练习-初二数学周末练习18(全等三角形之一期末复习)

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专题18 全等三角形(专项训练)(解析版)

专题18 全等三角形一、单选题1．（2021·湖南怀化·九年级）如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是（）A．AO平分△EAF B．AO垂直平分EF C．GH垂直平分EF D．GH平分AF【答案】C【详解】由尺规作图的痕迹可得：GH垂直平分线段EF．故选C．2．（2021·江苏南京·九年级）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC、AC上，AD＝DE，BD＝CE，若△ADE＝m°，则△BAD的度数是（）A．m°B．1902m⎛⎫-⎪⎝⎭°C．（90－m）°D．3902m⎛⎫-⎪⎝⎭°【答案】D【分析】分别过点E、G作EF△CD、DG△AB，证明△CEF△△BDG、△DEF△△ADG，从而证明△CDE△△ADB，得到△EDC=△BAD，再利用等边对等角，用m表示出△AED和△CED，再利用平角的定义即可表示出△BAD的度数．【详解】解：分别过点E、G作EF△CD、DG△AB，垂直分别为F、G，△AB=AC ， △△B =△C ，△EF △CD ，DG △AB ， △△EFC =△DGB =90°，在△CEF 和△BDG 中△△EFC ＝△DGB ，△C ＝△B ，CE ＝BD ， △△CEF △△DGB （AAS ）， △EF =DG ，在Rt △DEF 和Rt △ADG 中 △DE ＝AD ，EF ＝DG ， △Rt △DEF △Rt △ADG （HL ）， △△CED =△ADB ，△EDC =△DAB ， △AD =ED ，△ADE =m °， △△DEA =180-()2m °△△ADB =△CED =180-(180-)2m°， △△BAD =△EDC =180°-（△ADB +△ADE ）=180°-180-(180-+)2mm ° =3(90-)2m° ，故选：D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识，能够根据线段相等等已知条件构造全等三角形是解答此题的关键．3．（2021·江苏九年级）如图，Rt AOB Rt COD △≌△，直角边分别落在x 轴和y 轴上，斜边相交于点E ，且tan 2OAB ∠=．若四边形OAEC 的面积为12，反比例函数(0)ky x x=>的图像经过点E ，则k 的值是（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B 【分析】过点E 作EF OA ⊥于F ，EG OC ⊥于G ,连接OE ，证明三角形全等，得对应边相等，用来证明四边形为正方形，再根据tan 2OAB ∠=，建立边与边之间的等量关系，利用两直线平行和四边形的面积，即可求出解．【详解】解：过点E 作EF OA ⊥于F ，EG OC ⊥于G ,连接OE ,如图：Rt AOB Rt COD △≌△，,,OA OC OB OD ABO CDO ∴==∠=∠，OB OC OD OA ∴-=-，即：BC AD =，在BCE DAE =中，{ABO CDO BEC DEA BC AD ∠=∠∠=∠=，()BCE DAE AAS ∴≌， EC AE ∴=，在CEO 和AEO △中， OC OA OE OE EC EA =⎧⎪=⎨⎪=⎩()CEO AEO SSS ∴≌，45COE AOE ∴∠=∠=︒，COEAOESS=，,,EG OC EF AO OA OC ⊥⊥⊥，∴四边形OFEG 为正方形，EG EF OG OF ∴===，tan 2,2OBOAB OA∠=∴=，设OA OC a ==，则2OB OD a ==，设EG EF x ==，则OG OF x ==，//EG OA ，EG BGOA BO ∴=，即：22x a x a a-=，解得：23x a =， 22(,)33E a a ∴，四边形OAEC 的面积为12， 162AEOSS ∴==四边形OAEC， 162OA EF ∴⨯=， 12623a a ∴⨯⨯=，解得：218a =， 22248339k a a a ∴=⨯==，故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数k 的几何意义，待定系数法，三角形全等的判定与性质，正方形的判定与性质，三角形的面积，解直角三角形，解题的关键是：利用点的坐标表示出相应线段的长度．4．（2021·山东九年级）如图，在ABC中，AB AC=，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于12BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若5,1AE BE==，则EC的长度是（）AB．C．9D【答案】A【分析】利用基本作图得到CE△AB，根据线段的和差关系可得AC=AB=6，然后利用勾股定理计算CE的长．【详解】△AE=5，BE=1，△AB=6，由作图可知CM为AB的垂线，即CE△AB，△在△ACE中，AC2=AE2+CE2，△AB=AC，△62=52+CE2，解得：CE（负值舍去），故选：A．【点睛】本题考查了基本作图及勾股定理，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是解题关键．5．（2021·江苏省天一中学九年级）如图，ABC中，△C=90o，BC＝8，AC＝6，点P在AB上，AP=3.6，点E从点A出发，沿AC运动到点C，连接PE，作射线PF垂直于PE，交直线BC于点F，EF的中点为Q，则在整个运动过程中，线段PQ扫过的面积为（）A．8B．6C．94πD．2516π【答案】B【分析】连接CQ，PQ，证明点Q在CP的垂直平分线上，连接CP，作CP的垂直平分线交BC于M，交AC于N，即点Q在MN上，可得PQ扫过的面积为△PMN的面积，证明△ABC△△ACP，得到MN△AB，再证明△CMN△△CBA，得到相似比，求出△CMN的面积即可得解．【详解】解：连接CQ，PQ，△△ACB=90°，PE△PF，Q为EF中点，△PQ=CQ=12EF，△点Q在CP的垂直平分线上，如图，连接CP，作CP的垂直平分线交BC于M，交AC于N，即点Q在MN上，△PQ扫过的面积为△PMN的面积，△△ACB=90°，AC=6，BC=8，△AB，△AP=3.6，则35AP ACAC AB==，又△C=△C，△△ABC△△ACP，△△APC =△ACB =90°，即CP △AB ， △MN △CP ， △MN △AB ，△△CMN △△CBA ，又MN 垂直平分CP ， △12CM CN CB CA ==，且△CMN 和△PMN 的面积相等， △S △PMN =S △CMN =14S △ABC =116842⨯⨯⨯=6，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是推出点Q 的路径，得到点Q 在CP 的垂直平分线上．6．（2021·吉林）如图，在ABC 中，90ACB ∠>︒按以下步骤作图：分别以点A 和C 为圆心，大于12AC 的边长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和N ；作直线MN 交AB 于点D ，连结CD ．若5cm AB =，则BC 的长可能是（）A ．7cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm【答案】D 【分析】由基本作图得到MN 垂直平分AC ，则DA =DC ，根据三角形三边的关系得到BC ＜CD +DB ，然后对各选项进行判断．【详解】解：由作法得MN 垂直平分AC ， △DA =DC ，△CD +BD =DA +DB =AB =5， △BC ＜CD +DB ， △BC ＜5．故选：D ．【点睛】本题考查了作图-基本作图－作已知线段的垂直平分线．也考查了线段垂直平分线的性质．7．（2021·广西柳州·）如图，在Rt △ABC 中，△ACB =90°，AC =BC ，点M 在AC 边上，且A M=2，M C =6，动点P 在AB 边上，连接PC ，P M ，则PC +P M 的最小值是（）A ．B ．8C ．D ．10【答案】A 【分析】首先利用等腰三角形和垂直平分线的性质求出8AC '=和90C AC ∠'=︒，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：如解图，过点C 作CO AB ⊥于点O ，延长CO 到点C '，使OC OC '=，连接MC '，交AB 于点P '，此时MC P M P C P M P C '='+''='+'的值最小，连接AC '，,,90CO AB AC BC ACB ⊥=∠=︒，1245ACO ACB ∴∠=∠=︒．,CO OC CO AB ='⊥，268AC CA AM MC ∴'==+=+=， 45OC A OCA ∴∠'=∠=︒， 90C AC ∴∠'=︒， C A AC ∴'⊥，MC ∴'=PC PM ∴+的最小值为故选：A ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的应用和勾股定理，找到P 点的位置是关键．8．（2021·湖南长沙·九年级）如图，用直尺和圆规作图，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB ，OA 于点E 、D ，再分别以点E 、D 为圆心，大于12ED 的长为半径画弧，两弧交于点C ，连接OC ，则△ODC △OEC 的理由是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL【答案】A 【分析】连接EC 、DC ．根据作图的过程知，OE=OD ，CE=CD ，利用SSS 即可证明△ODC △OEC ．【详解】如图，连接EC 、DC ．根据作图的过程知，OE=OD ，CE=CD ，在△EOC 与△DOC 中， OE OD OC OC CE CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， △△EOC △△DOC （SSS ）．故选A ．【点睛】本题考查了基本作图及三角形全等的判定方法，根据作图方法确定出三角形全等的条件是解决问题的关键． 9．（2021·四川宜宾市·）如图，在ABC 中，90,16,C AC AB ∠=︒=的垂直平分线MN 交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ，若:3:5CD DB =，则ABC 的面积为（）A ．16B ．32C ．48D ．64【答案】D 【分析】由于CD ：DB ＝3：5，可设DC ＝3x ，BD ＝5x ，由于MN 是线段AB 的垂直平分线，故AD ＝DB ，AD ＝5x ，又知AC ＝16，即可据此列方程解答．【详解】解：△CD ：DB ＝3：5， △设DC ＝3x ，BD ＝5x ，又△MN 是线段AB 的垂直平分线， △AD ＝DB ＝5x ，又△AC＝16cm，△3x＋5x＝16，解得，x＝2，△CD＝6，DB＝10，在Rt△BDC中，CD＝6，DB＝10，BC8=，△△ABC的面积＝12AC×BC＝12×16×8＝64．故选D．10．（2021·河北唐山·）如图，所示的正方形网格中，一条A，B，C三点均在格点上，那么ABC的外接圆圆心是（）A．点E B．点F C．点G D．点H【答案】C【分析】由ABC的外接圆圆心在AB与BC的垂直平分线上，根据网格可知EG所在直线是AB的垂直平分线，BC 的垂直平分线是点G所在直线即可．【详解】解：△A，B，C三点均在格点上，连结BC，△ABC的外接圆圆心在AB与BC的垂直平分线上，由网格可知EG所在直线是AB的垂直平分线，BC的垂直平分线是点G所在直线，△点G是ABC的外接圆圆心．故选择：C．【点睛】本题考查网格三角形，三角形外接圆圆心，线段垂直平分线，掌握网格三角形，三角形外接圆圆心，线段垂直平分线是解题关键．二、填空题11．（2021·建昌县教师进修学校九年级）如图，在ABC中，AC＝4，BC＝8，分别以点A，B为圆心，等长为半径作弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，再以点F为圆心，DE长为半径作弧，交前弧于点G，连接AG并延长交BC于点H．则BH长_____．【答案】6【分析】根据尺规作图可得△CAH=△B，故可得到△ACH△△BCA，得到AC HCBC AC=，故可求出CH，从而求出BH的长．【详解】根据尺规作图可得△CAH=△B，又△C=△C△△ACH△△BCA△AC HC BC AC=△484HC =△HC=2故BH=BC-HC=6故答案为6．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知尺规作角相等的方法及相似三角形的判定定理． 12．（2021·建昌县教师进修学校九年级）如图，E 是正方形ABCD 外一点，连接AE ，BE ，DE ，AP △AE 交DE 于点P ，连接BP ，若AE ＝AP ＝1，PB △EB △ED ；△点B 到直线DE 的距离是1；△APDAPBSS+=；△S 正方形ABCD ．其中正确结论的序号为______．【答案】△△△ 【分析】根据正方形性质可得AD =AB ，△BAD =ADC =90°，再由AP △AE ，易证△ABE △△ADP ，再利用等腰直角三角形性质可得：△AEB =135°，进而可得：EB △ED ；由勾股定理即可求得BE =1，即点B 到直线DE 的距离为1；设正方形ABCD 边长为a ，根据勾股定理可得22212a a ⎛⎛⎫ -+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：22a=+，即可求得：APDAPBS S+=，2正方形2ABCD S a ==+，即可求解．【详解】解：△四边形ABCD 是正方形， △AD =AB ，△BAD =△ADC =90° △AP △AE ， △△EAP =90°△△BAE +△BAP =△BAP +△DAP =90°， △△BAE =△DAP ， △AE =AP =1，△△ABE △△ADP （SAS ）， △△AEB =△APD ，BE =DP △△AEP 是等腰直角三角形，△△AEP =△APE =45°，EP ===，△△APD =180°-△APE =180°-45°=135°， △△AEB =135°，△△BED =△AEB -△AEP =135°-45°=90°， △EB △ED ，故△正确；△1BE ==，故△正确；过点E 作EF △AB 于点F ，过点P 作PG △AB 于点G ，△AF =BF ，△AFE =△PGA =90°， △△EAF +△P AG =△P AG +△APG =90°， △△EAF =△APG ， △△EAF △△APG （AAS ）， △EF =AG ，AF =PG ，设正方形ABCD 边长为a ，则AB =a ，12AF PG a ==，△AG EF ====，△BG AB AG a =-=-，在Rt BPG △ 中，由勾股定理得：22212a a ⎛⎛⎫ -+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：22a =+，△()12APDAPBAEBAPBSSSSAB EF PG +=+=+1122a a ⎫⎪=+=⎪⎝⎭，故△正确；△2正方形2ABCD S a ==+，故△错误，故正确的有△△△．故答案为：△△△．【点睛】本题主要考查了正方形性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，三角形面积和正方形面积等；熟练掌握相关知识点是解题的关键．13．（2021·东莞市东莞中学初中部九年级）如图，OA ＝OB ，AC ＝BC ，△ACO ＝30°，则△ACB ＝__．【答案】60° 【分析】利用SSS 证明△AOC △△BOC 可得△BCO ＝△ACO ＝30°，进而可求解△ACB 的度数．【详解】解：在△ACO 和△BCO 中， OA OB AC BC OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， △△AOC △△BOC （SSS ）， △△BCO ＝△ACO ＝30°， △△ACB ＝△BCO +△ACO ＝60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．14．（2021·江苏）如图,在四边形ABCD 中,AB △DC ,过点C 作CE △BC ,交AD 于点E ,连接BE ,△BEC ＝△DEC ,若AB ＝6,则CD ＝___．【答案】3 【分析】延长AD ,BC 交于点P ,先证明BCE PCE ≅△△,可得到PC =BC ,从而得到CD 是ABP △ 的中位线,即可得出答案．【详解】如图,延长AD ,BC 交于点P , △CE △BC ,△90PCE BCE ∠=∠=︒ , 又△△BEC ＝△DEC ,CE =CE , △()BCE PCE ASA ≅ , △PC =BC , △AB △DC ,△CD 是ABP △ 的中位线, △116322CD AB ==⨯= , 故答案为3．【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理和三角形全等,解题的关键是做辅助线构造出三角形,找到三角形的中位线．15．（2021·江苏九年级）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则△1+△2＝___．【答案】135°【分析】直接利用网格证明△ABC△△CDE，得出对应角△1=△3，进而得出答案．【详解】解：如图所示：可知：AB=CD=3，BC=DE=1，△B=△D=90°，△△ABC△△CDE（SAS），△△1=△3，则△1+△2=△2+△3=135°．故答案为：135°．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键．三、解答题16．（2021·西安市铁一中学九年级）如图，已知直线l外有一点P，请用尺规作图的方法在直线l上找一点Q，使得Q到P的距离最小（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】见解析．【分析】以点P为圆心，适当长为半径，作弧交直线l于两点，再作以这两点为线段的垂直平分线，交直线于点Q 即可．【详解】解：如图，点Q即是所求作的点．【点睛】本题考查过直线外一点，作直线的垂直平分线，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．17．（2021·建昌县教师进修学校九年级）如图，在ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC＝4，过点C作MN△AB，点P为斜边BC上一点，点Q为直线MN上一点，连接PQ，作PR△PQ交直线AC于点R．（1）当点Q在射线CM上时△如图1，若P是BC的中点，则线段PQ，PR的数量关系为；△如图2，若P不是BC的中点，写出线段CP，CQ，CR之间的数量关系，并证明你的结论；（2）若14CP BC=，3CQ=，请直接写出CR的长．【答案】（1）△PQ＝PR；CQ CR+=，见解析；（2）5或1【分析】（1）△PQ＝PR；连结AP，△BAC＝90°，AB＝AC，可得△ACP=45°，由点P为BC中点，可得AP△BC，AP平分△BAC，可得△APQ+△QPC=90°，△P AC=45°，可求△RAP=135°，△ACP=△P AC=45°，可证△RAP△△QCP （ASA）即可；CQ CR+=．作PE △PC交AC于点E，可得△EPC＝90°，可得△EPQ+△QPC=90°，由PR△PQ，可得△RPE+△EPQ=90°，可得△RPE＝△QPC，再证△PER△△PCQ（ASA），可得ER＝CQ，在Rt△CEP中，利用三角函数可求CE=即可；（2）由△BAC＝90°，AB＝AC＝4，利用勾股定理可求BC=14CP BC=，可14CP BC=Q在MN上位置分两种情况：当点Q在CM上与点Q在CN上时，利用结论可求CR．【详解】（1）△连结AP，△△BAC＝90°，AB＝AC，△△ACP=45°，△点P为BC中点△AP△BC，AP平分△BAC，△△APQ+△QPC=90°，△P AC=45°，△△RAP=180°-△P AC=135°，△ACP=△P AC=45°△AP=CP，△RP△PQ，△△RP A+△APQ=90°，△△RP A=△QOC，△MN∥AB，△△ACQ=△BAC=90°，△△QCP=△ACQ+△PCA=90°+45°=135°=△RAP，在△RAP和△QCP中，RAP QCPAP CPRPA QPC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△RAP△△QCP（ASA），△PR=PQ，故答案为：PQ ＝PR ；CQ CR +=．证明：作PE △PC 交AC 于点E ，则△EPC ＝90°， △△EPQ+△QPC =90° △PR △PQ △△RPQ ＝90°， △△RPE +△EPQ =90°， △△RPE ＝△QPC ，△△BAC ＝90°，AB ＝AC ，MN △AB△△ABC ＝△ACB ＝45°，△ACM ＝△BAC ＝90° △△PEC ＝45°△PE ＝PC ，△PER ＝△PCQ ＝135°，在△REP 和△QCP 中，REP QCP EP CPRPE QPC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△PER △△PCQ （ASA ）， △ER ＝CQ ，在Rt △CEP 中，cos △PEC ＝PC CE =CE = 又△CE ER CR +=，CQ CR +=．（2）△△BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，△BC = △14CP BC =△1144CP BC ==⨯ 当点Q 在CM 上时CR CQ =+当点Q 在CN 上时证明：作PE △PC 交CN 于点E ，则△EPC ＝90°， △△EPR+△RPC =90° △PR △PQ △△RPQ ＝90°， △△RPE +△EPQ =90°， △△RPC ＝△QPE ，△△BAC ＝90°，AB ＝AC ，MN △AB△△ABC ＝△ACB ＝45°=△BCQ ，△ACN ＝△ACB +△BCQ =90°=△BAC△△PEC ＝45°△PE ＝PC ，△PEQ ＝△PCR ＝135°，在△QEP 和△RCP 中，QEP RCP EP CPQPE RPC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△QEP △△RCP （ASA ）， △EQ ＝CR ，在Rt △CEP 中，cos △PEC＝PC CE =CE = 又△CR CE CR -=，△CQ CR =．=3CR CQ =△CR 的长为5或1．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质与判定，平行线性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段的和差，锐角三角函数，掌握等腰直角三角形的性质与判定，平行线性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段的和差，锐角三角函数是解题关键．18．（2021·广东广州·铁一中学）如图，90A ∠=︒，//AD BC ，点E 是AB 上的一点，且AE BC =，12∠=∠．求证：ADE BEC △△≌．【答案】见解析【分析】根据等角对等边可得ED EC =，由此根据HL 证明Rt ADE △和Rt BEC △全等解答即可．【详解】证明：12∠=∠，ED EC ∴=，△90A ∠=︒，//AD BC ， △18090B A ∠=︒-=︒∠，在Rt ADE △和Rt BEC △中，AE BC ED EC=⎧⎨=⎩， Rt Rt (HL)ADE BEC ∴△≌△．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．19．（2021·江苏高港区·高港实验学校九年级）如图，在正方形ABCD 中，F 为BC 为边上的定点，E 、G 分别是AB 、CD 边上的动点，AF 和EG 交于点H 且AF △EG ．（1）求证：AF ＝EG ；（2）若AB ＝6，BF ＝2．△若BE ＝3，求AG 的长；△连结AG 、EF ，求AG ＋EF 的最小值．【答案】（1）见解析；（2）△【分析】（1）过点G 作GM △AD 交AB 于点M ，则可得AD =MG ，然后证明△GME △△ABF 即可；（2）△过点G 作GM △AD 交AB 于点M ，连接AG ，由（1）可得EM =BF =2，从而可求得AM ，在Rt △AMG 中由勾股定理即可求得AG 的长；△过点F 作FP △EG ，FP =EG ，连接AP ,则易得GP =EF ，当A 、G 、P 三点共线时，AG +EF 最小，在Rt △AFP 中由勾股定理即可求得AP 的长即可．【详解】（1）过点G 作GM △AD 交AB 于点M △四边形ABCD 是正方形△△BAD =△B =90゜，AB △CD ，AD =AB △△EMG =△BAD =△B =90゜ △AB △CD ，GM △AD△四边形AMGD 是平行四边形 △△BAD =90゜△四边形AMGD 是矩形 △MG =AD △MG =AB △AF △EG△△AEH +△EAH =90゜ △△EAH +△AFB =90゜ △△AEH =△AFB 在△GME 和△ABF 中EMG B AEH AFB MG AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△GME △△ABF (AAS ) △AF =EG（2）△过点G作GM△AD交AB于点M，连接AG，如图由（1）知，△GME△△ABF△EM=BF=2△AB=6，BE=3△AE=AB－BE=3△AM=AE－EM=1在Rt△AMG中，GM=AD=6，由勾股定理得：AG=△过点F作FP△EG，FP=EG，连接AP,如图则四边形EFPG是平行四边形△GP=EF△AG+GP≥GP△当A、G、P三点共线时，AG+EF=AG+GP最小,最小值为线段AP的长△AF△EG，FP△EG△FP△AF在Rt△ABF中，由勾股定理得AF==△AF=EG，EG=FP△FP=AF=在Rt△AFP中，由勾股定理得AP=所以AG+EF的最小值为【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，灵活运用这些知识是解决的关键，确定AG+EF最小值是线段AP的长是难点．20．（2021·杭州市丰潭中学九年级）如图，已知AB是△O的弦，OB＝1，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交△O于点D，连接AD．设△B＝α，△ADC＝β．（1）求△BOD的度数（用含α，β的代数式表示）；（2）若α＝30°，当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．（3）若α＝β，连接AO，记△AOD、△AOC、△COB的面积分别为S1，S2，S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OC的长．【答案】（1）△BOD＝2α+2β；（2）AC（3）OC．【分析】（1）作辅助线OA，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可确定△DOB的值；（2）分析△ACD中只有△D可能等于30°，得出△D的对应角为△B，根据相垂径定理可得出AC的长；（3）先根据比例中项得出a和b的关系式，再证明△ACD△△OCA，再得出AD和AC的关系式，两式联立即可求出AC、AD，从而求出OC．【详解】解：（1）连接AO，如图：△OA ＝OD ，OA ＝OB ，△B ＝α，△ADC ＝β， △△OAD ＝△ADC ＝α，△OAB ＝△B ＝β，△△BOD ＝2△DAB ＝2（△OAD +△OAB ）＝2α+2β；（2）△点C 不与A 、B 重合， △△DAC ＞30°，△ACD ＞30°， △△ACD △△OCB ， △△D ＝△B ＝α＝30°，由（1）知△DOB ＝2（30°+30°）＝120°， △△BOC ＝60°， △△OCB ＝90°，根据垂径定理知C 是AB 的中点，△AC ＝BC ＝OB •cos 30°＝1=（3）△α＝β， △△ADO =△ABO ， △OA =OD =OB ，△△ADO =△OAD =△ABO =△OAB ， △△ADO △△ABO ，△OA 是△DAC 的角平分线，设AD ＝a ，AC =b ，AD 、AC 边上的高为h ，则：112S ah =，212S bh =，3()12S a b h =-，又△S 2是S 1和S 3的比例中项，△2213S S S =•，即211()()1222bh ah a b h =•-，化简得a 2﹣b 2＝ab △，△α＝β， △△DOB ＝4α， △△DCB ＝3α， △△AOC ＝△DAC ＝2α， △△ACO ～△DCA ， △AO COA C A C D A C D ==， △11b OCa OC b+==，整理得：bOC a=，a 2b ＝a +b △，联立△△得：1a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩△OC=21．（2021·珠海市九洲中学九年级）如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线．（1）利用尺规作出AC 的垂直平分线（要求保留作图痕迹，不写作法）；（2）设AC 的垂直平分线分别与AB 、AC 、CD 交于点E 、O 、F ，求证：OE OF =．【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解【分析】（1）如图可得AC 的垂直平分线；（2）由根据作图知，PQ 是AC 的垂直平分线，又由四边形ABCD 是平行四边形，易证得△AOE △△COF ，继而证得结论．【详解】解：（1）如图：（2）证明：根据作图知，PQ 是AC 的垂直平分线， △OA ＝OC ，且EF △AC ， △四边形ABCD 是平行四边形， △AB △CD ， △△OAE ＝△OCF ，在△OAE 和△OCF 中， OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△AOE △△COF （ASA ）， △OE ＝OF ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质与作法以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．22．（2021·温州绣山中学九年级）如图，在△ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AE △BD ，CF △BD ，垂足分别为E ，F ．（1）求证：EO ＝FO ；（2）若AE ＝EF ＝4，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB =CD ，△ABE =△CDF ，然后根据题意证明ABE CDF △≌△即可．（2）根据OE =OF =12EF 求出OE 的长度，然后根据勾股定理求出AO 的长度，即可根据平行四边形对角线互相平分求出AC 的长度．【详解】（1）△四边形ABCD 是平行四边形， △AB =CD ，AB △CD ， △△ABE =△CDF ， △AE △ED ，CF △BD ， △△AEB =△CFD =90°，在△ABE 和△CDF 中，AEB CFD ABE CDF AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △()ABE CDF AAS △≌△， △BE =DF ， △OB =OD ， △OB -BE =OD -DF ， △OE =OF ．（2）△AE ＝EF ＝4， △OE =OF ＝122EF =，△在Rt AEO中，AO =△2AC AO == 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理．23．（2021·福建泉州五中）如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，CF AD ⊥于点F ，求证：BE DF =．【答案】见解析．【分析】根据平行四边形的性质可得AB ＝CD ，△B ＝△D ，然后利用AAS 定理证明△ABE △△CFD 可得BE ＝DF【详解】证明：四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，B D ∠=∠，AE BC ⊥，CF AD ⊥，90AEB CFD ∴∠=∠=︒在ABE ∆和CDF ∆中，AEB CFD B DAB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE CDF AAS ∴∆≅∆，BE DF ∴=．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质的作用：平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法．。

中考数学专题复习第四单元三角形课时训练十八全等三角形练习

课时训练(十八)全等三角形(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2018·巴中]下列各图中a,b,c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是()图K18-1A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙2.如图K18-2,已知∠ABC=∠BAD,添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是 ()图K18-2A.AC=BDB.∠CAB=∠DBAC.∠C=∠DD.BC=AD3.[2017·台州]如图K18-3,点P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D,若PD=2,则点P到边OA的距离是()图K18-3A.1B.2C D.44.[2018·临沂]如图K18-4,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D,E.AD=3,BE=1.则DE的长是()图K18-4A B.2 C. D5.[2018·南京]如图K18-5,AB⊥CD,且AB=CD.E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为()图K18-5A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c6.如图K18-6,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P 有()图K18-6A.1个B.2个C.3个D.4个7.[2018·荆州]已知:∠AOB,求作:∠AOB的平分线.作法:①以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点M,N;②分别以点M,N为圆心,的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C;③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法,这个方法是.图K18-78.[2017·黔东南州]如图K18-8,点B,F,C,E在一条直线上,已知FB=CE,AC∥DF,请你添加一个适当的条件使得△ABC≌△DEF.图K18-89.如图K18-9,在△ABC中,若∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE= .图K18-910.如图K18-10,在△ABC中,分别以AC,BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE,BD交于点O,则∠AOB的度数为.图K18-1011.[2017·达州]△ABC中,AB=5,AC=3,AD是△ABC的中线,设AD长为m,则m的取值范围是.12.[2018·菏泽]如图K18-11,AB∥CD,AB=CD,CE=BF.请写出DF与AE的数量关系,并证明你的结论.图K18-1113.[2018·桂林]如图K18-12,点A,D,C,F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.(1)求证:△ABC≌△DEF;(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度数.图K18-1214.[2018·铜仁]已知:如图K18-13,点A,D,C,B在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,CE=DF,求证:AE∥FB.图K18-1315.如图K18-14,AB∥CD,E,F分别为AC,BD的中点,若AB=5,CD=3,求EF的长.图K18-14|拓展提升|16.[2017·哈尔滨]已知:△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接AE,BD交于点O,AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.(1)如图K18-15①,求证:AE=BD;(2)如图K18-15②,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中四对全等的直角三角形.图K18-15参考答案1.B[解析] 依据SAS全等判定可得乙三角形与△ABC全等;依据AAS全等判定可得丙三角形与△ABC全等,不能判定甲三角形与△ABC全等.故选B.2.A3.B[解析] 作PE⊥OA于E,∵点P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,PE⊥OA,∴PE=PD=2.4.B[解析] ∵AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∴∠DAC+∠DCA=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ECB+∠DCA=90°,∴∠DCA=∠EBC,又∵AC=CB,∴△ACD≌△CBE,∴AD=CE=3,CD=BE=1,∴DE=CE-CD=3-1=2,故选B.5.D[解析] ∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠CED=∠AFB=90°,∠A=∠C,又∵AB=CD,∴△CED≌△AFB,∴AF=CE=a,DE=BF=b,DF=DE-EF=b-c,∴AD=AF+DF=a+b-c,故选D.6.C[解析] 要使△ABP与△ABC全等,则点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离,由图可知点P可以是点P1,P3,P4,共三个.故选C.7.SSS[解析] 由作图可得OM=ON,MC=NC,而OC=OC,∴根据“SSS”可判定△MOC≌△NOC.8.答案不唯一,例如∠A=∠D,AC=FD,∠B=∠E[解析] 添加∠A=∠D.理由如下:∵FB=CE,∴BC=EF.∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE.在△ABC与△DEF中,∵∠A=∠D,∠ACB=∠DFE,BC=EF,∴△ABC≌△DEF(AAS).9.3[解析] ∵∠1=∠2,∠A=∠A,BE=CD,∴△ABE≌△ACD,∴AB=AC=5,∴CE=AC-AE=5-2=3.10.120°[解析] 如图,设AC,DB的交点为H.∵△ACD,△BCE都是等边三角形,∴CD=CA,CB=CE,∠ACD=∠BCE=60°,∴∠DCB=∠ACE,在△DCB和△ACE中∴△DCB≌△ACE,∴∠CAE=∠CDB,又∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°,∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°,∠DHC=∠OHA,∴∠AOH=∠DCH=60°,∴∠AOB=180°-∠AOH=120°.11.1<m<4[解析] 延长AD至点E,使DE=AD,连接EC,∵BD=CD,∠ADB=∠EDC,AD=DE,∴△ABD≌△ECD,∴CE=AB=5,∵AC=3,AD=m,则AE=2m,∴2<2m<8,∴1<m<4,故答案为:1<m<4.12.解:DF=AE.证明:∵AB∥CD,∴∠B=∠C.∵CE=BF,∴CE-EF=BF-EF,即CF=BE.在△ABE和△DCF中,∴△ABE≌△DCF.∴DF=AE.13.解:(1)证明:∵AD=CF,∴AD+CD=CF+CD,即AC=DF,则在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(SSS).(2)在△ABC中,∵∠A=55°,∠B=88°,∠A+∠B+∠ACB=180°,∴∠ACB=180°―∠A―∠B=37°,又∵△ABC≌△DEF(SSS),∴∠F=∠ACB=37°.14.证明:∵AD=BC,∴AD+CD=BC+CD,即AC=BD,又∵AE=BF,CE=DF,∴△ACE≌△BDF, ∴∠A=∠B,∴AE∥FB.15.解:连接DE并延长交AB于点H, ∵CD∥AB,∴∠C=∠A,∠CDE=∠AHE.∵E是AC的中点,∴AE=CE,∴△DCE≌△HAE,∴DE=HE,DC=AH.又∵F是BD的中点,∴EF是△DHB的中位线,∴∵BH=AB-AH=AB-DC=2,∴EF=1.16.解:(1)证明:∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∴∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC,DC=EC,∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,∴∠BCD=∠ACE,在△ACE与△BCD中,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD.(2)△ACB≌△DCE,△EMC≌△BNC,△AON≌△DOM,△AOB≌△DOE.思路提示:∵AC=DC,∴AC=CD=EC=CB,∵∠ACB=∠DCE=90°,∴△ACB≌△DCE(SAS); 由(1)可知:∠AEC=∠BDC,又∵∠EMC=∠DMO,∴∠DOM=90°,又∵∠AEC=∠CAE=∠CBD,∴△EMC≌△BNC(ASA),∴CM=CN,∴DM=AN,△AON≌△DOM(AAS),∵AB=DE,AO=DO,∴△AOB≌△DOE(HL).。

人教版初二上册数学第12章全等三角形单元全套课后习题练习复习课件

12．如图，点 A，B，C 在同一条直线上，点 E 在 BD 上，且 △ABD≌△EBC，AB＝2 cm，BC＝3 cm.
(1)求 DE 的长；
解：∵△ABD≌△EBC， ∴BD＝BC＝3 cm，BE＝AB＝2 cm. ∴DE＝BD－BE＝1 cm.
(2)判断 AC 与 BD 的位置关系，并说明理由；解：DB 与 AC 垂直．理由如下： ∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD＝∠EBC. 又∵A，B，C 在同一条直线上， ∴∠EBC＝90°. ∴DB 与 AC 垂直．
*9．(2018·枣庄)如图是由 8 个全等的小长方形组成的大正方形，线段 AB 的端点都在小长方形的顶点上，如果点 P 是某个小长方形的顶点，连接 PA，PB，那么使△ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是( B ) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【点拨】如图，使△ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是 3 个．
在△EAO 和△ECO 中， OEAA＝＝EOCC，， OE＝OE， ∴△EAO≌△ECO(SSS)．
∴∠A＝∠C.
(2)在(1)的证明过程中，需要作辅助线，其意图是什么？【点拨】本题运用了构造法，即通过连接 OE，构造△EAO 和 △ECO，将欲证的∠A，∠C 分别置于这两个三角形中，然后通过证全等可得∠A＝∠C.
4．(2018·泸州)如图，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB.求证∠F＝
∠C. 证明：∵DA＝EB，∴DA＋AE＝EB＋AE，即 DE＝AB.
在△DEF 和△ABC 中， DDEF＝＝AABC，， EF＝BC， ∴△DEF≌△ABC(SSS)．∴∠F＝∠C.
5．如图，MP＝MQ，PN＝QN，MN 交 PQ 于点 O，则下列结论不．正．确．的是( C )

【期末复习】2020年八年级数学上册期末复习专题全等三角形(含答案)

【期末复习】2020年八年级数学上册期末复习专题全等三角形一、选择题1.若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB=5，BC=8，则DF长为（）.A.5B.8C.7D.5或82.在△ABC中，如图所示，AD=AE，DB=EC，P为CD、BE的交点，则图中全等三角形的对数是（）A.3对B.4对C.5对D.6对3.下列说法不正确的是（）A.如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同。

B.图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关。

C.全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等形。

D.全等三角形的对应边相等，对应角相等。

4.如下图，点B、F在CD上，∠C=∠D=90°，AB=EF，CF=BD，若∠A=35°，则∠DFE等于（）A.35°B.45°C.55°D.65°5.如图，在△ABC和△BDE中，∠ACB=∠DEB=90°，AC=DE，AB=BD，则下列说法不正确的是（）A.BC=BEB.∠BAC=∠BDEC.AE=CDD.∠BAC=∠ABC6.如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有( )A.3对B.4对C.5对D.6对7.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSSB．SASC．AASD．ASA8.如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上.其中正确的是( )A.①②③④B.①②③C.④D.②③9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．6010.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A.1：1：1B.1：2：3C.2：3：4D.3：4：511.在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是（）。

初二数学全等三角形练习题及答案

初二数学全等三角形练习题及答案一、选择题1. 已知三角形ABC和三角形DEF的对应边长关系为AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，则三角形ABC与三角形DEF的关系是（）。

A. 全等B. 相似C. 不全等也不相似D. 不确定2. 在△ABC中，∠A=∠C，AB=BC，则∠B的度数为（）。

A. 60°B. 90°C. 120°D. 不确定3. 已知三角形ABC和三角形CDE的对应边长关系为AB=CD，AC=CE，BC=DE，则三角形ABC与三角形CDE的关系是（）。

A. 全等B. 相似C. 不全等也不相似D. 不确定4. 若两个三角形的对应角相等，且其中一个三角形的一条边与另一个三角形的一条边相等，则这两个三角形一定是（）。

A. 全等B. 相似C. 不全等也不相似D. 不确定5. 在△ABC中，∠B=∠C，AC=BC，则这个三角形是（）。

A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 不确定二、填空题1. 若全等三角形ABC和DEF中∠B=∠E=90°，则∠A=______，∠C=______。

2. 在△ABC中，∠A=∠B=60°，则∠C=______。

3. 已知△ABC≌△DEF，若AC=DF=12cm，AC∥DF，BC=9cm，则DE=______。

4. 若三角形ABC与三角形DEF全等，则∠ABC=______°，∠BAC=______°。

5. 在△ABC≌△XYZ中，∠B=47°，∠X=26°，∠Y=______°。

三、解答题1. 已知△ABC≌△DEF，AB=5cm，AC=8cm，BC=7cm，求DE的长度。

解：由全等三角形的定义可知，当两个三角形全等时，它们的对应边长相等。

因此，DE的长度也为7cm。

2. 由题可得，四边形ABCD中，AB=BC=CD，AD⊥BC，∠C=90°。

八年级数学全等三角形综合压轴题期末复习练习

八年级数学全等三角形综合压轴题期末复习练习1、如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．2、如图所示，ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：ADC BDE ∠=∠．3、如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，点D 在边AB 上，且BD ＝CA ，过点D 作DE ∥AC ，并截取DE ＝AB ，且点C ，E 在AB 同侧，连接BE ．求证：△DEB ≌△ABC ．4、如图，在等腰Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 为BC 的中点，DE AB ⊥，垂足为E ，过点B 作//BF AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：AD CF ⊥；（2）连接AF ，求证：AF CF =．5、如图，△ABC 中，DE ⊥BC 于点E ，交∠BAC 的平分线AD 于点D ，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 交AC 的延长线于点N ，且BM ＝CN ．求证：点E 是BC 的中点．6、如图（1），已知△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AE 是过A 的一条直线，且B 、C 在A 、E 的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E （1）试说明：BD=DE+CE ．（2）若直线AE 绕A 点旋转到图（2）位置时（BD ＜CE ），其余条件不变，问BD 与DE 、CE的关系如何？请直接写出结果；（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．7、在△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得ABP ACP∠=∠．过点P 作PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F．（1）如图1，当AB AC=时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当AB AC≠，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．8、已知120∠=︒，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．MAN（1）如图1，若90∠=∠=︒，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证ABC ADC明之；（2）如图2，若180∠+∠=︒，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证ABC ADC明；若不成立，请说明理由．9、在△ABC ，∠BAC 为锐角，AB AC >，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．（1）如图1，若△ABC 是等腰直角三角形，直接写出线段AC ，CD ，AB 之间的数量关系；（2）BC 的垂直平分线交AD 延长线于点E ，交BC 于点F ．①如图2，若60ABE ∠=︒，判断AC ，CE ，AB 之间有怎样的数量关系并加以证明②如图3，若AC AB +=，求∠BAC 的度数．10、八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED=AD ，连接BE ，写出图中全等的两个三角形______ 【理解与应用】（2）填空：如图2，EP 是△DEF 的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x ，则x 的取值范围是______．（3）已知：如图3，AD 是△ABC 的中线，∠BAC=∠ACB ，点Q 在BC 的延长线上，QC=BC ，求证：AQ=2AD ．11、已知DCE △的顶点C 在AOB ∠的平分线OP 上，CD 交OA 于F ，CE 交OB 于G ．（1）如图1，若CD OA ⊥，CE OB ⊥，则图中有哪些相等的线段，请直接写出你的结论：__________；（2）如图2，若120AOB ∠=︒，DCE AOC ∠=∠，试判断线段CF 与线段CG 的数量关系并加以证明；（3）若AOB ∠=α，当DCE ∠满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出DCE ∠满足的条件．12、（1）已知：如图1，在△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC 上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；（2）已知：如图2，∠A=120°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，请你找出一个条件，使线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，给出证明．13、已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是__，QE与QF的数量关系是__；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．14、如图1，在△ABC 中，2ACB B ∠=∠，∠BAC 的平分线AO 交BC 于点D ，点H 为AO 上一动点，过点H 作直线l ⊥AO 于H ，分别交直线AB 、AC 、BC 于点N 、E 、M ．（1）当直线l 经过点C 时（如图2），证明：BN CD =；（2）当M 是BC 中点时，写出CE 和CD 之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN 、CE 、CD 之间的等量关系．15、已知△ABC 中，M 为BC 的中点，直线m 绕点A 旋转，过B ，M ，C 分别作BD ⊥m 于点D ，ME ⊥m 于点E ，CF ⊥m 于点F ．当直线m 经过点B 时，如图1，可以得到12EM CF =．（1）当直线m 不经过B 点，旋转到如图 2，图 3 的位置时，线段BD ，ME ，CF 之间有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想．图2，猜想：；图3，猜想：．（2）选择第（1）问中任意一种猜想加以证明．16、直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB中点，则CD=AD=BD=1AB．请你利用该定2理和以前学过的知识解决下列问题：如图2，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；（1）求证：PM=PN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；（3）如图4，∠BAC=90°，a旋转到与BC垂直的位置，E为BC上一点且AE=AC，EN⊥a 于N，连接EC，取EC中点P，连接PM，PN，求证：PM⊥PN．。

《三角形的全等判定》周末练习

三角形的全等判定练习姓名_____________________一、判断题:①全等三角形的对应边相等,对应角相等.( )②全等三角形的周长相等.( )③面积相等的三角形是全等三角形.( )④全等三角形的面积相等.( )二、填空题1、全等三角形的相等，相等。

2、如图1，已知△AOC≌△BOD，则∠A=∠B，∠C= ，=∠2，对应边有AC= ，=OB，=OD。

3、如图2，已知△AOC≌△DOB，则∠A=∠D，∠C= ，=∠2，对应边有AC= ，OC= ，AO= 。

4、如图3，已知∠B=∠D，∠1=∠2，∠3=∠4，AB=CD，AD=CB，AC=CA。

则△≌△三、选择题1、判定两个三角形全等，依定义必须满足（）A.三边对应相等B.三角对应相等C.三边对应相等和三角对应相等D.不能确定2、下列说法中不正确的是（）A.全等三角形的对应高相等B.全等三角形的面积相等C.全等三角形的周长相等D.周长相等的两个三角形全等3、已知:如图,△ABC≌△DEF,AC∥DF,BC∥EF.则不正确的等式是（）A.AC=DFB.AD=BEC.DF=EFD.BC=EF第3题第4题第5题4、如图 , ∠A=∠D , OA=OD , ∠DOC=50°, 求∠DBC的度数为（）A.50°B.30°C.45°D.25°5、如图 , ∠ABC=∠DCB=70°, ∠ABD=40°, AB=DC , 则∠BAC= （）四、补全填空1、如图，AB=AC ， BD=DC2、如图，AM=AN ， BM=BN求证：△ABD ≌△ACD 求证：△AMB ≌△ANB 证明：在△ABD 和△ACD 中证明：在△AMB 和△ANB 中∴ △ABD △ACD （） ∴ ≌ （）3、如图，AD=CB ，AB=CD4、如图，PA=PB ，PC 是△PAB 的中线，∠A=55°求证：∠B=∠D 求：∠B 的度数证明：在中解：∵PC 是AB 边上的中线，∴AC= （中线的定义）在中 ∴ △ ≌△ （）∴∠B=∠D （全等三角形对应角相等） ∴ ≌ （）∴ ∠A=∠B （）∵ ∠A=55°（已知）∴ ∠B=∠A=55°（等量代换）5、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，AD 能平分∠BAC 吗？你能说明理由吗？解：AD 平分∠BAC 。

初二全等三角形练习题经典

初二全等三角形练习题经典全等三角形是初中数学中的一个重要概念，掌握全等三角形的判定和性质对解题非常有帮助。

下面是一些初二全等三角形的练习题，希望能帮助同学们加深理解和应用。

题目一：已知△ABC和△DEF，已知∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF，判定△ABC ≌△DEF。

解法：首先，根据题目已知条件，我们知道∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF。

根据全等三角形的三对对应元素相等的性质，我们只需要证明另外一对对应元素相等即可。

考虑△ABC和△DEF的另一对对应边。

由于∠A=∠D，我们可以得出∠B=∠E，由于三角形内角和为180°，所以∠C=∠F=180°-(∠A+∠B)=180°-(∠D+∠E)=∠G。

又由已知AC=DF，因此△ACG≌△DFE（SSS判定法）。

所以AG=DE。

综上所述，根据全等三角形的三对对应边相等的性质，我们可以得出△ABC ≌△DEF。

题目二：已知∠E=∠F，EG=FG，H是线段EF的中点，DH垂直于EF，证明△DEH ≌△DFH。

解法：首先，根据题目已知条件，我们知道∠E=∠F，EG=FG。

根据全等三角形的三对对应边相等的性质，我们只需要证明另外一对对应元素相等即可。

考虑△DEH和△DFH的另一对对应边。

由于H是线段EF的中点，DH垂直于EF，根据垂直平分线的性质，DE=DH=DF。

综上所述，根据全等三角形的三对对应边相等的性质，我们可以得出△DEH ≌△DFH。

题目三：在△ABC中，已知AB=BC，D是线段AC的中点，E是线段BC的延长线上一点，且BE=BD，证明∠A=∠B。

解法：首先，根据题目已知条件，我们知道AB=BC，BD=BE。

根据全等三角形的三对对应边相等的性质，我们只需要证明另外一对对应元素相等即可。

考虑△ABD和△BCE的另一对对应边。

我们已知BD=BE，又因为D是线段AC的中点，所以AD=DC。

由于AB=BC，所以AB+BC=2AB。

初中数学八年级三角形及三角形全等专题练习题(附含答案)

初中数学八年级三角形及三角形全等专题练习题一、选择题1.如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE 的度数为何？（）A．115B．120C．125D．1302.如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）①∠AFB∠∠AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④3.如图，平分，于，于，与的交点为，则图中全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对4.如图，，且.、是上两点，，.若，，，则的长为（）A．B．C．D．5.用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的识别方法是（）A.SASB.ASAC.AASD.SSS6.下列判断正确的是（）A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等且有一角为30°的两个等腰三角形全等(8)C．有一角和一边相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等7.如图所示，AB∠EF∠CD，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形有（）A．4对B．3对C．2对D．1对8.如图，在Rt∠ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE∠AB，垂足为E.若AB ＝10 cm，AC＝6 cm，则BE的长度为()A．10 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm9.已知点A（a，1）与点B（5，b）关于y轴对称，则实数a，b的值分别是（）A．5，1B．﹣5，1C．5，﹣1D．﹣5，﹣1 10.在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（）A．m＝3，n＝2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝2，n＝3D．m＝﹣2，n＝﹣311.如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为（）A．①④B．②④C．①③D．②③12.如图，已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是（）A．1B．3C．3D．13.已知实数x，y满足|x﹣4|+（y﹣8）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对14.一个正方形周长与一个等腰角形的周长相等，若等腰三形的两边长为和，则这个正方形的对角线长为（）A．B．C．D．15.如图所示，∠ABC中AC边上的高线是（）A．线段DA B．线段BA C．线段BD D．线段BC二、综合题）16.（1）如图1，∠ABC中，作∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∠BC 分别交AB、AC于E、F．① 求证：OE=BE；② 若∠ABC的周长是25，BC=9，试求出∠AEF的周长；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC与∠PAC的数量关系式.17如图-1，的边在直线上，，且；的边也在直线上，边与边重合，且．（1）在图-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与关系；（2）将沿直线向左平移到图-2的位置时，交于点，连结，．猜想并写出与的关系，请证明你的猜想；（3）将沿直线向左平移到图-3的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，．你认为（2）中所猜想的与的关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．18、如图1，在∠ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，点D是∠ABC内一点，DB=DC，∠DCB=30°，点E是BD延长线上一点，AE=AB．（1）求∠ADE的度数；（2）求证：DE=AD+DC；参考答案一、选择题1、【答案】C∵三角形ACD为正三角形，∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∵AB=DE，BC=AE，∴△ABC≌△DEA，∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，故选C．2、【答案】A∵∠EAF=∠BAC，∴∠BAF=∠CAE；在△AFB与△AEC中，，∴△AFB≌△AEC（SAS），∴BF=CE；∠ABF=∠ACE，∴A、F、B、C四点共圆，∴∠BFC=∠BAC=∠EAF；故①、②、③正确，④错误．故选A.．3、【答案】C∵平分∴∠BOC=∠AOC又∵，∴∠AEO=∠BDO=90°又∵OC=OC∴∴OD=OE，CD=CE又∵∠BOD=∠AOE∴∴OA=OB，∠A=∠B∴又∵∠ACD=∠BCE∴故答案为C.4、【答案】D∵AB⊥CD,CE⊥AD,∴∠1=∠2,又∵∠3=∠4,∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3,即∠A=∠C.∵BF⊥AD,∴∠CED=∠BFD=90°,∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,ED=BF=b,又∵EF=c,∴AD=a+b-c.故选:D.5、【答案】D；6、【答案】D；7、【答案】B解：∵AB∥EF∥CD，∠ABC=90°，∴∠DCB=∠EFB=∠ABC=90°；在△ABC与△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴∠ECB=∠EBC，∴EB=EC，BF=CF；同理可证△EFB≌EFC、△ABE≌△DCE；∴图中的全等三角形有3对，故选B．8、【答案】C9、【答案】B∵点A（a，1）与点A′（5，b）关于y轴对称，∴a=-5，b=1，故选B．10、【答案】B解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，∴m=-3，n=2．故选：B．11、【答案】D解：①∵线段在边上运动，，∴,∴与不可能相等，则①错误；②设，∵，，∴，即，假设与相似，∵∠A=∠B=60°，∴，即，从而得到，解得或（经检验是原方程的根），又，∴解得的或符合题意，即与可能相似，则②正确；③如图，过P作PE⊥BC于E，过D作DF⊥AB于F，设，由，，得，即，∴，∵∠B=60°，∴，∵，∠A =60°，∴,则，，∴四边形面积为：,又∵，∴当时，四边形面积最大，最大值为：，即四边形面积最大值为，则③正确；④如图，作点D关于直线的对称点D1，作D1D2∥PQ，连接CD2交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，此时四边形P′CDQ′的周长为：，其值最小，∴D1Q′=DQ′=D2P′，，且∠AD1D2=180∠D1AB=180∠DAB =120°，∴∠D1AD2=∠D2AD1==30°，∠D2AC=90°，在△D1AD2中，∠D1AD2=30°，，∴，在Rt△AD2C中，由勾股定理可得，，∴四边形P′CDQ′的周长为：，则④错误，所以可得②③正确，故选：D．12、【答案】B解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接OE，∵△ABC是等边三角形，∴CE=AC×sin60°=，AE=BE，∵∠AOB=90°，∴EO AB，∴EC-OE≥OC，∴当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短，故OC的最小值为：OC＝CE﹣EO＝3故选B．13、【答案】B解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4＝8，∴不能组成三角形；②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长＝4+8+8＝20．所以，三角形的周长为20．故选：B．14、【答案】A解：①是腰，是底边时，两边的和小于第三边，不能构成三角形，舍去；②是底边和是腰时，等腰三角形的周长是，因而可得正方形的边长是，故这个正方形的对角线长是；故选：A．15、【答案】C由图可知，中AC边上的高线是BD.故选：C.二、综合题16、（1）∠BO平分∠ABC，∠∠EBO=∠OBC，∠EF∠BC，∠∠EDB=∠OBC，∠∠EOB=∠EBO，∠OE=BE （2）∠AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+EB+FC=AB+AC=25-9=16(3)延长BA，证明P点在∠BAC外角的角平分线上，从而得到2∠PAC+∠BAC=180°17、解：（1）AB=AP；AB∠AP；（2）BQ=AP；BQ∠AP．证明：①由已知，得EF=FP，EF∠FP，∠∠EPF=45°．又∠AC∠BC，∠∠CQP=∠CPQ=45°．∠CQ=CP．在Rt∠BCQ和Rt∠ACP中，BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，∠Rt∠BCQ∠Rt∠ACP，∠BQ=AP．②如图，延长BQ交AP于点M．∠Rt∠BCQ∠Rt∠ACP，∠∠1=∠2．在Rt∠BCQ中，∠1+∠3=90°，又∠3=∠4，∠∠2+∠4=∠1+∠3=90°．∠∠QMA=90°．∠BQ∠AP；（3）成立．证明：①如图，∠∠EPF=45°，∠∠CPQ=45°．又∠AC∠BC，∠∠CQP=∠CPQ=45°．∠CQ=CP．在Rt∠BCQ和Rt∠ACP中，BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，∠Rt∠BCQ∠Rt∠ACP．∠BQ=AP．②如图，延长QB交AP于点N，则∠PBN=∠CBQ．∠Rt∠BCQ∠Rt∠ACP，∠∠BQC=∠APC．在Rt∠BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°，∠∠APC+∠PBN=90°．∠∠PNB=90°．∠QB∠AP．18、【答案】解：（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，∴∠ABC=∠ACB==75°，∵DB=DC，∠DCB=30°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=45°，∵AB=AC，DB=DC，∴AD所在直线垂直平分BC，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=15°，∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°；（2）如图1，在线段DE上截取DM=AD，连接AM，∵∠ADE=60°，DM=AD，∴△ADM是等边三角形，∴∠ADB=∠AME=120°∵AE=AB，∴∠ABD=∠E，在△ABD和△AEM中，，∴△ABD≌△AEM（AAS），∴BD=ME，∵BD=CD，∴CD=ME，∵DE=DM+ME，∴DE=AD+CD；-。

北京四中初二全等三角形专题——三角形的旋转、翻折与线段的截长补短周末练习

全等三角形专题——三角形的旋转、翻折与线段的截长补短周末练习编稿：白真审稿：范兴亚责编：高伟全等三角形选择题1．如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为AC的中点，AE⊥BD交BC 于E，若∠BDE=，∠ADB的大小是（）．A．B．C．D．图 12．如图2，△ABC中，∠C为钝角，CF为AB上的中线，BE为AC上的高，若CF=BE，则∠ACF的大小是（）A．45°B．60°C．30°D．不确定图 2填空题3．四边形的四条边长分别为，满足条件，则此四边形一定是________．4．如图3，平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AE⊥AD交BD于E，若DE=2DC，则∠DBC的大小是________．图 35．如图4，P为线段AB上一点，以AP为边作一正方形APMN，以BP为底在另一侧作等腰△BPQ，连接MQ，若AB的长为4，则△MPQ的面积的最大值等于________．图 4解答题6．如图5，△ABC中，∠B=45°，∠C=（>45°），AD是BC边上的高，E是AD上一点且DE=DC，延长BE交AC于F，∠ABF的大小是多少？图57．如图6，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB 于E，若AC=4厘米，则△BDE的周长是多少？图 6参考答案选择题1．C提示：如图1，作关于BC的对称图形，作的中点，连接，则容易证明，说明和AE在同一条直线上的线段，根据对称性交于E点，所以与DE在同一条直线上，容易证明．所以．所以．2．C提示：如图2，延长CF到D，使CD=2CF，容易证明△AFC≌△，所以∠D=∠FCA，所以AC∥BD，因为CF=BE，所以CD=2BE，即AC与BD之间的距离等于CD的一半，所以∠D=30°．所以内错角∠ACF=30°．填空题3．提示：由可得到所以a=b=c=d，所以该四边形一定是菱形．4．提示：如图3，连接A与DE的中点F，则在直角三角形AED中，．所以△ABF是等腰三角形，所以∠ABF=∠AFE=2∠ADF=2∠DBC．而∠ABF+∠DBC=60°，所以∠DBC=60°÷3=20°．5．提示：如图4，作QC垂直于AB于C，则，设，，所以当时，取得最大值．解答题6．提示：因为BD=AD，DE=DC，∠ADC=∠ADB，所以△BDE≌△ADC，所以∠EBD=∠CAD=90°-∠C=90°-，所以∠ABF=45°- 90°+=-45°．7．提示：因为AD是∠CAB的角平分线，所以CD=DE，所以△BDE的周长等于BC+BE，即AC+BE=AB=．。

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初二数学周末练习18(全等三角形之一期末复习)
周末练习：
一、选择题
1．下列图形中，轴对称图形的个数是( )．

A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列说法正确的是( )．
A．-1是1的平方根 B．1的平方根是1
C．1的算术平方根是±1 D．-1是1的立方根

3．计算的结果等于( )．
A． B．27 C． D．
4．下列各等式中；正确的是( )．
A． B． C．
D．
5．在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围( )．
A．1＜AB＜29 B．4＜AB＜24 C．5＜AB＜19 D．9＜AB＜19

6．已知等腰三角形周长为10，一边长为4，则另两边长分别为( )．
A．4，2 B．3，3 C．4，2或3，3 D．以上都不对

7．如图，己知△ABC与△BDE都是等边三角形，AB＜BD，若△ABC不动，将△BDE
绕B点旋转，则在旋转
过程中，AE与CD的大小关系为( )．
A．AE=CD B．AE＞CD C．AE＜CD D．无法确定
8．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB交AB于D，且ED=EC，则么∠
A的度数为( )．

A．15° B．45° C．30° D．60°
9．一次函数的图象一定经过( )．
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、
四象限

10．小李以每千克0.8元的价格购进若干西瓜，在销售了部分西瓜之后，余下的西瓜每
千克降价0.4元
全部售完，销售金额与卖瓜千克数之间的关系如图所示，则小李赚了( )．

A．32元 B．36元 C．38元 D．44元
二、填空题

11．函数中，白变量x的取值范围是________．

12．在，，，0.606600666000，这五个实数中，无理数是________。
13．函数的图象与x轴交点坐标为________．
14．若关于x的方程无解，则________．
15．如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，那么，图中的全等三角形
共有________对．

16．在△ABC中，D为AC边上一点，AD=BD=BC，若∠C=x°，∠A=y°，则y关于
x的函数关系式为______
（不要求写自变量的取值范围）．

17．若一次函数的图象关于x轴对称后，所得直线经过点(2，3)，那么对称
后的直线的解析
式为________．

18．如图，直线y=x+c与直线y=ax+b交于一点，那么______0（填“＞”、“＜”
或“=”）．

三、计算题
19．分解因式：

（1）；（2）

20．计算：。
21．求的值，其中。
22．解方程：。
四、解答题
23．如图，AC是∠DAB的平分线，且AD=AB．求证：CD=CB．

24．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，请按以下步骤画图
并回答：

（1）画∠MAB、∠NBA的平分线交于点E，判断∠AEB是什么角?
（2）过点E任作一线段交AM于D，交BN于C．观察线段DE、CE，有什么发现？
请证明你的猜想．
（3）直接写出AD、BC与AB之间的数量关系．
（1）答：∠AEB是________角．
（2）发现：
证明：
（3）答：AD、BC与AB之间的数量关系是________．

参考答案：
一、选择题
1—10 CACDD CACBB

二、填空题

11．
12．，
13．
14．4 15．3 16．
17．
18．＞

三、计算题
19．（1）（2）
20．
21．2.5
22．无解

四、解答题
23．略
24．（1）直角（2）DE=CE （3）AB=AD+BC