微积分(Calculus)3.1
★微积分(论文)
为了证明我不是抄袭，复制黏贴过来。
或者抄袭别人的论文。
本人都用了句号。
数学论文作者：李珍珍微积分请问什么是微积分？你还不懂吗？那就拿着本本和笔笔去学习吧。
啦~数学是研究“数”与“形”的一门学科。
数学也是一种工具。
近代数学的伟大变革是从引进变量开始的，而微积分学的发明正式变量数学的第一个伟大成就，微积分学的出现不仅颠覆了整个数学领域，而且显著地促进了近代科学技术的发展，没有微积分这一项强大的数学工具。
物理学。
天文学。
等领域的近代理论的形成是几乎不可能的。
微积分是由牛顿和莱布尼兹发明的。
微积分学为研究变量提供了一个方法系统。
气基本内容是微分与几分这两种互相关联的运算。
在求物体瞬时速度和曲线切线时。
我们就会运用到微积分。
且都建立在极限概念的基础上。
微分学研究变量的局部性质。
而积分学就处理变量在一定范围内的“求和”∑。
因而是一整体问题。
自然。
局部与整体和对立与联系。
充分体现出微分与几分的相互关系中。
微积分学已经成为经典数学的重要分支。
有一系列的重要学科在他身上萌芽。
如微分方程。
复变函数。
实变函数。
便疯法等。
微积分学的李云与方法。
已经广泛的运用与自然科学。
工程技术和社会学科等多个领域部门。
对微积分学的一定程度的掌握，不仅是对科技工作者的数学训练中的必备要素。
而且也越来越为对经济学家。
工程师和许多社会工作者的基本要求。
要想学好微积分。
必须把基础打好。
极限与连续性函数N维空间1，空间R+ n个实数的有续租（x1,x2,……xn)之全体成为n维欧几里德空间。
记作R+。
R+的元素（x1,x2^xn)称为点。
记作x或大写字母A,B,C等。
R1（上标）就是实直线，也写作R或者（-躺倒的8，+躺倒的8）。
【哎呀。
什么奇葩的坑爹。
那个无穷符号打不出来。
】。
R²就是实平面。
R³就可以解释为通常的空间。
这就好比。
一维是线。
二维是面。
三维是空间。
（2.线性运算。
任意给定的x,y属于Rn（上标），α，β属于R，不妨设x=（x1,x2,x3……，xn)，y=(y1,y2,y3……yn)，定义αx+βy=（ax1+βy1。
常用微积分公式范文
常用微积分公式范文微积分（Calculus）是数学中的一个重要分支，是研究函数的极限、导数、积分与级数的工具与理论体系。
下面是一些常用的微积分公式，以及它们的应用。
一、极限（Limits）1.极限的定义：如果对于任意给定的正实数ε，存在正实数δ，使得当0＜，x-a，＜δ时，有，f(x)-L，＜ε成立，那么就称函数f在点x＝a处的极限值为L。
2.常见极限：(1)基本极限公式：- lim(x→0) sin(x)/x = 1- lim(x→0) (1+1/x)^x = e- lim(x→∞) (1+1/x)^x = e(2)三角函数的极限：- lim(x→0) sin(x)/x = 1- lim(x→0) tan(x)/x = 1- lim(x→0) (1-cos(x))/x^2 = 1/2(3)对数与指数函数的极限：- lim(x→0) (1+nx)^(1/x) = e^n- lim(x→0) (1+x/n)^n = e^x- lim(x→∞) (1+1/n)^{nx} = e^x二、导数（Derivatives）1.导数的定义：f(x)在x=a处可导，如果极限lim(h→0)[f(a+h)-f(a)]/h存在，则称该极限为f(x)在x=a处的导数，记作f'(a)或df(a)/dx。
2.常见导数公式：(1)基本导数公式：- (x^n)' = nx^(n-1)- (sin(x))' = cos(x)- (cos(x))' = -sin(x)- (tan(x))' = sec^2(x)(2)导数的四则运算：-(k)'=0（常数导数）-(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)（和差法则）-(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（乘积法则）-(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2（商法则）(3)链式法则：-若y=f(g(x))，则y'=f'(g(x))*g'(x)三、积分（Integrals）1.积分的定义：对于函数f(x)在区间[a, b]上的一个划分，以及任意选取的区间上的点ξi，利用和式∑f(ξi)Δx，使得该和在划分的细化下存在唯一极限，即对于任意的选取划分和点的方法，当∥∥P∥∥→0时，和式∑f(ξi)Δx的极限存在，则该极限称为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx。
微积分
与函数有关的概念
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。 自变量，函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。 因变量(函数)，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一 值与其相对应。 函数值，在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，当x取a时，Y就随之确定为b， b就叫做a的函数值。 映射定义 设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B 中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对 应关系f）叫做集合A到集合B的映射(Mapping)，记作f：A→B。其中，b称为a在映射f下的象，记作： b=f(a); a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合记作f(A)。 则有：定义在非空数集之间的映射称为函数。（函数的自变量是一种特殊的原象，因变量是特 殊的象） 几何含义 函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量 的值就是图象与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的 表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变 成了不等式，可以求自变量的范围。 函数的集合论（关系）定义 如果X到Y的二元关系f：X×Y，对于每个x∈X，都有唯一的y∈Y，使得<x,y>∈f，则称f为X到 Y的函数，记做：f:X→Y。 当X=X1×…×Xn时，称f为n元函数。 其特点： 前域和定义域重合 单值性：<x,y>∈f∧<x,y’>∈f →y=y’
• 导数（Derivative）是微积分中的重要基
微积分必知
必须了解的微积分微积分微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一目录•1词目释义••2历史••3基本内容••折叠数学分析••折叠微积分••4一元微分••折叠定义••折叠几何意义••5多元微分••6积分相关••折叠一阶微分与高阶微分••7创立意义••8极限理论••9第二次危机••10常见符号••11相关评价••12优先权之争••13现代发展••14计算器对微积分的求解•1词目释义编辑从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代。
整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。
（1）运动中速度与距离的互求问题已知物体移动的距离表为以时间为变量的函数，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为以时间为变量的函数公式，求速度和距离。
这类问题是研究运动时直接出现的，困难在于，所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。
比如，计算物体在某时刻的瞬时速度，就不能像计算平均速度那样，用移动的距离去除运动的时间，因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是，而是无意义的。
但是，根据物理，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这也是无疑的。
已知速度公式求移动距离的问题，也遇到同样的困难。
因为速度每时每刻都在变化，所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度，来得到物体移动的距离。
（2）求曲线的切线问题这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。
赵树嫄-《微积分(第四版)》第一章 函数
D {2x | x N 且 x 50} , 即 D {0，2，4，，98, 100}
8
集合以及集合间的关系可以用如下的图形表示，称 为文氏图，即用一个平面区域表示一个集合。
AB
U
A
B
9
(三) 全集与空集
基本性质： A A U , A A
(六) 集合运算律
交换律： A B B A AB B A
结合律： ( A B) C A (B C) (A B) C A(B C)
分配律： A (B C) ( A B) ( A C) A(B C) (A B) (AC)
x AB
所以 A B A B 。
19
例2 证明 A B B .
证明 对任意的 x A B
x A且xB x A且xB x AB
所以 A B A B 。
U
A B
20
例3 证明吸收律 A ( A B) A .
证明 A ( A B) (AU)(A B)
1
在一切理论成就中，未必有什么 像17世纪下半叶微积分的发明那 样被看作人类精神的卓越胜利了 （恩格斯）
2
教材：
《微积分》
主编 赵树嫄 （第四版）
中国人民大学出版社
3
微积分(Calculus)是一门以变
量为研究对象、以极限方法作为研 究工具的数学学科，应用极限方法 研究各类变化率问题和几何学中曲 线的切线问题，就产生了微分学； 应用极限方法研究诸如曲边梯形的 面积等涉及到微小量无穷积累的问 题，就产生了积分学。英国数学家 牛顿和德国数学家莱布尼兹 同时发 明了微积分，微积分研究的主要对 象就是函数。
微积分-二重积分
3)、若 z f ( x, y) 在区域 D 上的值有正有负，则曲顶柱体
的体积取其二重积分的代数和。
（其中xoy面上方柱体的体积取正， xoy面下方柱体的体 积取负）。
三、二重积分的性质
calculus
性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号 的外面，即：
kf x, yd k f x, yd
ms f ( x, y) d Ms
D
calculus
性质７ 中值定理 如果 f ( x, y) 在闭区域 D 上连续，
s 是 D的面积，则在 D 内至少存在一点 ( ,) ，
使得
f ( x, y)d f ( ,) s
D
中值定理的几何意义：在区域 D 上以曲顶 z f (x, y)为顶 的曲顶柱体的体积，等于区域 D上以某一点( ,) 的函数值
dx
2(x) f ( x, y )dy
a
1(x)
D
注: 若 ƒ(x,y)≤0 仍然适用。
calculus
（2）Y-型域： c y d , 1( y) x 2( y).
d
x 1( y) c
D
d
x 1( y) x 2( y)
c
［Y－型］ D
x 2( y)
Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直线与区 域边界的交点不多于两个；
D
D
(3,0) x
calculus
2） ln(x y)d 与 [ln(x y)]2d,其中区域 D为
D
D
顶点为A(1，0)B(1，1)，C(2，0)的三角形闭区域。
解：BC的方程 x+y=2
B(1,1)
D内 1 x y 2, 0 ln(x y) 1
最出名的美国高等数学教材
最出名的美国高等数学教材美国是世界上数学研究和教育水平最高的国家之一。
在高等数学领域，美国拥有许多优秀的教材，被广泛应用于大学和研究机构。
本文将介绍几本最出名的美国高等数学教材，它们对于数学教育的发展起到了重要的推动作用。
1.《微积分》（Calculus），James Stewart《微积分》是一本广泛使用的高等数学教材，由加拿大数学家James Stewart编写。
这本教材以其清晰的文字、严谨的推导和丰富的例题而闻名。
它包含了单变量和多变量微积分的内容，并覆盖了微积分的基本原理、技巧和应用。
《微积分》被许多大学选作本科生微积分课程的教材，对于培养学生的数学思维和问题解决能力起到了积极的作用。
2.《实变函数与泛函分析》（Real Analysis and Functional Analysis），Elias M. Stein and Rami Shakarchi《实变函数与泛函分析》是一本权威性和深度的高级数学教材，由两位杰出的数学家Elias M. Stein和Rami Shakarchi合著。
这本教材以其严谨的逻辑和精确的证明而著称，涵盖了实变函数和泛函分析的核心理论和应用。
《实变函数与泛函分析》适合于研究生和高年级本科生，对于培养学生的数学分析能力和创新思维具有重要意义。
3.《代数结构导论》（Introduction to Algebraic Structures），Joseph Landin《代数结构导论》是一本经典的代数学教材，由Joseph Landin编写。
这本教材系统地介绍了代数学的基本概念、原理和方法，包括群论、环论、域论等内容。
它以其简洁明了的讲解和充满意义的例子而受到广大学生和教师的喜爱。
《代数结构导论》不仅适合于代数学专业的学生，也适用于理工科和计算机科学等相关专业的学生。
4.《偏微分方程》（Partial Differential Equations），Lawrence C. Evans《偏微分方程》是一本全面介绍偏微分方程理论和应用的教材，由Lawrence C. Evans编写。
高等数学-微积分第1章(英文讲稿)
C alc u lus (Fifth Edition)高等数学- Calculus微积分（双语讲稿）Chapter 1 Functions and Models1.1 Four ways to represent a function1.1.1 ☆Definition(1-1) function: A function f is a rule that assigns to each element x in a set A exactly one element, called f(x), in a set B. see Fig.2 and Fig.3Conceptions: domain; range (See fig. 6 p13); independent variable; dependent variable. Four possible ways to represent a function: 1)Verbally语言描述(by a description in words); 2) Numerically数据表述(by a table of values); 3) Visually 视觉图形描述(by a graph);4)Algebraically 代数描述(by an explicit formula).1.1.2 A question about a Curve represent a function and can’t represent a functionThe way ( The vertical line test ) : A curve in the xy-plane is the graph of a function of x if and only if no vertical line intersects the curve more than once. See Fig.17 p 171.1.3 ☆Piecewise defined functions (分段定义的函数)Example7 (P18)1－x if x ≤1f(x)＝﹛x2if x＞1Evaluate f(0)，f(1)，f(2) and sketch the graph.Solution：1.1.4 About absolute value (分段定义的函数)⑴∣x∣≥0；⑵∣x∣≤0Example8 (P19)Sketch the graph of the absolute value function f(x)＝∣x∣.Solution：1.1.5☆☆Symmetry ，(对称) Even functions and Odd functions (偶函数和奇函数)⑴Symmetry See Fig.23 and Fig.24⑵①Even functions: If a function f satisfies f(－x)＝f(x) for every number x in its domain，then f is call an even function. Example f(x)＝x2 is even function because: f(－x)＝ (－x)2＝x2＝f(x)②Odd functions: If a function f satisfies f(－x)＝－f(x) for every number x in its domain，thenf is call an odd function. Example f(x)＝x3 is even function because: f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)③Neither even nor odd functions:1.1.6☆☆Increasing and decreasing function (增函数和减函数)⑴Definition(1-2) increasing and decreasing function:① A function f is called increasing on an interval I if f(x1)＜f(x2) whenever x1＜x2 in I. ①A function f is called decreasing on an interval I if f(x1)＞f(x2) whenever x1＜x2 in I.See Fig.26. and Fig.27. p211.2 Mathematical models: a catalog of essential functions p251.2.1 A mathematical model p25A mathematical model is a mathematical description of a real-world phenomenon such as the size of a population, the demand for a product, the speed of a falling object, the concentration of a product in a chemical reaction, the life expectancy of a person at birth, or the cost of emission reduction.1.2.2 Linear models and Linear function P261.2.3 Polynomial P27A function f is called a polynomial ifP(x) ＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a2x2＋a1x＋a0Where n is a nonnegative integer and the numbers a0，a1，a2，…，a n－1，a n are constants called the coefficients of the polynomial. The domain of any polynomial is R＝(－∞,＋∞).if the leading coefficient a n≠0, then the degree of the polynomial is n. For example, the function P(x) ＝5x6＋2x5－x4＋3x－9⑴Quadratic function example: P(x) ＝5x2＋2x－3 二次函数（方程）⑵Cubic function example: P(x) ＝6x3＋3x2－1 三次函数（方程）1.2.4Power functions幂函数P30A function of the form f(x) ＝x a，Where a is a constant, is called a power function. We consider several cases：⑴a＝n where n is a positive integer ，(n＝1，2，3，…，)⑵a＝1/n where n is a positive integer，(n＝1，2，3，…，) The function f(x) ＝x1/n⑶a＝n－1 the graph of the reciprocal function f(x) ＝x－1 反比函数1.2.5Rational function有理函数P 32A rational function f is a ratio of two polynomials:f(x)＝P(x) /Q(x)1.2.6Algebraic function代数函数P32A function f is called algebraic function if it can be constructed using algebraic operations ( such as addition，subtraction，multiplication，division，and taking roots) starting with polynomials. Any rational function is automatically an algebraic function. Examples: P 321.2.7Trigonometric functions 三角函数P33⑴f(x)＝sin x⑵f(x)＝cos x⑶f(x)＝tan x＝sin x / cos x1.2.8Exponential function 指数函数P34The exponential functions are the functions the form f(x) ＝a x Where the base a is a positive constant.1.2.9Transcendental functions 超越函数P35These are functions that are not a algebraic. The set of transcendental functions includes the trigonometric，inverse trigonometric，exponential，and logarithmic functions，but it also includes a vast number of other functions that have never been named. In Chapter 11 we will study transcendental functions that are defined as sums of infinite series.1.2 Exercises P 35-381.3 New functions from old functions1.3.1 Transformations of functions P38⑴Vertical and Horizontal shifts (See Fig.1 p39)①y＝f(x)＋c，（c＞0）shift the graph of y＝f(x) a distance c units upward.②y＝f(x)－c，（c＞0）shift the graph of y＝f(x) a distance c units downward.③y＝f(x＋c)，（c＞0）shift the graph of y＝f(x) a distance c units to the left.④y＝f(x－c)，（c＞0）shift the graph of y＝f(x) a distance c units to the right.⑵ V ertical and Horizontal Stretching and Reflecting (See Fig.2 p39)①y＝c f(x)，（c＞1）stretch the graph of y＝f(x) vertically by a factor of c②y＝(1/c) f(x)，（c＞1）compress the graph of y＝f(x) vertically by a factor of c③y＝f(x/c)，（c＞1）stretch the graph of y＝f(x) horizontally by a factor of c.④y＝f(c x)，（c＞1）compress the graph of y＝f(x) horizontally by a factor of c.⑤y＝－f(x)，reflect the graph of y＝f(x) about the x-axis⑥y＝f(－x)，reflect the graph of y＝f(x) about the y-axisExamples1: (See Fig.3 p39)y＝f( x) ＝cos x，y＝f( x) ＝2cos x，y＝f( x) ＝（1/2）cos x，y＝f( x) ＝cos（x/2），y＝f( x) ＝cos2xExamples2: (See Fig.4 p40)Given the graph y＝f( x) ＝( x)1/2，use transformations to graph y＝f( x) ＝( x)1/2－2，y＝f( x) ＝(x－2)1/2，y＝f( x) ＝－( x)1/2，y＝f( x) ＝2 ( x)1/2，y＝f( x) ＝(－x)1/21.3.2 Combinations of functions (代数组合函数)P42Algebra of functions: Two functions (or more) f and g through the way such as add, subtract, multiply and divide to combined a new function called Combination of function.☆Definition(1-2) Combination function: Let f and g be functions with domains A and B. The functions f±g，f g and f /g are defined as follows: （特别注意符号(f±g)( x) 定义的含义）①(f±g)( x)＝f(x)±g( x)，domain ＝A∩B②(f g)( x)＝f(x) g( x)，domain ＝A∩ B③(f /g)( x)＝f(x) /g( x)，domain ＝A∩ B and g( x)≠0Example 6 If f( x) ＝( x)1/2，and g( x)＝(4－x2)1/2，find functions y＝f(x)＋g( x)，y＝f(x)－g( x)，y＝f(x)g( x)，and y＝f(x) /g( x)Solution: The domain of f( x) ＝( x)1/2 is [0，＋∞)，The domain of g( x) ＝(4－x2)1/2 is interval [－2，2]，The intersection of the domains of f(x) and g( x) is[0，＋∞)∩[－2，2]＝[0，2]Thus，according to the definitions, we have(f＋g)( x)＝( x)1/2＋(4－x2)1/2，domain [0，2](f－g)( x)＝( x)1/2－(4－x2)1/2，domain [0，2](f g)( x)＝f(x) g( x) ＝( x)1/2(4－x2)1/2＝(4 x－x3)1/2domain [0，2](f /g)( x)＝f(x)/g( x)＝( x)1/2/(4－x2)1/2＝[ x/(4－x2)]1/2 domain [0，2)1.3.3☆☆Composition of functions (复合函数)P45☆Definition(1-3) Composition function: Given two functions f and g the composite function f⊙g (also called the composition of f and g ) is defined by(f⊙g)( x)＝f( g( x)) （特别注意符号(f⊙g)( x) 定义的含义）The domain of f⊙g is the set of all x in the domain of g such that g(x) is in the domain of f . In other words, (f⊙g)(x) is defined whenever both g(x) and f (g (x)) are defined. See Fig.13 p 44 Example7 If f (g)＝( g)1/2 and g(x)＝(4－x3)1/2find composite functions f⊙g and g⊙f Solution We have(f⊙g)(x)＝f (g (x) ) ＝( g)1/2＝((4－x3)1/2)1/2(g⊙f)(x)＝g (f (x) )＝(4－x3)1/2＝[4－((x)1/2)3]1/2＝[4－(x)3/2]1/2Example8 If f (x)＝( x)1/2 and g(x)＝(2－x)1/2find composite function s①f⊙g ②g⊙f ③f⊙f④g⊙gSolution We have①f⊙g＝(f⊙g)(x)＝f (g (x) )＝f((2－x)1/2)＝((2－x)1/2)1/2＝(2－x)1/4The domain of (f⊙g)(x) is 2－x≥0 that is x ≤2 {x ︳x ≤2 }＝(－∞，2]②g⊙f＝(g⊙f)(x)＝g (f (x) )＝g (( x)1/2 )＝(2－( x)1/2)1/2The domain of (g⊙f)(x) is x≥0 and 2－( x)1/2x ≥0 ，that is ( x)1/2≤2 ，or x ≤ 4 ，so the domain of g⊙f is the closed interval[0，4]③f⊙f＝(f⊙f)(x)＝f (f(x) )＝f((x)1/2)＝((x)1/2)1/2＝(x)1/4The domain of (f⊙f)(x) is [0，∞)④g⊙g＝(g⊙g)(x)＝g (g(x) )＝g ((2－x)1/2 )＝(2－(2－x)1/2)1/2The domain of (g⊙g)(x) is x－2≥0 and 2－(2－x)1/2≥0 ，that is x ≤2 and x ≥－2，so the domain of g⊙g is the closed interval[－2，2]Notice: g⊙f⊙h＝f (g(h(x)))Example9Example10 Given F (x)＝cos2( x＋9)，find functions f，g，and h such that F (x)＝f⊙g⊙h Solution Since F (x)＝[cos ( x＋9)] 2，that is h (x)＝x＋9 g(x)＝cos x f (x)＝x2Exercise P 45-481.4 Graphing calculators and computers P481.5 Exponential functions⑴An exponential function is a function of the formf (x)＝a x See Fig.3 P56 and Fig.4Exponential functions increasing and decreasing (单调性讨论)⑵Lows of exponents If a and b are positive numbers and x and y are any real numbers. Then1) a x+y＝a x a y2) a x－y＝a x / a y3) (a x)y＝a xy4) (ab)x+y＝a x b x⑶about the number e f (x)＝e x See Fig. 14，15 P61Some of the formulas of calculus will be greatly simplified if we choose the base a .Exercises P 62-631.6 Inverse functions and logarithms1.6.1 Definition(1-4) one-to-one function: A function f is called a one-to-one function if it never takes on the same value twice；that is，f (x1)≠f (x2)，whenever x1≠x2( 注解：不同的自变量一定有不同的函数值，不同的自变量有相同的函数值则不是一一对应函数) Example: f (x)＝x3is one-to-one function.f (x)＝x2 is not one-to-one function, See Fig.2,3,4☆☆Definition(1-5) Inverse function:Let f be a one-to-one function with domain A and range B. Then its inverse function f－1(y)has domain B and range A and is defined byf－1(y)＝x f (x)＝y for any y in Bdomain of f－1＝range of frange of f－1＝domain of f( 注解：it says : if f maps x into y, then f－1maps y back into x . Caution: If f were not one-to-one function，then f－1 would not be uniquely defined. )Caution: Do not mistake the－1 in f－1for an exponent. Thus f－1(x)＝1/ f(x) ！！！Because the letter x is traditionally used as the independent variable, so when we concentrate on f－1(y) rather than on f－1(y), we usually reverse the roles of x and y in Definition (1-5) and write as f－1(x)＝y f (x)＝yWe get the following cancellation equations:f－1( f(x))＝x for every x in Af (f－1(x))＝x for every x in B See Fig.7 P66Example 4 Find the inverse function of f(x)＝x3＋6Solution We first writef(x)＝y＝x3＋6Then we solve this equation for x:x3＝y－6x＝(y－6)1/3Finally, we interchange x and y：y＝(x－6)1/3That is, the inverse function is f－1(x)＝(x－6)1/3( 注解：The graph of f－1 is obtained by reflecting the graph of f about the line y＝x. ) See Fig.9、8 1.6.2 Logarithmic functionIf a＞0 and a≠1，the exponential function f (x)＝a x is either increasing or decreasing and so it is one-to-one function by the Horizontal Line Test. It therefore has an inverse function f－1，which is called the logarithmic function with base a and is denoted log a，If we use the formulation of an inverse function given by (See Fig.3 P56)f－1(x)＝y f (x)＝yThen we havelogx＝y a y＝xThe logarithmic function log a x＝y has domain (0,∞) and range R.Usefully equations:①log a(a x)＝x for every x∈R②a log ax＝x for every x＞01.6.3 ☆Lows of logarithms :If x and y are positive numbers, then①log a(xy)＝log a x＋log a y②log a(x/y)＝log a x－log a y③log a(x)r＝r log a x where r is any real number1.6.4 Natural logarithmsNatural logarithm isl og e x＝ln x ＝ythat is①ln x ＝y e y＝x② ln(e x)＝x x∈R③e ln x＝x x＞0 ln e＝1Example 8 Solve the equation e5－3x＝10Solution We take natural logarithms of both sides of the equation and use ②、③ln (e5－3x)＝ln10∴5－3x＝ln10x＝(5－ln10)/3Example 9 Express ln a＋(ln b)/2 as a single logarithm.Solution Using laws of logarithms we have:ln a＋(ln b)/2＝ln a＋ln b1/2＝ln(ab1/2)1.6.5 ☆Change of Base formula For any positive number a (a≠1), we havel og a x＝ln x/ ln a1.6.6 Inverse trigonometric functions⑴Inverse sine function or Arcsine functionsin－1x＝y sin y＝x and －π/2≤y≤π / 2，－1≤x≤1 See Fig.18、20 P72Example13 ① sin－1 (1/2) or arcsin(1/2) ② tan(arcsin1/3)Solution①∵sin (π/6)＝1/2，π/6 lies between －π/2 and π / 2，∴sin－1 (1/2)＝π/6② Let θ＝arcsin1/3，so sinθ＝1/3tan(arcsin1/3)＝tanθ＝ s inθ/cosθ＝ (1/3)/(1－s in2θ)1/2＝1/(8)1/2Usefully equations:①sin－1(sin x)＝x for －π/2≤x≤π / 2②sin (sin－1x)＝x for －1≤x≤1⑵Inverse cosine function or Arccosine functioncos－1x＝y cos y＝x and 0 ≤y≤π，－1≤x≤1 See Fig.21、22 P73Usefully equations:①cos－1(cos x)＝x for 0 ≤x≤π②cos (cos－1x)＝x for －1≤x≤1⑶Inverse Tangent function or Arctangent functiontan－1x＝y tan y＝x and －π/2＜y＜π / 2 ，x∈R See Fig.23 P73、Fig.25 P74Example 14 Simplify the expression cos(ta n－1x).Solution 1 Let y＝tan－1 x，Then tan y＝x and －π/2＜y＜π / 2 ，We want find cos y but since tan y is known, it is easier to find sec y first:sec2y＝1 ＋tan2y sec y＝(1 ＋x2 )1/2∴cos(ta n－1x)＝cos y ＝1/ sec y＝(1 ＋x2)－1/2Solution 2∵cos(ta n－1x)＝cos y∴cos(ta n－1x)＝(1 ＋x2)－1/2⑷Other Inverse trigonometric functionscsc－1x＝y∣x∣≥1csc y＝x and y∈(0，π / 2]∪(π，3π / 2]sec－1x＝y∣x∣≥1sec y＝x and y∈[0，π / 2)∪[π，3π / 2]cot－1x＝y x∈R cot y＝x and y∈(0，π)Exercises P 74-85Key words and PhrasesCalculus 微积分学Set 集合Variable 变量Domain 定义域Range 值域Arbitrary number 独立变量Independent variable 自变量Dependent variable 因变量Square root 平方根Curve 曲线Interval 区间Interval notation 区间符号Closed interval 闭区间Opened interval 开区间Absolute 绝对值Absolute value 绝对值Symmetry 对称性Represent of a function 函数的表述（描述）Even function 偶函数Odd function 奇函数Increasing Function 增函数Increasing Function 减函数Empirical model 经验模型Essential Function 基本函数Linear function 线性函数Polynomial function 多项式函数Coefficient 系数Degree 阶Quadratic function 二次函数（方程）Cubic function 三次函数（方程）Power functions 幂函数Reciprocal function 反比函数Rational function 有理函数Algebra 代数Algebraic function 代数函数Integer 整数Root function 根式函数（方程）Trigonometric function 三角函数Exponential function 指数函数Inverse function 反函数Logarithm function 对数函数Inverse trigonometric function 反三角函数Natural logarithm function 自然对数函数Chang of base of formula 换底公式Transcendental function 超越函数Transformations of functions 函数的变换Vertical shifts 垂直平移Horizontal shifts 水平平移Stretch 伸张Reflect 反演Combinations of functions 函数的组合Composition of functions 函数的复合Composition function 复合函数Intersection 交集Quotient 商Arithmetic 算数。
微积分与矩阵
微积分学（Calculus，拉丁语意为用来计数的小石头）是研究极限、微分学、积分学和无穷级数等的一个数学分支，并成为了现代大学教育的重要组成部分。
微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。
我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中一般会先引入微分学。
在更深的数学领域中，高等微积分学通常被称为分析学，并被定义为研究函数的科学，是现代数学的主要分支之一。
早在古代，人们就会积分思想，如阿基米德用积分法算出了球的表面积，中国古代数学家刘微运用割元法求出圆周率3.1416，这也是用正多边形逼近圆，任何求出近似圆周率。
割圆法也是积分思想。
我们最伟大的古代数学家（现在是华罗庚）祖冲之也是利用积分算出了圆周率后7位数。
和球的体积。
但是正正系统提出微积分的是牛顿和莱布尼茨，他们为谁先发明微积分挣得头破血流。
牛顿是三大数学家之一，也是第一位划时代的物理学家，晚年从事神学和炼金学，它创立了整个经典力学体系和几何光学，这几乎成为了整个中学的必修部分，初中的力学和光学默认为几何光学，力学默认为简单的经典力学。
高中开始正式学习经典力学。
这里有一个非常之大的错误就是初中里为了方便或简单，用平均速率来代替平均速度，也就是速度公式v=x/t在初中里用速率公式v=s/t代替。
速度和速率一个是矢量，一个是标量，这里差距巨大，不知道编写初中课本（人教版是这样）的编者是学历太低，还是别有用心?这里我们讲微积分，之所以提起这个事情，就是为了突出一个名词——平均速度。
牛顿发明微积分（暂且认为是他和莱布尼茨共同发明的）的目的是为了研究物理学，因为微积分能解决很多普通数学不能解决的物体，如求曲边梯形面积。
实际上，我们初中是速度公式是速率公式，即v=s/t高中的速度公式实际上是平均速度公式，即v=△x/△t这里的△念德耳塔，表示变化率，这里当然不是用△去乘x了，△x是一个整体，就像汉字一样。
国外微积分经典著作
国外微积分经典著作国外微积分经典著作是学习微积分的重要参考书籍，下面列举了10本经典著作：1.《微积分学原理与应用》（Principles of Mathematical Analysis）- Walter Rudin这本书是微积分教材中的经典之作，被广泛用于大学微积分教学。
书中系统介绍了微积分的基本原理和应用，内容严谨而深入。
2.《微积分》（Calculus）- Michael SpivakSpivak的《微积分》是一本经典的数学教材，对微积分的理论进行了深入的探讨。
书中不仅介绍了微积分的基本概念和技巧，还着重讲解了微积分的证明和推导过程。
3.《微积分学》（Calculus）- James StewartStewart的《微积分学》是一本广受欢迎的微积分教材，适合初学者阅读。
书中以清晰易懂的语言介绍了微积分的概念和方法，并提供了大量的练习题和解答。
4.《微积分与其应用》（Calculus with Applications）- Margaret L. Lial, Raymond N. Greenwell, Nathan P. Ritchey这本书主要面向应用型的微积分学习者，介绍了微积分的基本概念和应用。
书中以实际问题为例，帮助读者理解微积分在科学和工程领域的应用。
5.《微积分学教程》（A Course in Calculus and Real Analysis）- Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye这本书是一本适合高年级本科生和研究生的微积分教材。
书中深入讲解了微积分的理论和技巧，并提供了大量的例题和习题。
6.《微积分引论》（Introduction to Calculus）- John E. Marsden, Anthony J. Tromba这本书是一本经典的微积分教材，对微积分的基本概念和方法进行了全面介绍。
书中以直观的图形和实例帮助读者理解微积分的概念和原理。