中北大学(华北工学院) 中北 2005年数学分析(应用数学)B 考研真题及答案解析
2005-2009五年数一真题及答案解析
如果 A = 1 ，那么 B = 2 .
【分析】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即 可.
【详解】 由题设，有
B = (α 1 + α 2 + α 3 , α 1 + 2α 2 + 4α 3 , α 1 + 3α 2 + 9α 3 )
XY 0
1
0
0.4
a
1
b
0.1
已知随机事件{X = 0}与{X + Y = 1}相互独立，则
[]
(A) a=0.2, b=0.3 (C) a=0.3, b=0.2
(B) a=0.4, b=0.1 (D) a=0.1, b=0.4
[
]
（14）设 X1, X 2 ,Λ , X n (n ≥ 2) 为来自总体 N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，S 2
9
3
9
（ 3 ） 设 函 数 u(x, y, z) = 1 + x2 + y 2 + z 2
，
单
位
向
量
ρ n
=
1 {1,1,1} ， 则
6 12 18
3
∂u
3
=.
∂n (1,2,3) 3
【分析】 函数 u(x,y,z)沿单位向量 nρ = {cosα , cos β , cosγ }的方向导数为：
∂u = ∂u cosα + ∂u cos β + ∂u cosγ
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(A)
∂2u ∂x 2
=
−
∂2u ∂y 2
.
（B）
∂2u ∂x 2
2005年考研数学二试题及答案
2005年数学二试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。
把答案填在题中横线上）（1）设x x y )sin 1(+=，则π=x dy= 。
(2) 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为.（3）=--⎰1221)2(xxxdx(4） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为 （5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= 。
(6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ,)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B 。
二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分。
每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则f （x ）在),(+∞-∞内(A ） 处处可导。
（B) 恰有一个不可导点. (C ） 恰有两个不可导点。
（D ） 至少有三个不可导点. ［ ］ （8）设F(x ）是连续函数f(x)的一个原函数,""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N"，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f （x)是奇函数. （B) F （x ）是奇函数⇔f(x)是偶函数。
（C) F （x ）是周期函数⇔f(x ）是周期函数. （D) F(x)是单调函数⇔f(x ）是单调函数。
［ ]（9）设函数y=y(x ）由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y （x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是（A) 32ln 81+. (B ） 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-。
（D) 32ln 8+。
［ ]（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f （x)为D 上的正值连续函数,a,b为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A ） πab . （B)π2ab . （C) π)(b a +. （D ） π2ba + . ［ ] （11）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数,则必有（A ） 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yux u ∂∂=∂∂. （C ） 222yuy x u ∂∂=∂∂∂。
中山大学2005数学分析答案
1．解：⎩⎨⎧<+≤=0x , b 2ax 0x , cos 2)('x e x f x ⎩⎨⎧<≤-= 0x ,20, )sin (cos 2)(''a x x x e x f x)("x f 在),(+∞-∞处处存在，即)('),(x f x f 在),(+∞-∞上连续可导，从而有2．时取最小＝在所以时取极小，又＝在从而得到稳定点面积）点的法线方程为在（曲线2a )(25)(2a S(a)0,)2(S",04)("2a , 022)('22sin )(0,asinx y 32222πππππππππππππa S S aa S a a S a a dx a a x x a a S aa x y =∴>>===-=+=+-=∴-==⎰3在s 上加一个平面L:ae x =就可以把s 围成闭合的曲面，应用高斯公式1a 22cos 2lim )0(')('lim a 2 12lim )0(')('lim 0x (x)f'2b 2cosx e 2lim 1)cos (sin lim )0()(lim b b)x (lim 1lim )0()(lim 1, 1)0(lim )(lim 0x 0x 0x 0x x0x 0x 0x 0x 20x 0x 20x 0x =∴=-=-=-+=-=∴==-+=-=+=-++=-=∴===++=--++---+++++→→→→→→→→→→→→xx e x f x f xb ax x f x f x x x e x f x f a xc bx ax x f x f c f c c bx ax x f x x 处可导，故＝在)1(248)1(2)1(2)1(248)1(20)48(-448)1(248)1(248)1(248)1(22222222v2222-=-+-∴-=-=-+-=-+=-+--+-+-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++a a sa a La LsL ssL Le e xzdxdy xydzdx dydz x e e dydz e xzdxdy xydzdx dydz x dxdydz x x x xzdxdy xydzdx dydz x xzdxdy xydzdx dydz x xzdxdy xydzdx dydz x xzdxdy xydzdx dydz x ππ其中4．应用不等式0x ,)1ln(≥≤+x x 显然对有,R x ∈∀ 232332233232321122)21ln()21ln(nnnx nx nx x nx x nx x ≤⋅+⋅=+≤++=++由M 判别法有，级数∑∞=++132)21ln(n nx x 在R 上一致收敛5证明：（必要性）若f(x)在(a,b)一致连续，即εδδε<-<-∈∀>∃>∀)()(,),,(,,0,0212121x f x f x x b a x x 有有因为{n x }在（a ，b ）中的收敛列，不妨设{n x }收敛于x ，则 对上述的δδ<->∀>∃x x N n N n 有,,0,从而有是收敛列所以收敛于即)(),(}{,)()(n n n x f x f x x f x f ε<- 充分性：还没能解决！请见谅。
【合集】2005-2006年全国硕士研究生招生考试数学试题(数学三)真题解析
2005年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim 2+∞→x xx x =2.【分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解】12sinlim 2+∞→x x x x =.212lim 2=+∞→x xx x （2）微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为2=xy .【分析】直接积分即可.【详解】原方程可化为0)(='xy ，积分得C xy =，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2.（3）设二元函数)1ln()1(y x xez yx +++=+，则=)0,1(dzdy e edx )2(2++.【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可.【详解】)1ln(y xe e xzy x y x +++=∂∂++,y x xe yz y x +++=∂∂+11,于是=)0,1(dzdy e edx )2(2++.（4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=21.【分析】四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.【详解】由题设，有=1234123121112a a a 0)12)(1(=--a a ,得21,1==a a ，但题设1≠a ，故.21=a （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y,则}2{=Y P =4813.【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】}2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P+}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =.4813)4131210(41=+++⨯（6）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为X Y 0100.4a 1b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a=0.4,b=0.1.【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解】由题设，知a+b=0.5又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ，即a=))(4.0(b a a ++,由此可解得a=0.4,b=0.1二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点.(A) 2.(B) 4.(C) 6.(D)8.[B ]【分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.【详解】12186)(2+-='x x x f =)2)(1(6--x x ，知可能极值点为x=1,x=2，且a f a f -=-=4)2(,5)1(，可见当a=4时，函数f(x)恰好有两个零点，故应选(B).（8）设σd y x I D⎰⎰+=221cos ,σd y x I D⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则(A)123I I I >>.（B ）321I I I >>.(C)312I I I >>.(D)213I I I >>.[A ]【分析】关键在于比较22y x +、22y x +与222)(y x +在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上的大小.【详解】在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上，有1022≤+≤y x ，从而有2212y x +≥>π≥22y x +≥0)(222≥+y x由于cosx 在)2,0(π上为单调减函数，于是22cos 0y x +≤)cos(22y x +≤≤222)cos(y x +因此<+⎰⎰σd y x D22cos <+⎰⎰σd y x D)cos(22σd y x D⎰⎰+222)cos(，故应选(A).（9）设,,2,1,0 =>n a n 若∑∞=1n n a 发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是(A)∑∞=-112n n a收敛，∑∞=12n na发散.（B ）∑∞=12n na收敛，∑∞=-112n n a发散.(C))(1212∑∞=-+n n n a a收敛.(D))(1212∑∞=--n n n a a收敛.[D ]【分析】可通过反例用排除法找到正确答案.【详解】取n a n 1=，则∑∞=1n n a 发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，但∑∞=-112n n a与∑∞=12n na均发散，排除(A),(B)选项，且)(1212∑∞=-+n n n a a发散，进一步排除(C),故应选(D).事实上，级数)(1212∑∞=--n n n a a的部分和数列极限存在.（10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是(A)f(0)是极大值，)2(πf 是极小值.（B ）f(0)是极小值，2(πf 是极大值.（C ）f(0)是极大值，)2(πf 也是极大值.(D)f(0)是极小值，)2(πf 也是极小值.[B]【分析】先求出)(),(x f x f '''，再用取极值的充分条件判断即可.【详解】x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，显然0)2(,0)0(='='πf f ，又x x x x f sin cos )(-=''，且022(,01)0(<-=''>=''ππf f ，故f(0)是极小值，2(πf 是极大值，应选(B).（11）以下四个命题中，正确的是(A)若)(x f '在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（B ）若)(x f 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（C ）若)(x f '在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D)若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界.[C]【分析】通过反例用排除法找到正确答案即可.【详解】设f(x)=x 1,则f(x)及21)(xx f -='均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、(B);又x x f =)(在（0，1）内有界，但xx f 21)(='在（0，1）内无界，排除(D).故应选(C).（12）设矩阵A=33)(⨯ij a 满足TA A =*，其中*A 是A 的伴随矩阵，TA 为A 的转置矩阵.若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为(A)33.(B) 3.(C)31.(D)3.[A ]【分析】题设与A 的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：.**E A A A AA ==.【详解】由TA A =*及E A A A AA ==**，有3,2,1,,==j i A a ij ij ，其中ij A 为ij a 的代数余子式，且032=⇒=⇒=A A AE A AA T或1=A 而03211131312121111≠=++=a A a A a A a A ，于是1=A ，且.3311=a 故正确选项为(A).（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01=λ.(B)02=λ.(C)01≠λ.(D)02≠λ.[D ]【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k ，0)(2221121=++αλαλk k k .由于21,αα线性无关，于是有⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k 当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二：由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ，可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(D).（14）设一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2,σμ均未知.现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20cm x =，样本标准差)(1cm s =，则μ的置信度为0.90的置信区间是(A))).16(4120),16(4120(05.005.0t t +-(B))).16(4120),16(4120(1.01.0t t +-(C))).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-(D))).15(4120),15(4120(1.01.0t t +-[C]【分析】总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：).1(~--n t ns x μ【详解】由正态总体抽样分布的性质知，)1(~--n t ns x μ，故μ的置信度为0.90的置信区间是))1(1),1(1(22-+--n t n x n t nx αα，即)).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-故应选(C).三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分）求111(lim 0xe x x x --+-→【分析】""∞-∞型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解】)1(1lim 111(lim 200x x x x x e x e x x x e x --→-→-+-+=--+=2201lim x e x x xx -→+-+=x e x x x 221lim 0-→-+=.2322lim 0=+-→x x e （16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且)()(),(y x yf x y f y x g +=，求.222222yg y x g x ∂∂-∂∂【分析】先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.【详解】由已知条件可得()(2y x f x y f xy x g '+'-=∂∂，)(1)((242322y xf y y x f x y x y f x y xg ''+''+'=∂∂，)()((1yxf y x y x f x y f x yg '-+'=∂∂，)((((13222222y xf yx y x f y x y x f y x x y f x y g ''+'+'-''=∂∂，所以222222y g y x g x ∂∂-∂∂=()()(2222y x f y x y x f x y x y f x y ''+''+')()(222y x f y x x y f xy ''-''-=).(2xy f x y '（17）（本题满分9分）计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .【分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】记}),(,1),{(221D y x y x y x D ∈≤+=，}),(,1),{(222D y x y x y x D ∈>+=，于是σd y xD⎰⎰-+122=⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x ⎰⎰-++2)1(22D dxdyy x =⎰⎰--2021)1(πθrdr r d ⎰⎰-++Ddxdy y x )1(22⎰⎰-+-1)1(22D dxdyy x =8π+⎰⎰⎰⎰---+20102210210)1()1(πθrdr r d dy y x dx =.314-π（18）（本题满分9分）求幂级数∑∞=-+12)1121(n n x n 在区间(-1,1)内的和函数S(x).【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的.【详解】设∑∞=-+=12)1121()(n n x n x S ，∑∞=+=121121)(n nx n x S ，∑∞==122)(n n x x S ，则)()()(21x S x S x S -=，).1,1(-∈x 由于∑∞==122)(n nxx S =221x x -，)1,1(,1))((22121-∈-=='∑∞=x xx xx xS n n,因此⎰-++-=-=xx x x dt t t x xS 022111ln 211)(，又由于0)0(1=S ，故.0,1,0,11ln 211)(1=<⎪⎩⎪⎨⎧-++-=x x xx x x S 所以)()()(21x S x S x S -=.0,1,0,1111ln 212=<⎪⎩⎪⎨⎧---+=x x x x x x （19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,0)(≥'x f ,0)(≥'x g .证明：对任何a ]1,0[∈,有⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()(【分析】可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论.【详解】方法一：设=)(x F ⎰⎰-'+'xg x f dt t g t f dt t f t g 01)1()()()()()(，则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且=')(x F )]1()()[()1()()()(g x g x f g x f x f x g -'='-'，由于]1,0[∈x 时，0)(,0)(≥'≥'x g x f ，因此0)(≤'x F ，即F(x)在[0，1]上单调递减.注意到=)1(F ⎰⎰-'+'11)1()1()()()()(g f dt t g t f dt t f t g ，而⎰⎰⎰'-=='11110)()()()()()()()(dtt g t f t f t g t df t g dt t f t g =⎰'-1)()()1()1(dt t g t f g f ，故F(1)=0.因此]1,0[∈x 时，0)(≥x F ，由此可得对任何]1,0[∈a ，有⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()(方法二：⎰⎰'-='aaa dxx g x f x f x g dx x f x g 0)()()()()()(=⎰'-adx x g x f a g a f 0)()()()(，⎰⎰'+'adxx g x f dx x f x g 01)()()()(=⎰⎰'+'-1)()()()()()(dxx g x f dx x g x f a g a f a⎰'+1.)()()()(adx x g x f a g a f 由于]1,0[∈x 时，0)(≥'x g ，因此)()()()(x g a f x g x f '≥'，]1,[a x ∈，⎰⎰-='≥'101)]()1()[()()()()(a g g a f dx x g a f dx x g x f ，从而⎰⎰'+'adxx g x f dx x f x g 01)()()()().1()()]()1()[()()(g a f a g g a f a g a f =-+≥（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组（i ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x 和（ii ）⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a,b,c 的值.【分析】方程组（ii ）显然有无穷多解，于是方程组（i ）也有无穷多解，从而可确定a ，这样先求出（i ）的通解，再代入方程组（ii ）确定b,c 即可.【详解】方程组（ii ）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii ）有无穷多解.因为方程组（i ）与（ii ）同解，所以方程组（i ）的系数矩阵的秩小于3.对方程组（i ）的系数矩阵施以初等行变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡20011010111532321a a ，从而a=2.此时，方程组（i ）的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000110101211532321，故T)1,1,1(--是方程组（i ）的一个基础解系.将1,1,1321=-=-=x x x 代入方程组（ii ）可得2,1==c b 或.1,0==c b 当2,1==c b 时，对方程组（ii ）的系数矩阵施以初等行变换，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡110101312211，显然此时方程组（i ）与（ii ）同解.当1,0==c b 时，对方程组（ii ）的系数矩阵施以初等行变换，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡000101202101，显然此时方程组（i ）与（ii ）的解不相同.综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i ）与（ii ）同解.（21）（本题满分13分）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B CC AD T 为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵.(I)计算DP P T，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n mE oC A EP 1；（II ）利用(I)的结果判断矩阵C A C B T1--是否为正定矩阵，并证明你的结论.【分析】第一部分直接利用分块矩阵的乘法即可；第二部分是讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义.【详解】(I)因⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n T m TE AC o E P 1，有DP P T=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n T mE A C o E 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C C AT ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n m E o C A E 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--C A C B o C A T 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n m E oC A E 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--C A C B o o AT 1.（II ）矩阵C A C B T1--是正定矩阵.由(I)的结果可知，矩阵D 合同于矩阵.1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-C A C B o o AM T 又D 为正定矩阵，可知矩阵M 为正定矩阵.因矩阵M 为对称矩阵，故C A C B T1--为对称矩阵.对TX )0,,0,0( =及任意的0),,,(21≠=T n y y y Y ，有.0)(),(11>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---Y C A C B Y Y X C A C B o o A Y X T T T T T 故C A C B T 1--为正定矩阵.（22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ）(X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；（II ）Y X Z -=2的概率密度).(z f Z (III )}.2121{≤≤X Y P 【分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度;直接用条件概率公式计算即可.【详解】（I ）关于X 的边缘概率密度)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(=.,10,0,20其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰x dy x=.,10,0,2其他<<⎩⎨⎧x x 关于Y 的边缘概率密度)(y f Y =⎰+∞∞-dx y x f ),(=.,20,0,12其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰y dx y=.,20,0,21其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-y y （II ）令}2{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=，1）当0<z 时，0}2{)(=≤-=z Y X P z F Z ；2）当20<≤z 时，}2{)(z Y X P z F Z ≤-==241z z -;3)当2≥z 时，.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z 即分布函数为：.2,20,0,1,41,0)(2≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z z z z F Z 故所求的概率密度为：.,20,0,211)(其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z f Z （III ）.4341163}21{}21,21{}2121{==≤≤≤=≤≤X P Y X P X Y P （23）（本题满分13分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,2σ)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ）i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =；（II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov （III ）若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计量，求常数c.【分析】先将i Y 表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质；估计21)(n Y Y c +，利用其数学期望等于2σ确定c 即可.【详解】由题设，知)2(,,,21>n X X X n 相互独立，且),,2,1(,02n i DX EX i i ===σ，.0=X E （I ）∑≠--=-=nij j i i i X n X n D X X D DY ]1)11[()(=∑≠+-nij ji DXnDX n 221)11(=.1)1(1)1(222222σσσn n n n n n -=-⋅+-（II ）)])([(),(111n n n EY Y EY Y E Y Y Cov --==)][()(11X X X X E Y Y E n n --==)(211X X X X X X X E n n +--=211(2)(XE X X E X X E n +-=22121)(][20X E X D X X X E n nj j +++-∑==.112222σσσnn n -=+-（III ）)(])([121n n Y Y cD Y Y c E +=+=)],(2[121n Y Y Cov DY DY c ++=222)2(2]211[σσσ=-=--+-c nn n n n n n c ，故.)2(2-=n n c一、填空题(1)【答案】1【详解】题目考察数列的极限，由于数列中有(1)n-，故求此数列的极限，分为奇数列和偶数列两个部分进行。
2005数二真题标准答案及解析
A =©1,5,03)，B = 01 +«2 +^3,5 +2^2 + 劎 3,5 +3^2，如果A =1，那么|B =二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内)J f(x) +b J f (y)d T D J f(X)+ J f ( y)考研数学二真题一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1) 设 y = (1 +Sin x)x ，则 dy|x&3(1 + x)2曲线yJ J 的斜渐近线方程为V x1xdx (2 -x 2』-X 2(4)1微分方程xy' + 2y=xlnx 满足y(1)=-的解为9(5) 当 X T 0 时，a (X)=kx 2与 P (X)= J 1 + xarcsi nx — Jcosx 是等价无穷小，则k=(6) 设a 1/x 2 ^3均为3维列向量，记矩阵(8) (9) 设函数f(X)= lim 目1 +|x3nn —jpc(A) 处处可导. (C)恰有两个不可导点.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,(A) (B) (C) (D) (B)恰有一个不可导点. (D)至少有三个不可导点.["M = N"表示“ M 的充分必要条件是F(x)是偶函数 U f(x)是奇函数.F(x)是奇函数二f(x)是偶函数.F(x)是周期函数二f(x)是周期函数.F(x)是单调函数二f(x)是单调函数.设函数 y=y(x)由参数方程2x = t + 2t'确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与y =ln(1 +t) (A) (C)1— In 2+3.8 -8ln 2+3.(10)设区域 D ={( X, y) X 21(B)--l n2+3.8(D) 8l n2+3.<4,x>0,y >0},]N ”，则必有x 轴交点的横坐标是f(x)为D 上的正值连续函数,a,b 为常数，则(A) ab 兀.(B)ab■兀2(C) (a+b)兀.a +b(D)h(11)设函数u(x, y) =®(x +y)+®(x — y) +［屮(t)dt ,其中函数半具有二阶导数，屮 具有一阶导数, 叹—y则必有无关的充分必要条件是(A)打 H 0 .(B) /吃 H 0.(C) )^1 = 0 .(D)= 0.的第1行与第2行得矩阵B, A * , B *分别为A,B 的伴随矩 阵,1 x如图，G 和C 2分别是y= —(1+e )和y=e x的图象，过点(0,1)的曲线C 3是一单调增函数的图象.过2C 2上任一点 M(x,y)分别作垂直于 x 轴和y 轴的直线l x 和|厂记Gl?与l x 所围图形的面积为 ；C 2,C 3与l y 所围图形的面积为 S 2(y).如果总有S 1(x) =S 2(y)，求曲线C 3的方程x=W(y).(17)(本题满分11分)M y(A)宀2宀2C UC U约2次2(B)c 2U &2点2u(C)c^cy 2 CU亠2 .谢(D)—、2 .ex(12) 设函数f(x) =(A)(B)(C) (D)x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.x=0是f(x)的第一类间断点， x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. x=1是f(x)的第一类间断点.(13) 设［「2是矩阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为 ％ a 2，则 a 1，A(a1 + a 2)线性(14)设A 为n ( n >2)阶可逆矩阵，交换 A (A) 交换A 的第1列与第2列得B . (B)交换A 的第1行与第2行得B . (C) 交换A *的第1列与第2列得-B *.(D)交换A *的第1行与第2行得-B * .(本题共 解答题 (15)(本题满分［9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤11分)].)设函数f(x)连续,xf (X —t) f (t)dt且f (0) HO ，求极限limxx[ f (X-t)dt(16)(本题满分11 分)如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线11与12分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 .L(x 2+x)f 7x)dx. (18)(本题满分12分) 用变量代换X =cost(0 <t £兀)化简微分方程(1-x 2)y"-xyy y = 0 并求其满足=1, y X 卫 '， (佃)(本题满分12分) 已知函数f(x)在［0，1］上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明:x 『=2的特解. (I )存在 ©忘(0,1),使得 f(©) =1_© ； (II )存在两个不同的点 3匚迂(0,1)，使得f j )f 工)=1. (20)(本题满分10分)已知函数 z=f(x,y) 的全微分dz = 2xdx-2ydy ，并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域={(x,y)x22+y<1｝上的最大值和最小值. (21)(本题满分9分)X 2 +y 2—1db ，其中 D ={(x,y)O < X < 1,0 < y<1}.(22)(本题满分9分)确 定常数 a,使 向量组 ％ =(1,1,a)T, a^(1,a,1)T , a^(a,1,1)T可由向量组p 1 =(1,1,a)T , 02 = (—2,a,4)T ,打=(一2, a, a)T线性表示，但向量组 盯^?,^不能由向量组口1,口2,5线性表示. (23)(本题满分9分)「12 已知3阶矩阵A 的第一行是(a,b,c), a,b,c 不全为零，矩阵B -L 3(k 为常数)，且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.考研数学二真题解析一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)两边取对数，In y = xln(1 +sin x)，对x 求导，得1/=ln(^sinx^xcosxy1 +sin xcos x于是 y ‘ =(1 +sin x)x[ln( 1 + sin x) + x ---- ]，故1 + sin Xdy于是所求斜渐近线方程为(1)设 y =(1 +sinx)x ，则 dy-jidx .【分析】隐函数求导.本题属基本题型，幕指函数的求导(或微分)问题可化为指数函数求导或取对数后转化为【详解】七卄•\X xln(1卡inx) 工曰万法一： y=(1 +si nx) =e，于是y,=e 羽灼nx)[ln(1+ sinx) + x •^os^],1 + sin X从而dyx =jl=y '(兀)dx = —兀 dx.方法二: 3(1 + x)23(2)曲线y = i 丿 的斜渐近线方程为 y = X + —. J x_______ 2本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可3因为 a=lim 少= lim 哼j=1,X T 坯 X F 坯 x j x3 3(1 + x)2 -x' 【分析】【详解】b 二協〔f(x)-ax=lim- x —j-bcxdx 1⑶(2-X 2)7^【分析】作三角代换求积分即可 令 X =sint ，贝yxdx _ 石(2-X 2)J1 -x 2'0sin tcost2(2-sindt「2 d cost1 + cos 21=-arcta n(coS:)将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可 由题设，有B =8 +«2 乜3,% +羽2 +4^3 宀 +化 +曲 3)11 1(4)微分方程 xy' + 2y=xlnx 满足 y(1)= 一一 的解为 y=-xlnx--x..9 3 9【分析】直接套用一阶线性微分方程y ' + P(x)y =Q(x)的通解公式:_(P(x)dxfP(x)dxy =e 」 [jQ(x)e 」 dx +C],再由初始条件确定任意常数即可 .【详解】原方程等价为2y ‘ + — y = I n X ，— £dxL dx1 2于是通解为 y =e 'X [f l n X e 'X dx + C] = p { J x ln xdx +C]‘ X 、 1 , 1 “ 1=-x ln X — 一x +C -V ， 3 9 x 21 1 1由 y(1)=-一得 C=0，故所求解为 y =-xlnx —-x.9 3 9(5)当 X T 0时，a (x)=kx 2与 P (X )=J1 + xarcsinx - Jcosx 是等价无穷小，则k=【分析】 题设相当于已知limEd ，，由此确定k 即可.T^x)【详解】由题设，lim 如=limJ"xarcsin2x-JcosxX T a (x) T kx 2xarcs in x +1 -cosxlim … _________ , ____ X T kx 2(+ xarcsinx + 寸cosx)1xarcsin X +1 -cosx lim 22k X T x 3 =3 =1，得 k 4k (6)设％32,口3均为3维列向量，记矩阵A =(%,a 2,a 3)，B = 01 +^2 +^301 +2^2 中曲331 +^2 +创 3)， 1)2)如果冲=1,那么B =2【分析】设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"M = N"表示“ M 的充分必要条件是 F(x)是偶函数 U f(x)是奇函数.F(x)是奇函数二f(x)是偶函数. F(x)是周期函数二f(x)是周期函数. F(x)是单调函数二f(x)是单调函数.【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.X【详解】 方法一：任一原函数可表示为F(x) = Jo f (t)dt + C ，且 F '(X)= f(X)当 F(x)为偶函数时，有 F (―X)= F(X),于是 F '(—X)•(-1) = F '(X),即Xf (-x) = - f (X)，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则J 0XF(x) = 0 f(t)dt+C 为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令 f(x)=1,则取 F(x)=x+1,排除(B)、(C);令 f(x)=x,则取 F(X )=2X 2,排除(D);故应选(A).(9)设函数y=y(x)由参数方程j x =t确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴于是有 「1 1 1 [=(«1,«2,口3)1 L 1= 1x2 =2. 二、选择题(本题共8小题， 把所选项前的字母填在题后的括号内) 9每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 设函数 f(X)=lim +|x r ，则 f(x)在(二，畑)内 n ' * 处处可导.恰有两个不可导点.(A) (C) 【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形 (B)恰有一个不可导点. (D)至少有三个不可导点.【详解】 当<1时， f(X)==1时， f(x)- >1时， f(x)=lim 奸刁=1；n _3pc1卵3( 13nX1+ 1)n= XX C -1,—1 <x <1,3.X , X A 1.即 f(x) =4 1, 可见f(x)仅在x= 土1时不可导，故应选(C).(8) (B) (B) (C) (D) N ”，贝泌有-f (—x) = f(X),也即f (t)dt 为偶函数，从而交点的横坐l y=l n( 1+t)&2数, 则必有(A)r 2ex(B)■-■2c(C)L 2C Uexeyc 2u(D)【分析】 先分别求出uc u-2oyr 2exL 2c Ue x e y"2g u_ r 2，再比较答案即可.(11)设函数u(x, y) =®(x +y)+®(x — y) + (t)dt ,其中函数具有二阶导数，屮 具有一阶导 标是 (A) 1-In 2+3.8-8ln 2+3. 1(B) --l n2+3.8(D) 8l n2+3.(C)【分析】 先由x=3确定t 的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程,[A ]从而可得所需的横坐标.【详解】当x=3时，有t ? + 2t =3，得t=1,t = -3 (舍去，此时y 无意义)，于是dxt£_2t +2 =-，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为:7 8y-ln2 = d(x-3),令y=0,得其与 x 轴交点的横坐标为:1-ln2+3,故应(A). 8(10)设区域 D ={( x, y) X 2+ y 2 <4,x>0, y>0｝，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则JJ D a J f(x) +b j f (y) —丿 ---------- 厂 d b = J f(X)+ J f(y) 」 ab (A) ab ；!. (B)——兀 2 【分析】 由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的 【详解】由轮换对称性，有 (C) (a+bX (D)也沢 2 .本题可考虑用轮换对称性a j f(X)+b j f (y) a j f (y) +b j f(x) 仃 —— CT =仃 _________D J f(X)+ J f (y) D J f (y) + J f(X)=1 川 a J f(X)+b J f (y) + a J f (y) +b j f(x)2DJ f(X)+ J f(y)____ ____ ]d cJ f (y) + V f (x)3的=心丄兀2D2 4 ”22=二 2应选(D).J =<r （x+y ）-半 “（x-y ） +屮’（x+y ）+屮’（x-y ），卑 4（X + y "（X M 屮 g y ）』g y ），(12)设函数x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [D ]显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限 .由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，由于%卩2线性无关，于是有$1 你2）勺=0, I k 2 為=0.【详解】 因为Fu=半（x + y ） +（X _ y ） + 屮（X + y ） _屮（X _ y ） cXr U一 = <P （x +y ）-护'（X - y ） +屮（X + y ） +屮于是g 2u次2=申"（X + y ） +护 “（X - y ） +屮'（X + y ）-屮'（x - y ）,可见有雪卑，应选(B).(B) (B ) (C) (E) 【分析】 【详解】且 lim X Tf(X)=处，所以x=0为第二类间断点;I i mf （X ）= 0，lim f （X ）= -1,所以 x=1 X —1 十x T —为第一类间断点，故应选(D).(13)设A i,為是矩阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为 《1,«2，则。
2005年考研数学二试题及答案
2005年数学二试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设xx y )sin 1(+=，则π=x dy= 。
（2） 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为.（3）=--⎰1221)2(xxxdx（4） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为(5)当0→x 时,2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= .（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B .二、选择题(本题共8小题，每小题4分,满分32分。
每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A ） 处处可导. （B) 恰有一个不可导点。
(C) 恰有两个不可导点. (D ） 至少有三个不可导点。
[ ] （8）设F(x)是连续函数f （x ）的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N"，则必有(A) F （x)是偶函数⇔f(x)是奇函数。
（B) F(x)是奇函数⇔f （x)是偶函数.(C) F （x)是周期函数⇔f （x ）是周期函数. (D) F （x ）是单调函数⇔f(x ）是单调函数。
［ ］(9）设函数y=y(x ）由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是(A ） 32ln 81+. (B ） 32ln 81+-. （C) 32ln 8+-。
（D) 32ln 8+. [ ](10)设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a ，b为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A ） πab . (B)π2ab 。
2005年数学二考研试题和答案46835
2005年数学二试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设xx y )sin 1(+=，则π=x dy= .（2） 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为.（3）=--⎰1221)2(xxxdxFor personal use only in study and research; not for commercial use（4） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为（5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= .（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] （8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ]（9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是(A) 32ln 81+. (B) 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+. [ ]（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A) πab . (B)π2ab . (C) π)(b a +. (D) π2b a + . [ ] （11）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yux u ∂∂=∂∂.(C) 222yuy x u ∂∂=∂∂∂. (D)222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ ]（12）设函数,11)(1-=-x xex f 则 (A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ] （14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [ ] 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x（16）（本题满分11分） 如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f （20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.（21）（本题满分9分） 计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（22）（本题满分9分）确定常数a,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2Ta =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.以下题型均在05年考研文登数学辅导班中讲过1..【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： xx y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(xxx x e y x x +⋅++⋅='+，从而 π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得xx x x y y sin 1cos )sin 1ln(1+++='， 于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(xxx x x y x+⋅++⋅+='，故π=x dy=.)(dx dx y ππ-='【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.55【例2.15】2..【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=,1)1(lim )(lim23=+=+∞→+∞→xx x x x f x x []23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ， 于是所求斜渐近线方程为.23+=x y 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。
2005北京大学数学分析答案
2005北京大学数学分析答案北京大学2005 数学专业研究生 数学分析 1. 设xxx x x x f sin sin 1sin )(22--=，试求)(sup lim x f x +∞→和)(inflim x f x +∞→.解: 22sin 1()sin sin (0,1].sin x x f x x x x x-=∈-首先我们注意到.在的时候是单调增的222222sin 1sin .sin sin ,sin 11x x x x x x x x xx x x x -≤≤---并且在充分大的时候显然有所以易知在当然此上极限可以令2,2x k k ππ=+→+∞这么一个子列得到. 2222sin sin ().lim 0,lim inf 0,limsin sin x x x x x xf x x x x x→+∞→+∞→+∞==--对于的下极限我们注意到而所以有此下极限当然可以令(21),.x k k π=+→+∞这么个子列得到2. (1)设)(x f 在开区间),(b a 可微，且)(x f '在),(b a 有界。
证明)(x f 在),(b a 一致连续.证明:()(,).()(,).f x x a b M f x a b '∈设在时上界为因为在开区间上可微12,(,),x x a b ∀∈对于由,Lagrange 中值定理存在12121212(,),()()()x x f x f x f x x M x x ξξ'∈-=-≤-使得. 这显然就是12,,.()(,).Lipschitz x x f x a b 条件所以由任意性易证明在上一致收敛(2) 设)(x f 在开区间),(b a )(+∞<<<-∞b a 可微且一致有1121122212(1)2(1)2(1)sin 22!(21)!2!p p pt t ppt kp t p ---++∞=---==-∑。
2005年全国硕士研究生入学统一考试(数一)试题及答案
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷一、填空题（本题共6小题，每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上）(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________。
(3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(n u∂∂=。
________。
(4）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧，则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.（5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα，123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα，如果1=A ,那么=B 。
(6）从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)（7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则()f x 在),(+∞-∞内（A ）处处可导 （B ）恰有一个不可导点 （C)恰有两个不可导点（D ）至少有三个不可导点(8）设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有（A ）()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 （B ）()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数(C ）()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数 (D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数（9）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ具有一阶导数，则必有(A)2222y ux u ∂∂-=∂∂(B ）2222y u x u ∂∂=∂∂（C)222yu y x u ∂∂=∂∂∂（D)222xu y x u ∂∂=∂∂∂(10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =(B ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = （D ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =（11）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα,则1α，12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A ）01≠λ （B ）02≠λ（C ）01=λ(D)02=λ（12）设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则（A)交换*A 的第1列与第2列得*B （B)交换*A 的第1行与第2行得*B （C)交换*A 的第1列与第2列得*-B（D)交换*A 的第1行与第2行得*-B（13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为10 0.4a1b0。
北京大学2005数学分析试题及解答
f (x)
=
sin2
x
−
sin x x2
1
−
sin x x2
,
lim sup f (x) = 1, lim inf f (x) = 0.
x→+∞
x→+∞
2. (1) 因为 f ′(x) 在 (a, b) 上有界, 可设 |f ′(x)| ⩽ L. ∀ x, y ∈ (a, b),
2
22
(2k)!
2
(2k + 1)!
k=0
k=0
= 1 − cos 2 ∑ ∞ (−1)k22k x4k + sin 2 ∑ ∞ (−1)k22k+1 x4k+2.
22
(2k)!
2
(2k + 1)!
k=0
k=0
(2)
0, cos 2 (−1)k22k
f
(n)(0)
=
− sin
(2) 设 f (x) 在开区间 (a, b) (−∞ < a < b < +∞) 上可微且一致连续, 试问 f ′(x) 在 (a, b) 上是否一定有 界. (若肯定回答, 请证明; 若否定回答, 举例说明)
3. 设 f (x) = sin2 (x2 + 1) ,
(1) 求 f (x) 的麦克劳林展开式. (2) 求 f (n)(0), n = 1, 2, 3, · · ·.
4. 试作出定义在 R2 中的一个函数 f (x, y), 使得它在原点处同时满足以下三个条件:
(1) f (x, y) 的两个偏导数都存在;
(2) 任何方向极限都存在;
(3) 在原点处不连续. ∫