题目第五章平面向量向量的综合应用

题目 第五章平面向量向量的综合应用 高考要求 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念 (2)掌握向量的加法和减法 (3)掌握实数与向量的积理解两个向量共线的充要条件 (4)了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算 (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件 (6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式并且能熟练运用掌握平移公式 知识点归纳 1向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质  运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 向 量 的 加 法 1平行四边形法则 2三角形法则 1212(,)abxxyy



abba

)()(cbacba ABBCAC

向 量 的 减 法 三角形法则 1212(,)abxxyy



)(baba

ABBA

OBOAAB

向 量 的 乘 法 a是一个向量, 满足: >0时,a与a同向;

<0时,a与a异向;

=0时, a=0 ),(yxa aa)()( aaa)( baba)( a∥bab

向 量 的 数 量 积

ba是一个数 0a或0b时, ba=0 0a且0b时, bababa,cos|||| 1212abxxyy abba )()()(bababa cbcacba)( 22||aa,22||yxa

||||||baba 2重要定理、公式： (1)平面向量基本定理：21,ee是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,，使2211eea (2)两个向量平行的充要条件：a∥ba＝λb01221yxyx (3)两个向量垂直的充要条件：a⊥ba²b＝O02121yyxx (4)线段的定比分点公式：设点P分有向线段12PP所成的比为λ，即1PP＝λ2PP，则OP＝111OP＋112OP (线段的定比分点的向量公式)







.1,12121yyyxxx

(线段定比分点的坐标公式)

当λ＝1时，得中点公式： OP＝21（1OP＋2OP）或.2,22121yyyxxx

(5)平移公式：设点),(yxP按向量),(kha平移后得到点),(yxP，则OP＝OP+a或.,kyyhxx，曲线)(xfy按向量),(kha平移后所得

的曲线的函数解析式为：)(hxfky (6)正、余弦定理 正弦定理：.2sinsinsinRCcBbAa 余弦定理：Abccbacos2222bcacbA2cos222 Bacacbcos2222cabacB2cos222

Cabbaccos2222abcbaC2cos222

3两个向量的数量积： 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a²b=︱a︱²︱b︱cos

其中︱b︱cos=||aba称为向量b在a方向上的投影 4向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB= （001800）叫做向量a与b的夹角 cos=cos,ababab=222221212121yxyxyyxx 题型讲解 例1 已知a、b是两个非零向量，当a+tb（t∈R）的模取最小值时， （1）求t的值； （2）求证：b⊥（a+tb） 分析：利用|a+tb|2=（a+tb）2进行转换，可讨论有关|a+tb|的最小值问题，若能计算得b²（a+tb）=0，则证得了b⊥（a+tb） （1）解：设a与b的夹角为θ，则 |a+tb|2=（a+tb）2=|a|2+t2|b|2+2a²（tb） =|a2+t2|b2+2t|a|b|cosθ=|b|2（t+||||abcosθ）2+|a|2sin2θ， 所以当t=－||||abcosθ=－2||||cos||abb=－2ab|b|时，|a+tb|有最小值 （2）证明：因为b²（a+tb）=b²（a－2ab|b|²b）=a²b－a²b=0，

所以b⊥（a⊥tb） 点评：用向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等几何问题，向量的坐标运算为处理这类问题带来了很大的方便

对|a+tb|的变形，有两种基本的思考方法：一是通过|a+tb|2=（a+tb）2进行向量的数量积运算；二是设a、b的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的的变形读者可尝试用后一方法解答本题 例2 已知OA=a，OB=b，a²b=|a－b|=2，当△AOB面积取最大值时，求a与b的夹角 解：因为|a－b|2=4，所以a2－2a²b+b2=4 所以|a|2+|b|2=4+2a²b=8， S△AOB=21OA²OBsinθ=21|a||b|2cos1

=21222||||（）abab=2122||||4ab ≤21222||||42（）ab=3，（当且仅当|a|=|b|=2时取等号） 所以当|a|=|b|=2时，△AOB的面积取最大值，

这时，cosθ=ab|a||b|=222=21，所以θ=60° 例3 如图，四边形MNPQ是⊙C的内接梯形，C是圆心，C在MN上，向量CM与PN的夹角为120°，QC²QM=2 （1）求⊙C的方程； （2）求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程 分析：需先建立直角坐标系，为了使所求方程简单，需以C为原点，MN所在直线为x轴，求⊙C的方程时，只要求半径即可，求椭圆的方程时，只需求a、b即可 解：（1）以MN所在直线为x轴，C为原点，建立直角坐标系xOy

∵CM与PN的夹角为120°，故∠QCM=60° 于是△QCM为正三角形，∠CQM=60° 又QC²QM=2，即|QC||QM|cos∠CQM=2，于是r=|QC|=2 故⊙C的方程为x2+y2=4 （2）依题意2c=4，2a=|QN|+|QM|，

而|QN|=2224=23，|QM|=2， 于是a=3+1，b2=a2－c2=23

∴所求椭圆的方程为3242x+322y=1

CPQ

NM 评述：平面向量在解析几何中的应用越来越广，复习时应引起重视 例4 已知平面向量13(3,1),(,).22ab若存在不同时为零的实数k和t,使 2(3),,.xatbykatbxy且 （1）试求函数关系式k=f（t） （2）求使f（t）>0的t的取值范围 解：（1）2,0.[(3)]()0.xyxyatbkatb



即

222210,4,1,4(3)0,(3).4ababkttktt





即

（2）由f(t)>0,得21(3)0,(3)(3)0.4ttttt即 303tt则或 例5 已知A（－1,0），B（1,0）两点，C点在直线032x上，且,ACABCACB,BABC成等差数列,记θ为CACB与的夹角, 求tan

θ 解：设235(,),5124cyACABCACByBABC则

又∵三者,ACABCACB，BABC成等差数列 )23,23(23,43,422522cyyy

当335313(,),(,),(,)222222cCACB时

900,72cos，23tan 同理23tan,)23,23(时c