

销量很大的饮料容器(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。这应该是某种意义下的最优设计，而不是偶然。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

现针对以下问题，研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。

问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是测量得到的，那么必须注明出处。

问题二：设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之

比，等等。

问题三：设易拉罐的中心纵断面如图1所示，即上面部分是一个

正圆台，下面部分是一个正圆柱。什么是它的最优设计？其结果

是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

问题四：利用所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐

形状和尺寸的最优设计。

同时，以做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，论文中必须包括这篇短文)，阐述什么图1

是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

二、问题分析

在易拉罐设计的实际情况中，我们必须保证罐内体积大于饮料的净含量，同时考虑到饮料对罐体各部分的应力，需确定罐盖、罐底和罐壁的厚度，在此情况下的最优是使得容积一定时，所用的材料最省。

在问题一中对于各个部分的数据可以直接测量，利用千分卡对易拉罐进行测量；问题二是对正圆柱体的易拉罐在容积一定时，以半径和高之比为衡量最优设计的标准；问题三中，对比问题一中所测得的数据，发现易拉罐罐盖、罐底的厚度是罐壁的两倍，因此我们在解决此问题时可以假设罐盖、罐底的厚度是罐壁的两倍，再利用规划方法求解由圆台和圆柱体组成的易拉罐的最优设计。在问题四中根据问题二、三的模型所求得的数据与测量的数据进行比较，以及观察市场上正规厂家生产的碳酸和非碳酸饮料易拉罐的异同之处，作出关于易拉罐形状和尺寸的最优模型。

三、模型假设

1、根据薄壁圆筒的应力分析，假设易拉罐罐盖、罐底的厚度是罐壁的两倍。

2、易拉罐各接口处的材料忽略不计。

3、易拉罐各部分所用的材料相同。

4、单位体积材料的价格一定。

5、相同类型易拉罐的容积相同。

四、模型建立与求解

目前市场上大部分的易拉罐形状可以分成两类：一类主体部分是正圆柱体，正圆柱体上面部分是正圆台（如图2所示）；另一类主体部分是正圆柱体，正圆柱体上面部分与下面部分都是正圆台（如图3所示）。

如图2 如图3

我们用千分卡尺对杭州中萃食品有限公司生产的可口可乐易拉罐进行了测量，分别测量数据如下表。（单位；mm）

罐高

123.7 罐柱内径 61.29 上圆台高

13.5 下圆台高 7.7 罐盖内径

58.17 罐底厚 0.29 罐盖厚

0.29 罐底拱高 10.11 圆柱体高 102.5 罐壁厚 0.135

由上表可知：罐底与罐盖的厚度大约是柱壁厚度的2倍；高大约为正圆柱直径的2倍。

易拉罐形状和尺寸的最优设计就是确保盛放饮料时容器不变形、放置稳定、运输安全的前提下，如何设计形状与尺寸才能使一定容积量的易拉罐所用的材料最省，为此我们分别对问题二、问题三、问题四建立模型如下：

模型一：正圆柱体模型

假设易拉罐是一个正圆柱体，罐内半径为R ，罐内高为H ，罐壁厚为b ，根据假设1可知，罐底与罐盖厚为b 2，所以制作材料的体积为：

H R b H b R H R s 22)4()(),(ππ-++=

=32224842b R b R b Hb RbH πππππ++++

因为R b <<，故项34b π可以忽略不计。因而

)842(),(2bR R Hb RH b H R s +++=π

于是，问题就是求目标函数)842(),(2bR R Hb RH b H R s +++=π在条件H R V 2π=下的最优解。即

min )842(),(2bR R Hb RH b H R s +++=π

s.t.???>>=0

,02H R H R V π

利用Lagrange 乘子法求解，作函数

)()842(),,(22H R V bR R Hb RH b H R F πλπλ-++++=

令

?????????=-=??=-+=??=-++=??00)2(0

2)882(22H R V F R b R b H

F RH b R H b R F πλ

λππλππ 即

??

???==+=++H R V R b R b RH b R H b 22)2(2)882(πλ

ππλππ 消去λ得：R H 4=，34πV R =，344π

V H ?=。唯一的驻点就是问题的极值点，也是此问题的最优解。由上述可知，当罐高为罐内直径的两倍时，正圆柱体的易拉罐所用的材料最省。这与我们目前市场上的可口可乐易拉罐的形状大致相同。

若用ml V 360=代入计算得，mm H 392.122=，mm R 598.30=，这与我们所测净含量为ml 355的易拉罐高123.7mm 与罐体半径30.51mm 还是比较接近的（饮料罐不能装满饮料，必须留有一定的空间余量）。

但也看出两组数据之间也存在一定差异，这是因为我们所测量的易拉罐下底并非是一个圆面，而是一个向上凸的拱面，接近上、下底部分是两个正圆台。

模型二：主体为正圆柱体，上面部分为正圆台模型

当易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是正圆

柱体时（如图4），假设正圆柱体部分的罐内半径为R ，

罐内高为2h ，罐壁厚为b ；正圆台部分上底内半径为1r ，

正圆台内高为1h 。根据假设1可知，易拉罐罐底与罐盖的

厚度均为b 2，仍以制作易拉罐的材料最省作为最优设计。

由于考虑到易拉罐各部分材料的厚度不同，因此采用易拉

罐所需的材料等于外径体积减去内径体积进行计算。

易拉罐正圆台部分所用的材料体积：

图4

)(3

])())(()[(3)2(),,,(2112121121211r Rr R h b r b r b R b R b h h h r R S ++-+++++++=ππ台 )(3

22)(2)(211231211r Rr R b b r R b b r R bh ++++++++=ππππ 因为R b <<，故32b π可以忽略，则易拉罐正圆台部分的材料体积为：

)(3

2)(2)(),,,(21121211211r Rr R b r R b b r R bh h h r R S +++

++++≈πππ台 易拉罐正圆柱部分的材料体积：

2222211)2(),,,(h R b h b R h h r R S ππ-++=）（柱 )24(22322222b h b R b bRh b R ++++=πππ

因为R b <<，故32b π可以忽略。则易拉罐正圆柱所用的材料体积：

)4(22),,,(22222211h b R b bRh b R h h r R S +++≈πππ柱

所以，易拉罐的总材料体积为：

),,,(),,,(),,,(211211211h h r R S h h r R S h h r R S 柱台+=

)(3

2)(2)(21121211r r R R b r R b b r R bh +++++++≈πππ )4(2222222h b R b bRh b R ++++πππ

要使生产易拉罐的费用最省，同理可建立优化模型：

min ),,,(211h h r R S )(3

2)(2)(21121211r r R R b r R b b r R bh +++++++=πππ )4(2222222h b R b bRh b R ++++πππ

s.t ．???

????>≥+++=0,,,3)(2

1112112122h h r R r R r Rr R h h R V ππ 利用LINGO 软件（附录一）计算得出1r R ==30.6mm ,93.1181=h mm ，mm h 48.32=；显然，易拉罐的形状是正圆柱体。也就是说在容积相同的情况下，正圆柱体形的易拉罐要比上面部分是正圆台、下面部分是正圆柱体的易拉罐省材，但是问题要求设计的上面部分是正圆台的易拉罐，因此需要进一步改进。

根据所测易拉罐的数据分析，假设易拉罐的正圆台高为正圆柱高的8%，正圆台的上内径为正圆柱内径95%。

min ),,,(211h h r R S )(3

2)(2)(21121211r r R R b r R b b r R bh +++++++=πππ )4(2222222h b R b bRh b R ++++πππ

s.t ?????????>====+++=0

,,,0135.0,3605.12,95.03)(2111

212112122h h r R b V h h r R r Rr R h h R v ππ 利用LINGO 软件进行求解（附录二），分别得出：

R =30.87mm ,1r =29.33mm ,

,94.81mm h =mm h h H mm h 74.120,8.111212=+==，这与我们所测得数据比较接近。

模型三：易拉罐的最优设计模型

对于盛装碳酸饮料的容器，不仅要考虑省材，还要考虑盛放与搬运中的安全、方便、实用。如果把易拉罐设计成球体，在一定容量的情况下材料最省，但对于放置、储存等会带来诸多的不便（球与球之间的空隙大）。根据几何原理，罐底为平面放置最稳，主体为正圆柱体最优。但考虑到碳酸饮料的压力等因素，罐底与罐盖要考虑牢固性，根据横梁受力的原理：当梁的支座从两端往中间移时，其载荷将会提高。 根据此原理，我们在易拉罐的底部设计了一个底轨（环形），并使其向量移动0.2R ，这样既可以提高易拉罐底的载荷，也可以使其摆放平衡。底轨的厚度为两个底厚加上它们之间的空隙，约为6b 。

因此在罐底的底轨与正圆柱的连接处就形成了一个正圆台，与此对应，我们在正圆柱的上面也设计了一个正圆台，进而从美学的角度考虑，根据黄金分割点将将直径与高的比设为0.618，同时在罐口设计了一个圆槽，使其内径略大于底轨外径，当两罐饮料叠放时，上面一罐饮料的底部可以嵌入下面一罐饮料的罐盖的圆槽，便于放置。

在罐底部分，根据拱桥的原理：桥面设计成一定的

拱形时，它的受力比一般平面桥要大得多。因此我们把

罐底底轨内的部分设计成具有一定弧度的拱面，使其能

够更好的承受罐内液体的压力。

综上所述，可将易拉罐罐体设计成三部分：上部为

正圆台，高为1h ，上圆台罐口内半径为1r ；中部为正圆

柱，高为2h ，罐体正圆柱内半径为R ；下部为正圆台，

高为3h ，罐底内半径为2r ，罐底拱高为d （如图5所

示）。又设罐体壁厚为b ，罐底、罐盖厚为b 2，对各部

分进行材料体积计算。

易拉罐上正圆台部分的材料体积： 图5

)(3

])())(()[(3)2(),,(211212112111r Rr R h b r b r b R b R b h h r R S ++-+++++++=ππ上台

)(322)(2)(21123111r Rr R b

b r R b b r R bh ++++++++=ππππ

因为R b <<，故32b π可以忽略，则易拉罐正圆台部分的材料为：

)(3

2)(2)(),,(2112121111r Rr R b r R b b r R bh h r R S +++

++++≈πππ上台

易拉罐正圆柱部分的材料体积：

22222)2(),(h R b h b R h R S ππ-++=）（柱 )24(22322222b h b R b bRh b R ++++=πππ

因为R b <<，故32b π可以忽略，则易拉罐正圆柱部分的材料体积：

)4(22),(222222h b R b bRh b R h R S +++≈πππ柱

易拉罐下正圆台侧面部分的材料：

)(3

])())(()[(3),,(222232222332r Rr R h b r b r b R b R h h r R S ++-++++++=ππ下台 =)(3r R b b h ++π

易拉罐底部材料的体积：）（底22222),(r d r d S +=π

所以，易拉罐所用的总材料体积为：

),(),,(),(),,(),,,,,(2322112121r d S h r R S h R S h r R S d h h r r R S 底下台柱上台+++=

b R r Rr R b r R b b r R bh 2211212112)(3

2)(2)(ππππ++++++++≈ )2()()4(2222232222r d r R b b h h b R b bRh ++++++++ππππ

当易拉罐所需的总材料最少，则生产该易拉罐的费用最省，建立优化模型如下：

S min b R r Rr R b r R b b r R bh 2211212112)(3

2)(2)(ππππ++++++++= )2()()4(2222232222r d r R b b h h b R b bRh ++++++++ππππ s.t ?????>+-++++++=0,,,,6)3(3)(3)(2

121222222222112122h h r r R d r d r Rr R h r Rr R h h R V ππππ 当23121215.02,6,8.0h h h b r r R r ===-=，)(618.02321h h h R ++=，

7,135.0,360000===d b V 时，利用LINGO （附录三）解得：mm R 3.28=，mm r 667.222=，mm r 48.231=，1h =11.23mm ，mm h 61.53=，,85.742mm h =，mm H 69.91=，这样设计出来的易拉罐取材省，外观美丽。

五、模型评价与改进

此模型通过实际数据,将理论分析和实际状况进行比较，有较强的现实意义。能兼顾安全、实用、方便、美观、经济，理论引用可信度较高。但在模型中没有考虑接口处的材料，由于时间关系，对罐底、罐盖与罐壁的厚度等对比没有作深入的研究。期望能在此方面加以改革，以达到最经济的效果。

六、建模体会

数学建模是一项以培养青年学生创新思维、团结协作、综合应用能力、提高学生素质为目的的活动、深受青年学生的青睐，我们是这项活动的喜爱者、参与者、受益者。

通过数学建模的学习与实践，我们懂得了数学建模就是把现实世界中的实际问题加以提炼。用数学语言符号描述问题的内在联系，然后用适当的数学工具建立相应的数学模型，进而用数学知识、数学软件等求出模型的解，并验证模型的合理性。用该数学模型解释现实问题，甚至解决一些当前生产、生活中的技术难关，并将部分模型应用于实际生产中，给社会带来巨大的经济效益。数学建模的关键步骤可以归纳为：模型准备、模型假设、模型建立、模型求解、模型检验及模型应用等。对于我们来说，如何解读实际问题，掌握各种信息与数据，抓住其本质，再用所学的数学知识建立模型是难点。

就易拉罐的形状和尺寸的最优设计而言，考虑了易拉罐罐底为何设计成呈弧形的拱面，这样设计对易拉罐有何作用，如何设计易拉罐各部分材料的厚度以及形状，并证明所需要的材料是最省的，即对产家而言所需的费用是最省的，然而在此基础上还需考虑到罐内气体对易拉罐各部分的应力以及易拉罐的承受能力，并用数学的方式进行表达和证明，说明我们所设计的易拉罐是合理的，这是问题的关键所在，也是本模型的最大难点，而数学建模的最大难点也在于如何建立数学模型将理论转化为实际问题。

通过数学建模活动使我们真正懂得了数学的魅力，它的应用十分广泛，可以渗透到工程、生物、经济、环境、能源等各个邻域，也使我们学会了学习，学会了合作，学会了利用网络及我们所学的知识去解决问题的思想。这对我们今后的学生时代及走上岗位后的职业生涯会终身受益。

参考文献

[1] 刘鸿文，《材料力学》，人民教育出版社，1979.2. （第154页）

[2] 吴建国，《数学建模案例精编》，北京市三里河路6号：中国水利水电出版社， 2005.1．(第89页)

[3] 《数学手册》编写组，《数学手册》，北京印刷二厂：人民教育出版社，1979 (第81页)

[4] 姜启源 谢金星 叶俊，《数学模型第三版》，北京市西城区德外大街4

号：高等教育出版社， 2004.2

[5]admin，铝制易拉罐成形工艺及模具，，2006．9．15

[6]刘代祥，饮料包装研究，，2006．9．15

附录

附录一

model:

b=0.135;v=360000;

min=3.14*b*h1*(R+r1+b)+2*3.14*b^2*(R+r1)+2*3.14*b*(R^2+R*r1+r1^2)/3 +2*3.14*b*R^2+3.14*b*2*R*h2+3.14*b^2*(4*R+h2);

3.14*R^2*(h2+h1/3)+3.14*h1*r1^2/3.0+3.14*h1*R*r1/3.0=v;

R>=r1;

end

Local optimal solution found at iteration: 130

Objective value: 4785.179

Variable Value Reduced Cost B 0.1350000 0.000000 V 360000.0 0.000000 H1 118.9332 0.000000 R 30.60349 0.000000 R1 30.60349 -0.6001035E-07

H2 3.480709 -0.1719013E-06

Row Slack or Surplus Dual Price

1 0.000000 -35601.72

2 0.000000 -0.8841982E-

02

3 4785.179 -1.000000

4 0.000000 -0.8841982E-02

5 0.000000 -24.57812 附录二

model:

b=0.135;v=360000;

min=3.14*b*h1*(R+r1+b)+2*3.14*b^2*(R+r1)+2*3.14*b*(R^2+R*r1+r1^2)/3 +2*3.14*b*R^2+3.14*b*2*R*h2+3.14*b^2*(4*R+h2);

3.14*R^2*(h2+h1/3)+3.14*h1*r1^2/3.0+3.14*h1*R*r1/3.0=v;

R>r1;

r1>=0.95*R;

h1>=0.08*h2;

Local optimal solution found at iteration: 131

Objective value: 4751.322

Variable Value Reduced Cost B 0.1350000 0.000000 V 360000.0 0.000000 H1 8.940641 0.000000 R 30.87646 -0.1512417E-06

R1 29.33264 0.000000 H2 111.7580 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 0.000000 -35349.82

2 0.000000 -0.8779419E-

02

3 4751.322 -1.000000

4 0.000000 -0.8779424E-02

5 1.543823 0.000000

6 0.000000 -21.85243

7 0.000000 -0.5905080 附录三

model:

b=0.135;v=360000;d=7;

min=3.14*b*h1*(R+r1+b)+2*3.14*b^2*(R+r1)+6.28*b/3*(R^2+R*r1+r1^2)+6.2 8*b*R^2+6.28*b*R*h2+3.14*

(4*b^2*R+b^2*h2)+b*3.14*h3*(b+R+r2)+3.14*(d+2*r2^2);

3.14*R^2*h2+3.14*h1*(R^2+r*r1+r1^2)/3+3.14*h2*(R^2+R*r2+r2^2)/3-

3.14*d*(3*r2^2+d^2)/6=v;

r2=0.8*R;

r1-r2=6*b;

h1=2*h3;

h1=0.15*h2;

2*R=0.618*(h1+h2+h3);

End

Local optimal solution found at iteration: 8

Objective value: 6682.800

Variable Value Reduced Cost B 0.1350000 0.000000

V 360000.0 0.000000 D 7.000000 0.000000 H1 11.22734 0.000000 R 28.33220 0.000000 R1 23.47576 0.000000 H2 74.84894 0.000000 H3 5.613671 0.000000 R2 22.66576 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 0.000000 -25664.15

2 0.000000 0.2415566E-

02

3 0.000000 -13.93667

4 6682.800 -1.000000

5 -0.1461669E-03 -0.1223693E-01

6 0.000000 -237.8623

7 0.000000 -15.32313

8 0.000000 23.41009

9 1.386329 0.000000

10 0.000000 -44.71500

11 0.000000 -40.68756